Epimorfismo

En teoría de categorías , un epimorfismo es un morfismo f  : X → Y que es cancelativo por la derecha en el sentido de que, para todos los objetos Z y todos los morfismos g ₁ , g ₂ : Y → Z ,

${\displaystyle g_{1}\circ f=g_{2}\circ f\implies g_{1}=g_{2}.}$

Los epimorfismos son análogos categóricos de funciones sobreyectivas o ontológicas (y en la categoría de conjuntos el concepto corresponde exactamente a las funciones sobreyectivas), pero pueden no coincidir exactamente en todos los contextos; por ejemplo, la inclusión es un epimorfismo de anillo. El dual de un epimorfismo es un monomorfismo (es decir, un epimorfismo en una categoría C es un monomorfismo en la categoría dual C ^op ).${\displaystyle \mathbb {Z} \a \mathbb {Q} }$

Muchos autores en álgebra abstracta y álgebra universal definen un epimorfismo simplemente como un homomorfismo onto o sobreyectivo . Todo epimorfismo en este sentido algebraico es un epimorfismo en el sentido de la teoría de categorías, pero lo inverso no es cierto en todas las categorías. En este artículo, el término "epimorfismo" se utilizará en el sentido de la teoría de categorías dado anteriormente. Para más información sobre esto, consulte § Terminología a continuación.

Todo morfismo en una categoría concreta cuya función subyacente es sobreyectiva es un epimorfismo. En muchas categorías concretas de interés también es cierto lo inverso. Por ejemplo, en las siguientes categorías, los epimorfismos son exactamente aquellos morfismos que son sobreyectivos en los conjuntos subyacentes:

• Conjunto : conjuntos y funciones. Para demostrar que todo epimorfismo f : X → Y en Conjunto es sobreyectivo, lo componemos tanto con la función característica g ₁ : Y → {0,1} de la imagen f ( X ) como con la función g ₂ : Y → {0,1} que es constante 1.
• Rel : conjuntos con relaciones binarias y funciones que preservan la relación. Aquí podemos utilizar la misma prueba que para Set , equipando a {0,1} con la relación completa {0,1}×{0,1}.
• Pos : conjuntos parcialmente ordenados y funciones monótonas . Si f  : ( X , ≤) → ( Y , ≤) no es sobreyectiva, tome y ₀ en Y \ f ( X ) y sea g ₁  : Y → {0,1} la función característica de { y | y ₀ ≤ y } y g ₂  : Y → {0,1} la función característica de { y | y ₀ < y }. Estas funciones son monótonas si a {0,1} se le da el orden estándar 0 < 1.
• Grp : grupos y homomorfismos de grupos . El resultado de que todo epimorfismo en Grp es sobreyectivo se debe a Otto Schreier (él demostró más, mostrando que todo subgrupo es un ecualizador usando el producto libre con un subgrupo amalgamado); una prueba elemental se puede encontrar en (Linderholm 1970).
• FinGrp : grupos finitos y homomorfismos de grupos. También debido a Schreier; la prueba dada en (Linderholm 1970) establece también este caso.
• Ab : grupos abelianos y homomorfismos de grupos.
• K -Vect :espacios vectorialessobre uncuerpo Ky K -transformaciones lineales.
• Mod - R : módulos rectos sobre un anillo R y homomorfismos de módulos . Esto generaliza los dos ejemplos anteriores; para demostrar que todo epimorfismo f : X → Y en Mod - R es sobreyectivo, lo componemos tanto con la función cociente canónica g ₁ : Y → Y / f ( X ) como con la función cero g ₂ : Y → Y / f ( X ).
• Top : espacios topológicos y funciones continuas . Para demostrar que todo epimorfismo en Top es sobreyectivo, procedemos exactamente como en Set , dando {0,1} la topología indiscreta , lo que asegura que todas las funciones consideradas sean continuas.
• HComp : espacios de Hausdorff compactos y funciones continuas. Si f : X → Y no es sobreyectiva, sea y  ∈  Y  −  fX . Como fX es cerrada, por el Lema de Urysohn existe una función continua g ₁ : Y → [0,1] tal que g ₁ es 0 en fX y 1 en y . Componemos f tanto con g ₁ como con la función cero g ₂ : Y → [0,1].

