Vigesimal

Un sistema de numeración vigesimal ( / v ɪ ˈ dʒ ɛ s ɪ m əl / vij- ESS -im-əl ) o de base 20 ( base-score ) se basa en veinte (de la misma manera en que el sistema de numeración decimal se basa en diez ). Vigesimal se deriva del adjetivo latino vicesimus , que significa 'vigésimo'.

En un sistema de lugar vigesimal , se utilizan veinte numerales individuales (o símbolos de dígitos), diez más que en el sistema decimal. Un método moderno para encontrar los símbolos adicionales necesarios es escribir diez como la letra A, o A ₂₀ , donde el ₂₀ significa base 20 , escribir diecinueve como J ₂₀ , y los números entre ellos con las letras correspondientes del alfabeto. Esto es similar a la práctica común en informática de escribir números hexadecimales sobre 9 con las letras "A–F". Otro método menos común omite la letra "I", para evitar la confusión entre I ₂₀ como dieciocho y uno , de modo que el número dieciocho se escribe como J ₂₀ , y diecinueve se escribe como K ₂₀ . El número veinte se escribe como 10 ₂₀ .

Según esta notación:

20 ₂₀ es equivalente a cuarenta en decimal = (2 × 20 ¹ ) + (0 × 20 ⁰ )

D0 ₂₀ es equivalente a doscientos sesenta en decimal = (13 × 20 ¹ ) + (0 × 20 ⁰ )

100 ₂₀ es equivalente a cuatrocientos en decimal = (1 × 20 ² ) + (0 × 20 ¹ ) + (0 × 20 ⁰ ) .

En el resto de este artículo, los números se expresan en notación decimal, a menos que se especifique lo contrario. Por ejemplo, 10 significa diez , 20 significa veinte . Los números en notación vigesimal utilizan la convención de que I significa dieciocho y J significa diecinueve.

Como 20 es divisible por dos y cinco y es adyacente a 21, el producto de tres y siete, cubriendo así los primeros cuatro números primos, muchas fracciones vigesimales tienen representaciones simples, ya sean terminales o recurrentes (aunque los tercios son más complicados que en decimal, repitiendo dos dígitos en lugar de uno). En decimal, dividir por tres dos veces (novenos) solo da períodos de un dígito (1/9⁠ = 0,1111.... por ejemplo) porque 9 es el número inferior a diez. 21, sin embargo, el número adyacente a 20 que es divisible por 3, no es divisible por 9. Los novenos en vigesimal tienen períodos de seis dígitos. Como 20 tiene los mismos factores primos que 10 (dos y cinco), una fracción terminará en decimal si y solo si termina en vigesimal.

La factorización prima de veinte es 2 ²  × 5, por lo que no es una potencia perfecta . Sin embargo, su parte libre de cuadrados, 5, es congruente con 1 (mod 4). Por lo tanto, según la conjetura de Artin sobre raíces primitivas , vigesimal tiene infinitos primos cíclicos , pero la fracción de primos que son cíclicos no es necesariamente ~37,395%. Un programa de UnrealScript que calcula las longitudes de los períodos recurrentes de varias fracciones en un conjunto dado de bases encontró que, de los primeros 15.456 primos, ~39,344% son cíclicos en vigesimal.

En varios idiomas europeos, como el francés y el danés , se utiliza 20 como base, al menos con respecto a la estructura lingüística de los nombres de ciertos números (aunque generalmente no se utiliza un sistema vigesimal completamente consistente, basado en las potencias 20, 400, 8000, etc.).

Muchas culturas que utilizan un sistema vigesimal cuentan de cinco en cinco hasta veinte, y luego cuentan de veinte en veinte de manera similar. Los lingüistas denominan a este sistema quinario-vigesimal . Algunos ejemplos son los numerales groenlandeses , iñupiaq , kaktovik , maya , nunivak cupʼig y yupʼik . ^{[1] [2] [3]}

Los sistemas vigesimales son comunes en África, por ejemplo en Yoruba . ^[4] Si bien el sistema numérico Yoruba puede considerarse un sistema vigesimal, es complejo. ^{[ se necesita más explicación ]}

