Grupo (matemáticas)

En matemáticas , un grupo es un conjunto con una operación que asocia un elemento del conjunto a cada par de elementos del conjunto (como lo hace toda operación binaria) y satisface las siguientes restricciones: la operación es asociativa , tiene un elemento identidad y cada elemento del conjunto tiene un elemento inverso .

Muchas estructuras matemáticas son grupos dotados de otras propiedades. Por ejemplo, los números enteros con la operación de adición forman un grupo infinito , que se genera a partir de un único elemento llamado ⁠ ⁠${\estilo de visualización 1}$ (estas propiedades caracterizan a los números enteros de forma única).

El concepto de grupo fue elaborado para manejar, de manera unificada, muchas estructuras matemáticas como números, formas geométricas y raíces polinómicas . Debido a que el concepto de grupo es omnipresente en numerosas áreas tanto dentro como fuera de las matemáticas, algunos autores lo consideran como un principio organizador central de las matemáticas contemporáneas. ^{[1] [2]}

En geometría , los grupos surgen de forma natural en el estudio de las simetrías y las transformaciones geométricas : las simetrías de un objeto forman un grupo, llamado grupo de simetría del objeto, y las transformaciones de un tipo determinado forman un grupo general. Los grupos de Lie aparecen en los grupos de simetría en geometría, y también en el Modelo Estándar de la física de partículas . El grupo de Poincaré es un grupo de Lie que consiste en las simetrías del espacio-tiempo en la relatividad especial . Los grupos puntuales describen la simetría en la química molecular .

El concepto de grupo surgió en el estudio de las ecuaciones polinómicas , a partir de Évariste Galois en la década de 1830, quien introdujo el término grupo (en francés: groupe ) para el grupo de simetría de las raíces de una ecuación, ahora llamado grupo de Galois . Después de las contribuciones de otros campos como la teoría de números y la geometría, la noción de grupo se generalizó y se estableció firmemente alrededor de 1870. La teoría de grupos moderna —una disciplina matemática activa— estudia los grupos por derecho propio. Para explorar los grupos, los matemáticos han ideado varias nociones para dividir los grupos en piezas más pequeñas y mejor comprensibles, como subgrupos , grupos cocientes y grupos simples . Además de sus propiedades abstractas, los teóricos de grupos también estudian las diferentes formas en que un grupo puede expresarse de forma concreta, tanto desde un punto de vista de la teoría de la representación (es decir, a través de las representaciones del grupo ) como de la teoría de grupos computacional . Se ha desarrollado una teoría para grupos finitos , que culminó con la clasificación de grupos finitos simples , completada en 2004. Desde mediados de la década de 1980, la teoría geométrica de grupos , que estudia los grupos finitamente generados como objetos geométricos, se ha convertido en un área activa en la teoría de grupos.

Estructura algebraica → Teoría de grupos Teoría de grupos
Nociones básicas Subgrupo Subgrupo normal Acción grupal Grupo de cocientes Producto (semi) directo Suma directa Producto gratuito Producto de corona Homomorfismos de grupo núcleo imagen simple finito infinito continuo multiplicativo aditivo cíclico abeliano diedro nilpotente soluble Glosario de teoría de grupos Lista de temas de teoría de grupos
Grupos finitos Grupo cíclico Z n Grupo simétrico S n Grupo alterno A n Grupo diedro D n Grupo de cuaterniones Q Teorema de Cauchy Teorema de Lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall p -grupo Grupo abeliano elemental Grupo Frobenius Multiplicador de Schur Clasificación de grupos finitos simples cíclico alterno Tipo de mentira esporádico
Grupos discretos Celosías Números enteros (${\displaystyle \mathbb {Z}}$) Grupo libre Grupos modulares LPS(2,${\displaystyle \mathbb {Z}}$) SL(2,${\displaystyle \mathbb {Z}}$) Grupo aritmético Enrejado Grupo hiperbólico
Grupos topológicos y de Lie Solenoide Círculo GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) O( n ) ortogonal E( n ) euclidiana SO( n ) ortogonal especial Unitario U( n ) SU unitario especial ( n ) Sp( n ) simpléctico G2​ F4​ E6​ E7​ E8​ Lorentz Poincaré Conforme Difeomorfismo Bucle Grupo de Lie de dimensión infinita O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Grupos algebraicos Grupo algebraico lineal Grupo reductivo Variedad abeliana Curva elíptica
en a mi

Uno de los grupos más conocidos es el conjunto de los números enteros junto con la suma . ^[3] Para dos números enteros cualesquiera y ⁠ ⁠ , la suma también es un número entero; esta propiedad de clausura dice que es una operación binaria sobre ⁠ ⁠ . Las siguientes propiedades de la suma de números enteros sirven como modelo para los axiomas de grupo en la definición a continuación.$${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\ldots ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots \}}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a+b}$${\displaystyle +}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• Para todos los números enteros ⁠ ⁠${\displaystyle a}$ , y  ⁠ ⁠ , se tiene ⁠ ⁠ . Expresado en palabras, sumar a primero y luego sumar el resultado a da el mismo resultado final que sumar a la suma de y  ⁠ ⁠ . Esta propiedad se conoce como asociatividad .${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$
• Si es cualquier número entero, entonces y ⁠ ⁠ . El cero se llama elemento identidad de la adición porque al sumarlo a cualquier número entero se obtiene el mismo número entero.${\displaystyle a}$${\displaystyle 0+a=a}$${\displaystyle a+0=a}$
• Para cada número entero ⁠ ⁠${\displaystyle a}$ , existe un número entero tal que y ⁠ ⁠ . El número entero se denomina elemento inverso del número entero y se denota  ⁠ ⁠ .${\displaystyle b}$${\displaystyle a+b=0}$${\displaystyle b+a=0}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle -a}$

Los números enteros, junto con la operación ⁠ ⁠${\displaystyle +}$ , forman un objeto matemático perteneciente a una amplia clase que comparte aspectos estructurales similares. Para entender adecuadamente estas estructuras como un colectivo, se desarrolla la siguiente definición.

