Diagrama de Venn

Parte de una serie sobre estadísticas
Teoría de la probabilidad
Probabilidad Axiomas Determinismo Sistema Indeterminismo Aleatoriedad
Espacio de probabilidad Espacio muestral Evento Eventos colectivamente exhaustivos Evento elemental Exclusividad mutua Resultado Semifallo Experimento El proceso de Bernoulli Distribución de probabilidad Distribución de Bernoulli Distribución binomial Distribución exponencial Distribución normal Distribución de Pareto Distribución de Poisson Medida de probabilidad Variable aleatoria Proceso de Bernoulli Continuo o discreto Valor esperado Diferencia Cadena de Markov Valor observado Paseo aleatorio Proceso estocástico
Evento complementario Probabilidad conjunta Probabilidad marginal Probabilidad condicional
Independencia Independencia condicional Ley de probabilidad total Ley de los grandes números Teorema de Bayes Desigualdad de Boole
Diagrama de Venn Diagrama de árbol
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Un diagrama de Venn es un estilo de diagrama ampliamente utilizado que muestra la relación lógica entre conjuntos , popularizado por John Venn (1834-1923) en la década de 1880. Los diagramas se utilizan para enseñar teoría de conjuntos elemental y para ilustrar relaciones de conjuntos simples en probabilidad , lógica , estadística , lingüística y ciencias de la computación . Un diagrama de Venn utiliza curvas cerradas simples dibujadas en un plano para representar conjuntos. Muy a menudo, estas curvas son círculos o elipses.

Ideas similares habían sido propuestas antes de Venn, por ejemplo por Christian Weise en 1712 ( Nucleus Logicoe Wiesianoe ) y Leonhard Euler ( Cartas a una princesa alemana ) en 1768. La idea fue popularizada por Venn en Lógica simbólica , Capítulo V "Representación diagramática", publicado en 1881.

Un diagrama de Venn, también llamado diagrama de conjuntos o diagrama lógico , muestra todas las relaciones lógicas posibles entre una colección finita de conjuntos diferentes. Estos diagramas representan los elementos como puntos en el plano y los conjuntos como regiones dentro de curvas cerradas. Un diagrama de Venn consta de múltiples curvas cerradas superpuestas, generalmente círculos, cada una de las cuales representa un conjunto. Los puntos dentro de una curva etiquetada como S representan elementos del conjunto S , mientras que los puntos fuera del límite representan elementos que no están en el conjunto S . Esto se presta a visualizaciones intuitivas; por ejemplo, el conjunto de todos los elementos que son miembros de ambos conjuntos S y T , denotado S  ∩  T y leído como "la intersección de S y T ", se representa visualmente por el área de superposición de las regiones S y T . ^[1]

En los diagramas de Venn, las curvas se superponen de todas las formas posibles, mostrando todas las relaciones posibles entre los conjuntos. Por lo tanto, son un caso especial de los diagramas de Euler , que no necesariamente muestran todas las relaciones. Los diagramas de Venn fueron concebidos alrededor de 1880 por John Venn. Se utilizan para enseñar teoría de conjuntos elemental, así como para ilustrar relaciones de conjuntos simples en probabilidad, lógica, estadística, lingüística y ciencias de la computación.

Un diagrama de Venn en el que el área de cada forma es proporcional al número de elementos que contiene se denomina diagrama de Venn proporcional al área (o a escala ) .

Este ejemplo incluye dos conjuntos de criaturas, representados aquí como círculos de colores. El círculo naranja representa todos los tipos de criaturas que tienen dos patas. El círculo azul representa las criaturas que pueden volar. Cada tipo de criatura por separado puede imaginarse como un punto en algún lugar del diagrama. Las criaturas vivientes que tienen dos patas y pueden volar (por ejemplo, los loros) están en ambos conjuntos, por lo que corresponden a puntos en la región donde se superponen los círculos azul y naranja. Esta región superpuesta solo contendría aquellos elementos (en este ejemplo, criaturas) que son miembros tanto del conjunto naranja (criaturas de dos patas) como del conjunto azul (criaturas voladoras).

Los humanos y los pingüinos son bípedos, por lo que están en el círculo naranja, pero como no pueden volar, aparecen en la parte izquierda del círculo naranja, donde no se superpone con el círculo azul. Los mosquitos pueden volar, pero tienen seis patas, no dos, por lo que el punto para los mosquitos está en la parte del círculo azul que no se superpone con el naranja. Las criaturas que no son bípedas ni pueden volar (por ejemplo, las ballenas y las arañas) estarían todas representadas por puntos fuera de ambos círculos.

