Elemento (matemáticas)
En matemáticas , un elemento (o miembro ) de un conjunto es cualquiera de los objetos distintos que pertenecen a ese conjunto. Por ejemplo, dado un conjunto llamado A que contiene los primeros cuatro números enteros positivos ( ), se podría decir que "3 es un elemento de A ", expresado en notación como .
Conjuntos
Escribir significa que los elementos del conjunto A son los números 1, 2, 3 y 4. Los conjuntos de elementos de A , por ejemplo , son subconjuntos de A .
Los conjuntos pueden ser elementos en sí mismos. Por ejemplo, considere el conjunto . Los elementos de B no son 1, 2, 3 y 4. Más bien, hay solo tres elementos de B , a saber, los números 1 y 2, y el conjunto .
Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa. Por ejemplo, es el conjunto cuyos elementos son los colores rojo , verde y azul .
En términos lógicos, ( x ∈ y ) ↔ (∀ x [P x = y ] : x ∈ 𝔇 y ) . [ aclaración necesaria ]
Notación y terminología
La relación "es un elemento de", también llamada pertenencia al conjunto , se denota con el símbolo "∈".
significa que " x es un elemento de A ". [1] Las expresiones equivalentes son " x es un miembro de A ", " x pertenece a A ", " x está en A " y " x se encuentra en A ". Las expresiones " A incluye a x " y " A contiene a x " también se utilizan para indicar la pertenencia a un conjunto, aunque algunos autores las utilizan para indicar en cambio " x es un subconjunto de A ". [2] El lógico George Boolos instó encarecidamente a que "contiene" se utilice solo para la pertenencia, e "incluye" solo para la relación de subconjunto. [3]
Para la relación ∈ , la relación inversa ∈ T puede escribirse
que significa " A contiene o incluye x ".
La negación de la pertenencia a un conjunto se denota con el símbolo "∉".
significa que " x no es un elemento de A ".
El símbolo ∈ fue utilizado por primera vez por Giuseppe Peano, en su obra de 1889 Arithmetices principia, nova methodo exposita . [4] Aquí escribió en la página X:
Signum ∈ significat est. Ita a ∈ b legitur a est quoddam b; …
lo que significa
El símbolo ∈ significa . Por lo tanto, a ∈ b se lee como a es un cierto b; …
El símbolo en sí es una letra griega minúscula estilizada épsilon ("ϵ"), la primera letra de la palabra ἐστί , que significa "es". [4]
| Avance | ∈ | ∉ | ∋ | ∌ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre Unicode | ELEMENTO DE | NO ES UN ELEMENTO DE | CONTIENE COMO MIEMBRO | NO CONTIENE COMO MIEMBRO | ||||
| Codificaciones | decimal | maleficio | dic | maleficio | dic | maleficio | dic | maleficio |
| Unicode | 8712 | U+2208 | 8713 | U+2209 | 8715 | U+220B | 8716 | U+220C |
| UTF-8 | 226 136 136 | E2 88 88 | 226 136 137 | E28889 | 226 136 139 | E2888B | 226 136 140 | E2888C |
| Referencia de caracteres numéricos | - | - | - | - | - | " | - | " |
| Referencia de personaje nombrado | &Elemento;, ∈, ∈, ∈ | ∉, ∉, ∉ | ∋, ∋, ∋, ∋ | ∌, ∌, ∌ | ||||
| Látex | \en | \no en | \ni | \no\ni o \notni | ||||
| Wolfram Mathematica | \[Elemento] | \[NoElemento] | \[Elemento inverso] | \[Elemento no inverso] | ||||
Ejemplos
Utilizando los conjuntos definidos anteriormente, es decir A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, {3, 4}} y C = {rojo, verde, azul}, las siguientes afirmaciones son verdaderas:
- 2 ∈ A
- 5 ∉ A
- {3, 4} ∈ B
- 3 ∉ B
- 4 ∉ B
- amarillo ∉ C
Cardinalidad de conjuntos
El número de elementos de un conjunto particular es una propiedad conocida como cardinalidad ; informalmente, este es el tamaño de un conjunto. [5] En los ejemplos anteriores, la cardinalidad del conjunto A es 4, mientras que la cardinalidad del conjunto B y el conjunto C son ambos 3. Un conjunto infinito es un conjunto con un número infinito de elementos, mientras que un conjunto finito es un conjunto con un número finito de elementos. Los ejemplos anteriores son ejemplos de conjuntos finitos. Un ejemplo de un conjunto infinito es el conjunto de números enteros positivos {1, 2, 3, 4, ...} .
Relación formal
Como relación , la pertenencia a un conjunto debe tener un dominio y un rango. Convencionalmente, el dominio se denomina universo y se denota por U. El rango es el conjunto de subconjuntos de U, llamado conjunto potencia de U y denotado por P( U ). Por lo tanto, la relación es un subconjunto de U × P( U ) . La relación inversa es un subconjunto de P( U ) × U.
Véase también
Referencias
- ^ Weisstein, Eric W. "Elemento". mathworld.wolfram.com . Consultado el 10 de agosto de 2020 .
- ^ Eric Schechter (1997). Manual de análisis y sus fundamentos . Academic Press . ISBN. 0-12-622760-8.pág. 12
- ^ George Boolos (4 de febrero de 1992). 24.243 Teoría clásica de conjuntos (conferencia) (discurso). Instituto Tecnológico de Massachusetts .
- ^ ab Kennedy, HC (julio de 1973). "Lo que Russell aprendió de Peano". Notre Dame Journal of Formal Logic . 14 (3). Duke University Press: 367–372. doi : 10.1305/ndjfl/1093891001 . MR 0319684.
- ^ "Conjuntos - Elementos | Wiki de Brilliant Math & Science". brilliant.org . Consultado el 10 de agosto de 2020 .
Lectura adicional
- Halmos, Paul R. (1974) [1960], Teoría ingenua de conjuntos , Textos universitarios en matemáticas (edición de tapa dura), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90092-6- "Ingenuo" significa que no está completamente axiomatizado, no que sea tonto o fácil (el tratamiento de Halmos no lo es).
- Jech, Thomas (2002), "Teoría de conjuntos", Stanford Encyclopedia of Philosophy , Laboratorio de investigación en metafísica, Universidad de Stanford
- Suppes, Patrick (1972) [1960], Teoría de conjuntos axiomáticos , Nueva York: Dover Publications, Inc., ISBN 0-486-61630-4- Tanto la noción de conjunto (una colección de miembros), la pertenencia o elemento, el axioma de extensión, el axioma de separación y el axioma de unión (Suppes lo llama el axioma de suma) son necesarios para una comprensión más completa del "elemento del conjunto".