Un grupo es un conjunto no vacío junto con una operación binaria en ⁠ ⁠ , aquí denotada " ⁠ ⁠ ", que combina dos elementos cualesquiera y de para formar un elemento de ⁠ ⁠ , denotado ⁠ ⁠ , tal que se satisfacen los tres requisitos siguientes, conocidos como axiomas de grupo : ^{[5] [6] [7] [a]}${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle a\cdot b}$

Asociatividad

Para todos ⁠ ⁠${\displaystyle a}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle b}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle c}$ en ⁠ ⁠${\displaystyle G}$ , uno tiene ⁠ ⁠${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$ .

Elemento de identidad

Existe un elemento en tal que, para cada en ⁠ ⁠ , se tiene ⁠ ⁠ y ⁠ ⁠ .${\displaystyle e}$${\displaystyle G}$${\displaystyle a}$${\displaystyle G}$${\displaystyle e\cdot a=a}$${\displaystyle a\cdot e=a}$

Este elemento es único (ver más abajo) y se denomina elemento de identidad (o, a veces, elemento neutro ) del grupo.

Elemento inverso

Para cada uno en ⁠ ⁠ , existe un elemento en tal que y ⁠ ⁠ , donde es el elemento identidad.${\displaystyle a}$${\displaystyle G}$${\displaystyle b}$${\displaystyle G}$${\displaystyle a\cdot b=e}$${\displaystyle b\cdot a=e}$${\displaystyle e}$

Para cada ⁠ ⁠${\displaystyle a}$ , el elemento es único (ver más abajo); se llama inverso de y comúnmente se denota ⁠ ⁠ .${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a^{-1}}$

Formalmente, un grupo es un par ordenado de un conjunto y una operación binaria sobre este conjunto que satisface los axiomas del grupo . El conjunto se denomina conjunto subyacente del grupo y la operación se denomina operación de grupo o ley de grupo .

Un grupo y su conjunto subyacente son, por tanto, dos objetos matemáticos diferentes . Para evitar una notación engorrosa, es habitual abusar de ella utilizando el mismo símbolo para denotar ambos. Esto refleja también una forma informal de pensar: que el grupo es lo mismo que el conjunto, salvo que se ha enriquecido con una estructura adicional proporcionada por la operación.

Por ejemplo, considere el conjunto de números reales ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$ , que tiene las operaciones de suma y multiplicación ⁠ ⁠ . Formalmente, es un conjunto, es un grupo y es un cuerpo . Pero es común escribir para denotar cualquiera de estos tres objetos.${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle ab}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot )}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

El grupo aditivo del cuerpo es el grupo cuyo conjunto subyacente es y cuya operación es la suma. El grupo multiplicativo del cuerpo es el grupo cuyo conjunto subyacente es el conjunto de números reales distintos de cero y cuya operación es la multiplicación.${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {R} \smallsetminus \{0\}}$

De manera más general, se habla de un grupo aditivo siempre que la operación de grupo se denota como adición; en este caso, la identidad se denota típicamente como ⁠ ⁠${\displaystyle 0}$ , y la inversa de un elemento se denota como ⁠ ⁠ . De manera similar, se habla de un grupo multiplicativo siempre que la operación de grupo se denota como multiplicación; en este caso, la identidad se denota típicamente como ⁠ ⁠ , y la inversa de un elemento se denota como ⁠ ⁠ . En un grupo multiplicativo, el símbolo de operación generalmente se omite por completo, de modo que la operación se denota por yuxtaposición, en lugar de ⁠ ⁠ .${\displaystyle x}$${\displaystyle -x}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{-1}}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle a\cdot b}$

La definición de un grupo no requiere que para todos los elementos y en ⁠ ⁠ . Si se cumple esta condición adicional, entonces se dice que la operación es conmutativa y el grupo se llama grupo abeliano . Es una convención común que para un grupo abeliano se puede usar notación aditiva o multiplicativa, pero para un grupo no abeliano solo se usa notación multiplicativa.${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle G}$

Se utilizan comúnmente otras notaciones para grupos cuyos elementos no son números. Para un grupo cuyos elementos son funciones , la operación suele ser composición de funciones ; entonces${\displaystyle f\circ g}$ la identidad puede denotarse id. En los casos más específicos de grupos de transformación geométrica , grupos de simetría , grupos de permutación y grupos de automorfismos , el símbolo se omite a menudo, como en el caso de los grupos multiplicativos. Se pueden encontrar muchas otras variantes de notación.${\displaystyle \circ }$

Dos figuras en el plano son congruentes si una puede transformarse en la otra mediante una combinación de rotaciones , reflexiones y traslaciones . Cualquier figura es congruente consigo misma. Sin embargo, algunas figuras son congruentes consigo mismas en más de un sentido, y estas congruencias adicionales se denominan simetrías . Un cuadrado tiene ocho simetrías. Estas son:

Los elementos del grupo de simetría del cuadrado, ⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ . Los vértices se identifican por color o número.

${\displaystyle \mathrm {id} }$(dejándolo como está)	${\displaystyle r_{1}}$(rotación de 90° en el sentido de las agujas del reloj)	${\displaystyle r_{2}}$(rotación de 180°)	${\displaystyle r_{3}}$(rotación de 270° en el sentido de las agujas del reloj)
${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$(reflexión vertical)	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$(reflexión horizontal)	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$(reflexión diagonal)	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$(reflexión contradiagonal)

• la operación de identidad que deja todo sin cambios, denotada id;
• rotaciones del cuadrado alrededor de su centro de 90°, 180° y 270° en el sentido de las agujas del reloj, denotadas por ⁠ ⁠${\displaystyle r_{1}}$ , y ⁠ ⁠ , respectivamente;${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle r_{3}}$
• reflexiones sobre la línea media horizontal y vertical ( ⁠ ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$ ), o a través de las dos diagonales ( ⁠ ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$ ).