La región combinada de los dos conjuntos se denomina su unión , denotada por A ∪ B , donde A es el círculo naranja y B el azul. La unión en este caso contiene a todos los seres vivos que tienen dos patas o pueden volar (o ambas cosas). La región incluida tanto en A como en B, donde los dos conjuntos se superponen, se denomina intersección de A y B, denotada por A ∩ B .

Los diagramas de Venn fueron introducidos en 1880 por John Venn en un artículo titulado "Sobre la representación diagramática y mecánica de proposiciones y razonamientos" ^[2] en la revista Philosophical Magazine and Journal of Science , ^[3] sobre las diferentes formas de representar proposiciones mediante diagramas. ^{[4] [5] [6]} El uso de este tipo de diagramas en lógica formal , según Frank Ruskey y Mark Weston, es anterior a Venn, pero están "correctamente asociados" con él, ya que "examinó y formalizó exhaustivamente su uso, y fue el primero en generalizarlos". ^[7]

Los diagramas de círculos superpuestos que representan uniones e intersecciones fueron introducidos por el filósofo catalán Ramon Llull (c. 1232-1315/1316) en el siglo XIII, quien los utilizó para ilustrar combinaciones de principios básicos. ^[8] Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) produjo diagramas similares en el siglo XVII (aunque gran parte de este trabajo no fue publicado), al igual que Johann Christian Lange en una obra de 1712 que describe las contribuciones de Christian Weise a la lógica. ^{[9] [8]} Los diagramas de Euler , que son similares a los diagramas de Venn pero no necesariamente contienen todas las uniones e intersecciones posibles, fueron destacados por primera vez por el matemático Leonhard Euler en el siglo XVIII. ^{[nota 1] [10] [11]}

Venn no utilizó el término "diagrama de Venn" y se refirió al concepto como "círculos eulerianos". ^[6] Se familiarizó con los diagramas de Euler en 1862 y escribió que los diagramas de Venn no se le ocurrieron "hasta mucho más tarde", mientras intentaba adaptar los diagramas de Euler a la lógica booleana . ^[12] En la oración inicial de su artículo de 1880, Venn escribió que los diagramas de Euler eran la única representación diagramática de la lógica que había obtenido "alguna aceptación general". ^{[4] [5]}

Venn consideraba sus diagramas como una herramienta pedagógica, análoga a la verificación de conceptos físicos a través de experimentos. Como ejemplo de sus aplicaciones, señaló que un diagrama de tres conjuntos podía mostrar el silogismo : «Todo A es algún B. Ningún B es ningún C. Por lo tanto, ningún A es ningún C ». ^[12]

Charles L. Dodgson (Lewis Carroll) incluye el "Método de diagramas de Venn" así como el "Método de diagramas de Euler" en un "Apéndice, dirigido a los profesores" de su libro Lógica simbólica (4ª edición publicada en 1896). El término "diagrama de Venn" fue utilizado posteriormente por Clarence Irving Lewis en 1918, en su libro Un estudio de la lógica simbólica . ^{[7] [13]}

En el siglo XX, los diagramas de Venn se desarrollaron aún más. David Wilson Henderson demostró, en 1963, que la existencia de un diagrama de Venn n con simetría rotacional n veces mayor implicaba que n era un número primo . ^[14] También demostró que tales diagramas de Venn simétricos existen cuando n es cinco o siete. En 2002, Peter Hamburger encontró diagramas de Venn simétricos para n = 11 y en 2003, Griggs, Killian y Savage demostraron que existen diagramas de Venn simétricos para todos los demás primos. Estos resultados combinados muestran que existen diagramas de Venn rotacionalmente simétricos, si y solo si n es un número primo. ^[15]

Los diagramas de Venn y los diagramas de Euler se incorporaron como parte de la instrucción en teoría de conjuntos, como parte del nuevo movimiento matemático en la década de 1960. Desde entonces, también se han adoptado en el currículo de otros campos, como la lectura. ^[16]

Los diagramas de Venn se han utilizado comúnmente en memes . ^[17] Al menos un político ha sido objeto de burlas por usar mal los diagramas de Venn. ^[18]

