Función exponencial

Exponencial
La función exponencial natural a lo largo de una parte del eje real
información general
Definición general	${\displaystyle \exp z=e^{z}}$
Dominio, codominio e imagen
Dominio	${\displaystyle \mathbb {C}}$
Imagen	${\displaystyle {\begin{cases}(0,\infty )&{\text{para }}z\in \mathbb {R} \\\mathbb {C} \setminus \{0\}&{\text{para }}z\in \mathbb {C} \end{cases}}}$
Valores específicos
En cero	1
Valor al 1	mi
Características específicas
Punto fijo	− W n (−1) para${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$
Funciones relacionadas
Recíproca	${\displaystyle \exp(-z)}$
Inverso	Logaritmo natural , logaritmo complejo
Derivado	${\displaystyle \exp 'z=\exp z}$
Antiderivada	${\displaystyle \int \exp z\,dz=\exp z+C}$
Definición de serie
Serie de Taylor	${\displaystyle \exp z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}$

La función exponencial es una función matemática denotada por o (donde el argumento x se escribe como un exponente ). A menos que se especifique lo contrario, el término generalmente se refiere a la función de valor positivo de una variable real , aunque puede extenderse a los números complejos o generalizarse a otros objetos matemáticos como matrices o álgebras de Lie . La función exponencial se originó a partir de la operación de tomar potencias de un número (multiplicación repetida), pero varias definiciones modernas permiten extenderla rigurosamente a todos los argumentos reales , incluidos los números irracionales . Su aparición ubicua en las matemáticas puras y aplicadas llevó al matemático Walter Rudin a considerar la función exponencial como "la función más importante en matemáticas". ^[1]${\displaystyle f(x)=\exp(x)}$$Estilo de visualización e^{x}}$ ${\estilo de visualización x}$

La función para cualquier número real positivo (llamada base ) también se conoce como función exponencial (general) , y satisface la identidad de exponenciación : Esto implica (con factores) para números enteros positivos , donde , relacionando las funciones exponenciales con la noción elemental de exponenciación. La base natural es una constante matemática ubicua llamada número de Euler . Para distinguirla, se llama función exponencial o función exponencial natural : es la única función de valor real de una variable real cuya derivada es ella misma y cuyo valor en 0 es 1 :$Estilo de visualización f(x)=b^{x}}$${\estilo de visualización b}$$${\displaystyle b^{x+y}=b^{x}b^{y}{\text{ para todos }}x,y\in \mathbb {R} .}$$${\displaystyle b^{n}=b\times \cdots \times b}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización n}$$Estilo de visualización b=b^{1}}$${\displaystyle e=\exp(1)=2.71828\ldots}$$Estilo de visualización: \exp(x)=e^{x}}$

${\displaystyle \exp '(x)=\exp(x)}$para todos , y ${\displaystyle x\in \mathbb {R}}$${\displaystyle \exp(0)=1.}$

La relación para y real o complejo permite expresar funciones exponenciales generales en términos de la exponencial natural.${\displaystyle b^{x}=e^{x\ln b}}$${\displaystyle b>0}$${\estilo de visualización x}$

De manera más general, especialmente en entornos aplicados, cualquier función definida por${\displaystyle f:\mathbb {R} \a \mathbb {R} }$

$${\displaystyle f(x)=a\,e^{kx}=a\,b^{cx},{\text{ con }}k=c\ln b,\ k\neq 0,\ a,b>0}$$

También se conoce como función exponencial: resuelve el problema del valor inicial , es decir, su tasa de cambio en cada punto es proporcional al valor de la función en ese punto. Este comportamiento modela diversos fenómenos en las ciencias biológicas, físicas y sociales, por ejemplo, el crecimiento sin restricciones de una población autorreproductora , la desintegración de un elemento radiactivo , el interés compuesto que se acumula en un fondo financiero o la mejora autosostenible del diseño de computadoras .${\displaystyle f'=kf,\ f(0)=a}$

La función exponencial también se puede definir como una serie de potencias , que se aplica fácilmente a argumentos reales, complejos e incluso matriciales. La función exponencial compleja toma todos los valores complejos excepto 0 y está estrechamente relacionada con las funciones trigonométricas por la fórmula de Euler :${\displaystyle \exp :\mathbb {C} \a \mathbb {C} }$

${\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}\cos(y)\,+\,i\,e^{x}\sin(y).}$

Motivada por sus propiedades y caracterizaciones más abstractas, la función exponencial se puede generalizar a contextos mucho más amplios, como matrices cuadradas y grupos de Lie . Incluso más, la definición de ecuación diferencial se puede generalizar a una variedad de Riemann .

