Grupo abeliano

En matemáticas , un grupo abeliano , también llamado grupo conmutativo , es un grupo en el que el resultado de aplicar la operación de grupo a dos elementos del grupo no depende del orden en el que se escriben. Es decir, la operación de grupo es conmutativa . Con la adición como operación, los números enteros y los números reales forman grupos abelianos, y el concepto de grupo abeliano puede verse como una generalización de estos ejemplos. Los grupos abelianos reciben su nombre de Niels Henrik Abel . ^[1]

El concepto de grupo abeliano subyace a muchas estructuras algebraicas fundamentales , como campos , anillos , espacios vectoriales y álgebras . La teoría de los grupos abelianos es generalmente más simple que la de sus contrapartes no abelianas , y los grupos abelianos finitos se comprenden muy bien y están completamente clasificados.

Estructura algebraica → Teoría de grupos Teoría de grupos
Nociones básicas Subgrupo Subgrupo normal Acción grupal Grupo de cocientes Producto (semi) directo Suma directa Producto gratuito Producto de corona Homomorfismos de grupo núcleo imagen simple finito infinito continuo multiplicativo aditivo cíclico abeliano diedro nilpotente soluble Glosario de teoría de grupos Lista de temas de teoría de grupos
Grupos finitos Grupo cíclico Z n Grupo simétrico S n Grupo alterno A n Grupo diedro D n Grupo de cuaterniones Q Teorema de Cauchy Teorema de Lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall p -grupo Grupo abeliano elemental Frobenius group Schur multiplier Classification of finite simple groups cyclic alternating Lie type sporadic
Discrete groups Lattices Integers (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Free group Modular groups PSL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) SL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Arithmetic group Lattice Hyperbolic group
Topological and Lie groups Solenoid Circle General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Euclidean E(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Conformal Diffeomorphism Loop Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
v t e

Un grupo abeliano es un conjunto , junto con una operación que combina dos elementos cualesquiera y de para formar otro elemento de denotado . El símbolo es un marcador de posición general para una operación concretamente dada. Para calificar como un grupo abeliano, el conjunto y la operación, , deben satisfacer cuatro requisitos conocidos como los axiomas del grupo abeliano (algunos autores incluyen en los axiomas algunas propiedades que pertenecen a la definición de una operación: a saber, que la operación está definida para cualquier par ordenado de elementos de A , que el resultado está bien definido y que el resultado pertenece a A ):${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle a\cdot b}$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle (A,\cdot )}$

Asociatividad

Para todos , , y en , la ecuación es válida.${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$

Elemento de identidad

Existe un elemento en , tal que para todos los elementos en , la ecuación se cumple.${\displaystyle e}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$${\displaystyle e\cdot a=a\cdot e=a}$

Elemento inverso

Para cada uno en existe un elemento en tal que , donde es el elemento identidad.${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$${\displaystyle b}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a=e}$${\displaystyle e}$

Conmutatividad

Para todos , en , .${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$

Un grupo en el que la operación de grupo no es conmutativa se denomina "grupo no abeliano" o "grupo no conmutativo". ^{[2] : 11}

Hay dos convenciones de notación principales para los grupos abelianos: aditiva y multiplicativa.

Convención	Operación	Identidad	Potestades	Inverso
Suma	${\displaystyle x+y}$	0	${\displaystyle nx}$	${\displaystyle -x}$
Multiplicación	${\displaystyle x\cdot y}$o${\displaystyle xy}$	1	${\displaystyle x^{n}}$	${\displaystyle x^{-1}}$

En general, la notación multiplicativa es la notación habitual para grupos, mientras que la notación aditiva es la notación habitual para módulos y anillos . La notación aditiva también puede usarse para enfatizar que un grupo particular es abeliano, siempre que se consideren grupos abelianos y no abelianos, siendo algunas excepciones notables los cuasi-anillos y los grupos parcialmente ordenados , donde una operación se escribe de forma aditiva incluso cuando no es abeliana. ^{[3] : 28–29  [4] : 9–14}