• Veinte es una base en los sistemas numéricos maya y azteca . Los mayas usan los siguientes nombres para las potencias de veinte: kal (20), bak (20 ² = 400), pic (20 ³ = 8.000), calab (20 ⁴ = 160.000), kinchil (20 ⁵ = 3.200.000) y alau (20 ⁶ = 64.000.000). Véase numerales mayas y calendario maya , lengua náhuatl .
• Las lenguas inuit-yupik-unangax tienen sistemas de numeración de base 20. En 1994, los estudiantes inuit de Kaktovik, Alaska , idearon los numerales de base 20 de Kaktovik para representar mejor su lengua. Antes de que esta invención condujera a un resurgimiento, los numerales inuit habían estado en desuso. ^[5] Los numerales de Kaktovik son:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19

• El dzongkha , el idioma nacional de Bután , tiene un sistema vigesimal completo, con números para las potencias de 20, 400, 8.000 y 160.000.
• El atong , una lengua hablada en las colinas del sur de Garo, en el estado de Meghalaya, en el noreste de la India, y en áreas adyacentes en Bangladesh, tiene un sistema vigesimal completo que hoy en día se considera arcaico. ^[6]
• En santali , una lengua munda de la India , "cincuenta" se expresa con la frase bār isī gäl , literalmente "dos veinte diez". ^[7] Del mismo modo, en didei , otra lengua munda hablada en la India, los números complejos son decimales hasta 19 y decimales-vigesimales hasta 399. ^[8]
• El sistema numérico de Burushaski es de base 20. Por ejemplo, 20 altar, 40 alto-altar (2 veces 20), 60 iski-altar (3 veces 20), etc.
• En Asia oriental , la lengua ainu también utiliza un sistema de conteo que se basa en el número 20. " hotnep " es 20, " wanpe etu hotnep " (diez más hasta dos veintes) es 30 , " tu hotnep " (dos veintes) es 40, " ashikne hotnep " (cinco veintes) es 100. La resta también se utiliza mucho, por ejemplo, " shinepesanpe " (uno más hasta diez) es 9. ^{[ cita requerida ]}
• El idioma chukchi tiene un sistema de numeración vigesimal. ^[9]

Hay cierta evidencia del uso de la base 20 en el idioma maorí de Nueva Zelanda, como se ve en los términos Te Hokowhitu a Tu, que hace referencia a un grupo de guerra (literalmente, "los siete 20 de Tu") y Tama-hokotahi , que hace referencia a un gran guerrero ("el hombre igual a 20").

• Veinte ( otsi , ოცი ) se utiliza como número base en georgiano para los números del 30 al 99. Por ejemplo, 31 ( otsdatertmeti , ოცდათერთმეტი ) significa literalmente veintiuno . 67 ( samotsdashvidi , სამოცდაშვიდი ) se dice como "tres-veintisiete".
• Veinte ( tq'a, ткъа, ტყა ) se utiliza como número base en las lenguas nakh ( checheno , ingusetio y batsbi ).