Sin embargo, también hay muchas categorías concretas de interés en las que los epimorfismos no son sobreyectivos. Algunos ejemplos son:

• En la categoría de monoides , Mon , la función de inclusión N → Z es un epimorfismo no sobreyectivo. Para ver esto, supongamos que g ₁ y g ₂ son dos funciones distintas de Z a algún monoide M. Entonces, para algún n en Z , g ₁ ( n ) ≠ g ₂ ( n ), por lo que g ₁ (− n ) ≠ g ₂ (− n ). Tanto n como − n están en N , por lo que las restricciones de g ₁ y g ₂ a N son desiguales.
• En la categoría de álgebras sobre anillo conmutativo R , tomemos R [ N ] → R [ Z ], donde R [ G ] es el anillo monoide del monoide G y el morfismo es inducido por la inclusión N → Z como en el ejemplo anterior. Esto se deduce de la observación de que 1 genera el álgebra R [ Z ] (nótese que la unidad en R [ Z ] está dada por 0 de Z ), y el inverso del elemento representado por n en Z es simplemente el elemento representado por − n . Por lo tanto, cualquier homomorfismo de R [ Z ] está determinado de forma única por su valor en el elemento representado por 1 de Z .
• En la categoría de anillos , Ring , la función de inclusión Z → Q es un epimorfismo no sobreyectivo; para comprobarlo, nótese que cualquier homomorfismo de anillo sobre Q está determinado completamente por su acción sobre Z , de forma similar al ejemplo anterior. Un argumento similar muestra que el homomorfismo de anillo natural de cualquier anillo conmutativo R a cualquiera de sus localizaciones es un epimorfismo.
• En la categoría de anillos conmutativos , un homomorfismo finitamente generado de anillos f  : R → S es un epimorfismo si y solo si para todos los ideales primos P de R , el ideal Q generado por f ( P ) es S o es primo, y si Q no es S , la función inducida Frac ( R / P ) → Frac( S / Q ) es un isomorfismo ( EGA IV 17.2.6).
• En la categoría de espacios de Hausdorff, Haus , los epimorfismos son precisamente las funciones continuas con imágenes densas . Por ejemplo, la función de inclusión Q → R , es un epimorfismo no sobreyectivo.

Lo anterior difiere del caso de los monomorfismos, donde es más frecuentemente cierto que los monomorfismos son precisamente aquellos cuyas funciones subyacentes son inyectivas .

En cuanto a ejemplos de epimorfismos en categorías no concretas:

• Si se considera un monoide o anillo como una categoría con un único objeto (composición de morfismos dada por multiplicación), entonces los epimorfismos son precisamente los elementos cancelables por la derecha.
• Si un gráfico dirigido se considera como una categoría (los objetos son los vértices, los morfismos son los caminos, la composición de morfismos es la concatenación de caminos), entonces cada morfismo es un epimorfismo.

Todo isomorfismo es un epimorfismo; de hecho, solo se necesita un inverso del lado derecho: si existe un morfismo j  : Y → X tal que fj = id _Y , entonces f : X → Y es fácilmente visible como un epimorfismo. Una función con un inverso del lado derecho de este tipo se denomina epi dividida . En un topos , una función que es a la vez un morfismo mónico y un epimorfismo es un isomorfismo.

La composición de dos epimorfismos es nuevamente un epimorfismo. Si la composición fg de dos morfismos es un epimorfismo, entonces f debe ser un epimorfismo.

Como muestran algunos de los ejemplos anteriores, la propiedad de ser un epimorfismo no está determinada únicamente por el morfismo, sino también por la categoría del contexto. Si D es una subcategoría de C , entonces cada morfismo en D que sea un epimorfismo cuando se lo considera como un morfismo en C también es un epimorfismo en D. Sin embargo, no es necesario que se cumpla lo inverso; la categoría más pequeña puede tener (y a menudo tendrá) más epimorfismos.

Como ocurre con la mayoría de los conceptos en la teoría de categorías, los epimorfismos se conservan bajo equivalencias de categorías : dada una equivalencia F  : C → D , un morfismo f es un epimorfismo en la categoría C si y solo si F ( f ) es un epimorfismo en D . Una dualidad entre dos categorías convierte los epimorfismos en monomorfismos, y viceversa.

La definición de epimorfismo puede reformularse para afirmar que f  : X → Y es un epimorfismo si y solo si los mapas inducidos

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Hom} (Y,Z)&\rightarrow &\operatorname {Hom} (X,Z)\\g&\mapsto &gf\end{matrix}}}$

son inyectivas para cada elección de Z. Esto a su vez es equivalente a la transformación natural inducida

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Hom} (Y,-)&\rightarrow &\operatorname {Hom} (X,-)\end{matrix}}}$

siendo un monomorfismo en la categoría de funtor Conjunto ^C .

Todo coecualizador es un epimorfismo, consecuencia del requisito de unicidad en la definición de coecualizadores. De ello se deduce en particular que todo conúcleo es un epimorfismo. La recíproca, es decir, que todo epimorfismo sea un coecualizador, no es cierta en todas las categorías.

En muchas categorías es posible escribir cada morfismo como la composición de un epimorfismo seguido de un monomorfismo. Por ejemplo, dado un homomorfismo de grupo f  : G → H , podemos definir el grupo K = im( f ) y luego escribir f como la composición del homomorfismo sobreyectivo G → K que se define como f , seguido del homomorfismo inyectivo K → H que envía cada elemento a sí mismo. Tal factorización de un morfismo arbitrario en un epimorfismo seguido de un monomorfismo se puede llevar a cabo en todas las categorías abelianas y también en todas las categorías concretas mencionadas anteriormente en § Ejemplos (aunque no en todas las categorías concretas).