Para verificar que un grupo finito es abeliano, se puede construir una tabla (matriz), conocida como tabla de Cayley , de manera similar a una tabla de multiplicación . ^{[5] : 10} Si el grupo está bajo la operación , la -ésima entrada de esta tabla contiene el producto .${\displaystyle G=\{g_{1}=e,g_{2},\dots ,g_{n}\}}$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}}$

El grupo es abeliano si y solo si esta tabla es simétrica respecto de la diagonal principal. Esto es cierto ya que el grupo es abeliano si y solo si para todos , lo cual es si y solo si la entrada de la tabla es igual a la entrada para todos , es decir, la tabla es simétrica respecto de la diagonal principal.${\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}=g_{j}\cdot g_{i}}$${\displaystyle i,j=1,...,n}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle (j,i)}$${\displaystyle i,j=1,...,n}$

• Para los números enteros y la operación suma , denotada , la operación + combina dos números enteros cualesquiera para formar un tercer número entero, la suma es asociativa, cero es la identidad aditiva , todo número entero tiene un inverso aditivo , , y la operación suma es conmutativa ya que para dos números enteros cualesquiera y .${\displaystyle +}$${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle -n}$${\displaystyle n+m=m+n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$
• Todo grupo cíclico es abeliano, porque si , están en , entonces . Por lo tanto, los números enteros , , forman un grupo abeliano bajo adición, al igual que los números enteros módulo , .${\displaystyle G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle G}$${\displaystyle xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$
• Todo anillo es un grupo abeliano con respecto a su operación de adición. En un anillo conmutativo, los elementos invertibles, o unidades , forman un grupo multiplicativo abeliano . En particular, los números reales son un grupo abeliano en la operación de adición, y los números reales distintos de cero son un grupo abeliano en la operación de multiplicación.
• Todo subgrupo de un grupo abeliano es normal , por lo que cada subgrupo da lugar a un grupo cociente . Los subgrupos, cocientes y sumas directas de grupos abelianos son nuevamente abelianos. Los grupos abelianos simples finitos son exactamente los grupos cíclicos de orden primo . ^{[6] : 32}
• Los conceptos de grupo abeliano y módulo - coinciden. Más concretamente, todo módulo - es un grupo abeliano con su operación de adición, y todo grupo abeliano es un módulo sobre el anillo de los números enteros de forma única.${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

En general, las matrices , incluso las matrices invertibles, no forman un grupo abeliano bajo la multiplicación porque la multiplicación de matrices generalmente no es conmutativa. Sin embargo, algunos grupos de matrices son grupos abelianos bajo la multiplicación de matrices; un ejemplo es el grupo de matrices de rotación .${\displaystyle 2\times 2}$

Camille Jordan nombró a los grupos abelianos en honor al matemático noruego Niels Henrik Abel , ya que Abel había descubierto que la conmutatividad del grupo de un polinomio implica que las raíces del polinomio se pueden calcular utilizando radicales . ^{[7] : 144–145  [8] : 157–158}

Si es un número natural y es un elemento de un grupo abeliano escrito de forma aditiva, entonces se puede definir como ( sumandos) y . De esta manera, se convierte en un módulo sobre el anillo de los enteros. De hecho, los módulos sobre se pueden identificar con los grupos abelianos. ^{[9] : 94–97}${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G}$${\displaystyle nx}$${\displaystyle x+x+\cdots +x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (-n)x=-(nx)}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Los teoremas sobre grupos abelianos (es decir, módulos sobre el dominio ideal principal ) a menudo se pueden generalizar a teoremas sobre módulos sobre un dominio ideal principal arbitrario. Un ejemplo típico es la clasificación de grupos abelianos finitamente generados que es una especialización del teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre un dominio ideal principal . En el caso de grupos abelianos finitamente generados, este teorema garantiza que un grupo abeliano se divide como una suma directa de un grupo de torsión y un grupo abeliano libre . El primero puede escribirse como una suma directa de un número finito de grupos de la forma para primo, y el último es una suma directa de un número finito de copias de .${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Si hay dos homomorfismos de grupo entre grupos abelianos, entonces su suma , definida por , es nuevamente un homomorfismo. (Esto no es cierto si es un grupo no abeliano). El conjunto de todos los homomorfismos de grupo desde hasta es, por lo tanto, un grupo abeliano por derecho propio.${\displaystyle f,g:G\to H}$${\displaystyle f+g}$${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\text{Hom}}(G,H)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$