• Veinte ( vingt ) se utiliza como número base en los nombres franceses de los números del 70 al 99, excepto en el francés de Bélgica , Suiza , la República Democrática del Congo , Ruanda , el Valle de Aosta y las Islas del Canal . Por ejemplo, quatre-vingts , la palabra francesa para " 80 ", significa literalmente "cuatro veinte"; soixante-dix , la palabra para " 70 ", es literalmente "sesenta y diez"; soixante-quinze (" 75 ") es literalmente "sesenta y quince"; quatre-vingt-sept (" 87 ") es literalmente "cuatro veinte y siete"; quatre-vingt-dix (" 90 ") es literalmente "cuatro veinte y diez"; y quatre-vingt-seize (" 96 ") es literalmente "cuatro veinte y dieciséis". Sin embargo, en los franceses de Bélgica, Suiza, la República Democrática del Congo, Ruanda, el Valle de Aosta y las Islas del Canal, los números 70 y 90 generalmente tienen los nombres septante y nonante . Por lo tanto, el año 1996 es mille neuf cent quatre-vingt-seize en francés parisino, pero es mille neuf cent nonante-six en francés belga. En Suiza, "80" puede ser quatre-vingts (Ginebra, Neuchâtel, Jura) o huitante (Vaud, Valais, Friburgo).
• Veinte ( tyve ) se utiliza como número base en los nombres daneses de las decenas del 50 al 90. Por ejemplo, tres (abreviatura de tresindstyve ) significa 3 veces 20, es decir, 60. Sin embargo, los numerales daneses no son vigesimales, ya que solo los nombres de algunas de las decenas se forman etimológicamente de manera vigesimal. A diferencia del quatre-vingt-seize francés, por ejemplo , las unidades solo van de cero a nueve entre cada decena, lo que es un rasgo definitorio de un sistema decimal. Para obtener más detalles, consulte Numerales daneses .
• Veinte ( ugent ) se utiliza como número base en los nombres bretones de los números del 40 al 49 y del 60 al 99. Por ejemplo, daou-ugent significa 2 por 20, es decir, 40 , y triwec'h ha pevar-ugent (literalmente "tres-seis y cuatro-veinte") significa 3×6 + 4×20, es decir, 98. Sin embargo, 30 es tregont y no * dek ha ugent ("diez y veinte"), y 50 es hanter-kant ("medio centenar").
• En galés, veinte ( ugain ) se utiliza como número base desde los números hasta 50 ( deg a deugain ) y desde 60 a 100 ( cant ), aunque desde la década de 1940 se ha preferido un sistema de conteo decimal. Sin embargo, el sistema vigesimal se utiliza exclusivamente para los números ordinales y todavía se requiere para decir la hora, el dinero y con pesos y medidas. Deugain significa 'dos ​​veintes', es decir, 40, trigain significa 'tres veintes', es decir, 60, etc. dau ar bymtheg a deugain significa 57 (dos en quince y cuarenta). Al igual que en bretón, 50 es hanner cant ("medio centenar"). Antes de su retirada de la circulación, papur chweugain (billete de sesenta) era el apodo del billete de diez chelines (120 peniques); debido a que 120 peniques = media libra esterlina. El término chweugain continúa utilizándose para significar 50 peniques en galés moderno y frases como pisin chweugain ('moneda de 50 peniques') tampoco son infrecuentes.
• Veinte ( fichead ) se utiliza tradicionalmente como número base en gaélico escocés , siendo deich ar fhichead o fichead 'sa deich 30 (diez sobre veinte, o veinte y diez), dà fhichead 40 (dos veinte), dà fhichead 'sa deich 50 (dos veinte y diez) / leth-cheud 50 (medio centenar), trì fichead 60 (tres veinte) y así hasta naoidh fichead 180 (nueve veinte). Hoy en día se enseña un sistema decimal en las escuelas, pero muchos hablantes, especialmente los de mayor edad, todavía utilizan el sistema vigesimal.