Estas simetrías son funciones. Cada una envía un punto en el cuadrado al punto correspondiente bajo la simetría. Por ejemplo, envía un punto a su rotación de 90° en el sentido de las agujas del reloj alrededor del centro del cuadrado y envía un punto a su reflexión a través de la línea media vertical del cuadrado. La composición de dos de estas simetrías da otra simetría. Estas simetrías determinan un grupo llamado grupo diedro de grado cuatro, denotado ⁠ ⁠ . El conjunto subyacente del grupo es el conjunto de simetrías anterior, y la operación del grupo es la composición de funciones. ^[8] Dos simetrías se combinan componiéndolas como funciones, es decir, aplicando la primera al cuadrado y la segunda al resultado de la primera aplicación. El resultado de realizar primero y luego se escribe simbólicamente de derecha a izquierda como ("aplicar la simetría después de realizar la simetría ⁠ ⁠ "). Esta es la notación habitual para la composición de funciones.${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b\circ a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$

Una tabla de Cayley enumera los resultados de todas las composiciones posibles. Por ejemplo, rotar 270° en el sentido de las agujas del reloj ( ⁠ ⁠${\displaystyle r_{3}}$ ) y luego reflejar horizontalmente ( ⁠ ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$ ) es lo mismo que realizar una reflexión a lo largo de la diagonal ( ⁠ ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$ ). Usando los símbolos anteriores, resaltados en azul en la tabla de Cayley:$${\displaystyle f_{\mathrm {h} }\circ r_{3}=f_{\mathrm {d} }.}$$

Mesa de Cayley de${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$

${\displaystyle \circ }$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$
${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$
${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$
${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$
${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$
${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{3}}$
${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle r_{1}}$
${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{2}}$
${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$
Los elementos ⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {id} }$ , ⁠ ⁠${\displaystyle r_{1}}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle r_{2}}$ , y ⁠ ⁠${\displaystyle r_{3}}$ forman un subgrupo cuya tabla de Cayley está resaltada en rojo (región superior izquierda). Se resaltan en rojo las clases laterales izquierda y derecha de este subgrupo. verde (en la última fila) y amarillo (última columna), respectivamente. El resultado de la composición , la${\displaystyle f_{\mathrm {h} }\circ r_{3}}$ simetría , se${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$ destaca en azul (debajo del centro de la mesa).

Dado este conjunto de simetrías y la operación descrita, los axiomas del grupo pueden entenderse de la siguiente manera.

Operación binaria : La composición es una operación binaria. Es decir, es una simetría para dos simetrías cualesquiera y ⁠ ⁠ . Por ejemplo, es decir, girar 270° en el sentido de las agujas del reloj después de reflejar horizontalmente es igual a reflejar a lo largo de la contradiagonal ( ⁠ ⁠ ). De hecho, cualquier otra combinación de dos simetrías sigue dando una simetría, como se puede comprobar utilizando la tabla de Cayley.${\displaystyle a\circ b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$$${\displaystyle r_{3}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {c} },}$$${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$

Asociatividad : El axioma de asociatividad trata de componer más de dos simetrías: Partiendo de tres elementos ⁠ ⁠${\displaystyle a}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle b}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle c}$ de ⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ , hay dos formas posibles de usar estas tres simetrías en este orden para determinar una simetría del cuadrado. Una de estas formas es componer primero y en una única simetría, luego componer esa simetría con ⁠ ⁠ . La otra forma es componer primero y ⁠ ⁠ , luego componer la simetría resultante con ⁠ ⁠ . Estas dos formas deben dar siempre el mismo resultado, es decir, Por ejemplo, se puede comprobar utilizando la tabla de Cayley:${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a}$$${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c),}$$${\displaystyle (f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {v} })\circ r_{2}=f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})}$$${\displaystyle {\begin{aligned}(f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {v} })\circ r_{2}&=r_{3}\circ r_{2}=r_{1}\\f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})&=f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {h} }=r_{1}.\end{aligned}}}$$

Elemento identidad : El elemento identidad es ⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {id} }$ , ya que no cambia ninguna simetría al componerse con él ni a la izquierda ni a la derecha.${\displaystyle a}$

Elemento inverso : Cada simetría tiene un inverso: ⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {id} }$ , las reflexiones ⁠ ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$ y la rotación de 180° son sus propias inversas, porque al realizarlas dos veces el cuadrado vuelve a su orientación original. Las rotaciones y son inversas entre sí, porque al girar 90° y luego girar 270° (o viceversa) se produce una rotación de 360° que deja el cuadrado sin cambios. Esto se verifica fácilmente en la tabla.${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle r_{3}}$${\displaystyle r_{1}}$

A diferencia del grupo de números enteros anterior, donde el orden de la operación es irrelevante, sí importa en ⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ , como, por ejemplo, pero ⁠ ⁠ . En otras palabras, no es abeliano.${\displaystyle f_{\mathrm {h} }\circ r_{1}=f_{\mathrm {c} }}$${\displaystyle r_{1}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {d} }}$${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$

El concepto moderno de grupo abstracto se desarrolló a partir de varios campos de las matemáticas. ^{[9] [10] [11]} La motivación original de la teoría de grupos fue la búsqueda de soluciones de ecuaciones polinómicas de grado superior a 4. El matemático francés del siglo XIX Évariste Galois , ampliando el trabajo previo de Paolo Ruffini y Joseph-Louis Lagrange , dio un criterio para la resolubilidad de una ecuación polinómica particular en términos del grupo de simetría de sus raíces (soluciones). Los elementos de dicho grupo de Galois corresponden a ciertas permutaciones de las raíces. Al principio, las ideas de Galois fueron rechazadas por sus contemporáneos y publicadas solo póstumamente. ^{[12] [13]} Los grupos de permutación más generales fueron investigados en particular por Augustin Louis Cauchy . La obra de Arthur Cayley Sobre la teoría de grupos, como dependiente de la ecuación simbólica${\displaystyle \theta ^{n}=1}$ (1854) da la primera definición abstracta de un grupo finito . ^[14]