De manera similar a la dimensión de los espacios vectoriales , cada grupo abeliano tiene un rango . Se define como la cardinalidad máxima de un conjunto de elementos linealmente independientes (sobre los enteros) del grupo. ^{[10] : 49–50} Los grupos abelianos finitos y los grupos de torsión tienen rango cero, y cada grupo abeliano de rango cero es un grupo de torsión. Los números enteros y racionales tienen rango uno, así como cada subgrupo aditivo distinto de cero de los racionales. Por otro lado, el grupo multiplicativo de los racionales distintos de cero tiene un rango infinito, ya que es un grupo abeliano libre con el conjunto de los números primos como base (esto resulta del teorema fundamental de la aritmética ).

El centro de un grupo es el conjunto de elementos que conmutan con cada elemento de . Un grupo es abeliano si y solo si es igual a su centro . El centro de un grupo es siempre un subgrupo abeliano característico de . Si el grupo cociente de un grupo por su centro es cíclico entonces es abeliano. ^[11]${\displaystyle Z(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle Z(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G/Z(G)}$${\displaystyle G}$

Los grupos cíclicos de números enteros módulo${\displaystyle n}$ , , estuvieron entre los primeros ejemplos de grupos. Resulta que un grupo abeliano finito arbitrario es isomorfo a una suma directa de grupos cíclicos finitos de orden de potencia primo, y estos órdenes están determinados de forma única, formando un sistema completo de invariantes. El grupo de automorfismos de un grupo abeliano finito se puede describir directamente en términos de estos invariantes. La teoría se había desarrollado por primera vez en el artículo de 1879 de Georg Frobenius y Ludwig Stickelberger y más tarde se simplificó y se generalizó a módulos finitamente generados sobre un dominio ideal principal, formando un capítulo importante del álgebra lineal .${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

Todo grupo de orden primo es isomorfo a un grupo cíclico y, por tanto, abeliano. Todo grupo cuyo orden sea el cuadrado de un número primo es también abeliano. ^[12] De hecho, para cada número primo existen (salvo isomorfismo) exactamente dos grupos de orden , a saber y .${\displaystyle p}$${\displaystyle p^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p^{2}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}}$

El teorema fundamental de los grupos abelianos finitos establece que cada grupo abeliano finito puede expresarse como la suma directa de subgrupos cíclicos de orden de potencia prima ; también se lo conoce como el teorema base para grupos abelianos finitos . Además, los grupos de automorfismos de grupos cíclicos son ejemplos de grupos abelianos. ^[13] Esto se generaliza mediante el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados , siendo los grupos finitos el caso especial cuando G tiene rango cero ; esto a su vez admite numerosas generalizaciones adicionales.${\displaystyle G}$

La clasificación fue probada por Leopold Kronecker en 1870, aunque no fue enunciada en términos de teoría de grupos moderna hasta más tarde, y fue precedida por una clasificación similar de formas cuadráticas por Carl Friedrich Gauss en 1801; ver historia para más detalles.

El grupo cíclico de orden es isomorfo a la suma directa de y si y solo si y son coprimos . De ello se deduce que cualquier grupo abeliano finito es isomorfo a una suma directa de la forma${\displaystyle \mathbb {Z} _{mn}}$${\displaystyle mn}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{u}\ \mathbb {Z} _{k_{i}}}$

de cualquiera de las siguientes formas canónicas:

• Los números son potencias de primos (no necesariamente distintos),${\displaystyle k_{1},k_{2},\dots ,k_{u}}$
• o divide , lo cual divide , y así sucesivamente hasta .${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle k_{2}}$${\displaystyle k_{3}}$${\displaystyle k_{u}}$

Por ejemplo, se puede expresar como la suma directa de dos subgrupos cíclicos de orden 3 y 5: . Lo mismo puede decirse de cualquier grupo abeliano de orden 15, lo que lleva a la notable conclusión de que todos los grupos abelianos de orden 15 son isomorfos .${\displaystyle \mathbb {Z} _{15}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{15}\cong \{0,5,10\}\oplus \{0,3,6,9,12\}}$

Para dar otro ejemplo, cada grupo abeliano de orden 8 es isomorfo a (los números enteros 0 a 7 bajo la adición módulo 8), (los números enteros impares 1 a 15 bajo la multiplicación módulo 16), o .${\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$

Véase también la lista de grupos pequeños para grupos abelianos finitos de orden 30 o menos.