• Veinte ( feed ) se utiliza tradicionalmente como número base en gaélico manés , siendo jeih como feed 30 (diez y veinte), daeed 40 (dos veintes), jeih como daeed 50 (diez y dos veintes), tree feed 60 (tres veintes), etc. También existe un sistema decimal, que utiliza las siguientes decenas: jeih (diez), feed (veinte), treead (treinta), daeed (cuarenta), queigad (cincuenta), sheyad (sesenta), shiagtad (setenta), hoghtad (ochenta) y nuyad (noventa).
• En albanés , el número base es veinte ( njëzet ) . La palabra para 40 ( dyzet ) significa "dos veces 20". Los arbëreshë de Italia pueden usar trizetë para 60. Antiguamente, también se usaba katërzetë para 80. Hoy en día, los albaneses cham de Grecia usan todos los números zet . Básicamente, 20 significa 1 zet , 40 significa 2 zet , 60 significa 3 zet y 80 significa 4 zet . El albanés es el único idioma de los Balcanes que ha conservado elementos del sistema de numeración vigesimal junto con el sistema decimal. La existencia de los dos sistemas en albanés refleja la contribución de los pueblos preindoeuropeos de los Balcanes a la formación de las tribus indoeuropeas paleobalcánicas y su lengua. ^[10]
• En euskera, veinte ( hogei ) se utiliza como número base para los números hasta 100 ( ehun ). Las palabras para 40 ( berrogei ), 60 ( hirurogei ) y 80 ( laurogei ) significan "dos veintenas", "tres veintenas" y "cuatro veintenas", respectivamente. Por ejemplo, el número 75 se llama hirurogeita hamabost , literalmente "tres veintenas y diez y cinco". El nacionalista vasco Sabino Arana propuso un sistema de dígitos vigesimales para que coincidiera con el lenguaje hablado, ^[11] y, como alternativa, una reforma del lenguaje hablado para convertirlo en decimal, ^[12] pero ambos se han olvidado en gran medida. ^[13]
• Veinte ( dwisti o dwujsti ) se utiliza como número base en el dialecto resiano trïkrat dwisti (3×20), 70 por trïkrat dwisti nu dësat (3×20 + 10), 80 por štirikrat dwisti (4×20) y 90 por štirikrat dwisti nu dësat (4×20 + 10). ^{[14] [15]}
• En el sistema monetario £sd (utilizado en el Reino Unido antes de 1971), había 20 chelines (que valían 12 peniques cada uno) por libra . Con el sistema decimal introducido en 1971 (1 libra equivale a 100 nuevos peniques en lugar de 240 peniques en el sistema antiguo), las monedas de chelines que todavía estaban en circulación se revaluaron a 5 peniques (no se acuñaron más y la moneda de chelines se desmonetizó en 1990).
• En el sistema de peso imperial hay veinte quintales en una tonelada .
• En inglés , el nombre del número cardinal 20 se expresa más comúnmente con la palabra "twenty". El conteo por veintenas se ha utilizado históricamente; por ejemplo, la famosa apertura del Discurso de Gettysburg , "Hace cuatro veintenas y siete años...", se refiere a la firma de la Declaración de Independencia en 1776, 87 años antes. En la Biblia King James , el término "score" se utiliza más de 130 veces, aunque una sola "score" siempre se expresa como "twenty". " Score " todavía se utiliza ocasionalmente para denotar grupos de 20 de manera análoga al uso de "docena" para cuantificar grupos de 12.
• Otros idiomas tienen términos similares a score , como el danés y el noruego snes .
• En las regiones donde no han sobrevivido en dialectos modernos aspectos importantes de las lenguas celtas britónicas , se recuerdan hasta nuestros días sistemas de enumeración de ovejas que son vigesimales. Véase Yan Tan Tethera .

