Seno y coseno

Seno y coseno
información general
Definición general	${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin(\theta )={\frac {\textrm {opuesto}}{\textrm {hipotenusa}}}\\[8pt]&\cos(\theta )={\frac {\textrm {adyacente}}{\textrm {hipotenusa}}}\\[8pt]\end{aligned}}}$
Campos de aplicación	Trigonometría , series de Fourier , etc.

En matemáticas , el seno y el coseno son funciones trigonométricas de un ángulo . El seno y el coseno de un ángulo agudo se definen en el contexto de un triángulo rectángulo : para el ángulo especificado, su seno es la razón entre la longitud del lado opuesto a ese ángulo y la longitud del lado más largo del triángulo (la hipotenusa ), y el coseno es la razón entre la longitud del cateto adyacente y la de la hipotenusa . Para un ángulo , las funciones seno y coseno se denotan como y .${\estilo de visualización \theta}$${\displaystyle \sin(\theta )}$${\displaystyle \cos(\theta )}$

Las definiciones de seno y coseno se han extendido a cualquier valor real en términos de las longitudes de ciertos segmentos de línea en un círculo unitario . Las definiciones más modernas expresan el seno y el coseno como series infinitas , o como las soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales , permitiendo su extensión a valores positivos y negativos arbitrarios e incluso a números complejos .

Las funciones seno y coseno se utilizan habitualmente para modelar fenómenos periódicos como las ondas sonoras y luminosas , la posición y velocidad de los osciladores armónicos, la intensidad de la luz solar y la duración del día, y las variaciones de temperatura media a lo largo del año. Su origen se remonta a las funciones jyā y koṭi-jyā utilizadas en la astronomía india durante el período Gupta .

Para definir el seno y el coseno de un ángulo agudo , se parte de un triángulo rectángulo que contiene un ángulo de medida ; en la figura adjunta, el ángulo en un triángulo rectángulo es el ángulo de interés. Los tres lados del triángulo se nombran de la siguiente manera: ^[1]${\estilo de visualización \alpha}$${\estilo de visualización \alpha}$${\estilo de visualización \alpha}$${\estilo de visualización ABC}$

• El lado opuesto es el lado opuesto al ángulo de interés; en este caso, es .${\estilo de visualización a}$
• La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto; en este caso, es . La hipotenusa es siempre el lado más largo de un triángulo rectángulo.${\estilo de visualización h}$
• El lado adyacente es el lado restante; en este caso, es . Forma un lado de (y es adyacente a) el ángulo de interés y el ángulo recto.${\estilo de visualización b}$

Una vez elegido dicho triángulo, el seno del ángulo es igual a la longitud del lado opuesto dividido por la longitud de la hipotenusa, y el coseno del ángulo es igual a la longitud del lado adyacente dividido por la longitud de la hipotenusa: ^[1]$${\displaystyle \sin(\alpha )={\frac {\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}},\qquad \cos(\alpha )={\frac {\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}}.}$$

Las demás funciones trigonométricas del ángulo se pueden definir de forma similar; por ejemplo, la tangente es la razón entre los lados opuesto y adyacente o, equivalentemente, la razón entre las funciones seno y coseno. El recíproco del seno es la cosecante, que da la razón entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del lado opuesto. De manera similar, el recíproco del coseno es la secante, que da la razón entre la longitud de la hipotenusa y la del lado adyacente. La función cotangente es la razón entre los lados adyacente y opuesto, un recíproco de una función tangente. Estas funciones se pueden formular como: ^[1]$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\theta )&={\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}={\frac {\text{opuesto}}{\text{adyacente}}},\\\cot(\theta )&={\frac {1}{\tan(\theta )}}={\frac {\text{adyacente}}{\text{opuesto}}},\\\csc(\theta )&={\frac {1}{\sin(\theta )}}={\frac {\text{hipotenusa}}{\text{opuesto}}},\\\sec(\theta )&={\frac {1}{\cos(\theta )}}={\frac {\textrm {hipotenusa}}{\textrm {adyacente}}}.\end{aligned}}}$$

