Sistema de coordenadas polares

En matemáticas , el sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto de un plano está determinado por una distancia desde un punto de referencia y un ángulo desde una dirección de referencia. El punto de referencia (análogo al origen de un sistema de coordenadas cartesianas ) se llama polo , y el rayo desde el polo en la dirección de referencia es el eje polar . La distancia desde el polo se llama coordenada radial , distancia radial o simplemente radio , y el ángulo se llama coordenada angular , ángulo polar o acimut . ^[1] Los ángulos en notación polar generalmente se expresan en grados o radianes (2 π rad es igual a 360°).

Grégoire de Saint-Vincent y Bonaventura Cavalieri introdujeron los conceptos de forma independiente a mediados del siglo XVII, aunque el término real "coordenadas polares" se ha atribuido a Gregorio Fontana en el siglo XVIII. La motivación inicial para la introducción del sistema polar fue el estudio del movimiento circular y orbital .

Las coordenadas polares son más apropiadas en cualquier contexto en el que el fenómeno que se considera esté inherentemente ligado a la dirección y la longitud desde un punto central en un plano, como las espirales . Los sistemas físicos planos con cuerpos que se mueven alrededor de un punto central, o los fenómenos que se originan a partir de un punto central, suelen ser más simples e intuitivos de modelar utilizando coordenadas polares.

El sistema de coordenadas polares se extiende a tres dimensiones de dos maneras: los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas .

Los conceptos de ángulo y radio ya eran utilizados por los pueblos antiguos del primer milenio a. C. El astrónomo y astrólogo griego Hiparco (190-120 a. C.) creó una tabla de funciones de cuerda que daba la longitud de la cuerda para cada ángulo, y hay referencias a su uso de coordenadas polares para establecer las posiciones estelares. ^[2] En Sobre las espirales , Arquímedes describe la espiral de Arquímedes , una función cuyo radio depende del ángulo. La obra griega, sin embargo, no se extendió a un sistema de coordenadas completo.

A partir del siglo VIII d. C., los astrónomos desarrollaron métodos para aproximar y calcular la dirección a La Meca ( qibla ) —y su distancia— desde cualquier lugar de la Tierra. ^[3] A partir del siglo IX, utilizaron trigonometría esférica y métodos de proyección de mapas para determinar estas cantidades con precisión. El cálculo es esencialmente la conversión de las coordenadas polares ecuatoriales de La Meca (es decir, su longitud y latitud ) a sus coordenadas polares (es decir, su qibla y distancia) en relación con un sistema cuyo meridiano de referencia es el círculo máximo que pasa por la ubicación dada y los polos de la Tierra y cuyo eje polar es la línea que pasa por la ubicación y su punto antípoda . ^[4]

Existen varios relatos de la introducción de las coordenadas polares como parte de un sistema de coordenadas formal. La historia completa del tema se describe en Origin of Polar Coordinates del profesor de Harvard Julian Lowell Coolidge . ^[5] Grégoire de Saint-Vincent y Bonaventura Cavalieri introdujeron los conceptos de forma independiente a mediados del siglo XVII. Saint-Vincent escribió sobre ellos en privado en 1625 y publicó su trabajo en 1647, mientras que Cavalieri publicó el suyo en 1635 con una versión corregida que apareció en 1653. Cavalieri utilizó por primera vez las coordenadas polares para resolver un problema relacionado con el área dentro de una espiral de Arquímedes . Blaise Pascal utilizó posteriormente las coordenadas polares para calcular la longitud de los arcos parabólicos .

En su Método de fluxiones (escrito en 1671 y publicado en 1736), Sir Isaac Newton examinó las transformaciones entre coordenadas polares, a las que se refirió como la "Séptima manera; para espirales", y otros nueve sistemas de coordenadas. ^[6] En la revista Acta Eruditorum (1691), Jacob Bernoulli utilizó un sistema con un punto en una línea, llamado polo y eje polar respectivamente. Las coordenadas se especificaban por la distancia desde el polo y el ángulo desde el eje polar . El trabajo de Bernoulli se extendió a la búsqueda del radio de curvatura de las curvas expresadas en estas coordenadas.

