Codominio

En matemáticas , un codominio o conjunto de destino de una función es un conjunto en el que se obliga a incluir toda la salida de la función. Es el conjunto Y en la notación f : X → Y . El término rango a veces se utiliza de forma ambigua para referirse tanto al codominio como a la imagen de una función.

Un codominio es parte de una función f si f se define como una terna ( X , Y , G ) donde X se denomina dominio de f , Y su codominio y G su grafo . ^[1] El conjunto de todos los elementos de la forma f ( x ) , donde x abarca los elementos del dominio X , se denomina imagen de f . La imagen de una función es un subconjunto de su codominio, por lo que podría no coincidir con él. Es decir, una función que no es sobreyectiva tiene elementos y en su codominio para los cuales la ecuación f ( x ) = y no tiene solución.

Un codominio no es parte de una función f si f se define simplemente como un grafo. ^{[2] [3]} Por ejemplo, en la teoría de conjuntos es deseable permitir que el dominio de una función sea una clase propia X , en cuyo caso formalmente no existe tal cosa como una tripleta ( X , Y , G ) . Con tal definición, las funciones no tienen un codominio, aunque algunos autores todavía lo usan informalmente después de introducir una función en la forma f : X → Y . ^[4]

Para una función

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$

definido por

${\displaystyle f\colon \,x\mapsto x^{2},}$o equivalentemente${\displaystyle f(x)\ =\ x^{2},}$

El codominio de f es , pero f no se asigna a ningún número negativo. Por lo tanto, la imagen de f es el conjunto ; es decir, el intervalo [0, ∞) .${\displaystyle \textstyle \mathbb {R}}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} _ {0}^{+}}$

Una función alternativa g se define así:

${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}}$

${\displaystyle g\colon \,x\mapsto x^{2}.}$

Aunque f y g asignan una x dada al mismo número, no son, desde este punto de vista, la misma función porque tienen codominios diferentes. Se puede definir una tercera función h para demostrar por qué:

${\displaystyle h\colon \,x\mapsto {\sqrt {x}}.}$

El dominio de h no puede ser pero puede definirse como :${\displaystyle \textstyle \mathbb {R}}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} _ {0}^{+}}$

${\displaystyle h\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\rightarrow \mathbb {R} .}$

Las composiciones se denotan

${\estilo de visualización h\circ f,}$

${\estilo de visualización h\circ g.}$

Tras una inspección, h ∘ f no es útil. Es cierto, a menos que se defina de otra manera, que no se conoce la imagen de f ; solo se sabe que es un subconjunto de . Por esta razón, es posible que h , cuando se compone con f , pueda recibir un argumento para el cual no se define ninguna salida: los números negativos no son elementos del dominio de h , que es la función raíz cuadrada .${\displaystyle \textstyle \mathbb {R}}$

Por lo tanto, la composición de funciones es una noción útil sólo cuando el codominio de la función en el lado derecho de una composición (no su imagen , que es una consecuencia de la función y podría ser desconocida a nivel de la composición) es un subconjunto del dominio de la función en el lado izquierdo.

El codominio afecta si una función es una sobreyección , en el sentido de que la función es sobreyectiva si y solo si su codominio es igual a su imagen. En el ejemplo, g es una sobreyección mientras que f no lo es. El codominio no afecta si una función es una inyección .

Un segundo ejemplo de la diferencia entre codominio e imagen se demuestra con las transformaciones lineales entre dos espacios vectoriales ; en particular, todas las transformaciones lineales de a sí mismo, que pueden representarse mediante matrices 2×2 con coeficientes reales. Cada matriz representa una función con el dominio y el codominio . Sin embargo, la imagen es incierta. Algunas transformaciones pueden tener una imagen igual a todo el codominio (en este caso, las matrices con rango 2 ), pero muchas no, sino que se asignan a un subespacio más pequeño (las matrices con rango 1 o 0 ). Tomemos como ejemplo la matriz T dada por${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}}$

que representa una transformación lineal que asigna el punto ( x , y ) a ( x , x ) . El punto (2, 3) no está en la imagen de T , pero todavía está en el codominio ya que las transformaciones lineales de a son de relevancia explícita. Al igual que todas las matrices 2×2 , T representa un miembro de ese conjunto. Examinar las diferencias entre la imagen y el codominio a menudo puede ser útil para descubrir propiedades de la función en cuestión. Por ejemplo, se puede concluir que T no tiene rango completo ya que su imagen es más pequeña que todo el codominio.${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$

• Biyección  – Correspondencia uno a uno
• Morfismo#Codominio

• Bourbaki, Nicolás (1970). Teoría de los conjuntos . Elementos matemáticos. Saltador. ISBN 9783540340348.
• Eccles, Peter J. (1997), Introducción al razonamiento matemático: números, conjuntos y funciones , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59718-0
• Forster, Thomas (2003), Lógica, inducción y conjuntos , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-53361-4
• Mac Lane, Saunders (1998), Categorías para el matemático en activo (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-0-387-98403-2
• Scott, Dana S. ; Jech, Thomas J. (1967), Teoría de conjuntos axiomáticos , Simposio de Matemáticas Pura, Sociedad Matemática Americana, ISBN 978-0-8218-0245-8
• Sharma, AK (2004), Introducción a la teoría de conjuntos , Discovery Publishing House, ISBN 978-81-7141-877-0
• Stewart, Ian ; Tall, David Orme (1977), Los fundamentos de las matemáticas , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853165-4