La geometría fue un segundo campo en el que se utilizaron grupos de forma sistemática, especialmente grupos de simetría como parte del programa de Erlangen de Felix Klein de 1872. ^[15] Después de que surgieran nuevas geometrías como la geometría hiperbólica y proyectiva , Klein utilizó la teoría de grupos para organizarlas de una manera más coherente. Impulsando aún más estas ideas, Sophus Lie fundó el estudio de los grupos de Lie en 1884. ^[16]

El tercer campo que contribuyó a la teoría de grupos fue la teoría de números . Ciertas estructuras de grupos abelianos se habían utilizado implícitamente en la obra de teoría de números Disquisitiones Arithmeticae (1798) de Carl Friedrich Gauss , y más explícitamente por Leopold Kronecker . [ ^17] En 1847, Ernst Kummer hizo los primeros intentos de demostrar el último teorema de Fermat desarrollando grupos que describieran la factorización en números primos . ^[18]

La convergencia de estas diversas fuentes en una teoría uniforme de grupos comenzó con el Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) de Camille Jordan . ^[19] Walther von Dyck (1882) introdujo la idea de especificar un grupo por medio de generadores y relaciones, y también fue el primero en dar una definición axiomática de un "grupo abstracto", en la terminología de la época. ^[20] A partir del siglo XX, los grupos ganaron un amplio reconocimiento por el trabajo pionero de Ferdinand Georg Frobenius y William Burnside (que trabajaron en la teoría de la representación de grupos finitos), la teoría de la representación modular de Richard Brauer y los artículos de Issai Schur . ^[21] La teoría de los grupos de Lie, y más generalmente los grupos localmente compactos, fue estudiada por Hermann Weyl , Élie Cartan y muchos otros. ^[22] Su contraparte algebraica , la teoría de grupos algebraicos , fue formulada por primera vez por Claude Chevalley (desde fines de la década de 1930) y luego por el trabajo de Armand Borel y Jacques Tits . ^[23]

El año de teoría de grupos 1960-61 de la Universidad de Chicago reunió a teóricos de grupos como Daniel Gorenstein , John G. Thompson y Walter Feit , sentando las bases de una colaboración que, con el aporte de muchos otros matemáticos, condujo a la clasificación de grupos simples finitos , con el paso final dado por Aschbacher y Smith en 2004. Este proyecto superó los esfuerzos matemáticos anteriores por su gran tamaño, tanto en la longitud de la prueba como en el número de investigadores. La investigación relacionada con esta prueba de clasificación está en curso. ^[24] La teoría de grupos sigue siendo una rama matemática muy activa, ^[b] impactando muchos otros campos, como ilustran los ejemplos a continuación.

Los hechos básicos sobre todos los grupos que pueden obtenerse directamente a partir de los axiomas de grupo se incluyen comúnmente en la teoría elemental de grupos . ^[25] Por ejemplo, las aplicaciones repetidas del axioma de asociatividad muestran que la falta de ambigüedad de se generaliza a más de tres factores. Debido a que esto implica que los paréntesis pueden insertarse en cualquier lugar dentro de una serie de términos de este tipo, los paréntesis suelen omitirse. ^[26]$${\displaystyle a\cdot b\cdot c=(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$$

Los axiomas de grupo implican que el elemento identidad es único; es decir, existe sólo un elemento identidad: cualesquiera dos elementos identidad y de un grupo son iguales, porque los axiomas de grupo implican ⁠ ⁠ . Por lo tanto, es habitual hablar del elemento identidad del grupo. ^[27]${\displaystyle e}$${\displaystyle f}$${\displaystyle e=e\cdot f=f}$

Los axiomas de grupo también implican que el inverso de cada elemento es único: Sea que un elemento de grupo tenga como inversos a y . Entonces${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=b\cdot e&&{\text{(}}e{\text{ is the identity element)}}\\&=b\cdot (a\cdot c)&&{\text{(}}c{\text{ and }}a{\text{ are inverses of each other)}}\\&=(b\cdot a)\cdot c&&{\text{(associativity)}}\\&=e\cdot c&&{\text{(}}b{\text{ is an inverse of }}a{\text{)}}\\&=c&&{\text{(}}e{\text{ is the identity element and }}b=c{\text{)}}\end{aligned}}}$

Por lo tanto, se acostumbra hablar de la inversa de un elemento. ^[27]

Dados los elementos y de un grupo ⁠ ⁠ , existe una única solución en en la ecuación ⁠ ⁠ , a saber ⁠ ⁠ . ^{[c] [28]} De ello se deduce que para cada en , la función que asigna cada a es una biyección ; se llama multiplicación por la izquierda por o traslación por la izquierda por ⁠ ⁠ .${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G}$${\displaystyle a\cdot x=b}$${\displaystyle a^{-1}\cdot b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\to G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a\cdot x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

De manera similar, dados y ⁠ ⁠ , la única solución de es ⁠ ⁠ . Para cada ⁠ ⁠ , la función que asigna cada uno a es una biyección llamada multiplicación derecha por o traslación derecha por ⁠ ⁠ .${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle x\cdot a=b}$${\displaystyle b\cdot a^{-1}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle G\to G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\cdot a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

Los axiomas de grupo para identidad e inversas pueden ser "debilitados" para afirmar solamente la existencia de una identidad izquierda e inversas izquierdas . A partir de estos axiomas unilaterales , se puede demostrar que la identidad izquierda es también una identidad derecha y una inversa izquierda es también una inversa derecha para el mismo elemento. Dado que definen exactamente las mismas estructuras que los grupos, colectivamente los axiomas no son más débiles. ^[29]

En particular, suponiendo asociatividad y la existencia de una identidad izquierda (es decir, ⁠ ⁠ ) y una inversa izquierda para cada elemento (es decir, ⁠ ⁠ ), se puede demostrar que cada inversa izquierda es también una inversa derecha del mismo elemento de la siguiente manera. ^[29] De hecho, se tiene${\displaystyle e}$${\displaystyle e\cdot f=f}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}\cdot f=e}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f\cdot f^{-1}&=e\cdot (f\cdot f^{-1})&&{\text{(left identity)}}\\&=((f^{-1})^{-1}\cdot f^{-1})\cdot (f\cdot f^{-1})&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot ((f^{-1}\cdot f)\cdot f^{-1})&&{\text{(associativity)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot (e\cdot f^{-1})&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot f^{-1}&&{\text{(left identity)}}\\&=e&&{\text{(left inverse)}}\end{aligned}}}$