La función exponencial de los números reales es una biyección de al intervalo . ^[2] Su función inversa es el logaritmo natural , denotado , ^{[nb 1]} , ^{[nb 2]} o . Algunos textos antiguos ^[3] se refieren a la función exponencial como el antilogaritmo .${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle (0,\infty)}$${\estilo de visualización \ln}$ ${\estilo de visualización \log}$${\displaystyle \log_{e}}$

La gráfica de tiene pendiente positiva y aumenta más rápido a medida que x aumenta. ^[4] La gráfica siempre se encuentra por encima del eje x , pero se acerca arbitrariamente a él para valores negativos grandes de x ; por lo tanto, el eje x es una asíntota horizontal . La ecuación significa que la pendiente de la tangente a la gráfica en cada punto es igual a su altura (su coordenada y ) en ese punto.$Estilo de visualización y = e x$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$

La función exponencial a veces se denomina función exponencial natural para distinguirla de las otras funciones exponenciales. El estudio de cualquier función exponencial se puede reducir fácilmente al de la función exponencial natural, ya que por definición, para b positivo , Como funciones de una variable real, las funciones exponenciales se caracterizan únicamente por el hecho de que la derivada de dicha función es directamente proporcional al valor de la función. La constante de proporcionalidad de esta relación es el logaritmo natural de la base b : Sea un coeficiente positivo. Para , la función es creciente (como se representa para b = e y b = 2 ), porque hace que la derivada sea siempre positiva y describe un crecimiento exponencial . Para , la función es decreciente (como se representa para b = ⁠$Estilo de visualización f(x)=e^{x}}$$${\displaystyle a\,b^{x}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} a\,e^{x\ln b}}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}a\,b^{x}={\frac {d}{dx}}a\,e^{x\ln(b)}=a\,e^{x\ln(b)}\ln(b)=a\,b^{x}\ln(b).}$$${\displaystyle a>0}$${\displaystyle b>1}$${\estilo de visualización a\,b^{x}}$${\displaystyle \ln b>0}$${\estilo de visualización 0<b<1}$1/2⁠ ), y describe el decaimiento exponencial . Para b = 1 , la función es constante.

El número de Euler e = 2,71828... ^[5] es la única base para la que la constante de proporcionalidad es 1, ya que , de modo que la función es su propia derivada:${\displaystyle \ln(e)=1}$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}\ln(e)=e^{x}.}$$

Esta función, también denotada como , se llama "función exponencial natural", ^{[6] [7]} o simplemente "la función exponencial", denotada como La primera notación se usa comúnmente para exponentes más simples, mientras que la última se prefiere cuando el exponente es más complicado y más difícil de leer en una fuente pequeña. Dado que cualquier función exponencial se puede escribir en términos de la exponencial natural, es computacional y conceptualmente conveniente reducir el estudio de las funciones exponenciales a esta en particular. ${\estilo de visualización \exp(x)}$$${\displaystyle x\mapsto e^{x}\quad {\text{or}}\quad x\mapsto \exp(x).}$$${\displaystyle f(x)=a\,b^{x}}$

Para los números reales , una función de la forma también es una función exponencial: ${\displaystyle c,d}$${\displaystyle f(x)=ab^{cx+d}}$$${\displaystyle ab^{cx+d}=\left(ab^{d}\right)\left(b^{c}\right)^{x}=\left(ab^{d}\right)e^{xc\ln b}.}$$

La función exponencial se puede caracterizar de diversas formas equivalentes. Se suele definir mediante la siguiente serie de potencias : ^{[1] [8]}${\displaystyle \exp }$$${\displaystyle \exp x:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots }$$

Como el radio de convergencia de esta serie de potencias es infinito, esta definición es aplicable a todos los números complejos; véase § Plano complejo.