Como se indicó, los valores y parecen depender de la elección de un triángulo rectángulo que contenga un ángulo de medida . Sin embargo, este no es el caso, ya que todos estos triángulos son similares y, por lo tanto, las proporciones son las mismas para cada uno de ellos. Por ejemplo, cada cateto del triángulo rectángulo 45-45-90 es 1 unidad y su hipotenusa es ; por lo tanto, . ^[2] La siguiente tabla muestra el valor especial de cada entrada tanto para el seno como para el coseno con el dominio entre . La entrada en esta tabla proporciona varios sistemas de unidades, como grados, radianes, etc. Los ángulos distintos de esos cinco se pueden obtener utilizando una calculadora. ^{[3] [4]}${\displaystyle \sin(\alpha )}$${\displaystyle \cos(\alpha )}$${\estilo de visualización \alpha}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\textstyle \sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}}$${\textstyle 0<\alpha <{\frac {\pi }{2}}}$

Angulo, x				pecado( x )		cos( x )
Grados	Radianes	Gradianes	Vueltas	Exacto	Decimal	Exacto	Decimal
0°	0	0 gramos	0	0	0	1	1
30°	⁠1/6⁠ π	33+1/3⁠ sol	⁠1/12⁠	⁠1/2⁠	0,5	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	0,8660
45°	⁠1/4⁠ π	50 gramos	⁠1/8⁠	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	0,7071	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	0,7071
60°	⁠1/3⁠ π	66+2/3⁠ sol	⁠1/6⁠	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	0,8660	⁠1/2⁠	0,5
90°	⁠1/2⁠ π	100 gramos	⁠1/4⁠	1	1	0	0

La ley de los senos es útil para calcular las longitudes de los lados desconocidos en un triángulo si se conocen dos ángulos y un lado. ^[5] Dado que un triángulo con lados , , y , y ángulos opuestos a esos lados , , y . La ley establece, Esto es equivalente a la igualdad de las primeras tres expresiones a continuación: donde es el radio circunscrito del triángulo .${\estilo de visualización ABC}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización c}$${\estilo de visualización \alpha}$${\estilo de visualización \beta}$${\estilo de visualización \gamma}$$${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{a}}={\frac {\sin \beta }{b}}={\frac {\sin \gamma }{c}}.}$$$${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R,}$$${\displaystyle R}$

La ley de los cosenos es útil para calcular la longitud de un lado desconocido si se conocen otros dos lados y un ángulo. ^[5] La ley establece que, en el caso en que de donde , la ecuación resultante se convierte en el teorema de Pitágoras . ^[6]$${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )=c^{2}}$$${\displaystyle \gamma =\pi /2}$${\displaystyle \cos(\gamma )=0}$

El producto vectorial y el producto escalar son operaciones sobre dos vectores en el espacio vectorial euclidiano . Las funciones seno y coseno se pueden definir en términos del producto vectorial y del producto escalar. Si y son vectores, y es el ángulo entre y , entonces seno y coseno se pueden definir como:${\displaystyle \mathbb {a} }$${\displaystyle \mathbb {b} }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \mathbb {a} }$${\displaystyle \mathbb {b} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta )&={\frac {|\mathbb {a} \times \mathbb {b} |}{|a||b|}},\\\cos(\theta )&={\frac {\mathbb {a} \cdot \mathbb {b} }{|a||b|}}.\end{aligned}}}$$

Las funciones seno y coseno también pueden definirse de una manera más general utilizando el círculo unitario , un círculo de radio uno centrado en el origen , formulado como la ecuación de en el sistema de coordenadas cartesianas . Sea una línea que pasa por el origen interseca el círculo unitario, formando un ángulo de con la mitad positiva del eje - . Las coordenadas - y - de este punto de intersección son iguales a y , respectivamente; es decir, ^[7]${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \cos(\theta )}$${\displaystyle \sin(\theta )}$$${\displaystyle \sin(\theta )=y,\qquad \cos(\theta )=x.}$$

Esta definición es coherente con la definición de seno y coseno del triángulo rectángulo cuando porque la longitud de la hipotenusa del círculo unitario es siempre 1; matemáticamente hablando, el seno de un ángulo es igual al lado opuesto del triángulo, que es simplemente la coordenada - . Se puede hacer un argumento similar para la función coseno para demostrar que el coseno de un ángulo cuando , incluso bajo la nueva definición que utiliza el círculo unitario. ^{[8] [9]}${\textstyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle y}$${\textstyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$

