La regla del Hospital

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La regla de L'Hôpital ( / ˌl oʊ p iː ˈt ɑː l / , loh-pee- TAHL ) o regla de L'Hôpital , también conocida como regla de Bernoulli , es un teorema matemático que permite evaluar límites de formas indeterminadas utilizando derivadas . La aplicación (o aplicación repetida) de la regla a menudo convierte una forma indeterminada en una expresión que puede evaluarse fácilmente por sustitución. La regla recibe su nombre del matemático francés del siglo XVII Guillaume De l'Hôpital . Aunque la regla a menudo se atribuye a De l'Hôpital, el teorema le fue presentado por primera vez en 1694 por el matemático suizo Johann Bernoulli .

La regla de L'Hôpital establece que para funciones f y g que están definidas en un intervalo abierto I y son diferenciables en para un punto de acumulación (posiblemente infinito) c de I , si y para todo x en I con x ≠ c , y existe, entonces${\textstyle I\setminus \{c\}}$${\textstyle \lim \limits _{x\to c}f(x)=\lim \limits _{x\to c}g(x)=0{\text{ or }}\pm \infty ,}$${\textstyle g'(x)\neq 0}$${\textstyle \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.}$

La diferenciación del numerador y el denominador a menudo simplifica el cociente o lo convierte en un límite que puede evaluarse directamente por continuidad .

Guillaume de l'Hôpital (también escrito l'Hospital ^[a] ) publicó esta regla en su libro de 1696 Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes (traducción literal: Análisis de lo infinitamente pequeño para la comprensión de las líneas curvas ), el primer libro de texto sobre cálculo diferencial . ^{[1] [b]} Sin embargo, se cree que la regla fue descubierta por el matemático suizo Johann Bernoulli . ^[3]

La forma general de la regla de L'Hôpital cubre muchos casos. Sean c y L números reales extendidos : números reales, infinito positivo o negativo. Sea I un intervalo abierto que contiene a c (para un límite bilateral) o un intervalo abierto con punto final c (para un límite unilateral , o un límite en el infinito si c es infinito). En , se supone que las funciones reales f y g son diferenciables con . También se supone que , un límite finito o infinito. ${\displaystyle I\smallsetminus \{c\}}$${\displaystyle g'(x)\neq 0}$${\textstyle \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L}$

Si o entonces Aunque hemos escrito x → c a lo largo de todo el texto, los límites también pueden ser límites unilaterales ( x → c ⁺ o x → c ⁻ ), cuando c es un punto final finito de I .$${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0}$$$${\displaystyle \lim _{x\to c}|f(x)|=\lim _{x\to c}|g(x)|=\infty ,}$$$${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L.}$$

En el segundo caso, la hipótesis de que f diverge al infinito no es necesaria; de hecho, es suficiente que${\textstyle \lim _{x\to c}|g(x)|=\infty .}$

La hipótesis que aparece con mayor frecuencia en la literatura, pero algunos autores la eluden añadiendo otras hipótesis que implican . Por ejemplo, ^[4] se puede exigir en la definición del límite que la función debe estar definida en todas partes en un intervalo . ^[c] Otro método ^[5] es exigir que tanto f como g sean diferenciables en todas partes en un intervalo que contenga a c .${\displaystyle g'(x)\neq 0}$${\displaystyle g'(x)\neq 0}$${\textstyle \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L}$${\textstyle {\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$${\displaystyle I\smallsetminus \{c\}}$

Las cuatro condiciones para la regla de L'Hôpital son necesarias:

1. Indeterminación de forma: o  ;${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0}$${\displaystyle \pm \infty }$
2. Diferenciabilidad de funciones: y son diferenciables en un intervalo abierto excepto posiblemente en el punto límite en ;${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$
3. Derivada distinta de cero del denominador: para todo en con  ;${\displaystyle g'(x)\neq 0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle x\neq c}$
4. Existencia de límite del cociente de las derivadas: existe.${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$

Cuando no se cumple una de las condiciones anteriores, la conclusión de la regla de L'Hôpital será falsa en ciertos casos.