El término coordenadas polares se le atribuye a Gregorio Fontana y fue utilizado por escritores italianos del siglo XVIII. El término apareció en inglés en la traducción de George Peacock de 1816 del Cálculo diferencial e integral de Lacroix . ^{[7] [8]} Alexis Clairaut fue el primero en pensar en coordenadas polares en tres dimensiones, y Leonhard Euler fue el primero en desarrollarlas. ^[5]

La coordenada radial se suele denotar con r o ρ , y la coordenada angular con φ , θ o t . La coordenada angular se especifica como φ en la norma ISO 31-11 . Sin embargo, en la literatura matemática el ángulo se suele denotar con θ .

Los ángulos en notación polar se expresan generalmente en grados o radianes (2 π rad equivale a 360°). Los grados se utilizan tradicionalmente en navegación , topografía y muchas disciplinas aplicadas, mientras que los radianes son más comunes en matemáticas y física matemática . ^[9]

El ángulo φ se define para comenzar en 0° desde una dirección de referencia y para aumentar para rotaciones en orientación en sentido horario (cw) o antihorario (ccw). Por ejemplo, en matemáticas, la dirección de referencia generalmente se dibuja como un rayo desde el polo horizontalmente hacia la derecha, y el ángulo polar aumenta a ángulos positivos para rotaciones en sentido antihorario, mientras que en navegación ( rumbo , rumbo ) el rumbo 0° se dibuja verticalmente hacia arriba y el ángulo aumenta para rotaciones en sentido horario. Los ángulos polares disminuyen hacia valores negativos para rotaciones en las orientaciones opuestas respectivamente.

Añadir cualquier número de vueltas completas (360°) a la coordenada angular no cambia la dirección correspondiente. De manera similar, cualquier coordenada polar es idéntica a la coordenada con el componente radial negativo y la dirección opuesta (añadiendo 180° al ángulo polar). Por lo tanto, el mismo punto ( r , φ ) se puede expresar con un número infinito de coordenadas polares diferentes ( r , φ + n × 360°) y (− r , φ + 180° + n × 360°) = (− r , φ + (2 n + 1) × 180°) , donde n es un entero arbitrario . ^[10] Además, el propio polo se puede expresar como (0,  φ ) para cualquier ángulo φ . ^[11]

Cuando se necesita una representación única para cualquier punto además del polo, es habitual limitar r a números positivos ( r > 0 ) y φ al intervalo [0, 360°) o al intervalo (−180°, 180°] , que en radianes son [0, 2π) o (−π, π] . ^[12] Otra convención, en referencia al codominio habitual de la función arctan , es permitir valores reales arbitrarios distintos de cero del componente radial y restringir el ángulo polar a (−90°,  90°] . En todos los casos se debe elegir un acimut único para el polo ( r = 0 ), por ejemplo, φ  = 0.

Las coordenadas polares r y φ se pueden convertir a las coordenadas cartesianas x e y utilizando las funciones trigonométricas seno y coseno:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \varphi ,\\y&=r\sin \varphi .\end{aligned}}}$$

Las coordenadas cartesianas x e y se pueden convertir en coordenadas polares r y φ con r  ≥ 0 y φ en el intervalo (− π , π ] por: ^[13] donde hipot es la suma pitagórica y atan2 es una variación común de la función arcotangente definida como$${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=\operatorname {hypot} (x,y)\\\varphi &=\operatorname {atan2} (y,x),\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\mbox{if }}x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\{\text{undefined}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0.\end{cases}}}$$

Si r se calcula primero como se indicó anteriormente, entonces esta fórmula para φ puede enunciarse de manera más simple utilizando la función arcocoseno :$${\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\arccos \left({\frac {x}{r}}\right)&{\mbox{if }}y\geq 0{\mbox{ and }}r\neq 0\\-\arccos \left({\frac {x}{r}}\right)&{\mbox{if }}y<0\\{\text{undefined}}&{\mbox{if }}r=0.\end{cases}}}$$

Cada número complejo puede representarse como un punto en el plano complejo y, por lo tanto, puede expresarse especificando las coordenadas cartesianas del punto (llamadas forma rectangular o cartesiana) o las coordenadas polares del punto (llamadas forma polar).

En forma polar, las coordenadas de distancia y ángulo suelen denominarse magnitud y argumento del número respectivamente. Dos números complejos se pueden multiplicar sumando sus argumentos y multiplicando sus magnitudes.