El uso de la definición de círculo unitario tiene la ventaja de dibujar un gráfico de las funciones seno y coseno. Esto se puede hacer rotando en sentido antihorario un punto a lo largo de la circunferencia de un círculo, dependiendo de la entrada . En una función seno, si la entrada es , el punto se rota en sentido antihorario y se detiene exactamente en el eje - . Si , el punto está en la mitad del círculo. Si , el punto regresa a su origen. Esto da como resultado que las funciones seno y coseno tienen un rango entre . ^[10]${\displaystyle \theta >0}$${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \theta =\pi }$${\displaystyle \theta =2\pi }$${\displaystyle -1\leq y\leq 1}$

Extendiendo el ángulo a cualquier dominio real, el punto rota en sentido antihorario de forma continua. Esto se puede hacer de forma similar también para la función coseno, aunque el punto se rota inicialmente desde la coordenada - . En otras palabras, tanto las funciones seno como coseno son periódicas , lo que significa que cualquier ángulo añadido por el círculo de la circunferencia es el ángulo en sí mismo. Matemáticamente, ^[11]${\displaystyle y}$$${\displaystyle \sin(\theta +2\pi )=\sin(\theta ),\qquad \cos(\theta +2\pi )=\cos(\theta ).}$$

Se dice que una función es impar si , y se dice que es par si . La función seno es impar, mientras que la función coseno es par. ^[12] Tanto la función seno como la función coseno son similares, y su diferencia se desplaza en . Esto significa que, ^[13]${\displaystyle f}$${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$${\displaystyle f(-x)=f(x)}$${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta )&=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right),\\\cos(\theta )&=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right).\end{aligned}}}$$

El cero es el único punto fijo real de la función seno; en otras palabras, la única intersección de la función seno y la función identidad es . El único punto fijo real de la función coseno se llama número de Dottie . El número de Dottie es la única raíz real de la ecuación . La expansión decimal del número de Dottie es aproximadamente 0,739085. ^[14]${\displaystyle \sin(0)=0}$${\displaystyle \cos(x)=x}$

Las funciones seno y coseno son infinitamente diferenciables. ^[15] La derivada del seno es el coseno, y la derivada del coseno es el seno negativo: ^[16] Continuar el proceso en derivadas de orden superior da como resultado las mismas funciones repetidas; la cuarta derivada de un seno es el seno mismo. ^[15] Estas derivadas se pueden aplicar a la prueba de la primera derivada , según la cual la monotonía de una función se puede definir como la desigualdad de la primera derivada de la función mayor o menor que igual a cero. ^[17] También se puede aplicar a la prueba de la segunda derivada , según la cual la concavidad de una función se puede definir aplicando la desigualdad de la segunda derivada de la función mayor o menor que igual a cero. ^[18] La siguiente tabla muestra que tanto las funciones seno como coseno tienen concavidad y monotonía (el signo positivo ( ) denota que un gráfico es creciente (subiendo) y el signo negativo ( ) es decreciente (bajando)) en ciertos intervalos. ^[19] Esta información se puede representar como un sistema de coordenadas cartesianas dividido en cuatro cuadrantes.$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x),\qquad {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x).}$$${\displaystyle +}$${\displaystyle -}$

Cuadrante	Ángulo		Seno			Coseno
	Grados	Radianes	Firmar	Monotonía	Convexidad	Firmar	Monotonía	Convexidad
1er cuadrante, yo	${\displaystyle 0^{\circ }<x<90^{\circ }}$	${\displaystyle 0<x<{\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle +}$	Creciente	Cóncavo	${\displaystyle +}$	Decreciente	Cóncavo
2do cuadrante, II	${\displaystyle 90^{\circ }<x<180^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}<x<\pi }$	${\displaystyle +}$	Decreciente	Cóncavo	${\displaystyle -}$	Decreciente	Convexo
3er cuadrante, III	${\displaystyle 180^{\circ }<x<270^{\circ }}$	${\displaystyle \pi <x<{\frac {3\pi }{2}}}$	${\displaystyle -}$	Decreciente	Convexo	${\displaystyle -}$	Creciente	Convexo
4to cuadrante, IV	${\displaystyle 270^{\circ }<x<360^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}<x<2\pi }$	${\displaystyle -}$	Creciente	Convexo	${\displaystyle +}$	Creciente	Cóncavo