La necesidad de la primera condición se puede ver considerando el contraejemplo donde las funciones son y y el límite es .${\displaystyle f(x)=x+1}$${\displaystyle g(x)=2x+1}$${\displaystyle x\to 1}$

La primera condición no se cumple para este contraejemplo porque y . Esto significa que la forma no es indeterminada.${\displaystyle \lim _{x\to 1}f(x)=\lim _{x\to 1}(x+1)=(1)+1=2\neq 0}$${\displaystyle \lim _{x\to 1}g(x)=\lim _{x\to 1}(2x+1)=2(1)+1=3\neq 0}$

La segunda y tercera condiciones se cumplen con y . La cuarta condición también se cumple con${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle g(x)}$

$${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=\lim _{x\to 1}{\frac {(x+1)'}{(2x+1)'}}=\lim _{x\to 1}{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}.}$$

Pero la conclusión falla, ya que$${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to 1}{\frac {x+1}{2x+1}}={\frac {\lim _{x\to 1}(x+1)}{\lim _{x\to 1}(2x+1)}}={\frac {2}{3}}\neq {\frac {1}{2}}.}$$

La diferenciabilidad de funciones es un requisito porque si una función no es diferenciable, entonces no se garantiza que la derivada de las funciones exista en cada punto en . El hecho de que sea un intervalo abierto se desprende de la hipótesis del teorema del valor medio de Cauchy . La notable excepción de la posibilidad de que las funciones no sean diferenciables en existe porque la regla de L'Hôpital solo requiere que la derivada exista cuando la función se aproxima a ; la derivada no necesita tomarse en . ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$

Por ejemplo, sean , y . En este caso, no es diferenciable en . Sin embargo, dado que es diferenciable en todas partes excepto , entonces todavía existe. Por lo tanto, dado que ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin x,&x\neq 0\\1,&x=0\end{cases}}}$${\displaystyle g(x)=x}$${\displaystyle c=0}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \lim _{x\to c}f'(x)}$

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {0}{0}}}$y existe, la regla de L'Hôpital sigue siendo válida.${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$

La necesidad de la condición de que cerca se puede ver en el siguiente contraejemplo debido a Otto Stolz . ^[6] Sea y Entonces no hay límite para como Sin embargo,${\displaystyle g'(x)\neq 0}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f(x)=x+\sin x\cos x}$${\displaystyle g(x)=f(x)e^{\sin x}.}$${\displaystyle f(x)/g(x)}$${\displaystyle x\to \infty .}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}&={\frac {2\cos ^{2}x}{(2\cos ^{2}x)e^{\sin x}+(x+\sin x\cos x)e^{\sin x}\cos x}}\\&={\frac {2\cos x}{2\cos x+x+\sin x\cos x}}e^{-\sin x},\end{aligned}}}$

que tiende a 0 cuando , aunque no está definida en un número infinito de puntos. Ralph P. Boas Jr. encontró otros ejemplos de este tipo ^[7].${\displaystyle x\to \infty }$

El requisito de que exista el límite es esencial; si no existe, el otro límite puede existir de todos modos. En efecto, a medida que se aproxima a , las funciones o pueden presentar muchas oscilaciones de pequeña amplitud pero pendiente pronunciada, que no afectan pero impiden la convergencia de . ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}$${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$

Por ejemplo, si , y , entonces , que no se acerca a un límite ya que el coseno oscila infinitamente entre 1 y −1 . Pero la relación de las funciones originales sí se acerca a un límite, ya que la amplitud de las oscilaciones de se vuelve pequeña en relación con :${\displaystyle f(x)=x+\sin(x)}$${\displaystyle g(x)=x}$${\displaystyle c=\infty }$$${\displaystyle {\frac {f'(x)}{g'(x)}}={\frac {1+\cos(x)}{1}},}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to \infty }\left({\frac {x+\sin(x)}{x}}\right)=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {\sin(x)}{x}}\right)=1+0=1.}$