El número complejo z puede representarse en forma rectangular como donde i es la unidad imaginaria , o alternativamente puede escribirse en forma polar como y de ahí, por la fórmula de Euler , ^[14] como donde e es el número de Euler , y φ , expresado en radianes, es el valor principal de la función de número complejo arg aplicada a x + iy . Para convertir entre las formas rectangular y polar de un número complejo, se pueden utilizar las fórmulas de conversión dadas anteriormente. Equivalentes son las notaciones cis y angulares :$${\displaystyle z=x+iy}$$$${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$$$${\displaystyle z=re^{i\varphi }=r\exp i\varphi .}$$$${\displaystyle z=r\operatorname {\mathrm {cis} } \varphi =r\angle \varphi .}$$

Para las operaciones de multiplicación , división , exponenciación y extracción de raíces de números complejos, generalmente es mucho más sencillo trabajar con números complejos expresados ​​en forma polar en lugar de forma rectangular. Según las leyes de la exponenciación:

Multiplicación

${\displaystyle r_{0}e^{i\varphi _{0}}\,r_{1}e^{i\varphi _{1}}=r_{0}r_{1}e^{i\left(\varphi _{0}+\varphi _{1}\right)}}$

División

${\displaystyle {\frac {r_{0}e^{i\varphi _{0}}}{r_{1}e^{i\varphi _{1}}}}={\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{i(\varphi _{0}-\varphi _{1})}}$

Exponenciación ( fórmula de De Moivre )

${\displaystyle \left(re^{i\varphi }\right)^{n}=r^{n}e^{in\varphi }}$

Extracción de raíz (raíz principal)

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{re^{i\varphi }}}={\sqrt[{n}]{r}}e^{i\varphi \over n}}$

La ecuación que define una curva plana expresada en coordenadas polares se conoce como ecuación polar . En muchos casos, dicha ecuación se puede especificar simplemente definiendo r como una función de φ . La curva resultante consta entonces de puntos de la forma ( r ( φ ),  φ ) y se puede considerar como el gráfico de la función polar r . Nótese que, a diferencia de las coordenadas cartesianas, la variable independiente φ es la segunda entrada en el par ordenado.

De la ecuación de una función polar r se pueden deducir diferentes formas de simetría :

• Si r (− φ ) = r ( φ ) la curva será simétrica respecto del rayo horizontal (0°/180°);
• Si r ( π − φ ) = r ( φ ) será simétrico respecto del rayo vertical (90°/270°):
• Si r ( φ − α) = r ( φ ) será rotacionalmente simétrico por α en sentido horario y antihorario alrededor del polo.

Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polares, muchas curvas se pueden describir mediante una ecuación polar bastante simple, mientras que su forma cartesiana es mucho más compleja. Entre las más conocidas de estas curvas se encuentran la rosa polar , la espiral de Arquímedes , la lemniscata , el limazón y la cardioide .

Para el círculo, la línea y la rosa polar que se muestran a continuación, se entiende que no hay restricciones en el dominio y el rango de la curva.

La ecuación general para un círculo con centro en y radio a es${\displaystyle (r_{0},\gamma )}$$${\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\varphi -\gamma )+r_{0}^{2}=a^{2}.}$$

Esto se puede simplificar de varias maneras para adaptarse a casos más específicos, como la ecuación para un círculo con centro en el polo y radio a . ^[15]$${\displaystyle r(\varphi )=a}$$

Cuando r ₀ = a o el origen está en el círculo, la ecuación se convierte en$${\displaystyle r=2a\cos(\varphi -\gamma ).}$$

En el caso general, la ecuación se puede resolver para r , dando La solución con un signo menos delante de la raíz cuadrada da la misma curva.$${\displaystyle r=r_{0}\cos(\varphi -\gamma )+{\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\varphi -\gamma )}}}$$

Las líneas radiales (las que pasan por el poste) se representan mediante la ecuación donde es el ángulo de elevación de la línea; es decir, , donde es la pendiente de la línea en el sistema de coordenadas cartesianas. La línea no radial que cruza la línea radial perpendicularmente en el punto tiene la ecuación$${\displaystyle \varphi =\gamma ,}$$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \varphi =\arctan m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \varphi =\gamma }$ ${\displaystyle (r_{0},\gamma )}$$${\displaystyle r(\varphi )=r_{0}\sec(\varphi -\gamma ).}$$

