Paridad (matemáticas)

En matemáticas , la paridad es la propiedad de un número entero de ser par o impar . Un número entero es par si es divisible por 2, e impar si no lo es. ^[1] Por ejemplo, −4, 0 y 82 son números pares, mientras que −3, 5, 7 y 21 son números impares.

La definición de paridad anterior se aplica únicamente a números enteros, por lo que no se puede aplicar a números como 1/2 o 4,201. Consulte la sección "Matemáticas avanzadas" a continuación para obtener algunas extensiones de la noción de paridad a una clase más amplia de "números" o en otros contextos más generales.

Los números pares e impares tienen paridades opuestas, por ejemplo, 22 (número par) y 13 (número impar) tienen paridades opuestas. En particular, la paridad de cero es par. ^[2] Dos números enteros consecutivos tienen paridad opuesta. Un número (es decir, un entero) expresado en el sistema de numeración decimal es par o impar según su último dígito sea par o impar. Es decir, si el último dígito es 1, 3, 5, 7 o 9, entonces es impar; de lo contrario, es par, ya que el último dígito de cualquier número par es 0, 2, 4, 6 u 8. La misma idea funcionará utilizando cualquier base par. En particular, un número expresado en el sistema de numeración binario es impar si su último dígito es 1; y es par si su último dígito es 0. En una base impar, el número es par según la suma de sus dígitos: es par si y solo si la suma de sus dígitos es par. ^[3]

Un número par es un entero de la forma donde k es un entero; ^[4] un número impar es un entero de la forma$${\displaystyle x=2k}$$$${\displaystyle x=2k+1.}$$

Una definición equivalente es que un número par es divisible por 2: y un número impar no lo es:$${\estilo de visualización 2\ |\ x}$$$${\displaystyle 2\no |\x}$$

Los conjuntos de números pares e impares se pueden definir de la siguiente manera: ^[5]$${\displaystyle \{2k:k\in \mathbb {Z} \}}$$$${\displaystyle \{2k+1:k\in \mathbb {Z} \}}$$

El conjunto de los números pares es un ideal primo de y el anillo cociente es el cuerpo con dos elementos . La paridad puede definirse entonces como el homomorfismo de anillo único de a donde los números impares son 1 y los números pares son 0. Las consecuencias de este homomorfismo se tratan a continuación.${\displaystyle \mathbb {Z}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Las siguientes leyes se pueden verificar utilizando las propiedades de divisibilidad . Son un caso especial de reglas en aritmética modular y se utilizan comúnmente para verificar si es probable que una igualdad sea correcta probando la paridad de cada lado. Al igual que con la aritmética ordinaria, la multiplicación y la suma son conmutativas y asociativas en la aritmética módulo 2, y la multiplicación es distributiva sobre la suma. Sin embargo, la resta en módulo 2 es idéntica a la suma, por lo que la resta también posee estas propiedades, lo que no es cierto para la aritmética normal de números enteros.

• par ± par = par; ^[1]
• par ± impar = impar; ^[1]
• impar ± impar = par; ^[1]

• par × par = par; ^[1]
• par × impar = par; ^[1]
• impar × impar = impar; ^[1]

Por construcción en la sección anterior, la estructura ({par, impar}, +, ×) es de hecho el campo con dos elementos .

La división de dos números enteros no necesariamente da como resultado un número entero. Por ejemplo, 1 dividido por 4 es igual a 1/4, que no es ni par ni impar, ya que los conceptos de par e impar se aplican solo a los números enteros. Pero cuando el cociente es un número entero, será par si y solo si el dividendo tiene más factores de dos que el divisor. ^[6]

Los antiguos griegos consideraban que 1, la mónada , no era ni completamente impar ni completamente par. ^[7] Parte de este sentimiento sobrevivió hasta el siglo XIX: en La educación del hombre de Friedrich Wilhelm August Fröbel de 1826, se instruye al maestro a inculcar a los estudiantes la afirmación de que 1 no es ni par ni impar, a lo que Fröbel añade la siguiente reflexión filosófica:

Es conveniente dirigir la atención del alumno a una ley de gran alcance de la naturaleza y del pensamiento: entre dos cosas o ideas relativamente diferentes siempre hay una tercera, en una especie de equilibrio, que parece unirlas. Así, entre los números pares e impares hay un número (uno) que no es ninguno de los dos. De modo similar, en la forma, el ángulo recto se encuentra entre los ángulos agudo y obtuso; y en el lenguaje, las semivocales o aspirantes, entre las mudas y las vocales. Un profesor reflexivo y un alumno al que se le haya enseñado a pensar por sí mismo difícilmente podrán dejar de notar esta y otras leyes importantes. ^[8]

	a	b	do	d	mi	F	gramo	yo
8									8
7									7
6									6
5									5
4									4
3									3
2									2
1									1
	a	b	do	d	mi	F	gramo	yo

Cada uno de los alfiles blancos está confinado a casillas de la misma paridad; el caballo negro sólo puede saltar a casillas de paridad alterna.