En un caso como éste, lo único que se puede concluir es que

${\displaystyle \liminf _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\leq \liminf _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}\leq \limsup _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}\leq \limsup _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},}$

De modo que si el límite de existe, entonces debe estar entre los límites inferior y superior de . En el ejemplo, 1 se encuentra efectivamente entre 0 y 2.)${\textstyle {\frac {f}{g}}}$${\textstyle {\frac {f'}{g'}}}$

Nótese también que por la forma contrapositiva de la Regla, si no existe, entonces tampoco existe.${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}$${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$

En los cálculos siguientes, indicamos cada aplicación de la regla de L'Hôpital mediante el símbolo . ${\displaystyle \ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ }$

• He aquí un ejemplo básico que involucra la función exponencial, que implica la forma indeterminada .0/0⁠ en x = 0 :$${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x^{2}+x}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to 0}{\frac {{\frac {d}{dx}}(e^{x}-1)}{{\frac {d}{dx}}(x^{2}+x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}}{2x+1}}=1.}$$
• Este es un ejemplo más elaborado que involucra ⁠0/0⁠ . Aplicando la regla de L'Hôpital una sola vez se obtiene una forma indeterminada. En este caso, el límite se puede evaluar aplicando la regla tres veces:$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {2\sin(x)-\sin(2x)}{x-\sin(x)}}&\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(x)-2\cos(2x)}{1-\cos(x)}}\\[4pt]&\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to 0}{\frac {-2\sin(x)+4\sin(2x)}{\sin(x)}}\\[4pt]&\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to 0}{\frac {-2\cos(x)+8\cos(2x)}{\cos(x)}}={\frac {-2+8}{1}}=6.\end{aligned}}}$$
• He aquí un ejemplo que implica ⁠∞/∞⁠ : Aplica repetidamente la regla de L'Hôpital hasta que el exponente sea cero (si n es un entero) o negativo (si n es fraccionario) para concluir que el límite es cero.$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{n}\cdot e^{-x}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{e^{x}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to \infty }{\frac {nx^{n-1}}{e^{x}}}=n\cdot \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n-1}}{e^{x}}}.}$$
• He aquí un ejemplo que involucra la forma indeterminada 0 · ∞ (ver más abajo), que se reescribe como la forma ⁠∞/∞:​$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\ln x=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\ln x}{\frac {1}{x}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\frac {1}{x}}{-{\frac {1}{x^{2}}}}}=\lim _{x\to 0^{+}}-x=0.}$$
• A continuación se muestra un ejemplo que involucra la fórmula de pago de la hipoteca y0/0⁠ . Sea P el capital (monto del préstamo), r la tasa de interés por período y n el número de períodos. Cuando r es cero, el monto de pago por período es (ya que solo se paga el capital); esto es consistente con la fórmula para tasas de interés distintas de cero:${\displaystyle {\frac {P}{n}}}$$${\displaystyle \lim _{r\to 0}{\frac {Pr(1+r)^{n}}{(1+r)^{n}-1}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ P\lim _{r\to 0}{\frac {(1+r)^{n}+rn(1+r)^{n-1}}{n(1+r)^{n-1}}}={\frac {P}{n}}.}$$
• También se puede utilizar la regla de L'Hôpital para demostrar el siguiente teorema. Si f es dos veces diferenciable en un entorno de x y su segunda derivada es continua en este entorno, entonces$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x-h)}{2h}}\\[4pt]&=\lim _{h\to 0}{\frac {f''(x+h)+f''(x-h)}{2}}\\[4pt]&=f''(x).\end{aligned}}}$$