La diferenciación término por término de esta serie de potencias revela que para todo x , lo que conduce a otra caracterización común de como la única solución de la ecuación diferencial ordinaria que satisface la condición inicial${\textstyle {\frac {d}{dx}}\exp x=\exp x}$${\displaystyle \exp x}$$${\displaystyle y'(x)=y(x)}$$ ${\displaystyle y(0)=1.}$

La misma ecuación diferencial , también se puede resolver utilizando el método de Euler , que da otra caracterización común, la fórmula del límite del producto: ^{[9] [8]}${\displaystyle y'(x)=y(x)}$${\displaystyle y'(0)=1}$$${\displaystyle \exp x=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$$

Con cualquiera de estas definiciones equivalentes, se define el número de Euler . Entonces se puede demostrar que es igual a la función exponencial , y ambas se pueden escribir como${\textstyle e=\exp 1}$${\textstyle (\exp 1)^{x}}$${\textstyle \exp x}$${\textstyle e^{x}.}$

También hay otra forma de caracterizar la función exponencial para números reales: es la única función que satisface la identidad para todos los números reales , toma el valor y alcanza cualquiera de las siguientes condiciones de regularidad:${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle f(1)=e}$

• ${\displaystyle f}$es continua en cualquier lugar;
• ${\displaystyle f}$aumenta en cualquier intervalo;
• ${\displaystyle f}$está acotado en cualquier intervalo.

En dominios más amplios, es decir, los números complejos , las condiciones anteriores no son suficientes para caracterizar de manera única a todos los . Se pueden utilizar condiciones más fuertes, como la derivada compleja .${\displaystyle f(x)\equiv e^{x}}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f'(0)=1}$

La función exponencial surge siempre que una cantidad crece o decae a una tasa proporcional a su valor actual. Una de esas situaciones es el interés compuesto continuo y, de hecho, fue esta observación la que llevó a Jacob Bernoulli en 1683 ^[10] al número que hoy conocemos como e . Más tarde, en 1697, Johann Bernoulli estudió el cálculo de la función exponencial. ^[10]$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$$

Si un monto principal de 1 genera intereses a una tasa anual de x compuesta mensualmente, entonces el interés ganado cada mes esincógnita/12⁠ veces el valor actual, por lo que cada mes el valor total se multiplica por (1 + ⁠incógnita/12⁠ ) ​​, y el valor al final del año es (1 + ⁠incógnita/12⁠ ) ^​​12 . Si en cambio el interés se capitaliza diariamente, esto se convierte en (1 + ⁠incógnita/365⁠ ) ^​​365 . Dejar que el número de intervalos de tiempo por año crezca sin límite conduce a la definición límite de la función exponencial, dada por primera vez por Leonhard Euler . ^[9] Esta es una de varias caracterizaciones de la función exponencial ; otras involucran series o ecuaciones diferenciales .$${\displaystyle \exp x=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$$

De cualquiera de estas definiciones se puede demostrar que e ^{− x} es el recíproco de e ^x . Por ejemplo, de la definición de ecuación diferencial, e ^x e ^{− x} = 1 cuando x = 0 y su derivada usando la regla del producto es e ^x e ^{− x} − e ^x e ^{− x} = 0 para todo x , por lo que e ^x e ^{− x} = 1 para todo x .

A partir de cualquiera de estas definiciones se puede demostrar que la función exponencial obedece a la identidad de exponenciación básica . Por ejemplo, a partir de la definición de serie de potencias, desarrollada por el teorema del binomio , Esto justifica la notación exponencial e ^x para exp x .$${\displaystyle \exp(x+y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(x+y)^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}{\frac {x^{k}y^{n-k}}{n!}}=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {x^{k}y^{\ell }}{k!\ell !}}=\exp x\cdot \exp y\,.}$$

La derivada (tasa de cambio) de la función exponencial es la función exponencial en sí misma. En términos más generales, una función con una tasa de cambio proporcional a la función misma se puede expresar en términos de la función exponencial. Esta propiedad de la derivada conduce a un crecimiento exponencial o a un decrecimiento exponencial .