Dicho de otro modo, es el punto en el que la tangente interseca el círculo imaginario de radio.${\displaystyle (r_{0},\gamma )}$${\displaystyle r_{0}}$

Una rosa polar es una curva matemática que parece una flor con pétalos y que puede expresarse como una ecuación polar simple,$${\displaystyle r(\varphi )=a\cos \left(k\varphi +\gamma _{0}\right)}$$

para cualquier constante γ ₀ (incluido 0). Si k es un entero, estas ecuaciones producirán una rosa de k pétalos si k es impar , o una rosa de 2 k pétalos si k es par. Si k es racional, pero no un entero, se puede formar una forma similar a una rosa pero con pétalos superpuestos. Nótese que estas ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6, 10, 14, etc. pétalos. La variable a representa directamente la longitud o amplitud de los pétalos de la rosa, mientras que k se relaciona con su frecuencia espacial. La constante γ ₀ puede considerarse como un ángulo de fase.

La espiral de Arquímedes es una espiral descubierta por Arquímedes que también se puede expresar como una ecuación polar simple. Se representa mediante la ecuación Cambiando el parámetro a se hará girar la espiral, mientras que b controla la distancia entre los brazos, que para una espiral dada siempre es constante. La espiral de Arquímedes tiene dos brazos, uno para φ > 0 y otro para φ < 0 . Los dos brazos están suavemente conectados en el polo. Si a = 0 , tomando la imagen especular de un brazo a través de la línea de 90°/270° se obtendrá el otro brazo. Esta curva es notable por ser una de las primeras curvas, después de las secciones cónicas , en ser descritas en un tratado matemático, y como un excelente ejemplo de una curva mejor definida por una ecuación polar.$${\displaystyle r(\varphi )=a+b\varphi .}$$

Una sección cónica con un foco en el polo y el otro en algún lugar del rayo 0° (de modo que el eje mayor de la cónica se encuentra a lo largo del eje polar) está dada por: donde e es la excentricidad y es el semi-latus rectum (la distancia perpendicular en un foco desde el eje mayor a la curva). Si e > 1 , esta ecuación define una hipérbola ; si e = 1 , define una parábola ; y si e < 1 , define una elipse . El caso especial e = 0 de esta última da como resultado un círculo de radio .$${\displaystyle r={\ell \over {1-e\cos \varphi }}}$$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell }$

Una cuadrátriz en el primer cuadrante ( x, y ) es una curva con y = ρ sen θ igual a la fracción del cuarto de círculo con radio r determinada por el radio que pasa por el punto de la curva. Como esta fracción es , la curva está dada por . ^[16]${\displaystyle {\frac {2r\theta }{\pi }}}$${\displaystyle \rho (\theta )={\frac {2r\theta }{\pi \sin \theta }}}$

Las gráficas de dos funciones polares tienen posibles intersecciones de tres tipos:${\displaystyle r=f(\theta )}$${\displaystyle r=g(\theta )}$

1. En el origen, si las ecuaciones y tienen al menos una solución cada una.${\displaystyle f(\theta )=0}$${\displaystyle g(\theta )=0}$
2. Todos los puntos donde son soluciones de la ecuación donde es un número entero.${\displaystyle [g(\theta _{i}),\theta _{i}]}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle f(\theta +2k\pi )=g(\theta )}$${\displaystyle k}$
3. Todos los puntos donde son soluciones de la ecuación donde es un número entero.${\displaystyle [g(\theta _{i}),\theta _{i}]}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle f(\theta +(2k+1)\pi )=-g(\theta )}$${\displaystyle k}$

El cálculo se puede aplicar a ecuaciones expresadas en coordenadas polares. ^{[17] [18]}

La coordenada angular φ se expresa en radianes en toda esta sección, que es la opción convencional al realizar cálculos.