Tanto las funciones seno como coseno se pueden definir mediante ecuaciones diferenciales. El par de es la solución del sistema bidimensional de ecuaciones diferenciales y con las condiciones iniciales y . Se podría interpretar el círculo unitario en las definiciones anteriores como la definición de la trayectoria del espacio de fase de la ecuación diferencial con las condiciones iniciales dadas. Se puede interpretar como una trayectoria del espacio de fase del sistema de ecuaciones diferenciales y a partir de las condiciones iniciales y . ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )}$${\displaystyle (x(\theta ),y(\theta ))}$ ${\displaystyle y'(\theta )=x(\theta )}$${\displaystyle x'(\theta )=-y(\theta )}$ ${\displaystyle y(0)=0}$${\displaystyle x(0)=1}$${\displaystyle y'(\theta )=x(\theta )}$${\displaystyle x'(\theta )=-y(\theta )}$${\displaystyle y(0)=0}$${\displaystyle x(0)=1}$

Su área bajo una curva se puede obtener utilizando la integral con un cierto intervalo acotado. Sus antiderivadas son: donde denota la constante de integración . ^[20] Estas antiderivadas se pueden aplicar para calcular las propiedades de mensuración de las curvas de las funciones seno y coseno con un intervalo dado. Por ejemplo, la longitud de arco de la curva seno entre y es donde es la integral elíptica incompleta de segundo tipo con módulo . No se puede expresar utilizando funciones elementales . ^[21] En el caso de un período completo, su longitud de arco es donde es la función gamma y es la constante de la lemniscata . ^[22]$${\displaystyle \int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C\qquad \int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C,}$$${\displaystyle C}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle t}$$${\displaystyle \int _{0}^{t}\!{\sqrt {1+\cos ^{2}(x)}}\,dx={\sqrt {2}}\operatorname {E} \left(t,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right),}$$${\displaystyle \operatorname {E} (\varphi ,k)}$${\displaystyle k}$$${\displaystyle L={\frac {4{\sqrt {2\pi ^{3}}}}{\Gamma (1/4)^{2}}}+{\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{\sqrt {2\pi }}}={\frac {2\pi }{\varpi }}+2\varpi \approx 7.6404\ldots }$$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \varpi }$

La función inversa del seno es el arcoseno o seno inverso, denotado como "arcsin", "asin" o . ^[23] La función inversa del coseno es el arcocoseno, denotado como "arccos", "acos" o . ^[a] Como el seno y el coseno no son funciones inyectivas , sus inversas no son funciones inversas exactas, sino funciones inversas parciales. Por ejemplo, , pero también , , y así sucesivamente. De ello se deduce que la función arcoseno es multivaluada: , pero también , , y así sucesivamente. Cuando solo se desea un valor, la función puede restringirse a su rama principal . Con esta restricción, para cada en el dominio, la expresión evaluará solo un único valor, llamado su valor principal . El rango estándar de valores principales para arcsin es de a , y el rango estándar para arccos es de a . ^[24]${\displaystyle \sin ^{-1}}$${\displaystyle \cos ^{-1}}$${\displaystyle \sin(0)=0}$${\displaystyle \sin(\pi )=0}$${\displaystyle \sin(2\pi )=0}$${\displaystyle \arcsin(0)=0}$${\displaystyle \arcsin(0)=\pi }$${\displaystyle \arcsin(0)=2\pi }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \arcsin(x)}$${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}}$${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \pi }$

La función inversa tanto del seno como del coseno se define como: ^{[ cita necesaria ]} donde para algún entero , Por definición, ambas funciones satisfacen las ecuaciones: ^{[ cita necesaria ]} y$${\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}\right)=\arccos \left({\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}\right),}$$${\displaystyle k}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(y)=x\iff &y=\arcsin(x)+2\pi k,{\text{ or }}\\&y=\pi -\arcsin(x)+2\pi k\\\cos(y)=x\iff &y=\arccos(x)+2\pi k,{\text{ or }}\\&y=-\arccos(x)+2\pi k\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \sin(\arcsin(x))=x\qquad \cos(\arccos(x))=x}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(\sin(\theta ))=\theta \quad &{\text{for}}\quad -{\frac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}\\\arccos(\cos(\theta ))=\theta \quad &{\text{for}}\quad 0\leq \theta \leq \pi \end{aligned}}}$$