Un diagrama de Venn se construye con una colección de curvas cerradas simples dibujadas en un plano. Según Lewis, ^[13] el "principio de estos diagramas es que las clases [o conjuntos ] se representan por regiones en tal relación entre sí que todas las posibles relaciones lógicas de estas clases se pueden indicar en el mismo diagrama. Es decir, el diagrama inicialmente deja espacio para cualquier posible relación de las clases, y la relación real o dada, luego se puede especificar indicando que alguna región particular es nula o no es nula". ^{[13] : 157}

Los diagramas de Venn normalmente comprenden círculos superpuestos . El interior del círculo representa simbólicamente los elementos del conjunto, mientras que el exterior representa elementos que no son miembros del conjunto. Por ejemplo, en un diagrama de Venn de dos conjuntos, un círculo puede representar el grupo de todos los objetos de madera , mientras que el otro círculo puede representar el conjunto de todas las mesas. La región superpuesta, o intersección , representaría entonces el conjunto de todas las mesas de madera. Se pueden emplear formas distintas de círculos como se muestra a continuación en los propios diagramas de conjuntos superiores de Venn. Los diagramas de Venn generalmente no contienen información sobre los tamaños relativos o absolutos ( cardinalidad ) de los conjuntos. Es decir, son diagramas esquemáticos que generalmente no están dibujados a escala.

Los diagramas de Venn son similares a los diagramas de Euler. Sin embargo, un diagrama de Venn para n conjuntos de componentes debe contener las 2 ⁿ zonas hipotéticamente posibles, que corresponden a alguna combinación de inclusión o exclusión en cada uno de los conjuntos de componentes. ^[19] Los diagramas de Euler contienen solo las zonas realmente posibles en un contexto dado. En los diagramas de Venn, una zona sombreada puede representar una zona vacía, mientras que en un diagrama de Euler, la zona correspondiente falta en el diagrama. Por ejemplo, si un conjunto representa productos lácteos y otro quesos , el diagrama de Venn contiene una zona para quesos que no son productos lácteos. Suponiendo que en el contexto queso significa algún tipo de producto lácteo, el diagrama de Euler tiene la zona de queso completamente contenida dentro de la zona de producto lácteo; no hay zona para queso no lácteo (inexistente). Esto significa que a medida que aumenta el número de contornos, los diagramas de Euler suelen ser menos complejos visualmente que el diagrama de Venn equivalente, en particular si el número de intersecciones no vacías es pequeño. ^[20]

La diferencia entre los diagramas de Euler y Venn se puede ver en el siguiente ejemplo. Tomemos los tres conjuntos:

• ${\displaystyle A=\{1,\,2,\,5\}}$
• ${\displaystyle B=\{1,\,6\}}$
• ${\displaystyle C=\{4,\,7\}}$

Los diagramas de Euler y Venn de esos conjuntos son:

• 
  Diagrama de Euler
• 
  Diagrama de Venn

Los diagramas de Venn suelen representar dos o tres conjuntos, pero existen formas que permiten números mayores. A continuación, se muestran cuatro esferas que se intersecan y forman el diagrama de Venn de orden más alto que tiene la simetría de un símplex y se puede representar visualmente. Las 16 intersecciones corresponden a los vértices de un teseracto (o las celdas de un teseracto de 16 celdas , respectivamente).

Para un mayor número de conjuntos, es inevitable que se produzca cierta pérdida de simetría en los diagramas. Venn estaba interesado en encontrar "figuras simétricas... elegantes en sí mismas", ^[10] que representaran un mayor número de conjuntos, y diseñó un elegante diagrama de cuatro conjuntos utilizando elipses (véase más adelante). También proporcionó una construcción para los diagramas de Venn para cualquier número de conjuntos, donde cada curva sucesiva que delimita un conjunto se entrelaza con curvas anteriores, comenzando con el diagrama de tres círculos.

• 
  Construcción de Venn para cuatro conjuntos (use el código Gray para calcular, el dígito 1 significa en el conjunto y el dígito 0 significa que no está en el conjunto)
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  Construcción de Venn para cinco conjuntos
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  Construcción de Venn para seis conjuntos
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  Diagrama de cuatro conjuntos de Venn usando elipses
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  Ejemplo no válido: este diagrama de Euler no es un diagrama de Venn para cuatro conjuntos, ya que solo tiene 14 regiones en lugar de 2 ⁴ = 16 regiones (incluida la región blanca); no hay ninguna región donde solo se encuentren los círculos amarillo y azul, o solo los círculos rojo y verde.
• 
  Diagrama de Venn de cinco conjuntos que utiliza elipses congruentes en una disposición rotacionalmente simétrica de cinco pliegues ideada por Branko Grünbaum . Las etiquetas se han simplificado para una mayor legibilidad; por ejemplo, A denota A ∩ B ^c ∩ C ^c ∩ D ^c ∩ E ^c , mientras que BCE denota A ^c ∩ B ∩ C ∩ D ^c ∩ E .
• 
  Diagrama de Venn de seis conjuntos formado únicamente por triángulos (versión interactiva)