Se puede aplicar el teorema fundamental para contar (y a veces determinar) los automorfismos de un grupo abeliano finito dado . Para ello, se utiliza el hecho de que si se descompone como una suma directa de subgrupos de orden coprimo , entonces${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H\oplus K}$

${\displaystyle \operatorname {Aut} (H\oplus K)\cong \operatorname {Aut} (H)\oplus \operatorname {Aut} (K).}$

Teniendo en cuenta esto, el teorema fundamental muestra que para calcular el grupo de automorfismos de es suficiente calcular por separado los grupos de automorfismos de los subgrupos de Sylow (es decir, todas las sumas directas de los subgrupos cíclicos, cada uno con orden de una potencia de ). Fijemos un primo y supongamos que los exponentes de los factores cíclicos del subgrupo de Sylow están ordenados en orden creciente:${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle e_{1}\leq e_{2}\leq \cdots \leq e_{n}}$

Para algunos , es necesario encontrar los automorfismos de${\displaystyle n>0}$

${\displaystyle \mathbf {Z} _{p^{e_{1}}}\oplus \cdots \oplus \mathbf {Z} _{p^{e_{n}}}.}$

Un caso especial es cuando , de modo que solo hay un factor de potencia primo cíclico en el subgrupo de Sylow . En este caso se puede utilizar la teoría de automorfismos de un grupo cíclico finito. Otro caso especial es cuando es arbitrario pero para . Aquí, se considera que tiene la forma${\displaystyle n=1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle P}$${\displaystyle n}$${\displaystyle e_{i}=1}$${\displaystyle 1\leq i\leq n}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}\oplus \cdots \oplus \mathbf {Z} _{p},}$

Por lo tanto, los elementos de este subgrupo pueden considerarse como un espacio vectorial de dimensión sobre el cuerpo finito de elementos . Por lo tanto, los automorfismos de este subgrupo están dados por las transformaciones lineales invertibles, por lo que${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

${\displaystyle \operatorname {Aut} (P)\cong \mathrm {GL} (n,\mathbf {F} _{p}),}$

donde es el grupo lineal general apropiado . Se demuestra fácilmente que tiene orden.${\displaystyle \mathrm {GL} }$

${\displaystyle \left|\operatorname {Aut} (P)\right|=(p^{n}-1)\cdots (p^{n}-p^{n-1}).}$

En el caso más general, donde y son arbitrarios, el grupo de automorfismos es más difícil de determinar. Sin embargo, se sabe que si se define${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle d_{k}=\max\{r\mid e_{r}=e_{k}\}}$

y

${\displaystyle c_{k}=\min\{r\mid e_{r}=e_{k}\}}$

entonces se tiene en particular , , y${\displaystyle k\leq d_{k}}$${\displaystyle c_{k}\leq k}$

${\displaystyle \left|\operatorname {Aut} (P)\right|=\prod _{k=1}^{n}(p^{d_{k}}-p^{k-1})\prod _{j=1}^{n}(p^{e_{j}})^{n-d_{j}}\prod _{i=1}^{n}(p^{e_{i}-1})^{n-c_{i}+1}.}$

Se puede comprobar que esto produce los órdenes de los ejemplos anteriores como casos especiales (véase Hillar y Rhea).

Un grupo abeliano A es finitamente generado si contiene un conjunto finito de elementos (llamados generadores ) tales que cada elemento del grupo es una combinación lineal con coeficientes enteros de elementos de G.${\displaystyle G=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$

Sea L un grupo abeliano libre con base. Existe un único homomorfismo de grupo tal que ${\displaystyle B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}.}$${\displaystyle p\colon L\to A,}$

${\displaystyle p(b_{i})=x_{i}\quad {\text{for }}i=1,\ldots ,n.}$

Este homomorfismo es sobreyectivo y su núcleo se genera finitamente (ya que los números enteros forman un anillo noetheriano ). Considérese la matriz M con entradas enteras, de modo que las entradas de su j -ésima columna son los coeficientes del j -ésimo generador del núcleo. Entonces, el grupo abeliano es isomorfo al co-núcleo de función lineal definido por M. A la inversa, toda matriz entera define un grupo abeliano generado finitamente.