Utilizando x = r cos φ e y = r sen φ , se puede derivar una relación entre las derivadas en coordenadas cartesianas y polares. Para una función dada, u ( x , y ), se deduce que (calculando sus derivadas totales ) o$${\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {du}{dr}}&=r{\frac {\partial u}{\partial x}}\cos \varphi +r{\frac {\partial u}{\partial y}}\sin \varphi =x{\frac {\partial u}{\partial x}}+y{\frac {\partial u}{\partial y}},\\[2pt]{\frac {du}{d\varphi }}&=-{\frac {\partial u}{\partial x}}r\sin \varphi +{\frac {\partial u}{\partial y}}r\cos \varphi =-y{\frac {\partial u}{\partial x}}+x{\frac {\partial u}{\partial y}}.\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, tenemos las siguientes fórmulas:$${\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {d}{dr}}&=x{\frac {\partial }{\partial x}}+y{\frac {\partial }{\partial y}}\\[2pt]{\frac {d}{d\varphi }}&=-y{\frac {\partial }{\partial x}}+x{\frac {\partial }{\partial y}}.\end{aligned}}}$$

Utilizando la transformación de coordenadas inversas, se puede derivar una relación recíproca análoga entre las derivadas. Dada una función u ( r , φ ), se deduce que o$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {du}{dx}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\\[2pt]{\frac {du}{dy}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial y}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {du}{dx}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}-{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\\[2pt]&=\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial \varphi }},\\[2pt]{\frac {du}{dy}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\\[2pt]&=\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial \varphi }}.\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, tenemos las siguientes fórmulas:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}&=\cos \varphi {\frac {\partial }{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}\\[2pt]{\frac {d}{dy}}&=\sin \varphi {\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\cos \varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}.\end{aligned}}}$$

Para encontrar la pendiente cartesiana de la línea tangente a una curva polar r ( φ ) en cualquier punto dado, primero se expresa la curva como un sistema de ecuaciones paramétricas .$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\varphi )\cos \varphi \\y&=r(\varphi )\sin \varphi \end{aligned}}}$$

Diferenciando ambas ecuaciones con respecto a φ obtenemos$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi \\[2pt]{\frac {dy}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi .\end{aligned}}}$$

Dividiendo la segunda ecuación por la primera se obtiene la pendiente cartesiana de la línea tangente a la curva en el punto ( r ( φ ),  φ ) :$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }}.}$$

Para conocer otras fórmulas útiles, incluidas divergencia, gradiente y laplaciano en coordenadas polares, consulte coordenadas curvilíneas .

La longitud de arco (longitud de un segmento de línea) definida por una función polar se obtiene mediante la integración sobre la curva r ( φ ). Sea L esta longitud a lo largo de la curva que comienza en los puntos A y llega hasta el punto B , donde estos puntos corresponden a φ = a y φ = b tales que 0 < b − a < 2 π . La longitud de L viene dada por la siguiente integral$${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left[r(\varphi )\right]^{2}+\left[{\tfrac {dr(\varphi )}{d\varphi }}\right]^{2}}}d\varphi }$$

Sea R la región encerrada por una curva r ( φ ) y los rayos φ = a y φ = b , donde 0 < b − a ≤ 2 π . Entonces, el área de R es$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\left[r(\varphi )\right]^{2}\,d\varphi .}$$

Este resultado se puede hallar de la siguiente manera. Primero, el intervalo [ a , b ] se divide en n subintervalos, donde n es un entero positivo. Por lo tanto, Δ φ , la medida del ángulo de cada subintervalo, es igual a b − a (la medida del ángulo total del intervalo), dividido por n , el número de subintervalos. Para cada subintervalo i = 1, 2, ..., n , sea φ _i el punto medio del subintervalo y construyamos un sector con el centro en el polo, radio r ( φ _i ), ángulo central Δ φ y longitud de arco r ( φ _i )Δ φ . Por lo tanto, el área de cada sector construido es igual a Por lo tanto, el área total de todos los sectores es$${\displaystyle \left[r(\varphi _{i})\right]^{2}\pi \cdot {\frac {\Delta \varphi }{2\pi }}={\frac {1}{2}}\left[r(\varphi _{i})\right]^{2}\Delta \varphi .}$$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\tfrac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\,\Delta \varphi .}$$

A medida que aumenta el número de subintervalos n , la aproximación del área mejora. Si tomamos n → ∞ , la suma se convierte en la suma de Riemann para la integral anterior.