Open Location Code utiliza una versión segura de la base 20 para sus geocodificaciones . Los caracteres de este alfabeto se eligieron para evitar la formación accidental de palabras. Los desarrolladores evaluaron todos los conjuntos posibles de 20 letras en 30 idiomas diferentes para determinar la probabilidad de formar palabras y eligieron un conjunto que formara la menor cantidad posible de palabras reconocibles. ^[16] El alfabeto también tiene como objetivo reducir los errores tipográficos al evitar dígitos visualmente similares y no distingue entre mayúsculas y minúsculas.

• Entre los múltiplos de 10 , el 20 se describe de una manera especial en algunos idiomas. Por ejemplo, las palabras españolas treinta ( 30 ) y cuarenta (40) consisten en " tre(3)+inta (10 veces)", " cuar(4)+enta (10 veces)", pero la palabra veinte ( 20 ) no está conectada actualmente con ninguna palabra que signifique "dos" (aunque históricamente lo está ^[17] ). De manera similar, en idiomas semíticos como el árabe y el hebreo, los números 30, 40 ... 90 se expresan mediante formas morfológicamente plurales de las palabras para los números 3, 4 ... 9, pero el número 20 se expresa mediante una forma morfológicamente plural de la palabra para 10. El idioma japonés tiene una palabra especial (hatachi) para 20 años (de edad), y para el día 20 del mes (hatsuka).
• En algunos idiomas (por ejemplo, inglés, lenguas eslavas y alemán), los nombres de los números de dos dígitos del 11 al 19 constan de una palabra, pero los nombres de los números de dos dígitos a partir del 21 constan de dos palabras. Así, por ejemplo, las palabras inglesas once ( 11 ), doce ( 12 ), trece ( 13 ), etc., en contraposición a veintiuno ( 21 ), veintidós ( 22 ), veintitrés ( 23 ), etc. En francés, esto es cierto hasta el 16. En varios otros idiomas (como el hebreo ), los nombres de los números del 11 al 19 contienen dos palabras, pero una de estas palabras es una forma especial "teen", que es diferente de la forma ordinaria de la palabra para el número 10, y de hecho puede encontrarse solo en estos nombres de los números 11–19.
• El cantonés ^[18] y el chino Wu utilizan con frecuencia la unidad única廿(cantonés yàh , shanghainés nyae o ne , mandarín niàn ) para veinte, además del decimal二十(cantonés yìh sàhp , shanghainés el sah , mandarín èr shí ) que significa literalmente "dos decenas". Existen equivalentes para 30 y 40 (卅y卌respectivamente: mandarín sà y xì ), pero estos se utilizan con menos frecuencia. Este es un remanente histórico de un sistema vigesimal. ^{[ cita requerida ]}
• Aunque los numerales jemeres han representado un sistema de notación posicional decimal desde al menos el siglo VII, el jemer antiguo , o jemer angkoriano, también poseía símbolos separados para los números 10, 20 y 100. Cada múltiplo de 20 o 100 requeriría un trazo adicional sobre el carácter, por lo que el número 47 se construyó utilizando el símbolo 20 con un trazo superior adicional, seguido del símbolo del número 7. Esto sugiere que el jemer angkoriano hablado usaba un sistema vigesimal.
• El tailandés utiliza el término ยี่สิบ ( yi sip ) para 20. Otros múltiplos de diez consisten en el número base, seguido de la palabra para diez, p. ej. สามสิบ ( sam sip ), lit. tres diez, para treinta. El yi de yi sip es diferente del número dos en otras posiciones, que es สอง ( song ). Sin embargo, yi sip es una palabra prestada del chino.
• De manera similar, el lao forma múltiplos de diez colocando el número base delante de la palabra diez, por lo que ສາມສິບ ( sam sip ), litt. tres diez, en lugar de treinta. La excepción es veinte, para el que se utiliza la palabra ຊາວ ( xao ). ( ซาว sao también se utiliza en los dialectos del noreste y norte del tailandés, pero no en el tailandés estándar).
• El sistema de numeración Kharosthi se comporta como un sistema vigesimal parcial.

