Módulo inyectivo

En matemáticas , especialmente en el área del álgebra abstracta conocida como teoría de módulos , un módulo inyectivo es un módulo Q que comparte ciertas propiedades deseables con el Z -módulo Q de todos los números racionales . Específicamente, si Q es un submódulo de algún otro módulo, entonces ya es un sumando directo de ese módulo; también, dado un submódulo de un módulo Y , cualquier homomorfismo de módulo de este submódulo a Q puede extenderse a un homomorfismo de todo Y a Q. Este concepto es dual al de módulos proyectivos . Los módulos inyectivos fueron introducidos en (Baer 1940) y se discuten con cierto detalle en el libro de texto (Lam 1999, §3).

Los módulos inyectivos han sido ampliamente estudiados y se definen diversas nociones adicionales en función de ellos: Los cogeneradores inyectivos son módulos inyectivos que representan fielmente toda la categoría de módulos. Las resoluciones inyectivas miden qué tan lejos de inyectivo está un módulo en términos de la dimensión inyectiva y representan módulos en la categoría derivada . Las envolturas inyectivas son extensiones esenciales máximas y resultan ser extensiones inyectivas mínimas. Sobre un anillo noetheriano , cada módulo inyectivo es únicamente una suma directa de módulos indecomponibles y su estructura se entiende bien. Un módulo inyectivo sobre un anillo puede no ser inyectivo sobre otro, pero existen métodos bien entendidos para cambiar anillos que manejan casos especiales. Los anillos que son en sí mismos módulos inyectivos tienen varias propiedades interesantes e incluyen anillos como anillos de grupos finitos sobre cuerpos . Los módulos inyectivos incluyen grupos divisibles y se generalizan mediante la noción de objetos inyectivos en la teoría de categorías .

Un módulo izquierdo Q sobre el anillo R es inyectivo si satisface una (y por lo tanto todas) de las siguientes condiciones equivalentes:

• Si Q es un submódulo de algún otro R -módulo izquierdo M , entonces existe otro submódulo K de M tal que M es la suma directa interna de Q y K , es decir, Q + K = M y Q ∩ K = {0}.
• Cualquier secuencia corta exacta 0 → Q → M → K → 0 de módulos R izquierdos se divide .
• Si X e Y son R -módulos restantes , f  : X → Y es un homomorfismo de módulo inyectivo y g  : X → Q es un homomorfismo de módulo arbitrario, entonces existe un homomorfismo de módulo h  : Y → Q tal que hf = g , es decir tal que el siguiente diagrama conmuta :

• El funtor contravariante Hom(-, Q ) de la categoría de R -módulos izquierdos a la categoría de grupos abelianos es exacto .

Los módulos R inyectivos rectos se definen en completa analogía.

Trivialmente, el módulo cero {0} es inyectivo.

Dado un cuerpo k , cada espacio vectorial k Q es un módulo k inyectivo . Razón: si Q es un subespacio de V , podemos encontrar una base de Q y extenderla a una base de V . Los nuevos vectores de base de extensión abarcan un subespacio K de V y V es la suma directa interna de Q y K . Nótese que el complemento directo K de Q no está determinado de forma única por Q y, de la misma manera, la función de extensión h en la definición anterior normalmente no es única.

Los racionales Q (con adición) forman un grupo abeliano inyectivo (es decir, un módulo Z inyectivo ). El grupo factorial Q / Z y el grupo circular también son módulos Z inyectivos . El grupo factorial Z / n Z para n > 1 es inyectivo como módulo Z / n Z , pero no inyectivo como grupo abeliano.

De manera más general, para cualquier dominio integral R con cuerpo de fracciones K , el R -módulo K es un R -módulo inyectivo, y de hecho el R -módulo inyectivo más pequeño que contiene a R . Para cualquier dominio de Dedekind , el módulo cociente K / R también es inyectivo, y sus sumandos indecomponibles son las localizaciones para los ideales primos distintos de cero . El ideal cero también es primo y corresponde al inyectivo K . De esta manera, hay una correspondencia 1-1 entre ideales primos y módulos inyectivos indecomponibles.${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}/R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Una teoría particularmente rica está disponible para anillos noetherianos conmutativos debido a Eben Matlis , (Lam 1999, §3I). Cada módulo inyectivo es únicamente una suma directa de módulos inyectivos indecomponibles, y los módulos inyectivos indecomponibles se identifican únicamente como las envolturas inyectivas de los cocientes R / P donde P varía sobre el espectro primo del anillo. La envoltura inyectiva de R / P como un R -módulo es canónicamente un R _P módulo, y es la R _P -envoltura inyectiva de R / P . En otras palabras, basta con considerar anillos locales . El anillo de endomorfismo de la envoltura inyectiva de R / P es la completitud de R en P . ^[1] ${\displaystyle {\sombrero {R}}_{P}}$