De ello se deduce que el estudio de los grupos abelianos finitamente generados es totalmente equivalente al estudio de las matrices enteras. En particular, cambiar el conjunto generador de A es equivalente a multiplicar M a la izquierda por una matriz unimodular (es decir, una matriz entera invertible cuya inversa también es una matriz entera). Cambiar el conjunto generador del núcleo de M es equivalente a multiplicar M a la derecha por una matriz unimodular.

La forma normal de Smith de M es una matriz

${\displaystyle S=UMV,}$

donde U y V son unimodulares, y S es una matriz tal que todas las entradas no diagonales son cero, las entradas diagonales distintas de cero son las primeras, y es un divisor de para i > j${\displaystyle d_{1,1},\ldots ,d_{k,k}}$ . La existencia${\displaystyle d_{j,j}}$ y la forma de ${\displaystyle d_{i,i}}$la forma normal de Smith prueba que el grupo abeliano finitamente generado A es la suma directa

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{r}\oplus \mathbb {Z} /d_{1,1}\mathbb {Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} /d_{k,k}\mathbb {Z} ,}$

donde r es el número de filas cero en la parte inferior de S (y también el rango del grupo). Este es el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados .

La existencia de algoritmos para la forma normal de Smith muestra que el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados no es sólo un teorema de existencia abstracta, sino que proporciona una forma de calcular la expresión de los grupos abelianos finitamente generados como sumas directas. ^{[14] : 26–27}

El grupo abeliano infinito más simple es el grupo cíclico infinito . Cualquier grupo abeliano finitamente generado es isomorfo a la suma directa de copias de y un grupo abeliano finito, que a su vez es descomponible en una suma directa de un número finito de grupos cíclicos de órdenes de potencia primos . Aunque la descomposición no es única, el número , llamado rango de , y las potencias primos que dan los órdenes de sumandos cíclicos finitos están determinados de forma única.${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle r}$${\displaystyle A}$

Por el contrario, la clasificación de los grupos abelianos generales infinitamente generados está lejos de ser completa. Los grupos divisibles , es decir, los grupos abelianos en los que la ecuación admite una solución para cualquier número natural y elemento de , constituyen una clase importante de grupos abelianos infinitos que pueden caracterizarse completamente. Cada grupo divisible es isomorfo a una suma directa, con sumandos isomorfos a y grupos de Prüfer para varios números primos , y la cardinalidad del conjunto de sumandos de cada tipo está determinada de forma única. ^[15] Además, si un grupo divisible es un subgrupo de un grupo abeliano entonces admite un complemento directo: un subgrupo de tal que . Por lo tanto, los grupos divisibles son módulos inyectivos en la categoría de grupos abelianos y, a la inversa, cada grupo abeliano inyectivo es divisible ( criterio de Baer ). Un grupo abeliano sin subgrupos divisibles distintos de cero se llama reducido .${\displaystyle A}$${\displaystyle nx=a}$${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}/Z_{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle A}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G=A\oplus C}$

Dos clases especiales importantes de grupos abelianos infinitos con propiedades diametralmente opuestas son los grupos de torsión y los grupos libres de torsión , ejemplificados por los grupos (periódico) y (libre de torsión).${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Un grupo abeliano se llama periódico o de torsión , si cada elemento tiene orden finito . Una suma directa de grupos cíclicos finitos es periódica. Aunque la afirmación inversa no es cierta en general, se conocen algunos casos especiales. El primer y segundo teorema de Prüfer establecen que si es un grupo periódico, y tiene un exponente acotado , es decir, para algún número natural , o es contable y las -alturas de los elementos de son finitas para cada , entonces es isomorfo a una suma directa de grupos cíclicos finitos. ^[16] La cardinalidad del conjunto de sumandos directos isomorfos a en tal descomposición es un invariante de . ^{[17] : 6} Estos teoremas fueron posteriormente subsumidos en el criterio de Kulikov . En una dirección diferente, Helmut Ulm encontró una extensión del segundo teorema de Prüfer a grupos abelianos contables con elementos de altura infinita: esos grupos se clasifican completamente por medio de sus invariantes de Ulm . ^{[18] : 317}${\displaystyle A}$${\displaystyle nA=0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle A}$${\displaystyle p}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle p}$

