Espacio bidimensional

Un espacio bidimensional es un espacio matemático con dos dimensiones , lo que significa que los puntos tienen dos grados de libertad : sus ubicaciones se pueden describir localmente con dos coordenadas o pueden moverse en dos direcciones independientes. Los espacios bidimensionales comunes a menudo se denominan planos o, de manera más general, superficies . Estos incluyen análogos de los espacios físicos, como planos planos y superficies curvas como esferas, cilindros y conos, que pueden ser infinitos o finitos. Algunos espacios matemáticos bidimensionales no se utilizan para representar posiciones físicas, como un plano afín o un plano complejo .

El ejemplo más básico es el plano euclidiano , una idealización de una superficie plana en el espacio físico , como una hoja de papel o una pizarra. En el plano euclidiano, dos puntos cualesquiera pueden unirse mediante una única línea recta a lo largo de la cual se puede medir la distancia . El espacio es plano porque dos líneas cualesquiera atravesadas por una tercera línea perpendicular a ambas son paralelas , lo que significa que nunca se cruzan y se mantienen a una distancia uniforme entre sí.

Los espacios bidimensionales también pueden ser curvos , por ejemplo la esfera y el plano hiperbólico , porciones suficientemente pequeñas de los cuales parecen un plano llano, pero en las que las líneas rectas que son localmente paralelas no permanecen equidistantes entre sí sino que eventualmente convergen o divergen, respectivamente. Los espacios bidimensionales con un concepto localmente euclidiano de distancia pero que pueden tener una curvatura no uniforme se denominan superficies de Riemann . (No debe confundirse con las superficies de Riemann ). Algunas superficies están incrustadas en el espacio euclidiano tridimensional o en algún otro espacio ambiental , y heredan su estructura de él; por ejemplo, las superficies regladas como el cilindro y el cono contienen una línea recta que pasa por cada punto, y las superficies mínimas minimizan localmente su área, como lo hacen físicamente las películas de jabón .

Las superficies de Lorentz se ven localmente como una porción bidimensional del espacio-tiempo relativista con una dimensión espacial y una temporal; los ejemplos de curvatura constante son el plano de Lorentz (un subespacio bidimensional del espacio de Minkowski ) y los planos curvos de Sitter y anti-de Sitter .

Otros tipos de planos y superficies matemáticas modifican o eliminan las estructuras que definen el plano euclidiano. Por ejemplo, el plano afín tiene una noción de líneas paralelas pero no de distancia; sin embargo, las áreas con signo se pueden comparar de manera significativa, como se puede hacer en una superficie simpléctica más general. El plano proyectivo elimina tanto la distancia como el paralelismo. Un espacio métrico bidimensional tiene algún concepto de distancia pero no necesita coincidir con la versión euclidiana. Una superficie topológica se puede estirar, torcer o doblar sin cambiar sus propiedades esenciales. Una superficie algebraica es un conjunto bidimensional de soluciones de un sistema de ecuaciones polinómicas .

Algunos espacios matemáticos tienen una estructura aritmética adicional asociada a sus puntos. Un plano vectorial es un plano afín cuyos puntos, llamados vectores , incluyen un origen designado especial o vector cero. Los vectores se pueden sumar o escalar mediante un número y, opcionalmente, tienen un concepto euclidiano, lorentziano o galileano de distancia. El plano complejo , el plano de números hiperbólicos y el plano de números duales tienen puntos que se consideran números en sí mismos y se pueden sumar y multiplicar. Una superficie de Riemann o una superficie de Lorentz aparecen localmente como el plano complejo o el plano de números hiperbólicos, respectivamente.

Los espacios matemáticos suelen definirse o representarse mediante números en lugar de axiomas geométricos . Uno de los espacios bidimensionales más fundamentales es el espacio de coordenadas reales , que se denota por estar formado por pares de coordenadas de números reales . A veces, el espacio representa cantidades arbitrarias en lugar de posiciones geométricas, como en el espacio de parámetros de un modelo matemático o el espacio de configuración de un sistema físico.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$

En términos más generales, se pueden utilizar otros tipos de números como coordenadas. El plano complejo es bidimensional cuando se considera que está formado por coordenadas de números reales, pero unidimensional en términos de coordenadas de números complejos . Un espacio complejo bidimensional (como el espacio de coordenadas complejo bidimensional , el plano proyectivo complejo o una superficie compleja ) tiene dos dimensiones complejas, que pueden representarse alternativamente utilizando cuatro dimensiones reales. Una red bidimensional es una cuadrícula infinita de puntos que puede representarse utilizando coordenadas enteras . Algunos espacios bidimensionales, como los planos finitos , tienen solo un conjunto finito de elementos.

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