Dos ejemplos son la envoltura inyectiva del Z -módulo Z / p Z (el grupo de Prüfer ), y la envoltura inyectiva del k [ x ]-módulo k (el anillo de polinomios inversos). Este último se describe fácilmente como k [ x , x ⁻¹ ]/ xk [ x ]. Este módulo tiene una base que consiste en "monomios inversos", es decir x ^{− n} para n = 0, 1, 2, …. La multiplicación por escalares es como se esperaba, y la multiplicación por x se comporta normalmente excepto que x ·1 = 0. El anillo de endomorfismos es simplemente el anillo de series de potencias formales .

Si G es un grupo finito y k un cuerpo con característica 0, entonces se demuestra en la teoría de representaciones de grupos que cualquier subrepresentación de un grupo dado ya es un sumando directo del grupo dado. Traducido al lenguaje de módulos, esto significa que todos los módulos sobre el álgebra de grupos kG son inyectivos. Si la característica de k no es cero, el siguiente ejemplo puede ser de ayuda.

Si A es un álgebra asociativa unitaria sobre el cuerpo k con dimensión finita sobre k , entonces Hom _k (−, k ) es una dualidad entre módulos A izquierdos finitamente generados y módulos A derechos finitamente generados . Por lo tanto, los módulos A izquierdos inyectivos finitamente generados son precisamente los módulos de la forma Hom _k ( P , k ) donde P es un módulo A derecho proyectivo finitamente generado . Para álgebras simétricas , la dualidad se comporta particularmente bien y los módulos proyectivos y los módulos inyectivos coinciden.

Para cualquier anillo artiniano , al igual que para los anillos conmutativos , existe una correspondencia 1-1 entre ideales primos y módulos inyectivos indecomponibles. La correspondencia en este caso es quizás incluso más simple: un ideal primo es un aniquilador de un único módulo simple, y el módulo inyectivo indecomponible correspondiente es su envoltura inyectiva . Para álgebras de dimensión finita sobre cuerpos, estas envolturas inyectivas son módulos finitamente generados (Lam 1999, §3G, §3J).

Si es un anillo noetheriano y es un ideal primo, establecido como la envoltura inyectiva. La envoltura inyectiva de sobre el anillo artiniano se puede calcular como el módulo . Es un módulo de la misma longitud que . ^[2] En particular, para el anillo graduado estándar y , es un módulo inyectivo, lo que proporciona las herramientas para calcular los módulos inyectivos indecomponibles para anillos artinianos sobre .${\estilo de visualización R}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle E=E(R/{\mathfrak {p}})}$${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}^{k}}$${\displaystyle (0:_{E}{\mathfrak {p}}^{k})}$${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}^{k}}$${\displaystyle R_{\bullet}=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]_{\bullet}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle E=\oplus _{i}{\text{Hom}}(R_{i},k)}$${\estilo de visualización k}$

Un anillo local de Artin es inyectivo sobre sí mismo si y solo si es un espacio vectorial unidimensional sobre . Esto implica que todo anillo de Gorenstein local que también es Artin es inyectivo sobre sí mismo ya que tiene un zócalo unidimensional. ^[3] Un ejemplo simple es el anillo que tiene un ideal máximo y un campo de residuos . Su zócalo es , que es bidimensional. El campo de residuos tiene la envoltura inyectiva .${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}},K)}$${\displaystyle soc(R)}$${\estilo de visualización K}$${\displaystyle R=\mathbb {C}[x,y]/(x^{2},xy,y^{2})}$${\estilo de visualización (x,y)}$${\displaystyle \mathbb {C}}$${\displaystyle \mathbb {C} \cdot x\oplus \mathbb {C} \cdot y}$${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {C} }(\mathbb {C} \cdot x\oplus \mathbb {C} \cdot y,\mathbb {C} )}$