De manera similar, la identidad de izquierda es también una identidad de derecha: ^[29]

${\displaystyle {\begin{aligned}f\cdot e&=f\cdot (f^{-1}\cdot f)&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f\cdot f^{-1})\cdot f&&{\text{(associativity)}}\\&=e\cdot f&&{\text{(right inverse)}}\\&=f&&{\text{(left identity)}}\end{aligned}}}$

Estas demostraciones requieren los tres axiomas (asociatividad, existencia de identidad izquierda y existencia de inversa izquierda). Para una estructura con una definición más flexible (como un semigrupo ) se puede tener, por ejemplo, que una identidad izquierda no es necesariamente una identidad derecha.

El mismo resultado se puede obtener suponiendo únicamente la existencia de una identidad correcta y una inversa correcta.

Sin embargo, solo suponer la existencia de una identidad izquierda y una inversa derecha (o viceversa) no es suficiente para definir un grupo. Por ejemplo, considere el conjunto con el operador que satisface y ⁠ ⁠ . Esta estructura tiene una identidad izquierda (es decir, ⁠ ⁠ ), y cada elemento tiene una inversa derecha (que es para ambos elementos). Además, esta operación es asociativa (ya que el producto de cualquier número de elementos siempre es igual al elemento más a la derecha en ese producto, independientemente del orden en que se realicen estas operaciones). Sin embargo, no es un grupo, ya que carece de una identidad derecha.${\displaystyle G=\{e,f\}}$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle e\cdot e=f\cdot e=e}$${\displaystyle e\cdot f=f\cdot f=f}$${\displaystyle e}$${\displaystyle e}$${\displaystyle (G,\cdot )}$

Al estudiar conjuntos, se utilizan conceptos como subconjunto , función y cociente por una relación de equivalencia . Al estudiar grupos, se utilizan en cambio subgrupos , homomorfismos y grupos cociente . Estos son los análogos que tienen en cuenta la estructura del grupo. ^[d]

Los homomorfismos de grupo ^[e] son ​​funciones que respetan la estructura del grupo; pueden utilizarse para relacionar dos grupos. Un homomorfismo de un grupo a otro grupo es una función tal que${\displaystyle (G,\cdot )}$${\displaystyle (H,*)}$${\displaystyle \varphi :G\to H}$

${\displaystyle \varphi (a\cdot b)=\varphi (a)*\varphi (b)}$para todos los elementos y en ⁠ ⁠ .${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle G}$

Sería natural exigir también que se respeten las identidades, ⁠ ⁠ , y las inversas, para todos en ⁠ ⁠ . Sin embargo, estos requisitos adicionales no necesitan incluirse en la definición de homomorfismos, porque ya están implícitos en el requisito de respetar la operación de grupo. ^[30]${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi (1_{G})=1_{H}}$${\displaystyle \varphi (a^{-1})=\varphi (a)^{-1}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle G}$

El homomorfismo identidad de un grupo es el homomorfismo que asigna cada elemento de a sí mismo. Un homomorfismo inverso de un homomorfismo es un homomorfismo tal que y ⁠ ⁠ , es decir, tal que para todo en y tal que para todo en ⁠ ⁠ . Un isomorfismo es un homomorfismo que tiene un homomorfismo inverso; equivalentemente, es un homomorfismo biyectivo . Los grupos y se llaman isomorfos si existe un isomorfismo ⁠ ⁠ . En este caso, se puede obtener de simplemente renombrando sus elementos de acuerdo con la función ⁠ ⁠ ; entonces cualquier enunciado verdadero para es verdadero para ⁠ ⁠ , siempre que también se renombren los elementos específicos mencionados en el enunciado.${\displaystyle G}$${\displaystyle \iota _{G}:G\to G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \varphi :G\to H}$${\displaystyle \psi :H\to G}$${\displaystyle \psi \circ \varphi =\iota _{G}}$${\displaystyle \varphi \circ \psi =\iota _{H}}$${\displaystyle \psi {\bigl (}\varphi (g){\bigr )}=g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \varphi {\bigl (}\psi (h){\bigr )}=h}$${\displaystyle h}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \varphi :G\to H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$

El conjunto de todos los grupos, junto con los homomorfismos entre ellos, forman una categoría , la categoría de grupos . ^[31]

Un homomorfismo inyectivo se factoriza canónicamente como un isomorfismo seguido de una inclusión, para algún subgrupo de . Los homomorfismos inyectivos son los monomorfismos en la categoría de grupos .${\displaystyle \phi :G'\to G}$${\displaystyle G'\;{\stackrel {\sim }{\to }}\;H\hookrightarrow G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

De manera informal, un subgrupo es un grupo contenido dentro de uno más grande, ⁠ ⁠ : tiene un subconjunto de los elementos de ⁠ ⁠ , con la misma operación. ^[32] Concretamente, esto significa que el elemento identidad de debe estar contenido en ⁠ ⁠ , y siempre que y estén ambos en ⁠ ⁠ , entonces también lo están y ⁠ ⁠ , por lo que los elementos de ⁠ ⁠ , equipados con la operación de grupo sobre restringida a ⁠ ⁠ , forman efectivamente un grupo. En este caso, la función de inclusión es un homomorfismo.${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle h_{1}}$${\displaystyle h_{2}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle h_{1}\cdot h_{2}}$${\displaystyle h_{1}^{-1}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H\to G}$