Según el teorema de Pitágoras , la hipotenusa al cuadrado es la suma de dos catetos al cuadrado de un triángulo rectángulo. Dividiendo la fórmula en ambos lados por la hipotenusa al cuadrado, obtenemos la identidad trigonométrica pitagórica , la suma de un seno al cuadrado y un coseno al cuadrado es igual a 1: ^{[25] [b]}$${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1.}$$

El seno y el coseno satisfacen las siguientes fórmulas de doble ángulo: ^{[ cita requerida ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(2\theta )&=2\sin(\theta )\cos(\theta ),\\\cos(2\theta )&=\cos ^{2}(\theta )-\sin ^{2}(\theta )\\&=2\cos ^{2}(\theta )-1\\&=1-2\sin ^{2}(\theta )\end{aligned}}}$$

La fórmula del ángulo doble del coseno implica que sen ² y cos ² son, en sí mismas, ondas sinusoidales desplazadas y escaladas. Específicamente, ^[26] El gráfico muestra tanto las funciones seno como seno al cuadrado, con el seno en azul y el seno al cuadrado en rojo. Ambos gráficos tienen la misma forma pero con diferentes rangos de valores y diferentes períodos. El seno al cuadrado solo tiene valores positivos, pero el doble de períodos. ^{[ cita requerida ]}$${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )={\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}\qquad \cos ^{2}(\theta )={\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}}$$

Tanto las funciones seno como coseno se pueden definir utilizando una serie de Taylor , una serie de potencias que involucra las derivadas de orden superior. Como se mencionó en § Continuidad y diferenciación, la derivada del seno es el coseno y la derivada del coseno es el negativo del seno. Esto significa que las derivadas sucesivas de son , , , , y continúan repitiendo esas cuatro funciones. La derivada -ésima , evaluada en el punto 0: donde el superíndice representa la diferenciación repetida. Esto implica la siguiente expansión de la serie de Taylor en . Luego se puede usar la teoría de la serie de Taylor para demostrar que las siguientes identidades se cumplen para todos los números reales —donde es el ángulo en radianes. ^[27] De manera más general, para todos los números complejos : ^[28] Al tomar la derivada de cada término se obtiene la serie de Taylor para el coseno: ^{[27] [28]}${\displaystyle \sin(x)}$${\displaystyle \cos(x)}$${\displaystyle -\sin(x)}$${\displaystyle -\cos(x)}$${\displaystyle \sin(x)}$${\displaystyle (4n+k)}$$${\displaystyle \sin ^{(4n+k)}(0)={\begin{cases}0&{\text{when }}k=0\\1&{\text{when }}k=1\\0&{\text{when }}k=2\\-1&{\text{when }}k=3\end{cases}}}$$${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x)&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(x)&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\end{aligned}}}$$

Tanto las funciones seno como coseno con ángulos múltiples pueden aparecer como su combinación lineal , lo que da como resultado un polinomio. Un polinomio de este tipo se conoce como polinomio trigonométrico . Las amplias aplicaciones del polinomio trigonométrico se pueden obtener en su interpolación y su extensión de una función periódica conocida como la serie de Fourier . Sea y coeficientes cualesquiera, entonces el polinomio trigonométrico de un grado —denotado como — se define como: ^{[29] [30]}${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle T(x)}$$${\displaystyle T(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx).}$$

La serie trigonométrica se puede definir de manera análoga al polinomio trigonométrico, su inversión infinita. Sea y coeficientes cualesquiera, entonces la serie trigonométrica se puede definir como: ^[31] En el caso de una serie de Fourier con una función integrable dada , los coeficientes de una serie trigonométrica son: ^[32]${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle B_{n}}$$${\displaystyle {\frac {1}{2}}A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\cos(nx)+B_{n}\sin(nx).}$$${\displaystyle f}$$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)\cos(nx)\,dx,\\B_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)\sin(nx)\,dx.\end{aligned}}}$$

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Tanto el seno como el coseno se pueden ampliar mediante el número complejo , un conjunto de números compuesto tanto de números reales como imaginarios . Para el número real , la definición de las funciones seno y coseno se puede extender en un plano complejo en términos de una función exponencial de la siguiente manera: ^[33]${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta )&={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}},\\\cos(\theta )&={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}},\end{aligned}}}$$

