Grupo de automorfismos

En matemáticas , el grupo de automorfismos de un objeto X es el grupo formado por los automorfismos de X bajo composición de morfismos . Por ejemplo, si X es un espacio vectorial de dimensión finita , entonces el grupo de automorfismos de X es el grupo de transformaciones lineales invertibles de X a sí mismo (el grupo lineal general de X ). Si, en cambio, X es un grupo, entonces su grupo de automorfismos es el grupo formado por todos los automorfismos de grupo de X.${\displaystyle \nombre del operador {Aut} (X)}$

En contextos geométricos, en particular, un grupo de automorfismos también se denomina grupo de simetría . A un subgrupo de un grupo de automorfismos a veces se le denomina grupo de transformación .

Los grupos de automorfismos se estudian de forma general en el campo de la teoría de categorías .

Si X es un conjunto sin estructura adicional, entonces cualquier biyección de X sobre sí mismo es un automorfismo, y por lo tanto el grupo de automorfismos de X en este caso es precisamente el grupo simétrico de X . Si el conjunto X tiene estructura adicional, entonces puede darse el caso de que no todas las biyecciones sobre el conjunto conserven esta estructura, en cuyo caso el grupo de automorfismos será un subgrupo del grupo simétrico sobre X . Algunos ejemplos de esto incluyen los siguientes:

• El grupo de automorfismos de una extensión de campo es el grupo que consiste en automorfismos de campo de L que fijan K. Si la extensión de campo es Galois , el grupo de automorfismos se denomina grupo de Galois de la extensión de campo.${\estilo de visualización L/K}$
• El grupo de automorfismos del espacio n proyectivo sobre un cuerpo k es el grupo lineal proyectivo ^[1]${\displaystyle \operatorname {PGL} _{n}(k).}$
• El grupo de automorfismos de un grupo cíclico finito de orden n es isomorfo a , el grupo multiplicativo de números enteros módulo n , con el isomorfismo dado por . ^[2] En particular, es un grupo abeliano .${\estilo de visualización G}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$${\displaystyle {\overline {a}}\mapsto \sigma _{a}\in G,\,\sigma _{a}(x)=x^{a}}$${\estilo de visualización G}$
• El grupo de automorfismos de un álgebra de Lie real de dimensión finita tiene la estructura de un grupo de Lie (real) (de hecho, es incluso un grupo algebraico lineal : véase más abajo). Si G es un grupo de Lie con álgebra de Lie , entonces el grupo de automorfismos de G tiene una estructura de un grupo de Lie inducido a partir de la del grupo de automorfismos de . ^{[3] [4] [a]}${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Si G es un grupo que actúa sobre un conjunto X , la acción equivale a un homomorfismo de grupo de G al grupo de automorfismos de X y viceversa. En efecto, cada G -acción izquierda sobre un conjunto X determina , y, viceversa, cada homomorfismo define una acción por . Esto se extiende al caso en el que el conjunto X tiene más estructura que un simple conjunto. Por ejemplo, si X es un espacio vectorial, entonces una acción de grupo de G sobre X es una representación de grupo del grupo G , que representa a G como un grupo de transformaciones lineales (automorfismos) de X ; estas representaciones son el principal objeto de estudio en el campo de la teoría de la representación .${\displaystyle G\to \nombre del operador {Aut} (X),\,g\mapsto \sigma _{g},\,\sigma _{g}(x)=g\cdot x}$${\displaystyle \varphi :G\to \nombre del operador {Aut} (X)}$${\displaystyle g\cdot x=\varphi (g)x}$

A continuación se presentan algunos otros datos sobre los grupos de automorfismos:

• Sean dos conjuntos finitos de la misma cardinalidad y el conjunto de todas las biyecciones . Entonces , que es un grupo simétrico (ver arriba), actúa sobre desde la izquierda libre y transitivamente ; es decir, es un torsor para (cf. #En teoría de categorías).${\estilo de visualización A,B}$${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ ${\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B}$${\displaystyle \nombre del operador {Aut} (B)}$${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$${\displaystyle \nombre del operador {Aut} (B)}$
• Sea P un módulo proyectivo finitamente generado sobre un anillo R . Entonces hay una incrustación , única hasta los automorfismos internos . ^[5] ${\displaystyle \nombreoperador {Aut} (P)\hookrightarrow \nombreoperador {GL} _{n}(R)}$

Los grupos de automorfismos aparecen de forma muy natural en la teoría de categorías .