• A veces se invoca la regla de L'Hôpital de una manera complicada: supongamos que converge cuando x → ∞ y que converge a infinito positivo o negativo. Entonces: y por lo tanto, existe y (este resultado sigue siendo cierto sin la hipótesis añadida de que converge a infinito positivo o negativo, pero la justificación queda entonces incompleta).${\displaystyle f(x)+f'(x)}$${\displaystyle e^{x}\cdot f(x)}$$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}\cdot f(x)}{e^{x}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}{\bigl (}f(x)+f'(x){\bigr )}}{e^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\bigl (}f(x)+f'(x){\bigr )},}$$${\textstyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$${\textstyle \lim _{x\to \infty }f'(x)=0.}$${\displaystyle e^{x}\cdot f(x)}$

En ocasiones, la regla de L'Hôpital no se reduce a un límite obvio en un número finito de pasos, a menos que se apliquen algunas simplificaciones intermedias. Algunos ejemplos son los siguientes:

• Dos aplicaciones pueden llevar a un retorno a la expresión original que se iba a evaluar: Esta situación se puede resolver sustituyendo y notando que y tiende a infinito cuando x tiende a infinito; con esta sustitución, este problema se puede resolver con una sola aplicación de la regla: Alternativamente, el numerador y el denominador se pueden multiplicar por , en cuyo punto la regla de L'Hôpital se puede aplicar inmediatamente con éxito: ^[8]$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \cdots .}$$${\displaystyle y=e^{x}}$$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=\lim _{y\to \infty }{\frac {y+y^{-1}}{y-y^{-1}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{y\to \infty }{\frac {1-y^{-2}}{1+y^{-2}}}={\frac {1}{1}}=1.}$$${\displaystyle e^{x},}$ $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to \infty }{\frac {2e^{2x}}{2e^{2x}}}=1.}$$
• Un número arbitrariamente grande de aplicaciones puede no conducir nunca a una respuesta, incluso sin repetir: Esta situación también puede resolverse mediante una transformación de variables, en este caso : Nuevamente, un enfoque alternativo es multiplicar numerador y denominador por antes de aplicar la regla de L'Hôpital:$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{\frac {1}{2}}+x^{-{\frac {1}{2}}}}{x^{\frac {1}{2}}-x^{-{\frac {1}{2}}}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to \infty }{\frac {{\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}-{\frac {1}{2}}x^{-{\frac {3}{2}}}}{{\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}+{\frac {1}{2}}x^{-{\frac {3}{2}}}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to \infty }{\frac {-{\frac {1}{4}}x^{-{\frac {3}{2}}}+{\frac {3}{4}}x^{-{\frac {5}{2}}}}{-{\frac {1}{4}}x^{-{\frac {3}{2}}}-{\frac {3}{4}}x^{-{\frac {5}{2}}}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \cdots .}$$${\displaystyle y={\sqrt {x}}}$$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{\frac {1}{2}}+x^{-{\frac {1}{2}}}}{x^{\frac {1}{2}}-x^{-{\frac {1}{2}}}}}=\lim _{y\to \infty }{\frac {y+y^{-1}}{y-y^{-1}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{y\to \infty }{\frac {1-y^{-2}}{1+y^{-2}}}={\frac {1}{1}}=1.}$$${\displaystyle x^{1/2}}$$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{\frac {1}{2}}+x^{-{\frac {1}{2}}}}{x^{\frac {1}{2}}-x^{-{\frac {1}{2}}}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x+1}{x-1}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to \infty }{\frac {1}{1}}=1.}$$

Una falacia lógica común es utilizar la regla de L'Hôpital para demostrar el valor de una derivada calculando el límite de un cociente diferencial . Dado que la aplicación de la regla de L'Hôpital requiere conocer las derivadas pertinentes, esto equivale a un razonamiento circular o a una petición de principio , suponiendo lo que se debe demostrar. Por ejemplo, considere la prueba de la fórmula de la derivada para potencias de x :