Alternativamente, ambas funciones pueden definirse en términos de la fórmula de Euler : ^[33]$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\theta }&=\cos(\theta )+i\sin(\theta ),\\e^{-i\theta }&=\cos(\theta )-i\sin(\theta ).\end{aligned}}}$$

Cuando se traza en el plano complejo , la función para valores reales de traza el círculo unitario en el plano complejo. Las funciones seno y coseno se pueden simplificar a las partes imaginarias y reales de como: ^[34]${\displaystyle e^{ix}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle e^{i\theta }}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\operatorname {Im} (e^{i\theta }),\\\cos \theta &=\operatorname {Re} (e^{i\theta }).\end{aligned}}}$$

Cuando para valores reales y , donde , tanto las funciones seno como coseno se pueden expresar en términos de senos, cosenos y funciones hiperbólicas reales como: ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle z=x+iy}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin z&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y,\\\cos z&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y.\end{aligned}}}$$

El seno y el coseno se utilizan para conectar las partes reales e imaginarias de un número complejo con sus coordenadas polares : y las partes reales e imaginarias son donde y representan la magnitud y el ángulo del número complejo .${\displaystyle (r,\theta )}$$${\displaystyle z=r(\cos(\theta )+i\sin(\theta )),}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} (z)&=r\cos(\theta ),\\\operatorname {Im} (z)&=r\sin(\theta ),\end{aligned}}}$$${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle z}$

Para cualquier número real , la fórmula de Euler en términos de coordenadas polares se establece como .${\displaystyle \theta }$${\textstyle z=re^{i\theta }}$

Aplicando la definición de la serie del seno y el coseno a un argumento complejo, z , se obtiene:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}\\&={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\\&={\frac {\sinh \left(iz\right)}{i}}\\&=-i\sinh \left(iz\right)\\\cos(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}\\&={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\\&=\cosh(iz)\\\end{aligned}}}$

donde sinh y cosh son el seno y el coseno hiperbólicos . Estas son funciones completas .

A veces también es útil expresar las funciones complejas seno y coseno en términos de las partes reales e imaginarias de su argumento:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x+iy)&=\sin(x)\cos(iy)+\cos(x)\sin(iy)\\&=\sin(x)\cosh(y)+i\cos(x)\sinh(y)\\\cos(x+iy)&=\cos(x)\cos(iy)-\sin(x)\sin(iy)\\&=\cos(x)\cosh(y)-i\sin(x)\sinh(y)\\\end{aligned}}}$

Utilizando la técnica de expansión de fracciones parciales en el análisis complejo , se puede encontrar que las series infinitas convergen y son iguales a . De manera similar, se puede demostrar que$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{z-n}}={\frac {1}{z}}-2z\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}-z^{2}}}}$$${\textstyle {\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}}$$${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}(\pi z)}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(z-n)^{2}}}.}$$

Utilizando la técnica de expansión del producto, se puede derivar$${\displaystyle \sin(\pi z)=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right).}$$

sin( z ) se encuentra en la ecuación funcional de la función Gamma ,

${\displaystyle \Gamma (s)\Gamma (1-s)={\pi \over \sin(\pi s)},}$

que a su vez se encuentra en la ecuación funcional de la función zeta de Riemann ,

${\displaystyle \zeta (s)=2(2\pi )^{s-1}\Gamma (1-s)\sin \left({\frac {\pi }{2}}s\right)\zeta (1-s).}$

Como función holomorfa , sen z es una solución 2D de la ecuación de Laplace :

${\displaystyle \Delta u(x_{1},x_{2})=0.}$

La función seno compleja también está relacionada con las curvas de nivel de los péndulos . ^{[ ¿Cómo? ] [35] [ Se necesita una mejor fuente ]}

