Radiación de cuerpo negro

La radiación de cuerpo negro es la radiación electromagnética térmica dentro o alrededor de un cuerpo en equilibrio termodinámico con su entorno, emitida por un cuerpo negro (un cuerpo opaco idealizado, no reflectante). Tiene un espectro específico y continuo de longitudes de onda , inversamente relacionadas con la intensidad, que dependen solo de la temperatura del cuerpo , que se supone, a los efectos de los cálculos y la teoría, que es uniforme y constante. ^{[1] [2] [3] [4]}

Un recinto perfectamente aislado que se encuentra en equilibrio térmico en su interior contiene radiación de cuerpo negro y la emitirá a través de un orificio practicado en su pared, siempre que el orificio sea lo suficientemente pequeño como para tener un efecto insignificante sobre el equilibrio. La radiación térmica emitida espontáneamente por muchos objetos ordinarios puede considerarse como radiación de cuerpo negro.

De particular importancia, aunque los planetas y las estrellas (incluyendo la Tierra y el Sol ) no están en equilibrio térmico con su entorno ni son cuerpos negros perfectos, la radiación del cuerpo negro sigue siendo una buena primera aproximación de la energía que emiten. ^[5]

El término cuerpo negro fue introducido por Gustav Kirchhoff en 1860. ^[6] La radiación del cuerpo negro también se denomina radiación térmica , radiación de cavidad , radiación completa o radiación de temperatura .

La radiación del cuerpo negro tiene un espectro de frecuencia característico y continuo que depende únicamente de la temperatura del cuerpo, ^[8] llamado espectro de Planck o ley de Planck . El espectro alcanza su pico en una frecuencia característica que cambia a frecuencias más altas con el aumento de la temperatura, y a temperatura ambiente la mayor parte de la emisión está en la región infrarroja del espectro electromagnético . ^{[9] [10] [11]} A medida que la temperatura aumenta más allá de los 500 grados Celsius , los cuerpos negros comienzan a emitir cantidades significativas de luz visible. Visto en la oscuridad por el ojo humano, el primer brillo débil aparece como un gris "fantasmal" (la luz visible es en realidad roja, pero la luz de baja intensidad activa solo los sensores de nivel de gris del ojo). Con el aumento de la temperatura, el brillo se vuelve visible incluso cuando hay algo de luz de fondo circundante: primero como un rojo opaco, luego amarillo y, finalmente, un "blanco azulado deslumbrante" a medida que aumenta la temperatura. ^{[12] [13]} Cuando el cuerpo parece blanco, está emitiendo una fracción sustancial de su energía como radiación ultravioleta . El Sol , con una temperatura efectiva de aproximadamente 5800 K, ^[14] es un cuerpo aproximadamente negro con un espectro de emisión que alcanza su pico en la parte central, amarillo-verde, del espectro visible , pero con una potencia significativa también en el ultravioleta.

La radiación del cuerpo negro proporciona información sobre el estado de equilibrio termodinámico de la radiación de la cavidad.

Toda materia normal ( bariónica ) emite radiación electromagnética cuando tiene una temperatura superior al cero absoluto . La radiación representa una conversión de la energía interna de un cuerpo en energía electromagnética, por lo que se denomina radiación térmica . Se trata de un proceso espontáneo de distribución radiativa de la entropía .

Por el contrario, toda materia normal absorbe radiación electromagnética en algún grado. Un objeto que absorbe toda la radiación que incide sobre él, en todas las longitudes de onda , se denomina cuerpo negro. Cuando un cuerpo negro está a una temperatura uniforme, su emisión tiene una distribución de frecuencia característica que depende de la temperatura. Su emisión se denomina radiación de cuerpo negro.

El concepto de cuerpo negro es una idealización, ya que los cuerpos negros perfectos no existen en la naturaleza. ^[15] Sin embargo, el grafito y el negro de humo , con emisividades mayores de 0,95, son buenas aproximaciones a un material negro. Experimentalmente, la radiación de cuerpo negro puede establecerse mejor como la radiación de equilibrio de estado estable en última instancia en una cavidad en un cuerpo rígido, a una temperatura uniforme, que es completamente opaco y es solo parcialmente reflectante. ^[15] Una caja cerrada con paredes de grafito a una temperatura constante con un pequeño orificio en un lado produce una buena aproximación a la radiación de cuerpo negro ideal que emana de la abertura. ^{[16] [17]}

La radiación de cuerpo negro tiene la distribución única absolutamente estable de intensidad radiativa que puede persistir en equilibrio termodinámico en una cavidad. ^[15] En equilibrio, para cada frecuencia, la intensidad de radiación que se emite y refleja desde un cuerpo en relación con otras frecuencias (es decir, la cantidad neta de radiación que sale de su superficie, llamada radiancia espectral ) está determinada únicamente por la temperatura de equilibrio y no depende de la forma, el material o la estructura del cuerpo. ^[18] Para un cuerpo negro (un absorbente perfecto) no hay radiación reflejada, por lo que la radiancia espectral se debe completamente a la emisión. Además, un cuerpo negro es un emisor difuso (su emisión es independiente de la dirección).