Entre otros conceptos útiles se encuentran el epimorfismo regular , el epimorfismo extremal , el epimorfismo inmediato , el epimorfismo fuerte y el epimorfismo dividido .

• Se dice que un epimorfismo es regular si es un coecualizador de algún par de morfismos paralelos.
• Se dice que un epimorfismo es extremal ^[1] si en cada representación , donde es un monomorfismo , el morfismo es automáticamente un isomorfismo .${\estilo de visualización \varepsilon}$${\displaystyle \varepsilon =\mu \circ \varphi }$${\estilo de visualización \mu}$${\estilo de visualización \mu}$
• Se dice que un epimorfismo es inmediato si en cada representación , donde es un monomorfismo y es un epimorfismo, el morfismo es automáticamente un isomorfismo .${\estilo de visualización \varepsilon}$${\displaystyle \varepsilon =\mu \circ \varepsilon '}$${\estilo de visualización \mu}$${\displaystyle \varepsilon '}$${\estilo de visualización \mu}$

• 

  Se dice que un epimorfismo es fuerte ^{[1] [2]} si para cualquier monomorfismo y cualquier morfismo y tal que , existe un morfismo tal que y .${\displaystyle \varepsilon :A\to B}$ ${\displaystyle \mu :C\to D}$${\displaystyle \alpha :A\to C}$${\displaystyle \beta :B\to D}$${\displaystyle \beta \circ \varepsilon =\mu \circ \alpha }$${\displaystyle \delta :B\to C}$${\displaystyle \delta \circ \varepsilon =\alpha }$${\displaystyle \mu \circ \delta =\beta }$
• Se dice que un epimorfismo está dividido si existe un morfismo tal que (en este caso se llama inverso por la derecha para ).${\estilo de visualización \varepsilon}$${\estilo de visualización \mu}$${\displaystyle \varepsilon \circ \mu =1}$${\estilo de visualización \mu}$${\estilo de visualización \varepsilon}$

También existe la noción de epimorfismo homológico en la teoría de anillos. Un morfismo f : A → B de anillos es un epimorfismo homológico si es un epimorfismo e induce un funtor completo y fiel en las categorías derivadas : D( f ) : D( B ) → D( A ).

Un morfismo que es tanto un monomorfismo como un epimorfismo se llama bimorfismo . Todo isomorfismo es un bimorfismo pero lo inverso no es cierto en general. Por ejemplo, la función del intervalo semiabierto [0,1) al círculo unitario S ¹ (considerado como un subespacio del plano complejo ) que envía x a exp(2πi x ) (ver la fórmula de Euler ) es continua y biyectiva pero no un homeomorfismo ya que la función inversa no es continua en 1, por lo que es una instancia de un bimorfismo que no es un isomorfismo en la categoría Top . Otro ejemplo es la incrustación Q  → R en la categoría Haus ; como se señaló anteriormente, es un bimorfismo, pero no es biyectiva y, por lo tanto, no es un isomorfismo. De manera similar, en la categoría de anillos , la función Z  → Q es un bimorfismo pero no un isomorfismo.

Los epimorfismos se utilizan para definir objetos cocientes abstractos en categorías generales: se dice que dos epimorfismos f ₁  : X → Y ₁ y f ₂  : X → Y ₂ son equivalentes si existe un isomorfismo j  : Y ₁ → Y ₂ con j  f ₁ = f ₂ . Esta es una relación de equivalencia , y las clases de equivalencia se definen como los objetos cocientes de X .

Los términos acompañantes epimorfismo y monomorfismo fueron introducidos por primera vez por Bourbaki . Bourbaki utiliza epimorfismo como abreviatura de una función sobreyectiva . Los primeros teóricos de categorías creían que los epimorfismos eran el análogo correcto de las sobreyecciones en una categoría arbitraria, de forma similar a cómo los monomorfismos son casi un análogo exacto de las inyecciones. Desafortunadamente esto es incorrecto; los epimorfismos fuertes o regulares se comportan mucho más de cerca a las sobreyecciones que los epimorfismos ordinarios. Saunders Mac Lane intentó crear una distinción entre epimorfismos , que eran aplicaciones en una categoría concreta cuyas aplicaciones de conjuntos subyacentes eran sobreyectivas, y morfismos épicos , que son epimorfismos en el sentido moderno. Sin embargo, esta distinción nunca se impuso.

Es un error común creer que los epimorfismos son idénticos a las sobreyecciones o que son un concepto mejor. Desafortunadamente, esto rara vez sucede; los epimorfismos pueden ser muy misteriosos y tener un comportamiento inesperado. Es muy difícil, por ejemplo, clasificar todos los epimorfismos de anillos. En general, los epimorfismos son un concepto único, relacionado con las sobreyecciones pero fundamentalmente diferente.

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