Potencias de veinte en maya yucateco y náhuatl
Número	Inglés	maya	Náhuatl (ortografía moderna)	Náhuatl clásico	Raíz náhuatl	Pictograma azteca
1	Uno	huno	Sí	Este	Este
20	Veinte	K'áal	Sempouali	Cempohualli (Cempoalli)	Pohualli
400	Cuatrocientos	Bak	Sentsontli	Centzontli	Tzontli
8.000	Ocho mil	Foto	Senxikipili	Cenxiquipilli	Xiquipilli
160.000	Ciento sesenta mil	Calabaza	Sempoualxikipili	Cempohualxiquipilli	Pohualxiquipilli
3.200.000	Tres millones doscientos mil	Kinchil	Sentsonxikipili	Centzonxiquipilli	Tzonxiquipilli
64.000.000	Sesenta y cuatro millones	Alaú	Sempoualtzonxikipili	Cempohualtzonxiquipilli	Pohualtzonxiquipilli

Esta tabla muestra los numerales mayas y los nombres de los números en maya yucateco , náhuatl en ortografía moderna y en náhuatl clásico .

Del uno al diez (1 – 10)
1  (uno)	2  (dos)	3  (tres)	4  (cuatro)	5  (cinco)	6  (seis)	7  (siete)	8  (ocho)	9  (nueve)	10  (diez)
huno	Kaah	Óbuey	Puede	Hola	Despertar	Reino Unido	Cera	Bolon	Lahun
Sí	Ome	Yeyi	Naufragio	makuili	Chikuasen	Chikome	Chikueyi	Chiknaui	Majtlaktli
Este	Ome	Sí	Nahuí	Macuilli	Chicuace	Chicome	Chicuei	Chicnahui	Matlactli
De once a veinte (11 – 20)
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Buluk	Lahka'a	Óox lahun	Puede sonar	Hola, lahun	Wak lahun	Reino Unido lahun	Lahun de cera	Bolon lahun	Hun k'áal
Onse Majtlaktli	Majtlaktli omome	Majtlaktli omeyi	Majtlaktli onnaui	Kaxtoli	Onse de Kaxtoli	Kaxtoli omome	Kaxtoli omeyi	Kaxtoli onnaui	Sempouali
Matlactli huan ce	Matlactli huan ome	Matlactli huan yei	Matlactli huan nahui	Caxtolli	Caxtolli huan ce	Caxtolli huan ome	Caxtolli huan yei	Caxtolli huan nahui	Cempohualli
De veintiuno a treinta (21 – 30)
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Hump'éel katak hun k'áal	¿Cómo se llama el hombre que se pone nervioso?	Óox katak hun k'áal	¿Cómo puedo saber si alguien me puede ayudar?	Lo siento, pero no puedo	¿Cómo puedo saberlo?	Reino Unido katak hun k'áal	Waxak katak hun k'áal	Bolon katak hun k'áal	Lahun katak hun k'áal
Onse Sempouali	Sempouali omome	Sempouali omeyi	Sempouali onnaui	Sempouali ommakuili	Sempouali onchikuasen	Sempouali onchikome	Sempouali onchikueyi	Sempouali onchiknaui	Sempouali ommajtlaktli
Cempohualli huan ce	Cempohualli huan ome	Cempohualli huan yei	Cempohualli huan nahui	Cempohualli huan macuilli	Cempohualli huan chicuace	Cempohualli huan chicome	Cempohualli huan chicuei	Cempohualli huan chicnahui	Cempohualli huan matlactli
De treinta y uno a cuarenta (31 – 40)
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
El buluk katak tiene un aspecto muy atractivo	Lahka'a katak hun k'áal	Óox lahun katak hun k'áal	¿Puedes decirme qué es esto?	Lo siento, pero no puedo creerlo	¿Cómo puedo saber si alguien me está mirando?	Reino Unido lahun katak hun k'áal	Waxak lahun katak hun k'áal	Bolon lahun katak hun k'áal	Ka' k'áal
Sempouali ommajtlaktli onse	Sempouali ommajtlaktli omome	Sempouali ommajtlaktli omeyi	Sempouali ommajtlaktli onnaui	Sempouali onkaxtoli	Onse Sempouali Onkaxtoli	Sempouali onkaxtoli omome	Sempouali onkaxtoli omeyi	Sempouali onkaxtoli onnaui	Ompouali
Cempohualli huan matlactli huan ce	Cempohualli huan matlactli huan ome	Cempohualli huan matlactli huan yei	Cempohualli huan matlactli huan nahui	Cempohualli huan caxtolli	Cempohualli huan caxtolli huan ce	Cempohualli huan caxtolli huan ome	Cempohualli huan caxtolli huan yei	Cempohualli huan caxtolli huan nahui	Ompohualli
De veinte a doscientos en pasos de veinte (20 – 200)
20	40	60	80	100	120	140	160	180	200
Hun k'áal	Ka' k'áal	Óox k'áal	Kan k'áal	Hola káal	Wak k'áal	Reino Unido k'áal	Waxak k'áal	Bolon k'áal	Lahun k'áal
Sempouali	Ompouali	Yepouali	Naupouali	Makuilpouali	Chikuasempouali	Chikompouali	Chikuepouali	Chiknaupouali	Majtlakpouali
Cempohualli	Ompohualli	Yeipohualli	Nauhpohualli	Macuilpohualli	Chicuacepohualli	Chicomepohualli	Chicueipohualli	Chicnahuipohualli	Matlacpohualli
De doscientos veinte a cuatrocientos en pasos de veinte (220 – 400)
220	240	260	280	300	320	340	360	380	400
Buluk k'áal	Lahka'a k'áal	Óox lahun k'áal	¿Cómo puedo saberlo?	Hola, la verdad es que sí	Wak lahun k'áal	Reino Unido lahun k'áal	Waxak lahun k'áal	Bolon lahun k'áal	Hun bak
Majtlaktli onse pouali	Majtlaktli omome pouali	Majtlaktli omeyi pouali	El hombre que hizo esto	Kaxtolpouali	Kaxtolli onse pouali	Kaxtolli omome pouali	Kaxtolli omeyi pouali	Kaxtolli onnaui pouali	Sentsontli
Matlactli huan ce pohualli	Matlactli huan ome pohualli	Matlactli huan yei pohualli	Matlactli huan nahui pohualli	Caxtolpohualli	Caxtolli huan ce pohualli	Caxtolli huan ome pohualli	Caxtolli huan yei pohualli	Caxtolli huan nahui pohualli	Centzontli

• Chrisomalis, Stephen (18 de enero de 2010). Notación numérica: una historia comparada. Cambridge University Press . Págs. 135-136. ISBN. 978-0-521-87818-0.

• Karl Menninger : Palabras y símbolos numéricos: una historia cultural de los números ; traducido por Paul Broneer de la edición alemana revisada. Cambridge, Mass.: MIT Press, 1969 (también disponible en edición de bolsillo: Nueva York: Dover, 1992 ISBN 0-486-27096-3 ) 
• Levi Leonard Conant: El concepto de número: su origen y desarrollo ; Nueva York, Nueva York: Macmillan & Co, 1931. Proyecto Gutenberg EBook

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