Si X es un objeto de una categoría, entonces el grupo de automorfismos de X es el grupo que consiste en todos los morfismos invertibles desde X hacia sí mismo. Es el grupo unitario del monoide de endomorfismos de X. (Para algunos ejemplos, véase PROP .)

Si son objetos de alguna categoría, entonces el conjunto de todos es un torsor izquierdo . En términos prácticos, esto dice que una elección diferente de un punto base de difiere inequívocamente por un elemento de , o que cada elección de un punto base es precisamente una elección de una trivialización del torsor.${\estilo de visualización A,B}$${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$${\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B}$${\displaystyle \nombre del operador {Aut} (B)}$${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$${\displaystyle \nombre del operador {Aut} (B)}$

Si y son objetos en categorías y , y si es un funtor que asigna a , entonces induce un homomorfismo de grupo , ya que asigna morfismos invertibles a morfismos invertibles.$Estilo de visualización X_{1}$$Estilo de visualización X_{2}$$Estilo de visualización C_{1}$$Estilo de visualización C_{2}$${\displaystyle F:C_{1}\to C_{2}}$$Estilo de visualización X_{1}$$Estilo de visualización X_{2}$${\estilo de visualización F}$${\displaystyle \nombreoperador {Aut} (X_{1})\to \nombreoperador {Aut} (X_{2})}$

En particular, si G es un grupo visto como una categoría con un único objeto * o, más generalmente, si G es un grupoide, entonces cada funtor , C una categoría, se llama una acción o una representación de G sobre el objeto , o los objetos . Se dice entonces que esos objetos son -objetos (ya que son actuados por ); cf. -objeto . Si es una categoría de módulo como la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita, entonces los -objetos también se llaman -módulos.${\displaystyle F:G\to C}$$Estilo de visualización F(*)$${\displaystyle F(\operatorname {Obj} (G))}$${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización G}$${\displaystyle \mathbb {S}}$${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización G}$

Sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo k que está dotado de alguna estructura algebraica (es decir, M es un álgebra de dimensión finita sobre k ). Puede ser, por ejemplo, un álgebra asociativa o un álgebra de Lie .${\estilo de visualización M}$

Ahora, considere k - aplicaciones lineales que preservan la estructura algebraica: forman un subespacio vectorial de . El grupo unitario de es el grupo de automorfismos . Cuando se elige una base en M , es el espacio de matrices cuadradas y es el conjunto cero de algunas ecuaciones polinómicas , y la invertibilidad se describe nuevamente mediante polinomios. Por lo tanto, es un grupo algebraico lineal sobre k .${\displaystyle M\a M}$ ${\displaystyle \operatorname {Fin} _{\text{alg}}(M)}$${\displaystyle \operatorname {Fin} (M)}$${\displaystyle \operatorname {Fin} _{\text{alg}}(M)}$${\displaystyle \nombre del operador {Aut} (M)}$${\displaystyle \operatorname {Fin} (M)}$${\displaystyle \operatorname {Fin} _{\text{alg}}(M)}$${\displaystyle \nombre del operador {Aut} (M)}$

Ahora bien, las extensiones de base aplicadas a la discusión anterior determinan un funtor: ^[6] es decir, para cada anillo conmutativo R sobre k , considérense las aplicaciones R -lineales que preservan la estructura algebraica: denotándola por . Entonces, el grupo unitario del anillo de matrices sobre R es el grupo de automorfismos y es un funtor de grupo : un funtor de la categoría de anillos conmutativos sobre k a la categoría de grupos . Mejor aún, se representa mediante un esquema (ya que los grupos de automorfismos se definen mediante polinomios): este esquema se llama esquema de grupo de automorfismos y se denota por .${\displaystyle M\o veces R\to M\o veces R}$${\displaystyle \operatorname {Fin} _{\text{alg}}(M\otimes R)}$${\displaystyle \operatorname {Fin} _{\text{alg}}(M\otimes R)}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (M\o veces R)}$${\displaystyle R\mapsto \nombre del operador {Aut} (M\otimes R)}$${\displaystyle \nombre del operador {Aut} (M)}$

En general, sin embargo, un funtor de grupo de automorfismos no puede representarse mediante un esquema.

• Grupo de automorfismos externos
• Estructura de niveles , una técnica para eliminar un grupo de automorfismos
• Grupo de holonomía

• https://mathoverflow.net/questions/55042/automorphism-group-of-a-scheme