Grupo esbelto

Término matemático

En matemáticas , un grupo esbelto es un grupo abeliano libre de torsión que es "pequeño" en un sentido que se precisa en la definición a continuación.

Definición

Sea Z ^N el grupo de Baer–Specker , es decir, el grupo de todas las sucesiones de números enteros con adición de término a término. Para cada número natural n , sea e _n la sucesión con el término n -ésimo igual a 1 y todos los demás términos iguales a 0.

Se dice que un grupo abeliano G libre de torsión es delgado si cada homomorfismo de Z ^N en G asigna todos los e _n excepto un número finito al elemento identidad .

Ejemplos

Cada grupo abeliano libre es delgado.

El grupo aditivo de los números racionales Q no es esbelto: cualquier aplicación del e _n en Q se extiende a un homomorfismo del subgrupo libre generado por el e _n , y como Q es inyectivo este homomorfismo se extiende sobre todo Z ^N . Por lo tanto, un grupo esbelto debe ser reducido .

Todo grupo abeliano reducido libre de torsión contable es delgado, por lo que todo subgrupo propio de Q es delgado.

Propiedades

Un grupo abeliano libre de torsión es delgado si y sólo si está reducido y no contiene ninguna copia del grupo de Baer-Specker ni ninguna copia de los enteros p -ádicos para cualquier p .
Las sumas directas de grupos esbeltos también son esbeltas.
Los subgrupos de grupos delgados son delgados.
Todo homomorfismo de Z ^N en un grupo delgado se factoriza a través de Z ⁿ para algún número natural n .

Referencias

Fuchs, László (1973). Grupos abelianos infinitos. Vol. II . Matemáticas puras y aplicadas. Vol. 36. Boston, MA: Academic Press . Capítulo XIII. MR 0349869. Zbl 0257.20035..
Griffith, Phillip A. (1970). Teoría de grupos abelianos infinitos . Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. pp. 111–112. ISBN 0-226-30870-7.Zbl 0204.35001 .
Nunke, RJ (1961). "Grupos esbeltos". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 67 (3): 274–275. doi : 10.1090/S0002-9904-1961-10582-X . Zbl 0099.01301.
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