La radiación del cuerpo negro se convierte en un resplandor de luz visible si la temperatura del objeto es lo suficientemente alta. ^[19] El punto de Draper es la temperatura a la que todos los sólidos brillan con un rojo tenue, aproximadamente798 K . ^[20] En1000 K , una pequeña abertura en la pared de una cavidad grande de paredes opacas calentada uniformemente (como un horno), vista desde afuera, se ve roja;6000 K , se ve blanco. No importa cómo esté construido el horno, o de qué material esté hecho, siempre que esté construido de manera que casi toda la luz que entra sea absorbida por sus paredes, contendrá una buena aproximación a la radiación de cuerpo negro. El espectro, y por lo tanto el color, de la luz que sale será una función de la temperatura de la cavidad únicamente. Un gráfico de la intensidad de la radiación espectral trazada en función de la frecuencia (o longitud de onda) se llama curva de cuerpo negro . Se obtienen diferentes curvas al variar la temperatura.

Cuando el cuerpo es negro, la absorción es obvia: la cantidad de luz absorbida es toda la luz que llega a la superficie. Para un cuerpo negro mucho más grande que la longitud de onda, la energía luminosa absorbida a cualquier longitud de onda λ por unidad de tiempo es estrictamente proporcional a la curva de cuerpo negro. Esto significa que la curva de cuerpo negro es la cantidad de energía luminosa emitida por un cuerpo negro, lo que justifica el nombre. Esta es la condición para la aplicabilidad de la ley de Kirchhoff de la radiación térmica : la curva de cuerpo negro es característica de la luz térmica, que depende solo de la temperatura de las paredes de la cavidad, siempre que las paredes de la cavidad sean completamente opacas y poco reflectantes, y que la cavidad esté en equilibrio termodinámico . ^[21] Cuando el cuerpo negro es pequeño, de modo que su tamaño es comparable a la longitud de onda de la luz, la absorción se modifica, porque un objeto pequeño no es un absorbente eficiente de luz de longitud de onda larga, pero el principio de estricta igualdad de emisión y absorción siempre se mantiene en una condición de equilibrio termodinámico.

En el laboratorio, la radiación de cuerpo negro se aproxima a la radiación de un pequeño agujero en una gran cavidad, un hohlraum , en un cuerpo completamente opaco que es solo parcialmente reflectante, que se mantiene a una temperatura constante. (Esta técnica conduce al término alternativo radiación de cavidad ). Cualquier luz que entre en el agujero tendría que reflejarse en las paredes de la cavidad varias veces antes de escapar, en cuyo proceso es casi seguro que será absorbida. La absorción ocurre independientemente de la longitud de onda de la radiación que entra (siempre que sea pequeña en comparación con el agujero). El agujero, entonces, es una aproximación cercana de un cuerpo negro teórico y, si la cavidad se calienta, el espectro de la radiación del agujero (es decir, la cantidad de luz emitida desde el agujero en cada longitud de onda) será continuo, y dependerá solo de la temperatura y del hecho de que las paredes sean opacas y al menos parcialmente absorbentes, pero no del material particular del que están construidas ni del material de la cavidad (compárese con espectro de emisión ).

La radiancia o intensidad observada no es función de la dirección. Por lo tanto, un cuerpo negro es un radiador lambertiano perfecto.

Los objetos reales nunca se comportan como cuerpos negros totalmente ideales, sino que la radiación emitida a una frecuencia dada es una fracción de lo que sería la emisión ideal. La emisividad de un material especifica qué tan bien un cuerpo real irradia energía en comparación con un cuerpo negro. Esta emisividad depende de factores como la temperatura, el ángulo de emisión y la longitud de onda. Sin embargo, es típico en ingeniería suponer que la emisividad y la absortividad espectrales de una superficie no dependen de la longitud de onda, de modo que la emisividad es constante. Esto se conoce como el supuesto del cuerpo gris .

En el caso de superficies que no son negras, las desviaciones del comportamiento ideal de un cuerpo negro están determinadas tanto por la estructura de la superficie, como por ejemplo la rugosidad o la granularidad, como por la composición química. Sobre una base "por longitud de onda", los objetos reales en estados de equilibrio termodinámico local siguen cumpliendo la Ley de Kirchhoff : la emisividad es igual a la absortividad, de modo que un objeto que no absorbe toda la luz incidente también emitirá menos radiación que un cuerpo negro ideal; la absorción incompleta puede deberse a que parte de la luz incidente se transmite a través del cuerpo o a que parte de ella se refleja en la superficie del cuerpo.

En astronomía , los objetos como las estrellas se consideran con frecuencia cuerpos negros, aunque a menudo se trata de una aproximación deficiente. La radiación de fondo de microondas cósmica exhibe un espectro de cuerpo negro casi perfecto . La radiación de Hawking es la radiación de cuerpo negro hipotética emitida por los agujeros negros , a una temperatura que depende de la masa, la carga y el giro del agujero. Si esta predicción es correcta, los agujeros negros se encogerán y evaporarán muy gradualmente con el tiempo a medida que pierdan masa por la emisión de fotones y otras partículas.