En el ejemplo de simetrías de un cuadrado, la identidad y las rotaciones constituyen un subgrupo ⁠ ⁠${\displaystyle R=\{\mathrm {id} ,r_{1},r_{2},r_{3}\}}$ , resaltado en rojo en la tabla de Cayley del ejemplo: cualesquiera dos rotaciones compuestas siguen siendo una rotación, y una rotación puede deshacerse mediante (es decir, es inversa a) las rotaciones complementarias 270° para 90°, 180° para 180° y 90° para 270°. La prueba de subgrupo proporciona una condición necesaria y suficiente para que un subconjunto no vacío ⁠ ⁠${\displaystyle H}$ de un grupo ⁠ ⁠${\displaystyle G}$ sea un subgrupo: es suficiente comprobarlo para todos los elementos y en ⁠ ⁠ . Conocer los subgrupos de un grupo es importante para comprender el grupo como un todo. ^[f]${\displaystyle g^{-1}\cdot h\in H}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle H}$

Dado cualquier subconjunto de un grupo ⁠ ⁠ , el subgrupo generado por consiste en todos los productos de elementos de y sus inversos. Es el subgrupo más pequeño de que contiene a ⁠ ⁠ . ^[33] En el ejemplo de simetrías de un cuadrado, el subgrupo generado por y consiste en estos dos elementos, el elemento identidad ⁠ ⁠ , y el elemento ⁠ ⁠ . Nuevamente, este es un subgrupo, porque la combinación de dos cualesquiera de estos cuatro elementos o sus inversos (que son, en este caso particular, estos mismos elementos) produce un elemento de este subgrupo.${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$${\displaystyle \mathrm {id} }$${\displaystyle f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {v} }\cdot r_{2}}$

En muchas situaciones es deseable considerar que dos elementos de un grupo son iguales si difieren en un elemento de un subgrupo dado. Por ejemplo, en el grupo de simetría de un cuadrado, una vez que se realiza cualquier reflexión, las rotaciones por sí solas no pueden devolver el cuadrado a su posición original, por lo que se puede pensar que las posiciones reflejadas del cuadrado son todas equivalentes entre sí, y no equivalentes a las posiciones no reflejadas; las operaciones de rotación son irrelevantes para la cuestión de si se ha realizado una reflexión. Las clases laterales se utilizan para formalizar esta idea: un subgrupo determina las clases laterales izquierda y derecha, que pueden considerarse como traslaciones de por un elemento de grupo arbitrario ⁠ ⁠ . En términos simbólicos, las clases laterales izquierda y derecha de ⁠ ⁠ , que contienen un elemento ⁠ ⁠ , son${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle g}$${\displaystyle H}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle gH=\{g\cdot h\mid h\in H\}}$y ⁠ ⁠${\displaystyle Hg=\{h\cdot g\mid h\in H\}}$ , respectivamente. ^[34]

Las clases laterales izquierdas de cualquier subgrupo forman una partición de ⁠ ⁠ ; es decir, la unión de todas las clases laterales izquierdas es igual a y dos clases laterales izquierdas son iguales o tienen una intersección vacía . ^[35] El primer caso ocurre precisamente cuando ⁠ ⁠ , es decir, cuando los dos elementos difieren en un elemento de ⁠ ⁠ . Consideraciones similares se aplican a las clases laterales derechas de ⁠ ⁠ . Las clases laterales izquierdas de pueden o no ser las mismas que sus clases laterales derechas. Si lo son (es decir, si todas en satisfacen ⁠ ⁠ ), entonces se dice que es un subgrupo normal .${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g_{1}H=g_{2}H}$ ${\displaystyle g_{1}^{-1}\cdot g_{2}\in H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle gH=Hg}$${\displaystyle H}$

En ⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ , el grupo de simetrías de un cuadrado, con su subgrupo de rotaciones, las clases laterales izquierdas son iguales a ⁠ ⁠ , si es un elemento de sí mismo, o en caso contrario iguales a (resaltado en verde en la tabla de Cayley de ⁠ ⁠ ). El subgrupo es normal, porque y de manera similar para los otros elementos del grupo. (De hecho, en el caso de ⁠ ⁠ , las clases laterales generadas por reflexiones son todas iguales: ⁠ ⁠ .)${\displaystyle R}$${\displaystyle gR}$${\displaystyle R}$${\displaystyle g}$${\displaystyle R}$${\displaystyle U=f_{\mathrm {c} }R=\{f_{\mathrm {c} },f_{\mathrm {d} },f_{\mathrm {v} },f_{\mathrm {h} }\}}$${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle f_{\mathrm {c} }R=U=Rf_{\mathrm {c} }}$${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$${\displaystyle f_{\mathrm {h} }R=f_{\mathrm {v} }R=f_{\mathrm {d} }R=f_{\mathrm {c} }R}$

Supóngase que es un subgrupo normal de un grupo ⁠ ⁠ , y denota su conjunto de clases laterales. Entonces hay una ley de grupo única en para la cual la función que envía cada elemento a es un homomorfismo. Explícitamente, el producto de dos clases laterales y es ⁠ ⁠ , la clase lateral sirve como identidad de ⁠ ⁠ , y la inversa de en el grupo cociente es ⁠ ⁠ . El grupo ⁠ ⁠ , leído como " ⁠ ⁠ módulo ⁠ ⁠ ", ^[36] se denomina grupo cociente o grupo factorial . El grupo cociente puede caracterizarse alternativamente por una propiedad universal .${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$$${\displaystyle G/N=\{gN\mid g\in G\}}$$${\displaystyle G/N}$${\displaystyle G\to G/N}$${\displaystyle g}$${\displaystyle gN}$${\displaystyle gN}$${\displaystyle hN}$${\displaystyle (gh)N}$${\displaystyle eN=N}$${\displaystyle G/N}$${\displaystyle gN}$${\displaystyle (gN)^{-1}=\left(g^{-1}\right)N}$${\displaystyle G/N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$

Tabla de Cayley del grupo cociente${\displaystyle \mathrm {D} _{4}/R}$

${\displaystyle \cdot }$	${\displaystyle R}$	${\displaystyle U}$
${\displaystyle R}$	${\displaystyle R}$	${\displaystyle U}$
${\displaystyle U}$	${\displaystyle U}$	${\displaystyle R}$