Un grupo abeliano se denomina libre de torsión si cada elemento distinto de cero tiene un orden infinito. Se han estudiado en profundidad varias clases de grupos abelianos libres de torsión :

• Grupos abelianos libres , es decir, sumas directas arbitrarias de${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Cotorsión y grupos algebraicamente compactos libres de torsión como los enteros -ádicos${\displaystyle p}$
• Grupos delgados ^{[19] : 259–274}

Un grupo abeliano que no es periódico ni libre de torsión se llama mixto . Si es un grupo abeliano y es su subgrupo de torsión , entonces el grupo factorial es libre de torsión. Sin embargo, en general el subgrupo de torsión no es un sumando directo de , por lo que no es isomorfo a . Por lo tanto, la teoría de grupos mixtos implica más que simplemente combinar los resultados sobre grupos periódicos y libres de torsión. El grupo aditivo de números enteros es libre de torsión -módulo. ^{[20] : 206}${\displaystyle A}$${\displaystyle T(A)}$${\displaystyle A/T(A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle T(A)\oplus A/T(A)}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Uno de los invariantes más básicos de un grupo abeliano infinito es su rango : la cardinalidad del subconjunto linealmente independiente máximo de . Los grupos abelianos de rango 0 son precisamente los grupos periódicos, mientras que los grupos abelianos libres de torsión de rango 1 son necesariamente subgrupos de y pueden describirse completamente. De manera más general, un grupo abeliano libre de torsión de rango finito es un subgrupo de . Por otro lado, el grupo de enteros -ádicos es un grupo abeliano libre de torsión de rango infinito y los grupos con diferentes no son isomorfos, por lo que este invariante ni siquiera captura completamente las propiedades de algunos grupos familiares.${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{r}}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{n}}$${\displaystyle n}$

Los teoremas de clasificación para grupos abelianos finitamente generados, divisibles, numerables periódicos y libres de torsión de rango 1 explicados anteriormente se obtuvieron todos antes de 1950 y forman una base para la clasificación de grupos abelianos infinitos más generales. Las herramientas técnicas importantes utilizadas en la clasificación de grupos abelianos infinitos son los subgrupos puros y básicos . La introducción de varios invariantes de grupos abelianos libres de torsión ha sido una vía de mayor progreso. Véanse los libros de Irving Kaplansky , László Fuchs , Phillip Griffith y David Arnold , así como las actas de las conferencias sobre teoría de grupos abelianos publicadas en Lecture Notes in Mathematics para obtener hallazgos más recientes.

El grupo aditivo de un anillo es un grupo abeliano, pero no todos los grupos abelianos son grupos aditivos de anillos (con multiplicación no trivial). Algunos temas importantes en esta área de estudio son:

• Producto tensorial
• Resultados de ALS Corner sobre grupos contables libres de torsión
• El trabajo de Shelah para eliminar las restricciones de cardinalidad
• Anillo de Burnside

Muchos grupos abelianos grandes poseen una topología natural , lo que los convierte en grupos topológicos .

El conjunto de todos los grupos abelianos, junto con los homomorfismos entre ellos, forma la categoría , el prototipo de una categoría abeliana .${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$

Wanda Szmielew  (1955) demostró que la teoría de primer orden de los grupos abelianos, a diferencia de su contraparte no abeliana, es decidible. La mayoría de las estructuras algebraicas distintas de las álgebras de Boole son indecidibles .

Aún quedan muchas áreas de investigación en curso:

• Entre los grupos abelianos libres de torsión de rango finito, sólo el caso finitamente generado y el caso de rango 1 se entienden bien;
• Hay muchos problemas sin resolver en la teoría de grupos abelianos libres de torsión de rango infinito;
• Si bien los grupos abelianos de torsión contables se entienden bien a través de presentaciones simples e invariantes de Ulm, el caso de los grupos mixtos contables es mucho menos maduro.
• Se sabe que muchas extensiones suaves de la teoría de primer orden de grupos abelianos son indecidibles.
• Los grupos abelianos finitos siguen siendo un tema de investigación en la teoría de grupos computacionales .