Un dispositivo mecánico que calcula integrales de área es el planímetro , que mide el área de figuras planas trazándolas: esto replica la integración en coordenadas polares agregando una articulación de modo que el enlace de 2 elementos efectúa el teorema de Green , convirtiendo la integral polar cuadrática en una integral lineal.

Utilizando coordenadas cartesianas , un elemento de área infinitesimal se puede calcular como dA = dx dy . La regla de sustitución para integrales múltiples establece que, cuando se utilizan otras coordenadas, se debe considerar el determinante jacobiano de la fórmula de conversión de coordenadas:$${\displaystyle J=\det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\varphi )}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[2pt]{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{vmatrix}}=r\cos ^{2}\varphi +r\sin ^{2}\varphi =r.}$$

Por lo tanto, un elemento de área en coordenadas polares se puede escribir como$${\displaystyle dA=dx\,dy\ =J\,dr\,d\varphi =r\,dr\,d\varphi .}$$

Ahora, una función, que está dada en coordenadas polares, se puede integrar de la siguiente manera:$${\displaystyle \iint _{R}f(x,y)\,dA=\int _{a}^{b}\int _{0}^{r(\varphi )}f(r,\varphi )\,r\,dr\,d\varphi .}$$

Aquí, R es la misma región que la anterior, es decir, la región encerrada por una curva r ( φ ) y los rayos φ = a y φ = b . La fórmula para el área de R se obtiene tomando f idénticamente igual a 1.

Una aplicación más sorprendente de este resultado produce la integral gaussiana :$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.}$$

El cálculo vectorial también se puede aplicar a coordenadas polares. Para un movimiento plano, sea el vector de posición ( r cos( φ ), r sin( φ )) , donde r y φ dependen del tiempo t .${\displaystyle \mathbf {r} }$

Definimos una base ortonormal con tres vectores unitarios: direcciones radial, transversal y normal . La dirección radial se define normalizando : Las direcciones radial y de velocidad abarcan el plano del movimiento , cuya dirección normal se denota : La dirección transversal es perpendicular a las direcciones radial y normal:${\displaystyle \mathbf {r} }$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=(\cos(\varphi ),\sin(\varphi ))}$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}={\hat {\mathbf {v} }}\times {\hat {\mathbf {r} }}.}$$$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=(-\sin(\varphi ),\cos(\varphi ))={\hat {\mathbf {k} }}\times {\hat {\mathbf {r} }}\ ,}$$

Entonces $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=(x,\ y)=r(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )=r{\hat {\mathbf {r} }}\ ,\\[1.5ex]{\dot {\mathbf {r} }}&=\left({\dot {x}},\ {\dot {y}}\right)={\dot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+r{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\varphi }}{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\ ,\\[1.5ex]{\ddot {\mathbf {r} }}&=\left({\ddot {x}},\ {\ddot {y}}\right)\\[1ex]&={\ddot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )+r{\ddot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )-r{\dot {\varphi }}^{2}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )\\[1ex]&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\varphi }}+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\\[1ex]&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {1}{r}}\;{\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\dot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}.\end{aligned}}}$$

Esta ecuación se puede obtener tomando la derivada de la función y las derivadas de los vectores base unitarios.

Para una curva en 2D donde el parámetro son las ecuaciones anteriores se simplifican a: ${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=r(\theta ){\hat {\mathbf {e} }}_{r}\\[1ex]{\frac {d\mathbf {r} }{d\theta }}&={\frac {dr}{d\theta }}{\hat {\mathbf {e} }}_{r}+r{\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }\\[1ex]{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{d\theta ^{2}}}&=\left({\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}-r\right){\hat {\mathbf {e} }}_{r}+{\frac {dr}{d\theta }}{\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }\end{aligned}}}$$

El término se conoce a veces como aceleración centrípeta y como aceleración de Coriolis . Por ejemplo, véase Shankar. ^[19]${\displaystyle r{\dot {\varphi }}^{2}}$${\displaystyle 2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}}$

Nota: estos términos, que aparecen cuando la aceleración se expresa en coordenadas polares, son una consecuencia matemática de la diferenciación; aparecen siempre que se utilizan coordenadas polares. En la dinámica de partículas planas, estas aceleraciones aparecen cuando se establece la segunda ley de movimiento de Newton en un marco de referencia giratorio. Aquí, estos términos adicionales a menudo se denominan fuerzas ficticias ; ficticias porque son simplemente el resultado de un cambio en el marco de coordenadas. Eso no significa que no existan, sino que existen solo en el marco giratorio.