Los elementos del grupo cociente son y ⁠ ⁠ . La operación de grupo sobre el cociente se muestra en la tabla. Por ejemplo, ⁠ ⁠ . Tanto el subgrupo como el cociente son abelianos, pero no lo son. A veces, un grupo se puede reconstruir a partir de un subgrupo y un cociente (más algunos datos adicionales), mediante la construcción del producto semidirecto ; es un ejemplo.${\displaystyle \mathrm {D} _{4}/R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle U=f_{\mathrm {v} }R}$${\displaystyle U\cdot U=f_{\mathrm {v} }R\cdot f_{\mathrm {v} }R=(f_{\mathrm {v} }\cdot f_{\mathrm {v} })R=R}$${\displaystyle R=\{\mathrm {id} ,r_{1},r_{2},r_{3}\}}$${\displaystyle \mathrm {D} _{4}/R}$${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$

El primer teorema de isomorfismo implica que cualquier homomorfismo sobreyectivo se factoriza canónicamente como un homomorfismo cociente seguido de un isomorfismo: ⁠ ⁠ . Los homomorfismos sobreyectivos son los epimorfismos en la categoría de grupos.${\displaystyle \phi :G\to H}$${\displaystyle G\to G/\ker \phi \;{\stackrel {\sim }{\to }}\;H}$

Todo grupo es isomorfo a un cociente de un grupo libre , en muchos sentidos.

Por ejemplo, el grupo diedro se genera por la rotación derecha y la reflexión en una línea vertical (cada elemento de es un producto finito de copias de estos y sus inversos). Por lo tanto, hay un homomorfismo sobreyectivo ⁠ ⁠ del grupo libre en dos generadores a enviar a y a ⁠ ⁠ . Los elementos en se llaman relaciones ; los ejemplos incluyen ⁠ ⁠ . De hecho, resulta que es el subgrupo normal más pequeño de que contiene estos tres elementos; en otras palabras, todas las relaciones son consecuencias de estos tres. El cociente del grupo libre por este subgrupo normal se denota ⁠ ⁠ . Esto se llama una presentación de por generadores y relaciones, porque el primer teorema de isomorfismo para ⁠ ⁠ produce un isomorfismo ⁠ ⁠ . ^[37]${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \langle r,f\rangle }$${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle \ker \phi }$${\displaystyle r^{4},f^{2},(r\cdot f)^{2}}$${\displaystyle \ker \phi }$${\displaystyle \langle r,f\rangle }$${\displaystyle \langle r,f\mid r^{4}=f^{2}=(r\cdot f)^{2}=1\rangle }$${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \langle r,f\mid r^{4}=f^{2}=(r\cdot f)^{2}=1\rangle \to \mathrm {D} _{4}}$

La presentación de un grupo se puede utilizar para construir el gráfico de Cayley , una representación gráfica de un grupo discreto . ^[38]

Los ejemplos y aplicaciones de los grupos abundan. Un punto de partida es el grupo de números enteros con la adición como operación de grupo, presentado anteriormente. Si en lugar de la adición se considera la multiplicación, se obtienen grupos multiplicativos . Estos grupos son predecesores de importantes construcciones en el álgebra abstracta .${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Los grupos también se aplican en muchas otras áreas matemáticas. Los objetos matemáticos se examinan a menudo asociándolos a grupos y estudiando las propiedades de los grupos correspondientes. Por ejemplo, Henri Poincaré fundó lo que ahora se llama topología algebraica al introducir el grupo fundamental . ^[39] Mediante esta conexión, las propiedades topológicas como la proximidad y la continuidad se traducen en propiedades de grupos. ^[g]

Los elementos del grupo fundamental de un espacio topológico son clases de equivalencia de bucles, donde los bucles se consideran equivalentes si uno puede deformarse suavemente en otro, y la operación de grupo es "concatenación" (rastrear un bucle y luego el otro). Por ejemplo, como se muestra en la figura, si el espacio topológico es el plano con un punto eliminado, entonces los bucles que no se envuelven alrededor del punto faltante (azul) pueden contraerse suavemente a un solo punto y son el elemento identidad del grupo fundamental. Un bucle que se envuelve alrededor del punto faltante veces no puede deformarse en un bucle que se envuelve veces (con ⁠ ⁠ ), porque el bucle no puede deformarse suavemente a través del agujero, por lo que cada clase de bucles se caracteriza por su número de enrollamiento alrededor del punto faltante. El grupo resultante es isomorfo a los números enteros bajo adición.${\displaystyle k}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m\neq k}$

En aplicaciones más recientes, la influencia también se ha revertido para motivar construcciones geométricas mediante un trasfondo teórico de grupos. ^[h] De manera similar, la teoría de grupos geométricos emplea conceptos geométricos, por ejemplo en el estudio de grupos hiperbólicos . ^[40] Otras ramas que aplican grupos de manera crucial incluyen la geometría algebraica y la teoría de números. ^[41]

Además de las aplicaciones teóricas mencionadas anteriormente, existen muchas aplicaciones prácticas de los grupos. La criptografía se basa en la combinación del enfoque de la teoría abstracta de grupos junto con el conocimiento algorítmico obtenido en la teoría computacional de grupos , en particular cuando se implementa para grupos finitos. ^[42] Las aplicaciones de la teoría de grupos no se limitan a las matemáticas; ciencias como la física , la química y la informática se benefician del concepto.

Muchos sistemas numéricos, como los números enteros y los racionales , tienen una estructura de grupo dada de forma natural. En algunos casos, como en el caso de los racionales, tanto las operaciones de suma como las de multiplicación dan lugar a estructuras de grupo. Estos sistemas numéricos son predecesores de estructuras algebraicas más generales conocidas como anillos y cuerpos. Otros conceptos algebraicos abstractos, como los módulos , los espacios vectoriales y las álgebras, también forman grupos.