Para un álgebra de Lie sobre un cuerpo de característica 0, la categoría de módulos tiene una descripción relativamente sencilla de sus módulos inyectivos. ^[4] Utilizando el álgebra envolvente universal, cualquier módulo inyectivo se puede construir a partir del módulo${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\estilo de visualización k}$${\displaystyle {\mathcal {M}}({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\text{Hom}}_{k}(U({\mathfrak {g}}),V)}$

para algún espacio vectorial . Nótese que este espacio vectorial tiene una estructura de módulo a partir de la inyección${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\hookrightarrow U({\mathfrak {g}})}$

De hecho, cada -módulo tiene una inyección en algún y cada -módulo inyectivo es una suma directa de algún .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\text{Hom}}_{k}(U({\mathfrak {g}}),V)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\text{Hom}}_{k}(U({\mathfrak {g}}),V)}$

Sobre un anillo noetheriano conmutativo , cada módulo inyectivo es una suma directa de módulos inyectivos indecomponibles y cada módulo inyectivo indecomponible es la envoltura inyectiva del cuerpo de residuos en un primo . Es decir, para un inyectivo , existe un isomorfismo${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle I\in {\text{Mod}}(R)}$

${\displaystyle I\cong \bigoplus _{i}E(R/{\mathfrak {p}}_{i})}$

donde son las envolturas inyectivas de los módulos . ^[5] Además, si es la envoltura inyectiva de algún módulo entonces son los primos asociados de . ^[2]${\displaystyle E(R/{\mathfrak {p}}_{i})}$${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}_{i}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$${\displaystyle M}$

Cualquier producto de módulos inyectivos (incluso infinitos) es inyectivo; a la inversa, si un producto directo de módulos es inyectivo, entonces cada módulo es inyectivo (Lam 1999, p. 61). Toda suma directa de un número finito de módulos inyectivos es inyectiva. En general, los submódulos, módulos factoriales o sumas directas infinitas de módulos inyectivos no necesitan ser inyectivos. Todo submódulo de todo módulo inyectivo es inyectivo si y solo si el anillo es semisimple artiniano (Golan y Head 1991, p. 152); todo módulo factorial de todo módulo inyectivo es inyectivo si y solo si el anillo es hereditario (Lam 1999, Th. 3.22).

El teorema de Bass-Papp establece que toda suma directa infinita de módulos inyectivos derechos (izquierdos) es inyectiva si y sólo si el anillo es noetheriano derecho (izquierdo) (Lam 1999, p. 80-81, Th 3.46). ^[6]

En el artículo original de Baer, ​​demostró un resultado útil, usualmente conocido como Criterio de Baer, ​​para verificar si un módulo es inyectivo: un R -módulo izquierdo Q es inyectivo si y solo si cualquier homomorfismo g  : I → Q definido en un ideal izquierdo I de R puede extenderse a todo R.

Usando este criterio, se puede demostrar que Q es un grupo abeliano inyectivo (es decir, un módulo inyectivo sobre Z ). De manera más general, un grupo abeliano es inyectivo si y solo si es divisible . De manera más general aún: un módulo sobre un dominio ideal principal es inyectivo si y solo si es divisible (el caso de los espacios vectoriales es un ejemplo de este teorema, ya que cada cuerpo es un dominio ideal principal y cada espacio vectorial es divisible). Sobre un dominio integral general, todavía tenemos una implicación: cada módulo inyectivo sobre un dominio integral es divisible.

El criterio de Baer se ha refinado de muchas maneras (Golan y Head 1991, p. 119), incluido un resultado de (Smith 1981) y (Vámos 1983) de que para un anillo noetheriano conmutativo, basta con considerar solo ideales primos I . El dual del criterio de Baer, ​​que daría una prueba de proyectividad, es falso en general. Por ejemplo, el Z -módulo Q satisface el dual del criterio de Baer pero no es proyectivo.

Tal vez el módulo inyectivo más importante sea el grupo abeliano Q / Z . Es un cogenerador inyectivo en la categoría de grupos abelianos , lo que significa que es inyectivo y cualquier otro módulo está contenido en un producto adecuadamente grande de copias de Q / Z . Así, en particular, cada grupo abeliano es un subgrupo de uno inyectivo. Es bastante significativo que esto también sea cierto sobre cualquier anillo: cada módulo es un submódulo de uno inyectivo, o "la categoría de R -módulos izquierdos tiene suficientes inyectivos". Para probar esto, se utilizan las propiedades peculiares del grupo abeliano Q / Z para construir un cogenerador inyectivo en la categoría de R -módulos izquierdos.