La función exponencial se extiende a una función completa en el plano complejo . La fórmula de Euler relaciona sus valores en argumentos puramente imaginarios con funciones trigonométricas . La función exponencial también tiene análogos para los cuales el argumento es una matriz , o incluso un elemento de un álgebra de Banach o un álgebra de Lie .

La importancia de la función exponencial en las matemáticas y las ciencias se debe principalmente a su propiedad de ser la única función que es igual a su derivada y es igual a 1 cuando x = 0. Es decir,$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}\quad {\text{and}}\quad e^{0}=1.}$$

Las funciones de la forma ae ^x para una constante a son las únicas funciones que son iguales a su derivada (según el teorema de Picard-Lindelöf ). Otras formas de decir lo mismo son:

• La pendiente de la gráfica en cualquier punto es la altura de la función en ese punto.
• La tasa de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x .
• La función resuelve la ecuación diferencial y ′ = y .
• exp es un punto fijo de la derivada como funcional .

Si la tasa de crecimiento o decaimiento de una variable es proporcional a su tamaño (como es el caso del crecimiento ilimitado de una población, ver la catástrofe maltusiana ), el interés compuesto continuo o el decaimiento radiactivo ), entonces la variable puede escribirse como una constante multiplicada por una función exponencial del tiempo.

De manera más general, para cualquier constante real k , una función f : R → R satisface si y solo si para alguna constante a . La constante k se denomina constante de decaimiento , constante de desintegración , ^[11] constante de velocidad , ^[12] o constante de transformación . ^[13]${\displaystyle f'=kf}$${\displaystyle f(x)=ae^{kx}}$

Además, para cualquier función diferenciable f , encontramos, por la regla de la cadena :$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{f(x)}=f'(x)\,e^{f(x)}.}$$

Una fracción continua para e ^x se puede obtener mediante una identidad de Euler :$${\displaystyle e^{x}=1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{x+2-{\cfrac {2x}{x+3-{\cfrac {3x}{x+4-\ddots }}}}}}}}}$$

La siguiente fracción continua generalizada para e ^z converge más rápidamente: ^[14]$${\displaystyle e^{z}=1+{\cfrac {2z}{2-z+{\cfrac {z^{2}}{6+{\cfrac {z^{2}}{10+{\cfrac {z^{2}}{14+\ddots }}}}}}}}}$$

o, aplicando la sustitución z = ⁠incógnita/y⁠ : con un caso especial para z = 2 :$${\displaystyle e^{\frac {x}{y}}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+\ddots }}}}}}}}}$$$${\displaystyle e^{2}=1+{\cfrac {4}{0+{\cfrac {2^{2}}{6+{\cfrac {2^{2}}{10+{\cfrac {2^{2}}{14+\ddots \,}}}}}}}}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots \,}}}}}}}}}$$

Esta fórmula también converge, aunque más lentamente, para z > 2 . Por ejemplo:$${\displaystyle e^{3}=1+{\cfrac {6}{-1+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{10+{\cfrac {3^{2}}{14+\ddots \,}}}}}}}}=13+{\cfrac {54}{7+{\cfrac {9}{14+{\cfrac {9}{18+{\cfrac {9}{22+\ddots \,}}}}}}}}}$$

Como en el caso real , la función exponencial se puede definir en el plano complejo en varias formas equivalentes.

La definición más común de la función exponencial compleja es paralela a la definición de serie de potencias para argumentos reales, donde la variable real se reemplaza por una compleja:$${\displaystyle \exp z:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}}$$

Alternativamente, la función exponencial compleja puede definirse modelando la definición del límite para argumentos reales, pero con la variable real reemplazada por una compleja:$${\displaystyle \exp z:=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}}$$

Para la definición de serie de potencias, la multiplicación término por término de dos copias de esta serie de potencias en el sentido de Cauchy , permitida por el teorema de Mertens , muestra que la propiedad multiplicativa definitoria de las funciones exponenciales continúa siendo válida para todos los argumentos complejos:$${\displaystyle \exp(w+z)=\exp w\exp z{\text{ for all }}w,z\in \mathbb {C} }$$

La definición de la función exponencial compleja conduce a su vez a las definiciones apropiadas que extienden las funciones trigonométricas a argumentos complejos.