Las coordenadas enteras de puntos en espacios euclidianos de dos o más dimensiones también tienen una paridad, generalmente definida como la paridad de la suma de las coordenadas. Por ejemplo, la red cúbica centrada en las caras y sus generalizaciones de dimensiones superiores (las redes D _n ) consisten en todos los puntos enteros cuyas coordenadas tienen una suma par. ^[9] Esta característica también se manifiesta en el ajedrez , donde la paridad de una casilla se indica por su color: los alfiles están restringidos a moverse entre casillas de la misma paridad, mientras que los caballos alternan la paridad entre movimientos. ^[10] Esta forma de paridad se utilizó para resolver el famoso problema del tablero de ajedrez mutilado : si se eliminan dos casillas de esquina opuestas de un tablero de ajedrez, entonces el tablero restante no puede cubrirse con fichas de dominó, porque cada ficha cubre una casilla de cada paridad y hay dos casillas más de una paridad que de la otra. ^[11]

La paridad de un número ordinal puede definirse como par si el número es un ordinal límite, o un ordinal límite más un número par finito, e impar en caso contrario. ^[12]

Sea R un anillo conmutativo y sea I un ideal de R cuyo índice es 2. Los elementos de la clase lateral pueden llamarse pares , mientras que los elementos de la clase lateral pueden llamarse impares . Como ejemplo, sea R = Z ₍₂₎ la localización de Z en el ideal primo (2) . Entonces un elemento de R es par o impar si y solo si su numerador lo es en Z.${\estilo de visualización 0+I}$${\estilo de visualización 1+I}$

Los números pares forman un ideal en el anillo de los números enteros, ^[13] pero los impares no, esto es evidente por el hecho de que el elemento identidad de la adición, el cero, es un elemento de los números pares únicamente. Un número entero es par si es congruente con 0 módulo este ideal, es decir, si es congruente con 0 módulo 2, e impar si es congruente con 1 módulo 2.

Todos los números primos son impares, con una excepción: el número primo 2. ^{[14] Todos} los números perfectos conocidos son pares; se desconoce si existen números perfectos impares. ^[15]

La conjetura de Goldbach afirma que todo entero par mayor que 2 puede representarse como suma de dos números primos. Los cálculos informáticos modernos han demostrado que esta conjetura es cierta para números enteros de al menos 4 × 10 ¹⁸ , pero aún no se ha encontrado una prueba general . ^[16]

La paridad de una permutación (tal como se define en el álgebra abstracta ) es la paridad del número de transposiciones en las que se puede descomponer la permutación. ^[17] Por ejemplo, (ABC) a (BCA) es par porque se puede hacer intercambiando A y B y luego C y A (dos transposiciones). Se puede demostrar que ninguna permutación se puede descomponer tanto en un número par como en un número impar de transposiciones. Por lo tanto, la anterior es una definición adecuada. En el Cubo de Rubik , Megaminx y otros rompecabezas giratorios, los movimientos del rompecabezas solo permiten permutaciones pares de las piezas del rompecabezas, por lo que la paridad es importante para comprender el espacio de configuración de estos rompecabezas. ^[18]

El teorema de Feit-Thompson establece que un grupo finito siempre es resoluble si su orden es un número impar. Este es un ejemplo de números impares que desempeñan un papel en un teorema matemático avanzado en el que el método de aplicación de la hipótesis simple de "orden impar" está lejos de ser obvio. ^[19]

La paridad de una función describe cómo cambian sus valores cuando sus argumentos se intercambian con sus negaciones. Una función par, como una potencia par de una variable, da el mismo resultado para cualquier argumento que para su negación. Una función impar, como una potencia impar de una variable, da para cualquier argumento la negación de su resultado cuando se da la negación de ese argumento. Es posible que una función no sea ni impar ni par, y que en el caso f ( x ) = 0, sea tanto impar como par. ^[20] La serie de Taylor de una función par contiene solo términos cuyo exponente es un número par, y la serie de Taylor de una función impar contiene solo términos cuyo exponente es un número impar. ^[21]

En la teoría de juegos combinatorios , un número malvado es un número que tiene un número par de 1 en su representación binaria , y un número odioso es un número que tiene un número impar de 1 en su representación binaria; estos números juegan un papel importante en la estrategia para el juego Kayles . ^[22] La función de paridad asigna un número a la cantidad de 1 en su representación binaria, módulo 2 , por lo que su valor es cero para números malvados y uno para números odiosos. La secuencia de Thue-Morse , una secuencia infinita de 0 y 1, tiene un 0 en la posición i cuando i es malvado y un 1 en esa posición cuando i es odioso. ^[23]

En teoría de la información , un bit de paridad añadido a un número binario proporciona la forma más simple de código de detección de errores . Si se cambia un solo bit en el valor resultante, ya no tendrá la paridad correcta: cambiar un bit en el número original le da una paridad diferente a la registrada, y cambiar el bit de paridad sin cambiar el número del que se derivó nuevamente produce un resultado incorrecto. De esta manera, todos los errores de transmisión de un solo bit pueden detectarse de manera confiable. ^[24] Algunos códigos de detección de errores más sofisticados también se basan en el uso de múltiples bits de paridad para subconjuntos de los bits del valor codificado original. ^[25]

En los instrumentos de viento con un tubo cilíndrico y, en efecto, cerrado en un extremo, como el clarinete en la boquilla, los armónicos producidos son múltiplos impares de la frecuencia fundamental . (Con tubos cilíndricos abiertos en ambos extremos, utilizados por ejemplo en algunos registros de órgano como el diapasón abierto , los armónicos son múltiplos pares de la misma frecuencia para la longitud del tubo dada, pero esto tiene el efecto de que la frecuencia fundamental se duplica y se producen todos los múltiplos de esta frecuencia fundamental.) Véase serie armónica (música) . ^[26]

En algunos países, la numeración de las casas se elige de modo que las casas de un lado de la calle tengan números pares y las casas del otro lado tengan números impares. ^[27] De manera similar, entre las carreteras numeradas de los Estados Unidos , los números pares indican principalmente carreteras de este a oeste, mientras que los números impares indican principalmente carreteras de norte a sur. ^[28] Entre los números de vuelos de las aerolíneas , los números pares generalmente identifican vuelos en dirección este o norte, y los números impares generalmente identifican vuelos en dirección oeste o sur. ^[29]

• Divisor
• Medio entero