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}=nx^{n-1}.}$

La aplicación de la regla de L'Hôpital y el hallazgo de las derivadas con respecto a h dan como resultado nx ^{n −1} como se esperaba, pero este cálculo requiere el uso de la misma fórmula que se está demostrando. De manera similar, para demostrar , la aplicación de L'Hôpital requiere conocer la derivada de en , lo que equivale a calcular en primer lugar; una demostración válida requiere un método diferente, como el teorema del apretón . ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1}$${\displaystyle \sin(x)}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\sin(h)}{h}}}$

Otras formas indeterminadas, como 1 ^∞ , 0 ⁰ , ∞ ⁰ , 0 · ∞ y ∞ − ∞ , a veces se pueden evaluar utilizando la regla de L'Hôpital. Nuevamente indicamos aplicaciones de la regla de L'Hôpital mediante .${\displaystyle \ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ }$

Por ejemplo, para evaluar un límite que involucra ∞ − ∞ , convierta la diferencia de dos funciones en un cociente:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 1}\left({\frac {x}{x-1}}-{\frac {1}{\ln x}}\right)&=\lim _{x\to 1}{\frac {x\cdot \ln x-x+1}{(x-1)\cdot \ln x}}\\[6pt]&\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to 1}{\frac {\ln x}{{\frac {x-1}{x}}+\ln x}}\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {x\cdot \ln x}{x-1+x\cdot \ln x}}\\[6pt]&\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to 1}{\frac {1+\ln x}{1+1+\ln x}}={\frac {1+0}{1+1+0}}.\end{aligned}}}$

La regla de L'Hôpital se puede utilizar en formas indeterminadas que involucran exponentes utilizando logaritmos para "mover el exponente hacia abajo". A continuación se muestra un ejemplo que involucra la forma indeterminada 0 ⁰ :

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}\!}x^{x}=\lim _{x\to 0^{+}\!}e^{\ln(x^{x})}=\lim _{x\to 0^{+}\!}e^{x\cdot \ln x}=\lim _{x\to 0^{+}\!}\exp(x\cdot \ln x)=\exp({\lim \limits _{x\to 0^{+}\!\!}\,x\cdot \ln x}).}$

Es válido mover el límite dentro de la función exponencial porque esta función es continua . Ahora el exponente ha sido "movido hacia abajo". El límite es de la forma indeterminada 0 · ∞ tratada en un ejemplo anterior: L'Hôpital puede usarse para determinar que${\displaystyle x}$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x=0.}$

De este modo

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=\exp(0)=e^{0}=1.}$

En la siguiente tabla se enumeran las formas indeterminadas más comunes y las transformaciones que preceden a la aplicación de la regla de L'Hôpital:

Forma indeterminada con f y g	Condiciones	Transformación a${\displaystyle 0/0}$
⁠0/0⁠	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	—
⁠${\displaystyle \infty }$/${\displaystyle \infty }$⁠	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}$
${\displaystyle 0\cdot \infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!}$
${\displaystyle \infty -\infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!}$
${\displaystyle 0^{0}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$
${\displaystyle 1^{\infty }}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$
${\displaystyle \infty ^{0}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$

El teorema de Stolz-Cesàro es un resultado similar que involucra límites de secuencias, pero utiliza operadores de diferencias finitas en lugar de derivadas .

Considérese la curva paramétrica en el plano xy con coordenadas dadas por las funciones continuas y , el lugar geométrico de los puntos , y supongamos que . La pendiente de la tangente a la curva en es el límite de la razón cuando t → c . La tangente a la curva en el punto es el vector de velocidad con pendiente . La regla de L'Hôpital establece entonces que la pendiente de la curva en el origen ( t = c ) es el límite de la pendiente de la tangente en los puntos que se aproximan al origen, siempre que este esté definido.${\displaystyle g(t)}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle (g(t),f(t))}$${\displaystyle f(c)=g(c)=0}$${\displaystyle (g(c),f(c))=(0,0)}$${\displaystyle \textstyle {\frac {f(t)}{g(t)}}}$${\displaystyle (g(t),f(t))}$ ${\displaystyle (g'(t),f'(t))}$${\displaystyle \textstyle {\frac {f'(t)}{g'(t)}}}$