Para un R -módulo izquierdo M , el llamado "módulo de carácter" M ⁺ = Hom _Z ( M , Q / Z ) es un R -módulo derecho que exhibe una dualidad interesante, no entre módulos inyectivos y módulos proyectivos , sino entre módulos inyectivos y módulos planos (Enochs & Jenda 2000, pp. 78-80). Para cualquier anillo R , un R -módulo izquierdo es plano si y solo si su módulo de carácter es inyectivo. Si R es noetheriano izquierdo, entonces un R -módulo izquierdo es inyectivo si y solo si su módulo de carácter es plano.

La envoltura inyectiva de un módulo es el módulo inyectivo más pequeño que contiene el módulo dado y fue descrito en (Eckmann y Schopf 1953).

Se pueden utilizar envolturas inyectivas para definir una resolución inyectiva mínima (ver más abajo). Si cada término de la resolución inyectiva es la envoltura inyectiva del cokernel del mapa anterior, entonces la resolución inyectiva tiene una longitud mínima.

Cada módulo M tiene también una resolución inyectiva : una secuencia exacta de la forma

0 → M → Yo ⁰ → Yo ¹ → Yo ² → ...

donde I ^j son módulos inyectivos. Las resoluciones inyectivas se pueden utilizar para definir funtores derivados como el funtor Ext .

La longitud de una resolución inyectiva finita es el primer índice n tal que I ⁿ es distinto de cero e I ⁱ  = 0 para i mayor que n . Si un módulo M admite una resolución inyectiva finita, la longitud mínima entre todas las resoluciones inyectivas finitas de M se llama su dimensión inyectiva y se denota id( M ). Si M no admite una resolución inyectiva finita, entonces por convención se dice que la dimensión inyectiva es infinita. (Lam 1999, §5C) Como ejemplo, considere un módulo M tal que id( M ) = 0. En esta situación, la exactitud de la secuencia 0 → M → I ⁰ → 0 indica que la flecha en el centro es un isomorfismo y, por lo tanto, M en sí es inyectiva. ^[7]

De manera equivalente, la dimensión inyectiva de M es el entero mínimo (si lo hay, en caso contrario ∞) n tal que Ext^{N /}
_A(–, M ) = 0 para todo N > n .

Cada submódulo inyectivo de un módulo inyectivo es un sumando directo, por lo que es importante comprender los módulos inyectivos indecomponibles (Lam 1999, §3F).

Todo módulo inyectivo indecomponible tiene un anillo de endomorfismo local . Un módulo se denomina módulo uniforme si cada dos submódulos distintos de cero tienen intersección distinta de cero. Para un módulo inyectivo M son equivalentes:

• M es indescomponible
• M es distinto de cero y es la envoltura inyectiva de cada submódulo distinto de cero
• M es uniforme
• M es la envoltura inyectiva de un módulo uniforme
• M es la envoltura inyectiva de un módulo cíclico uniforme
• M tiene un anillo de endomorfismo local

Sobre un anillo noetheriano, cada módulo inyectivo es la suma directa de módulos inyectivos indecomponibles (determinados de forma única). Sobre un anillo noetheriano conmutativo, esto proporciona una comprensión particularmente agradable de todos los módulos inyectivos, descritos en (Matlis 1958). Los módulos inyectivos indecomponibles son las envolturas inyectivas de los módulos R / p para p un ideal primo del anillo R . Además, la envoltura inyectiva M de R / p tiene una filtración creciente por módulos M _n dados por los aniquiladores de los ideales p ⁿ , y M _{n +1} / M _n es isomorfo como espacio vectorial de dimensión finita sobre el cuerpo cociente k ( p ) de R / p a Hom _{R / p} ( p ⁿ / p ^{n +1} , k ( p )).

Es importante poder considerar módulos sobre subanillos o anillos cocientes , especialmente, por ejemplo, anillos polinómicos . En general, esto es difícil, pero se conocen varios resultados (Lam 1999, p. 62).

Sean S y R anillos, y P un bimódulo izquierdo- R , derecho -S que es plano como un módulo izquierdo- R . Para cualquier S -módulo derecho inyectivo M , el conjunto de homomorfismos de módulo Hom _S ( P , M ) es un R -módulo derecho inyectivo. La misma afirmación se cumple, por supuesto, después de intercambiar los atributos izquierdo y derecho.