Para una partícula en movimiento plano, un enfoque para asignar significado físico a estos términos se basa en el concepto de un marco de referencia co-rotativo instantáneo . ^[20] Para definir un marco co-rotativo, primero se selecciona un origen a partir del cual se define la distancia r ( t ) a la partícula. Se establece un eje de rotación que es perpendicular al plano de movimiento de la partícula y que pasa por este origen. Luego, en el momento seleccionado t , la velocidad de rotación del marco co-rotativo Ω se hace coincidir con la velocidad de rotación de la partícula alrededor de este eje, dφ / dt . A continuación, los términos en la aceleración en el marco inercial se relacionan con aquellos en el marco co-rotativo. Sea la ubicación de la partícula en el marco inercial ( r ( t ), φ ( t )), y en el marco co-rotativo ( r ′(t), φ ′(t) ). Como el marco co-rotativo gira a la misma velocidad que la partícula, dφ ′/ dt = 0. La fuerza centrífuga ficticia en el marco co-rotativo es mr Ω ² , radialmente hacia afuera. La velocidad de la partícula en el marco co-rotativo también es radialmente hacia afuera, porque dφ ′/ dt = 0. Por lo tanto, la fuerza de Coriolis ficticia tiene un valor −2 m ( dr / dt )Ω, apuntando solo en la dirección de φ creciente . Por lo tanto, utilizando estas fuerzas en la segunda ley de Newton encontramos: donde sobre los puntos representan derivadas con respecto al tiempo, y F es la fuerza real neta (a diferencia de las fuerzas ficticias). En términos de componentes, esta ecuación vectorial se convierte en: que se puede comparar con las ecuaciones para el marco inercial:$${\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {F} _{\text{cf}}+\mathbf {F} _{\text{Cor}}=m{\ddot {\mathbf {r} }}\,,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{r}+mr\Omega ^{2}&=m{\ddot {r}}\\F_{\varphi }-2m{\dot {r}}\Omega &=mr{\ddot {\varphi }}\ ,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{r}&=m{\ddot {r}}-mr{\dot {\varphi }}^{2}\\F_{\varphi }&=mr{\ddot {\varphi }}+2m{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\ .\end{aligned}}}$$

Esta comparación, más el reconocimiento de que por la definición del marco co-rotativo en el tiempo t tiene una tasa de rotación Ω = dφ / dt , muestra que podemos interpretar los términos en la aceleración (multiplicada por la masa de la partícula) tal como se encuentran en el marco inercial como el negativo de las fuerzas centrífuga y de Coriolis que se verían en el marco co-rotativo instantáneo, no inercial.

En el caso del movimiento general de una partícula (a diferencia del movimiento circular simple), las fuerzas centrífuga y de Coriolis en el marco de referencia de una partícula se refieren comúnmente al círculo osculador instantáneo de su movimiento, no a un centro fijo de coordenadas polares. Para obtener más detalles, consulte fuerza centrípeta .

En la terminología moderna de la geometría diferencial , las coordenadas polares proporcionan gráficos de coordenadas para la variedad diferenciable R ² \ {(0,0)} , el plano menos el origen. En estas coordenadas, el tensor métrico euclidiano está dado por Esto se puede ver a través de la fórmula de cambio de variables para el tensor métrico, o calculando las formas diferenciales dx , dy a través de la derivada exterior de las formas 0 x = r cos( θ ) , y = r sin( θ ) y sustituyéndolas en el tensor métrico euclidiano ds ² = dx ² + dy ² .$${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}.}$$

Un marco ortonormal con respecto a esta métrica está dado por con comarco dual La forma de conexión relativa a este marco y la conexión de Levi-Civita está dada por la matriz antisimétrica de 1-formas y, por lo tanto, la forma de curvatura Ω = dω + ω ∧ ω se desvanece. Por lo tanto, como se esperaba, el plano perforado es una variedad plana .$${\displaystyle e_{r}={\frac {\partial }{\partial r}},\quad e_{\theta }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }},}$$$${\displaystyle e^{r}=dr,\quad e^{\theta }=rd\theta .}$$$${\displaystyle {\omega ^{i}}_{j}={\begin{pmatrix}0&-d\theta \\d\theta &0\end{pmatrix}}}$$

El sistema de coordenadas polares se amplía a tres dimensiones con dos sistemas de coordenadas diferentes, el sistema de coordenadas cilíndricas y esféricas .