Función seno en el plano complejo

Componente real	Componente imaginario	Magnitud

Función arcoseno en el plano complejo

Componente real	Componente imaginario	Magnitud

La palabra seno se deriva, indirectamente, de la palabra sánscrita jyā 'cuerda de arco' o más específicamente de su sinónimo jīvá (ambos adoptados del griego antiguo χορδή 'cuerda'), debido a la similitud visual entre el arco de un círculo con su cuerda correspondiente y un arco con su cuerda (ver jyā, koti-jyā y utkrama-jyā ). Esto fue transcrito en árabe como jība , que no tiene significado en ese idioma y se escribe como jb ( جب ). Dado que el árabe se escribe sin vocales cortas, jb se interpretó como el homógrafo jayb (جيب), que significa 'seno', 'bolsillo' o 'pliegue'. ^{[36] [37]} Cuando los textos árabes de Al-Battani y al-Khwārizmī fueron traducidos al latín medieval en el siglo XII por Gerardo de Cremona , utilizó el equivalente latino sinus (que también significa 'bahía' o 'pliegue', y más específicamente 'el pliegue colgante de una toga sobre el pecho'). ^{[38] [39] [40]} Gerardo probablemente no fue el primer erudito en utilizar esta traducción; Roberto de Chester parece haberlo precedido y hay evidencia de un uso incluso anterior. ^{[41] [42]} La forma inglesa sine se introdujo en la década de 1590. ^[c]

La palabra coseno deriva de una abreviatura del latín complementi sinus 'seno del ángulo complementario ', como cosinus en el Canon triangulorum de Edmund Gunter (1620), que también incluye una definición similar de cotangens . ^[43]

Si bien los primeros estudios de la trigonometría se remontan a la antigüedad, las funciones trigonométricas que se utilizan hoy en día se desarrollaron en el período medieval. La función de cuerda fue descubierta por Hiparco de Nicea (180-125 a. C.) y Ptolomeo del Egipto romano (90-165 d. C.). ^[44]

Las funciones seno y coseno se pueden rastrear hasta las funciones jyā y koṭi-jyā utilizadas en la astronomía india durante el período Gupta ( Aryabhatiya y Surya Siddhanta ), a través de la traducción del sánscrito al árabe y luego del árabe al latín. ^[38]

Las seis funciones trigonométricas de uso actual eran conocidas en las matemáticas islámicas en el siglo IX, al igual que la ley de los senos , utilizada para resolver triángulos . ^[45] Con la excepción del seno (que fue adoptado de las matemáticas indias), las otras cinco funciones trigonométricas modernas fueron descubiertas por matemáticos árabes, incluyendo el coseno, la tangente, la cotangente, la secante y la cosecante. ^[45] Al-Khwārizmī (c. 780-850) produjo tablas de senos, cosenos y tangentes. ^{[46] [47]} Muhammad ibn Jābir al-Harrānī al-Battānī (853-929) descubrió las funciones recíprocas de secante y cosecante, y produjo la primera tabla de cosecantes para cada grado desde 1° hasta 90°. ^[47]

El primer uso publicado de las abreviaturas sen , cos y tan es obra del matemático francés del siglo XVI Albert Girard ; estas fueron promulgadas posteriormente por Euler (véase más abajo). El Opus palatinum de triangulis de Georg Joachim Rheticus , un estudiante de Copérnico , fue probablemente el primero en Europa en definir funciones trigonométricas directamente en términos de triángulos rectángulos en lugar de círculos, con tablas para las seis funciones trigonométricas; este trabajo fue terminado por el estudiante de Rheticus, Valentin Otho, en 1596.

En un artículo publicado en 1682, Leibniz demostró que sen x no es una función algebraica de x . ^[48] Roger Cotes calculó la derivada de seno en su Harmonia Mensurarum (1722). ^[49] La Introductio in analysin infinitorum (1748) de Leonhard Euler fue la principal responsable de establecer el tratamiento analítico de las funciones trigonométricas en Europa, definiéndolas también como series infinitas y presentando la " fórmula de Euler ", así como las abreviaturas casi modernas sen. , cos. , tang. , cot. , sec. y cosec. ^[38]

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No existe un algoritmo estándar para calcular el seno y el coseno. IEEE 754 , el estándar más utilizado para la especificación de cálculos fiables de punto flotante, no aborda el cálculo de funciones trigonométricas como el seno. La razón es que no se conoce ningún algoritmo eficiente para calcular el seno y el coseno con una precisión específica, especialmente para entradas grandes. ^[50]

Los algoritmos para calcular el seno pueden equilibrarse en función de restricciones como la velocidad, la precisión, la portabilidad o el rango de valores de entrada aceptados. Esto puede generar resultados diferentes para distintos algoritmos, especialmente en circunstancias especiales, como entradas muy grandes, por ejemplo .sin(1022)

