Altura (grupo abeliano)

En matemáticas , la altura de un elemento g de un grupo abeliano A es un invariante que captura sus propiedades de divisibilidad: es el mayor número natural N tal que la ecuación Nx  =  g tiene una solución x ∈ A , o el símbolo ∞ si no existe tal N. La p -altura considera solo propiedades de divisibilidad por las potencias de un número primo fijo p . La noción de altura admite un refinamiento de modo que la p -altura se convierte en un número ordinal . La altura juega un papel importante en los teoremas de Prüfer y también en el teorema de Ulm , que describe la clasificación de ciertos grupos abelianos infinitos en términos de sus factores de Ulm o invariantes de Ulm .

Sea A un grupo abeliano y g un elemento de A . La p -altura de g en A , denotada h _p ( g ), es el mayor número natural n tal que la ecuación p ⁿ x  =  g tiene una solución en x ∈ A , o el símbolo ∞ si existe una solución para todo n . Por lo tanto h _p ( g ) = n si y solo si g ∈ p ⁿ A y g  ∉  p ^{n +1} A . Esto permite refinar la noción de altura.

Para cualquier ordinal α , existe un subgrupo p ^α A de A que es la imagen de la función de multiplicación por p iterada α veces, definida mediante inducción transfinita :

• ${\displaystyle p^{0}A=A;}$
• ${\displaystyle p^{\alpha +1}A=p(p^{\alpha }A);}$
• ${\displaystyle p^{\beta }A=\bigcap _{\alpha <\beta }p^{\alpha }(A)}$si β es un ordinal límite .

Los subgrupos p ^α A forman una filtración decreciente del grupo A , y su intersección es el subgrupo de los elementos p -divisibles de A , cuyos elementos tienen asignada una altura ∞. La p -altura modificada h _p ^∗ ( g ) = α si g ∈ p ^α A , pero g ∉ p ^{α +1} A . La construcción de p ^α A es funcional en A ; en particular, los subcocientes de la filtración son invariantes de isomorfismo de A .

Sea p un número primo fijo. El (primer) subgrupo de Ulm de un grupo abeliano A , denotado U ( A ) o A ¹ , es p ^ω A = ∩ _n p ⁿ A , donde ω es el ordinal infinito más pequeño . Consiste en todos los elementos de A de altura infinita. La familia { U ^σ ( A )} de subgrupos de Ulm indexados por ordinales σ se define por inducción transfinita:

• ${\displaystyle U^{0}(A)=A;}$
• ${\displaystyle U^{\sigma+1}(A)=U(U^{\sigma }(A));}$
• ${\displaystyle U^{\tau}(A)=\bigcap _{\sigma <\tau}U^{\sigma}(A)}$si τ es un ordinal límite .

Equivalentemente, U ^σ ( A ) = p ^ωσ A , donde ωσ es el producto de los ordinales ω y σ .

Los subgrupos de Ulm forman una filtración decreciente de A cuyos cocientes U _σ ( A ) = U ^σ ( A )/ U ^{σ +1} ( A ) se denominan factores de Ulm de A . Esta filtración estabiliza y el ordinal τ más pequeño tal que U ^τ ( A ) = U ^{τ +1} ( A ) es la longitud de Ulm de A . El subgrupo de Ulm más pequeño U ^τ ( A ), también denotado U ^∞ ( A ) y p ^∞ A, es el subgrupo p -divisible más grande de A ; si A es un p -grupo, entonces U ^∞ ( A ) es divisible y, como tal, es un sumando directo de A .

Para cada factor de Ulm U _σ ( A ) las p -alturas de sus elementos son finitas y no están acotadas para cada factor de Ulm excepto posiblemente el último, a saber, U _{τ −1} ( A ) cuando la longitud de Ulm τ es un ordinal sucesor .

El segundo teorema de Prüfer proporciona una extensión directa del teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados a p -grupos abelianos numerables sin elementos de altura infinita: cada uno de estos grupos es isomorfo a una suma directa de grupos cíclicos cuyos órdenes son potencias de p . Además, la cardinalidad del conjunto de sumandos de orden p ⁿ está determinada de forma única por el grupo y se realiza cada secuencia de cardinalidades como máximo numerables. Helmut Ulm (1933) encontró una extensión de esta teoría de clasificación a p -grupos numerables generales: su clase de isomorfismo está determinada por las clases de isomorfismo de los factores de Ulm y la parte p -divisible.

Teorema de Ulm . Sean A y B p - grupos abelianos contables tales que para cada ordinal σ sus factores de Ulm son isomorfos , U _σ ( A ) ≅ U _σ ( B ) y las p - partes divisibles de A y B son isomorfas , U ^∞ ( A ) ≅ U ^∞ ( B ). Entonces A y B son isomorfos.

Hay un complemento de este teorema, enunciado por primera vez por Leo Zippin (1935) y demostrado en Kurosh (1960), que aborda la existencia de un p -grupo abeliano con factores de Ulm dados.

Sea τ un ordinal y { A _σ } una familia de p - grupos abelianos numerables indexados por los ordinales σ < τ tales que las p - alturas de los elementos de cada A _σ son finitas y, excepto posiblemente el último, no están acotadas. Entonces existe un p - grupo abeliano reducido A de longitud Ulm τ cuyos factores Ulm son isomorfos a estos p - grupos , U _σ ( A ) ≅ A _σ .

La prueba original de Ulm se basó en una extensión de la teoría de divisores elementales a matrices infinitas .

George Mackey e Irving Kaplansky generalizaron el teorema de Ulm a ciertos módulos sobre un anillo de valoración discreto completo . Introdujeron invariantes de grupos abelianos que conducen a una declaración directa de la clasificación de grupos abelianos periódicos contables: dado un grupo abeliano A , un primo p y un ordinal α , el invariante de Ulm α º correspondiente es la dimensión del cociente

p ^α A [ p ]/ p ^{α +1} A [ p ],

donde B [ p ] denota la p -torsión de un grupo abeliano B , es decir, el subgrupo de elementos de orden p , visto como un espacio vectorial sobre el campo finito con p elementos.

Un grupo abeliano reducido periódico contable está determinado de forma única hasta el isomorfismo por sus invariantes de Ulm para todos los números primos p y ordinales contables α .

Su prueba simplificada del teorema de Ulm sirvió como modelo para muchas generalizaciones posteriores a otras clases de grupos y módulos abelianos.

• László Fuchs (1970), Grupos abelianos infinitos, vol. I. Matemáticas puras y aplicadas, vol. 36. Nueva York-Londres: Academic Press MR 0255673
• Irving Kaplansky y George Mackey , Una generalización del teorema de Ulm . Summa Brasil. Math. 2, (1951), 195–202 MR 0049165
• Kurosh, AG (1960), La teoría de grupos , Nueva York: Chelsea, MR  0109842
• Ulm, H (1933). "Zur Theorie der abzählbar-unendlichen Abelschen Gruppen". Matemáticas. Ana . 107 : 774–803. doi :10.1007/bf01448919. JFM  59.0143.03. S2CID  122867558.