La prueba de la regla de L'Hôpital es sencilla en el caso en que f y g son continuamente diferenciables en el punto c y en el que se encuentra un límite finito después de la primera ronda de diferenciación. Este es solo un caso especial de la regla de L'Hôpital, porque solo se aplica a funciones que satisfacen condiciones más fuertes que las requeridas por la regla general. Sin embargo, muchas funciones comunes tienen derivadas continuas (por ejemplo, polinomios , seno y coseno , funciones exponenciales ), por lo que este caso especial cubre la mayoría de las aplicaciones.

Supóngase que f y g son continuamente diferenciables en un número real c , que , y que . Entonces${\displaystyle f(c)=g(c)=0}$${\displaystyle g'(c)\neq 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)-0}{g(x)-0}}=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}}\\[6pt]={}&\lim _{x\to c}{\frac {\left({\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\right)}{\left({\frac {g(x)-g(c)}{x-c}}\right)}}={\frac {\lim \limits _{x\to c}\left({\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\right)}{\lim \limits _{x\to c}\left({\frac {g(x)-g(c)}{x-c}}\right)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.\end{aligned}}}$

Esto se desprende de la definición de derivada por cociente de diferencias. La última igualdad se desprende de la continuidad de las derivadas en c . El límite en la conclusión no es indeterminado porque .${\displaystyle g'(c)\neq 0}$

A continuación se presenta la prueba de una versión más general de la regla de L'Hôpital.

La siguiente demostración se debe a Taylor (1952), donde se proporciona una demostración unificada para las formas indeterminadas y . Taylor señala que se pueden encontrar diferentes demostraciones en Lettenmeyer (1936) y Wazewski (1949).${\textstyle {\frac {0}{0}}}$${\textstyle {\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}}$

Sean f y g funciones que satisfacen las hipótesis de la sección Forma general . Sea el intervalo abierto en la hipótesis con punto final c . Considerando que en este intervalo y g es continua, se puede elegir un valor menor de modo que g sea distinto de cero en . ^[d]${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle g'(x)\neq 0}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

Para cada x en el intervalo, defina y como rangos sobre todos los valores entre x y c . (Los símbolos inf y sup denotan el ínfimo y el supremo ).${\displaystyle m(x)=\inf {\frac {f'(t)}{g'(t)}}}$${\displaystyle M(x)=\sup {\frac {f'(t)}{g'(t)}}}$${\displaystyle t}$

A partir de la diferenciabilidad de f y g en , el teorema del valor medio de Cauchy asegura que para dos puntos distintos x e y en existe un entre x e y tal que . En consecuencia, para todas las elecciones de x e y distintos en el intervalo. El valor g ( x ) - g ( y ) es siempre distinto de cero para x e y distintos en el intervalo, ya que si no lo fuera, el teorema del valor medio implicaría la existencia de un p entre x e y tal que g' ( p )=0.${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}={\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}}$${\displaystyle m(x)\leq {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}\leq M(x)}$

La definición de m ( x ) y M ( x ) dará como resultado un número real extendido, por lo que es posible que tomen los valores ±∞. En los dos casos siguientes, m ( x ) y M ( x ) establecerán límites en la relación ⁠F/gramo⁠ .