Por ejemplo, si R es un subanillo de S tal que S es un R -módulo plano , entonces todo S -módulo inyectivo es un R -módulo inyectivo. En particular, si R es un dominio integral y S su cuerpo de fracciones , entonces todo espacio vectorial sobre S es un R -módulo inyectivo. De manera similar, todo R [ x ]-módulo inyectivo es un R -módulo inyectivo .

En la dirección opuesta, un homomorfismo de anillo convierte a R en un bimódulo izquierdo- R , derecho- S , mediante la multiplicación izquierda y derecha. Al ser libre sobre sí mismo, R también es plano como un módulo izquierdo -R . Especializando la afirmación anterior para P = R , se dice que cuando M es un módulo derecho - S inyectivo, el módulo coinducido es un módulo derecho -R inyectivo . Por lo tanto, la coinducción sobre f produce módulos R inyectivos a partir de módulos S inyectivos.${\displaystyle f:S\to R}$ ${\displaystyle f_{*}M=\mathrm {Hom} _{S}(R,M)}$

Para anillos cocientes R / I , el cambio de anillos también es muy claro. Un módulo R es un módulo R / I precisamente cuando es aniquilado por I. El submódulo ann _I ( M ) = { m en M  : im = 0 para todo i en I } es un submódulo izquierdo del módulo R izquierdo M , y es el submódulo más grande de M que es un módulo R / I . Si M es un módulo R izquierdo inyectivo , entonces ann _I ( M ) es un módulo R / I izquierdo inyectivo . Aplicando esto a R = Z , I = nZ y M = Q / Z , se obtiene el hecho familiar de que Z / nZ es inyectivo como un módulo sobre sí mismo. Si bien es fácil convertir módulos R inyectivos en módulos R / I inyectivos , este proceso no convierte resoluciones R inyectivas en resoluciones R / I inyectivas , y la homología del complejo resultante es una de las primeras y fundamentales áreas de estudio del álgebra homológica relativa.

El libro de texto (Rotman 1979, p. 103) tiene una prueba errónea de que la localización preserva las inyectivas, pero se dio un contraejemplo en (Dade 1981).

Todo anillo con unidad es un módulo libre y, por lo tanto, es proyectivo como módulo sobre sí mismo, pero es más raro que un anillo sea inyectivo como módulo sobre sí mismo (Lam 1999, §3B). Si un anillo es inyectivo sobre sí mismo como módulo recto, entonces se denomina anillo recto autoinyectivo. Toda álgebra de Frobenius es autoinyectiva, pero ningún dominio integral que no sea un cuerpo es autoinyectivo. Todo cociente propio de un dominio de Dedekind es autoinyectivo.

Un anillo noetheriano recto , autoinyectivo recto, se denomina anillo cuasi-Frobenius , y es artiniano bilateral e inyectivo bilateral (Lam 1999, Teoría 15.1). Una propiedad teórica de módulos importante de los anillos cuasi-Frobenius es que los módulos proyectivos son exactamente los módulos inyectivos.

También se habla de objetos inyectivos en categorías más generales que las categorías de módulos, por ejemplo en categorías de funtores o en categorías de haces de O _X -módulos sobre algún espacio anillado ( X ,O _X ). Se utiliza la siguiente definición general: un objeto Q de la categoría C es inyectivo si para cualquier monomorfismo f  : X → Y en C y cualquier morfismo g  : X → Q existe un morfismo h  : Y → Q con hf = g .

La noción de objeto inyectivo en la categoría de grupos abelianos se estudió de forma algo independiente de los módulos inyectivos bajo el término grupo divisible . Aquí un Z -módulo M es inyectivo si y solo si n ⋅ M = M para cada entero distinto de cero n . Aquí las relaciones entre módulos planos , submódulos puros y módulos inyectivos son más claras, ya que simplemente se refieren a ciertas propiedades de divisibilidad de elementos de módulo por números enteros.

En el álgebra homológica relativa, la propiedad de extensión de los homomorfismos puede ser necesaria solo para ciertos submódulos, en lugar de para todos. Por ejemplo, un módulo inyectivo puro es un módulo en el que un homomorfismo de un submódulo puro puede extenderse a todo el módulo.

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