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  Tres juegos
• 
  Cuatro juegos
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  Cinco juegos
• 
  Seis juegos

Anthony William Fairbank Edwards construyó una serie de diagramas de Venn para cantidades mayores de conjuntos segmentando la superficie de una esfera, que se conocieron como diagramas de Edwards-Venn. ^[21] Por ejemplo, tres conjuntos pueden representarse fácilmente tomando tres hemisferios de la esfera en ángulos rectos ( x  = 0, y  = 0 y z  = 0). Se puede agregar un cuarto conjunto a la representación, tomando una curva similar a la costura de una pelota de tenis, que se enrolla hacia arriba y hacia abajo alrededor del ecuador, y así sucesivamente. Los conjuntos resultantes pueden luego proyectarse de nuevo a un plano, para dar diagramas de rueda dentada con cantidades crecientes de dientes, como se muestra aquí. Estos diagramas se idearon mientras se diseñaba una vidriera en memoria de Venn. ^[21]

Los diagramas de Edwards-Venn son topológicamente equivalentes a los diagramas ideados por Branko Grünbaum , que se basaban en polígonos que se intersecaban con un número creciente de lados. También son representaciones bidimensionales de hipercubos .

Henry John Stephen Smith ideó diagramas de conjuntos n similares utilizando curvas sinusoidales ^[21] con la serie de ecuaciones$${\displaystyle y_{i}={\frac {\sin \left(2^{i}x\right)}{2^{i}}}{\text{ donde }}0\leq i\leq n-1{\text{ y }}i\in \mathbb {N} .}$$

Charles Lutwidge Dodgson (también conocido como Lewis Carroll) ideó un diagrama de cinco conjuntos conocido como el cuadrado de Carroll . Joaquín y Boyles, por otro lado, propusieron reglas complementarias para el diagrama de Venn estándar, con el fin de dar cuenta de ciertos casos problemáticos. Por ejemplo, con respecto a la cuestión de representar enunciados singulares, sugieren considerar el círculo del diagrama de Venn como una representación de un conjunto de cosas, y utilizar la lógica de primer orden y la teoría de conjuntos para tratar los enunciados categóricos como enunciados sobre conjuntos. Además, proponen tratar los enunciados singulares como enunciados sobre la pertenencia a un conjunto . Así, por ejemplo, para representar el enunciado "a es F" en este diagrama de Venn rediseñado, se puede colocar una letra "a" minúscula dentro del círculo que representa el conjunto F. ^[22]

Los diagramas de Venn corresponden a las tablas de verdad de las proposiciones , , etc., en el sentido de que cada región del diagrama de Venn corresponde a una fila de la tabla de verdad. ^{[23] [24]} Este tipo también se conoce como diagrama de Johnston. Otra forma de representar conjuntos es con los diagramas R de John F. Randolph .${\displaystyle x\en A}$${\displaystyle x\en B}$

• Gráfica existencial (por Charles Sanders Peirce )
• Conectivas lógicas
• Diagrama de información
• Diagrama de Marquand (y como derivación adicional el diagrama de Veitch y el mapa de Karnaugh )
• Octaedro esférico : una proyección estereográfica de un octaedro regular forma un diagrama de Venn de tres conjuntos, como tres grandes círculos ortogonales, cada uno de los cuales divide el espacio en dos mitades.
• Manifestante de Stanhope
• Modelo de tres círculos
• Triqueta
• Vesica piscis
• Trama de UpSet

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Diagramas de Venn .

• "Diagrama de Venn", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• El juego de lógica de Lewis Carroll: Venn contra Euler en Cut-the-knot
• Seis conjuntos de diagramas de Venn hechos a partir de triángulos
• Diagrama de Venn interactivo de siete conjuntos
• VBVenn, un programa gratuito de código abierto para calcular y graficar diagramas de Venn cuantitativos de dos círculos
• InteractiVenn, una herramienta basada en web para visualizar diagramas de Venn
• DeepVenn, una herramienta para crear diagramas de Venn proporcionales al área