Una optimización de programación común, utilizada especialmente en gráficos 3D, es calcular previamente una tabla de valores de seno, por ejemplo, un valor por grado, y luego, para los valores intermedios, elegir el valor precalculado más cercano o interpolar linealmente entre los dos valores más cercanos para aproximarlo. Esto permite buscar los resultados en una tabla en lugar de calcularlos en tiempo real. Con las arquitecturas de CPU modernas, este método puede no ofrecer ninguna ventaja. ^{[ cita requerida ]}

El algoritmo CORDIC se utiliza comúnmente en calculadoras científicas.

Las funciones seno y coseno, junto con otras funciones trigonométricas, están ampliamente disponibles en todos los lenguajes y plataformas de programación. En informática, se las suele abreviar como siny cos.

Algunas arquitecturas de CPU tienen una instrucción incorporada para seno, incluidas las FPU Intel x87 desde el 80387.

En los lenguajes de programación, siny cosson típicamente una función incorporada o se encuentran dentro de la biblioteca matemática estándar del lenguaje. Por ejemplo, la biblioteca estándar de C define funciones seno dentro de math.h : , , y . El parámetro de cada una es un valor de punto flotante , que especifica el ángulo en radianes. Cada función devuelve el mismo tipo de datos que acepta. Muchas otras funciones trigonométricas también se definen en math.h , como para coseno, arcoseno y seno hiperbólico (sinh). De manera similar, Python define y dentro del módulo incorporado . Las funciones seno y coseno complejas también están disponibles dentro del módulo, por ejemplo . Las funciones matemáticas de CPython llaman a la biblioteca C y usan un formato de punto flotante de doble precisión .sin(double)sinf(float)sinl(long double)math.sin(x)math.cos(x)mathcmathcmath.sin(z) math

Algunas bibliotecas de software proporcionan implementaciones de seno y coseno utilizando el ángulo de entrada en medias vueltas , siendo una media vuelta un ángulo de 180 grados o radianes. Representar ángulos en vueltas o medias vueltas tiene ventajas de precisión y de eficiencia en algunos casos. ^{[51] [52]} En MATLAB, OpenCL, R, Julia, CUDA y ARM, estas funciones se denominan y . ^{[51] [53] [52] [54] [55] [56]} Por ejemplo, se evaluaría como donde x se expresa en medias vueltas y, en consecuencia, la entrada final a la función, πx, se puede interpretar en radianes mediante sen .${\displaystyle \pi }$sinpicospisinpi(x)${\displaystyle \sin(\pi x),}$

La ventaja de la precisión se deriva de la capacidad de representar perfectamente ángulos clave como un giro completo, medio giro y un cuarto de giro sin pérdida en coma flotante o punto fijo binario. Por el contrario, representar , , y en coma flotante o punto fijo binario escalado siempre implica una pérdida de precisión, ya que los números irracionales no se pueden representar con un número finito de dígitos binarios.${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \pi }$${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$

Los giros también tienen una ventaja de precisión y eficiencia para calcular el módulo hasta un período. El cálculo de un giro módulo 1 o de medias vueltas módulo 2 se puede realizar sin pérdidas y de manera eficiente tanto en coma flotante como en coma fija. Por ejemplo, el cálculo del módulo 1 o módulo 2 para un valor de punto fijo escalado en punto binario requiere solo un desplazamiento de bits o una operación AND bit a bit. Por el contrario, el cálculo del módulo implica imprecisiones en la representación .${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$

En el caso de las aplicaciones que implican sensores de ángulo, el sensor normalmente proporciona mediciones de ángulo en una forma directamente compatible con vueltas o medias vueltas. Por ejemplo, un sensor de ángulo puede contar de 0 a 4096 en una revolución completa. ^[57] Si se utilizan medias vueltas como unidad para el ángulo, entonces el valor proporcionado por el sensor se asigna directamente y sin pérdidas a un tipo de datos de punto fijo con 11 bits a la derecha del punto binario. Por el contrario, si se utilizan radianes como unidad para almacenar el ángulo, entonces se incurriría en las imprecisiones y el costo de multiplicar el entero del sensor sin procesar por una aproximación.${\textstyle {\frac {\pi }{2048}}}$

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