Además, los grupos abelianos de orden infinito conducen, sorprendentemente, a preguntas profundas sobre la teoría de conjuntos que se supone que subyace a todas las matemáticas. Tomemos el problema de Whitehead : ¿son todos los grupos de Whitehead de orden infinito también grupos abelianos libres ? En la década de 1970, Saharon Shelah demostró que el problema de Whitehead es:

• Indecidible en ZFC ( axiomas de Zermelo-Fraenkel ), la teoría de conjuntos axiomáticos convencional de la que se puede derivar casi toda la matemática actual. El problema de Whitehead es también la primera cuestión de las matemáticas ordinarias que se demostró indecidible en ZFC;
• Indecidible incluso si se amplía ZFC tomando la hipótesis del continuo generalizado como axioma;
• Se responde afirmativamente si ZFC se amplía con el axioma de constructibilidad (ver afirmaciones verdaderas en L ).

Entre los adjetivos matemáticos derivados del nombre propio de un matemático , la palabra "abeliano" es rara, ya que a menudo se escribe con a minúscula , en lugar de A mayúscula ; la falta de mayúscula es un reconocimiento tácito no solo del grado en que el nombre de Abel ha sido institucionalizado, sino también de cuán omnipresentes en las matemáticas modernas son los conceptos introducidos por él. ^[21]

• Subgrupo conmutador  : Subgrupo normal más pequeño por el cual el cociente es conmutativo.
• Abelianización  : cociente de un grupo por su subgrupo conmutador
• Grupo diedro de orden 6  – Grupo no conmutativo con 6 elementos, el grupo no abeliano más pequeño
• Grupo abeliano elemental  – Grupo conmutativo en el que todos los elementos distintos de cero tienen el mismo orden
• Grupo de Grothendieck  : grupo abeliano que extiende un monoide conmutativo
• Dualidad de Pontryagin  – Dualidad para grupos abelianos localmente compactos

• Cox, David (2004). Teoría de Galois. Wiley-Interscience . ISBN 9781118031339.Señor 2119052  .
• Fuchs, László (1970). Grupos abelianos infinitos . Matemáticas puras y aplicadas. Vol. 36-I. Academic Press . MR  0255673.
• Fuchs, László (1973). Grupos abelianos infinitos . Matemáticas puras y aplicadas. Vol. 36-II. Academic Press . MR  0349869.
• Griffith, Phillip A. (1970). Teoría de grupos abelianos infinitos . Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press . ISBN 0-226-30870-7.
• Herstein, IN (1975). Temas de álgebra (2.ª ed.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-02371-X.
• Hillar, Christopher; Rhea, Darren (2007). "Automorfismos de grupos abelianos finitos" (PDF) . American Mathematical Monthly . 114 (10): 917–923. arXiv : math/0605185 . Bibcode :2006math......5185H. doi :10.1080/00029890.2007.11920485. JSTOR  27642365. S2CID  1038507.
• Jacobson, Nathan (2009). Álgebra básica I (2.ª ed.). Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-47189-1.
• Rose, John S. (2012). Un curso sobre teoría de grupos. Dover Publications. ISBN 978-0-486-68194-8.Republicación íntegra y sin modificaciones de una obra publicada por primera vez por Cambridge University Press, Cambridge, Inglaterra, en 1978.
• Szmielew, Wanda (1955). "Propiedades elementales de los grupos abelianos" (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 41 (2): 203–271. doi : 10.4064/fm-41-2-203-271 . MR  0072131. Zbl  0248.02049.
• Robinson, Abraham ; Zakon, Elias (1960). "Propiedades elementales de grupos abelianos ordenados" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 96 (2): 222–236. doi : 10.2307/1993461 . JSTOR  1993461. Archivado (PDF) desde el original el 2022-10-09.

• "Grupo abeliano". Enciclopedia de Matemáticas . EMS Press . 2001 [1994].