Caso 1: ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0}$

Para cualquier x en el intervalo , y el punto y entre x y c ,${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

${\displaystyle m(x)\leq {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}={\frac {{\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {f(y)}{g(x)}}}{1-{\frac {g(y)}{g(x)}}}}\leq M(x)}$

y por lo tanto, a medida que y se acerca a c , y se vuelve cero, y así${\displaystyle {\frac {f(y)}{g(x)}}}$${\displaystyle {\frac {g(y)}{g(x)}}}$

${\displaystyle m(x)\leq {\frac {f(x)}{g(x)}}\leq M(x).}$

Caso 2: ${\displaystyle \lim _{x\to c}|g(x)|=\infty }$

Para cada x en el intervalo , defina . Para cada punto y entre x y c ,${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle S_{x}=\{y\mid y{\text{ is between }}x{\text{ and }}c\}}$

${\displaystyle m(x)\leq {\frac {f(y)-f(x)}{g(y)-g(x)}}={\frac {{\frac {f(y)}{g(y)}}-{\frac {f(x)}{g(y)}}}{1-{\frac {g(x)}{g(y)}}}}\leq M(x).}$

A medida que y se acerca a c , tanto y se vuelven cero, y por lo tanto${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(y)}}}$${\displaystyle {\frac {g(x)}{g(y)}}}$

${\displaystyle m(x)\leq \liminf _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\leq \limsup _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\leq M(x).}$

El límite superior y el límite inferior son necesarios ya que la existencia del límite de ⁠F/gramo⁠ aún no se ha establecido.

También es el caso que

${\displaystyle \lim _{x\to c}m(x)=\lim _{x\to c}M(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L.}$

^[e] y

${\displaystyle \lim _{x\to c}\left(\liminf _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\right)=\liminf _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}$y${\displaystyle \lim _{x\to c}\left(\limsup _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\right)=\limsup _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}.}$

En el caso 1, el teorema del apretón establece que existe y es igual a L . En el caso 2, y el teorema del apretón nuevamente afirma que , y por lo tanto el límite existe y es igual a L . Este es el resultado que se debía demostrar.${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}$${\displaystyle \liminf _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\limsup _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L}$${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}$

En el caso 2, no se utilizó el supuesto de que f ( x ) diverge al infinito en la prueba. Esto significa que si | g ( x )| diverge al infinito cuando x se acerca a c y tanto f como g satisfacen las hipótesis de la regla de L'Hôpital, entonces no se necesita ningún supuesto adicional sobre el límite de f ( x ): incluso podría darse el caso de que el límite de f ( x ) no exista. En este caso, el teorema de L'Hôpital es en realidad una consecuencia de Cesàro–Stolz. ^[9]

En el caso en que | g ( x )| diverge hacia el infinito cuando x se acerca a c y f ( x ) converge a un límite finito en c , entonces la regla de L'Hôpital sería aplicable, pero no absolutamente necesaria, ya que el cálculo de límites básico mostrará que el límite de f ( x )/ g ( x ) cuando x se acerca a c debe ser cero.

Una consecuencia sencilla pero muy útil de la regla de L'Hôpital es que la derivada de una función no puede tener una discontinuidad removible. Es decir, supongamos que f es continua en a , y que existe para todo x en algún intervalo abierto que contenga a , excepto quizás para . Supongamos, además, que existe. Entonces también existe y${\displaystyle f'(x)}$${\displaystyle x=a}$${\displaystyle \lim _{x\to a}f'(x)}$${\displaystyle f'(a)}$

${\displaystyle f'(a)=\lim _{x\to a}f'(x).}$

En particular, f' también es continua en a .

Por lo tanto, si una función no es continuamente diferenciable cerca de un punto, la derivada debe tener una discontinuidad esencial en ese punto.

Consideremos las funciones y . La continuidad de f en a nos dice que . Además, dado que una función polinómica siempre es continua en todas partes. La aplicación de la regla de L'Hôpital muestra que .${\displaystyle h(x)=f(x)-f(a)}$${\displaystyle g(x)=x-a}$${\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)=0}$${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=0}$${\displaystyle f'(a):=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=\lim _{x\to a}{\frac {h'(x)}{g'(x)}}=\lim _{x\to a}f'(x)}$

• La polémica en L'Hôpital