En particular, cuando z = it ( t real), la definición de la serie produce la expansión$${\displaystyle \exp(it)=\left(1-{\frac {t^{2}}{2!}}+{\frac {t^{4}}{4!}}-{\frac {t^{6}}{6!}}+\cdots \right)+i\left(t-{\frac {t^{3}}{3!}}+{\frac {t^{5}}{5!}}-{\frac {t^{7}}{7!}}+\cdots \right).}$$

En este desarrollo, la reorganización de los términos en partes reales e imaginarias se justifica por la convergencia absoluta de la serie. Las partes reales e imaginarias de la expresión anterior corresponden de hecho a los desarrollos en serie de cos t y sen t , respectivamente.

Esta correspondencia proporciona una motivación para definir coseno y seno para todos los argumentos complejos en términos de y la serie de potencia equivalente: ^[15]${\displaystyle \exp(\pm iz)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&\cos z:={\frac {\exp(iz)+\exp(-iz)}{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k}}{(2k)!}},\\[5pt]{\text{and }}\quad &\sin z:={\frac {\exp(iz)-\exp(-iz)}{2i}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)!}}\end{aligned}}}$$

a pesar de${\textstyle z\in \mathbb {C} .}$

Las funciones exp , cos y sen así definidas tienen radios de convergencia infinitos según la prueba de la razón y, por lo tanto, son funciones enteras (es decir, holomorfas en ). El rango de la función exponencial es , mientras que los rangos de las funciones complejas seno y coseno son ambos en su totalidad, de acuerdo con el teorema de Picard , que afirma que el rango de una función entera no constante es todo , o excluyendo un valor lagunar .${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Estas definiciones de las funciones exponenciales y trigonométricas conducen trivialmente a la fórmula de Euler :$${\displaystyle \exp(iz)=\cos z+i\sin z{\text{ for all }}z\in \mathbb {C} .}$$

Alternativamente, podríamos definir la función exponencial compleja en base a esta relación. Si z = x + iy , donde x e y son ambos reales, entonces podríamos definir su exponencial como donde exp , cos y sin en el lado derecho del signo de definición deben interpretarse como funciones de una variable real, previamente definida por otros medios. ^[16]$${\displaystyle \exp z=\exp(x+iy):=(\exp x)(\cos y+i\sin y)}$$

Para , la relación se cumple, de modo que para los reales y asigna la línea real (mod 2 π ) al círculo unitario en el plano complejo. Además, yendo de a , la curva definida por traza un segmento del círculo unitario de longitud que comienza en z = 1 en el plano complejo y va en sentido antihorario. Con base en estas observaciones y en el hecho de que la medida de un ángulo en radianes es la longitud del arco en el círculo unitario subtendido por el ángulo, es fácil ver que, restringido a argumentos reales, las funciones seno y coseno como se definieron anteriormente coinciden con las funciones seno y coseno como se introdujeron en las matemáticas elementales a través de nociones geométricas.${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle {\overline {\exp(it)}}=\exp(-it)}$${\displaystyle \left|\exp(it)\right|=1}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t\mapsto \exp(it)}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle t=t_{0}}$${\displaystyle \gamma (t)=\exp(it)}$$${\displaystyle \int _{0}^{t_{0}}|\gamma '(t)|\,dt=\int _{0}^{t_{0}}|i\exp(it)|\,dt=t_{0},}$$

La función exponencial compleja es periódica con período 2 πi y es válida para todo .${\displaystyle \exp(z+2\pi ik)=\exp z}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} ,k\in \mathbb {Z} }$

Cuando su dominio se extiende desde la línea real al plano complejo, la función exponencial conserva las siguientes propiedades:$${\displaystyle {\begin{aligned}&e^{z+w}=e^{z}e^{w}\,\\[5pt]&e^{0}=1\,\\[5pt]&e^{z}\neq 0\\[5pt]&{\frac {d}{dz}}e^{z}=e^{z}\\[5pt]&\left(e^{z}\right)^{n}=e^{nz},n\in \mathbb {Z} \end{aligned}}}$$

a pesar de${\textstyle w,z\in \mathbb {C} .}$

Extender el logaritmo natural a argumentos complejos produce el logaritmo complejo log z , que es una función multivalor .