El grupo de los números enteros bajo la operación de adición, denotado ⁠ ⁠ , ha sido descrito anteriormente. Los números enteros, con la operación de multiplicación en lugar de la de adición, no forman un grupo. Se satisfacen los axiomas de asociatividad e identidad, pero no existen inversos: por ejemplo, es un número entero, pero la única solución de la ecuación en este caso es ⁠ ⁠ , que es un número racional, pero no un número entero. Por lo tanto, no todos los elementos de tienen un inverso (multiplicativo). ^[i]${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \left(\mathbb {Z} ,+\right)}$${\displaystyle \left(\mathbb {Z} ,\cdot \right)}$${\displaystyle a=2}$${\displaystyle a\cdot b=1}$${\displaystyle b={\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

El deseo de la existencia de inversos multiplicativos sugiere considerar fracciones$${\displaystyle {\frac {a}{b}}.}$$

Las fracciones de números enteros (con distinto de cero) se conocen como números racionales . ^[j] El conjunto de todas esas fracciones irreducibles se denota comúnmente como ⁠ ⁠ . Todavía hay un pequeño obstáculo para ⁠ ⁠ , los racionales con multiplicación, siendo un grupo: debido a que cero no tiene un inverso multiplicativo (es decir, no existe tal que ⁠ ⁠ ), todavía no es un grupo.${\displaystyle b}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,\cdot \right)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\cdot 0=1}$${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,\cdot \right)}$

Sin embargo, el conjunto de todos los números racionales distintos de cero forma un grupo abeliano bajo la multiplicación, también denotado ⁠ ⁠ . ^[k] Los axiomas de asociatividad y de elemento identidad se derivan de las propiedades de los números enteros. El requisito de clausura sigue siendo válido después de eliminar el cero, porque el producto de dos racionales distintos de cero nunca es cero. Finalmente, el inverso de es ⁠ ⁠ , por lo tanto, se satisface el axioma del elemento inverso.${\displaystyle \mathbb {Q} \smallsetminus \left\{0\right\}=\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q\neq 0\right\}}$${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\times }}$${\displaystyle a/b}$${\displaystyle b/a}$

Los números racionales (incluido el cero) también forman un grupo en el marco de la adición. La combinación de operaciones de adición y multiplicación produce estructuras más complicadas llamadas anillos y, si es posible dividir por un número distinto de cero, como en el caso de los cuerpos, que ocupan una posición central en el álgebra abstracta. Por lo tanto, los argumentos de la teoría de grupos sustentan partes de la teoría de esas entidades. ^[l]${\displaystyle \mathbb {Q} }$

La aritmética modular para un módulo define dos elementos cualesquiera y que difieren en un múltiplo de para ser equivalentes, denotado por ⁠ ⁠ . Todo entero es equivalente a uno de los enteros de a ⁠ ⁠ , y las operaciones de la aritmética modular modifican la aritmética normal reemplazando el resultado de cualquier operación por su representante equivalente . La adición modular, definida de esta manera para los enteros de a ⁠ ⁠ , forma un grupo, denotado como o ⁠ ⁠ , con como elemento identidad y como elemento inverso de ⁠ ⁠ .${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{n}}$${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle n-a}$${\displaystyle a}$

Un ejemplo conocido es la suma de horas en la esfera de un reloj , donde se elige 12 en lugar de 0 como representante de la identidad. Si la manecilla de la hora está en ⁠ ⁠ y está adelantada en horas, termina en ⁠ ⁠ , como se muestra en la ilustración. Esto se expresa diciendo que es congruente con "módulo ⁠ ⁠ " o, en símbolos,${\displaystyle 9}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 9+4}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 12}$$${\displaystyle 9+4\equiv 1{\pmod {12}}.}$$

Para cualquier número primo ⁠ ⁠${\displaystyle p}$ , también existe el grupo multiplicativo de los números enteros módulo ⁠ ⁠${\displaystyle p}$ . ^[43] Sus elementos pueden representarse por a ⁠ ⁠ . La operación de grupo, multiplicación módulo ⁠ ⁠ , reemplaza el producto habitual por su representante, el resto de la división por ⁠ ⁠ . Por ejemplo, para ⁠ ⁠ , los cuatro elementos del grupo pueden representarse por ⁠ ⁠ . En este grupo, ⁠ ⁠ , porque el producto habitual es equivalente a ⁠ ⁠ : cuando se divide por da un resto de ⁠ ⁠ . La primalidad de asegura que el producto habitual de dos representantes no sea divisible por ⁠ ⁠ , y por lo tanto que el producto modular sea distinto de cero. ^[m] El elemento identidad está representado por  ⁠ ⁠ , y la asociatividad se sigue de la propiedad correspondiente de los números enteros. Finalmente, el axioma del elemento inverso requiere que dado un número entero no divisible por ⁠ ⁠ , exista un número entero tal que sea, tal que divida exactamente a ⁠ ⁠ . El inverso se puede encontrar utilizando la identidad de Bézout y el hecho de que el máximo común divisor es igual a  ⁠ ⁠ . ^[44] En el caso anterior, el inverso del elemento representado por es el representado por ⁠ ⁠ , y el inverso del elemento representado por está representado por  ⁠ ⁠ , como ⁠ ⁠ . Por lo tanto, se cumplen todos los axiomas de grupo. Este ejemplo es similar al anterior: consta exactamente de aquellos elementos en el anillo que tienen un inverso multiplicativo. ^[45] Estos grupos, denominados ⁠ ⁠ , son cruciales para la criptografía de clave pública . ^[n]${\displaystyle 1}$${\displaystyle p-1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=5}$${\displaystyle 1,2,3,4}$${\displaystyle 4\cdot 4\equiv 1{\bmod {5}}}$${\displaystyle 16}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 5}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle a}$${\displaystyle p}$${\displaystyle b}$$${\displaystyle a\cdot b\equiv 1{\pmod {p}},}$$${\displaystyle p}$${\displaystyle a\cdot b-1}$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \gcd(a,p)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle p=5}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 3\cdot 2=6\equiv 1{\bmod {5}}}$${\displaystyle \left(\mathbb {Q} \smallsetminus \left\{0\right\},\cdot \right)}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$