Las coordenadas polares son bidimensionales y, por lo tanto, solo se pueden utilizar cuando las posiciones de los puntos se encuentran en un único plano bidimensional. Son más apropiadas en cualquier contexto en el que el fenómeno que se esté considerando esté inherentemente ligado a la dirección y la longitud desde un punto central. Por ejemplo, los ejemplos anteriores muestran cómo las ecuaciones polares elementales son suficientes para definir curvas (como la espiral de Arquímedes), cuya ecuación en el sistema de coordenadas cartesianas sería mucho más compleja. Además, muchos sistemas físicos (como los relacionados con los cuerpos que se mueven alrededor de un punto central o con los fenómenos que se originan en un punto central) son más simples e intuitivos de modelar utilizando coordenadas polares. La motivación inicial para la introducción del sistema polar fue el estudio del movimiento circular y orbital .

Las coordenadas polares se utilizan a menudo en la navegación , ya que el destino o la dirección del viaje se pueden dar como un ángulo y una distancia desde el objeto que se está considerando. Por ejemplo, las aeronaves utilizan una versión ligeramente modificada de las coordenadas polares para la navegación. En este sistema, el que se utiliza generalmente para cualquier tipo de navegación, el rayo de 0° se denomina generalmente rumbo 360, y los ángulos continúan en el sentido de las agujas del reloj, en lugar de en el sentido contrario a las agujas del reloj, como en el sistema matemático. El rumbo 360 corresponde al norte magnético , mientras que los rumbos 90, 180 y 270 corresponden al este, sur y oeste magnéticos, respectivamente. ^[21] Por lo tanto, una aeronave que viaja 5 millas náuticas hacia el este viajará 5 unidades en un rumbo 90 ( que el control de tráfico aéreo lee como cero-nueve-cero ). ^[22]

Los sistemas que presentan simetría radial proporcionan configuraciones naturales para el sistema de coordenadas polares, en el que el punto central actúa como polo. Un excelente ejemplo de este uso es la ecuación de flujo de agua subterránea cuando se aplica a pozos radialmente simétricos. Los sistemas con una fuerza radial también son buenos candidatos para el uso del sistema de coordenadas polares. Estos sistemas incluyen campos gravitacionales , que obedecen a la ley del cuadrado inverso , así como sistemas con fuentes puntuales , como antenas de radio .

Los sistemas asimétricos radiales también pueden modelarse con coordenadas polares. Por ejemplo, el patrón de captación de un micrófono ilustra su respuesta proporcional a un sonido entrante desde una dirección dada, y estos patrones pueden representarse como curvas polares. La curva para un micrófono cardioide estándar, el micrófono unidireccional más común, puede representarse como r = 0,5 + 0,5sin( ϕ ) en su frecuencia de diseño objetivo. ^[23] El patrón cambia hacia la omnidireccionalidad en frecuencias más bajas.

• Coordenadas curvilíneas
• Lista de transformaciones de coordenadas comunes
• Coordenadas log-polares
• Descomposición polar
• Círculo unitario

• Adams, Robert; Christopher Essex (2013). Cálculo: un curso completo (octava edición). Pearson Canada Inc. ISBN 978-0-321-78107-9.
• Anton, Howard; Irl Bivens; Stephen Davis (2002). Cálculo (séptima edición). Anton Textbooks, Inc. ISBN 0-471-38157-8.
• Finney, Ross; George Thomas; Franklin Demana; Bert Waits (junio de 1994). Cálculo: gráfico, numérico y algebraico (edición de una sola variable). Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 0-201-55478-X.

El Wikilibro Cálculo tiene una página sobre el tema: Integración polar

• "Coordenadas polares", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Conversor de coordenadas: convierte entre coordenadas polares, cartesianas y esféricas
• Demostración dinámica del sistema de coordenadas polares