Podemos definir entonces una exponenciación más general: para todos los números complejos z y w . Esta también es una función multivaluada, incluso cuando z es real. Esta distinción es problemática, ya que las funciones multivaluadas log z y z ^w se confunden fácilmente con sus equivalentes univaluados cuando se sustituye z por un número real . La regla sobre la multiplicación de exponentes para el caso de números reales positivos debe modificarse en un contexto multivaluado:$${\displaystyle z^{w}=e^{w\log z}}$$

Consulte Falla de identidades de potencia y logaritmo para obtener más información sobre los problemas con la combinación de potencias.

La función exponencial convierte cualquier línea en el plano complejo en una espiral logarítmica en el plano complejo con centro en el origen . Existen dos casos especiales: cuando la línea original es paralela al eje real, la espiral resultante nunca se cierra sobre sí misma; cuando la línea original es paralela al eje imaginario, la espiral resultante es un círculo de cierto radio.

• Gráficos 3D de la parte real, la parte imaginaria y el módulo de la función exponencial
• 
  z ⁼ Re( ex ^{+ iy} )
• 
  z ⁼ Im( ex ^{+ iy} )
• 
  z = | e ^{x + iy} |

Considerando la función exponencial compleja como una función que involucra cuatro variables reales: la gráfica de la función exponencial es una superficie bidimensional que se curva a través de cuatro dimensiones.$${\displaystyle v+iw=\exp(x+iy)}$$

Comenzando con una porción del dominio codificada por colores, las siguientes son representaciones del gráfico proyectado de diversas formas en dos o tres dimensiones.${\displaystyle xy}$

• Gráficas de la función exponencial compleja
• 
  Clave del tablero de ajedrez:
  ${\displaystyle x>0:\;{\text{green}}}$
  ${\displaystyle x<0:\;{\text{red}}}$
  ${\displaystyle y>0:\;{\text{yellow}}}$
  ${\displaystyle y<0:\;{\text{blue}}}$
• 
  Proyección sobre el plano complejo de rango (V/W). Compárese con la siguiente imagen en perspectiva.
• 
  Proyección en las dimensiones , , y , produciendo una forma de cuerno ensanchado o embudo (imaginada como una imagen en perspectiva 2D)${\displaystyle x}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$
• 
  Proyección en las dimensiones , , y , produciendo una forma espiral ( rango ampliado a ±2 π , nuevamente como imagen en perspectiva 2-D)${\displaystyle y}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$${\displaystyle y}$

La segunda imagen muestra cómo el plano complejo de dominio se asigna al plano complejo de rango:

• El cero se asigna a 1
• El eje real se asigna al eje real positivo.${\displaystyle x}$${\displaystyle v}$
• El eje imaginario se envuelve alrededor del círculo unitario a una velocidad angular constante.${\displaystyle y}$
• Los valores con partes reales negativas se asignan dentro del círculo unitario.
• Los valores con partes reales positivas se asignan fuera del círculo unitario.
• Los valores con una parte real constante se asignan a círculos centrados en cero.
• Los valores con una parte imaginaria constante se asignan a rayos que se extienden desde cero.

La tercera y cuarta imágenes muestran cómo el gráfico de la segunda imagen se extiende a una de las otras dos dimensiones que no se muestran en la segunda imagen.

La tercera imagen muestra el gráfico extendido a lo largo del eje real. Muestra que el gráfico es una superficie de revolución alrededor del eje del gráfico de la función exponencial real, lo que produce una forma de cuerno o embudo.${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

La cuarta imagen muestra el gráfico extendido a lo largo del eje imaginario. Muestra que la superficie del gráfico para valores positivos y negativos en realidad no se encuentra a lo largo del eje real negativo, sino que forma una superficie espiral alrededor del eje. Debido a que sus valores se han extendido a ±2 π , esta imagen también representa mejor la periodicidad 2π en el valor imaginario.${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle v}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$

La exponenciación compleja a ^b se puede definir convirtiendo a a coordenadas polares y utilizando la identidad ( e ^{ln a} )^b
= un ^b :$${\displaystyle a^{b}=\left(re^{\theta i}\right)^{b}=\left(e^{(\ln r)+\theta i}\right)^{b}=e^{\left((\ln r)+\theta i\right)b}}$$

Sin embargo, cuando b no es un entero, esta función es multivaluada , porque θ no es única (ver Exponenciación § Falla de las identidades de potencia y logaritmo ).

La definición de serie de potencias de la función exponencial tiene sentido para matrices cuadradas (para las cuales la función se llama exponencial matricial ) y, de manera más general, en cualquier álgebra de Banach unitaria B. En este contexto, e ⁰ = 1 , y e ^x es invertible con e ^{− x} inverso para cualquier x en B. Si xy = yx , entonces e ^{x + y} = e ^x e ^y , pero esta identidad puede fallar para x e y no conmutativos .

Algunas definiciones alternativas conducen a la misma función. Por ejemplo, e ^x puede definirse como$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$$

O e ^x se puede definir como f _x (1) , donde f _x  : R → B es la solución de la ecuación diferencial ⁠dfx_​/es⁠ ( t ) = x  f _x ( t ) , con condición inicial f _x (0) = 1 ; se sigue que f _x ( t ) = e ^tx para cada t en R .

Dado un grupo de Lie G y su álgebra de Lie asociada , la función exponencial es una función ↦ G que satisface propiedades similares. De hecho, dado que R es el álgebra de Lie del grupo de Lie de todos los números reales positivos bajo multiplicación, la función exponencial ordinaria para argumentos reales es un caso especial de la situación del álgebra de Lie. De manera similar, dado que el grupo de Lie GL( n , R ) de matrices invertibles n × n tiene como álgebra de Lie M( n , R ) , el espacio de todas las matrices n × n , la función exponencial para matrices cuadradas es un caso especial de la función exponencial del álgebra de Lie.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

La identidad puede fallar para los elementos del álgebra de Lie x e y que no conmutan; la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff proporciona los términos de corrección necesarios.${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)}$

La función e ^z no está en el anillo de funciones racionales : no es el cociente de dos polinomios con coeficientes complejos.${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$

Si a ₁ , ..., a _n son números complejos distintos, entonces e ^{a ₁ z} , ..., e ^{a _n z} son linealmente independientes sobre , y por lo tanto e ^z es trascendental sobre .${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$

Al calcular (una aproximación de) la función exponencial cerca del argumento 0 , el resultado será cercano a 1, y calcular el valor de la diferencia con aritmética de punto flotante puede llevar a la pérdida de (posiblemente todas) las cifras significativas , lo que produce un gran error de cálculo, posiblemente incluso un resultado sin sentido.${\displaystyle e^{x}-1}$

Siguiendo una propuesta de William Kahan , puede ser útil tener una rutina dedicada, a menudo llamada expm1, para calcular e ^x − 1 directamente, evitando el cálculo de e ^x . Por ejemplo, si la exponencial se calcula utilizando su serie de Taylor, se puede utilizar la serie de Taylor de :$${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots ,}$$${\displaystyle e^{x}-1}$$${\displaystyle e^{x}-1=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots .}$$

Esto se implementó por primera vez en 1979 en la calculadora Hewlett-Packard HP-41C y lo proporcionan varias calculadoras, ^{[17] [18]} sistemas operativos (por ejemplo, Berkeley UNIX 4.3BSD ^[19] ), sistemas de álgebra computacional y lenguajes de programación (por ejemplo, C99 ). ^[20]

Además de la base e , el estándar IEEE 754-2008 define funciones exponenciales similares cerca de 0 para bases 2 y 10: y .${\displaystyle 2^{x}-1}$${\displaystyle 10^{x}-1}$

Se ha utilizado un enfoque similar para el logaritmo (véase lnp1 ). ^{[nb 3]}

Una identidad en términos de la tangente hiperbólica , proporciona un valor de alta precisión para valores pequeños de x en sistemas que no implementan expm1( x ) .$${\displaystyle \operatorname {expm1} (x)=e^{x}-1={\frac {2\tanh(x/2)}{1-\tanh(x/2)}},}$$

• "Función exponencial", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]