Un cuerpo negro irradia energía en todas las frecuencias, pero su intensidad tiende rápidamente a cero en frecuencias altas (longitudes de onda cortas). Por ejemplo, un cuerpo negro a temperatura ambiente (300 K ) con un metro cuadrado de superficie emitirá un fotón en el rango visible (390–750 nm) a una tasa promedio de un fotón cada 41 segundos, lo que significa que, para la mayoría de los propósitos prácticos, dicho cuerpo negro no emite en el rango visible. ^[24]

El estudio de las leyes de los cuerpos negros y el fracaso de la física clásica para describirlas ayudaron a establecer las bases de la mecánica cuántica .

Según la teoría clásica de la radiación, si cada modo de Fourier de la radiación de equilibrio (en una cavidad vacía con paredes perfectamente reflectantes) se considera como un grado de libertad capaz de intercambiar energía, entonces, según el teorema de equipartición de la física clásica, habría una cantidad igual de energía en cada modo. Como hay un número infinito de modos, esto implicaría una capacidad térmica infinita , así como un espectro no físico de radiación emitida que crece sin límite con el aumento de la frecuencia, un problema conocido como la catástrofe ultravioleta . En las longitudes de onda más largas, esta desviación no es tan notable, ya que y son muy pequeños. En las longitudes de onda más cortas del rango ultravioleta, sin embargo, la teoría clásica predice que la energía emitida tiende al infinito, de ahí la catástrofe ultravioleta. La teoría incluso predijo que todos los cuerpos emitirían la mayor parte de su energía en el rango ultravioleta, claramente contradicho por los datos experimentales que mostraron una longitud de onda máxima diferente a diferentes temperaturas (véase también la ley de Wien ).${\estilo de visualización h\nu}$${\estilo de visualización nh\nu}$

En cambio, en el tratamiento cuántico de este problema, se cuantifican los números de los modos de energía , atenuando el espectro a alta frecuencia de acuerdo con la observación experimental y resolviendo la catástrofe. Los modos que tenían más energía que la energía térmica de la propia sustancia no se consideraron y, debido a la cuantificación, se excluyeron los modos que tenían energía infinitesimalmente pequeña.

Por lo tanto, para longitudes de onda más cortas se permitieron muy pocos modos (que tuvieran energía mayor que ), lo que respalda los datos de que la energía emitida se reduce para longitudes de onda menores que la longitud de onda del pico de emisión observado.${\estilo de visualización h\nu}$

Obsérvese que hay dos factores responsables de la forma del gráfico, que pueden verse como trabajando uno en sentido opuesto. En primer lugar, las longitudes de onda más cortas tienen un mayor número de modos asociados a ellas. Esto explica el aumento de la radiancia espectral a medida que uno se mueve desde las longitudes de onda más largas hacia el pico en longitudes de onda relativamente más cortas. En segundo lugar, sin embargo, en longitudes de onda más cortas se necesita más energía para alcanzar el nivel umbral para ocupar cada modo: cuanto más energía se necesita para excitar el modo, menor es la probabilidad de que este modo sea ocupado. A medida que disminuye la longitud de onda, la probabilidad de excitar el modo se vuelve extremadamente pequeña, lo que lleva a que menos de estos modos sean ocupados: esto explica la disminución de la radiancia espectral en longitudes de onda muy cortas, a la izquierda del pico. Combinados, dan el gráfico característico. ^[25]

El cálculo de la curva de cuerpo negro fue un gran desafío en la física teórica durante finales del siglo XIX. El problema fue resuelto en 1901 por Max Planck en el formalismo ahora conocido como la ley de Planck de la radiación del cuerpo negro. ^[26] Al realizar cambios en la ley de radiación de Wien (que no debe confundirse con la ley de desplazamiento de Wien) consistentes con la termodinámica y el electromagnetismo , encontró una expresión matemática que se ajustaba satisfactoriamente a los datos experimentales. Planck tuvo que asumir que la energía de los osciladores en la cavidad estaba cuantizada, lo que quiere decir que existía en múltiplos enteros de alguna cantidad. Einstein se basó en esta idea y propuso la cuantización de la radiación electromagnética en sí misma en 1905 para explicar el efecto fotoeléctrico . Estos avances teóricos finalmente resultaron en la sustitución del electromagnetismo clásico por la electrodinámica cuántica . Estos cuantos se llamaron fotones y se pensó que la cavidad del cuerpo negro contenía un gas de fotones . Además, condujo al desarrollo de distribuciones de probabilidad cuántica, llamadas estadísticas de Fermi-Dirac y estadísticas de Bose-Einstein , cada una aplicable a una clase diferente de partículas, fermiones y bosones .

La longitud de onda en la que la radiación es más fuerte viene dada por la ley de desplazamiento de Wien, y la potencia total emitida por unidad de área viene dada por la ley de Stefan-Boltzmann . Por lo tanto, a medida que aumenta la temperatura, el color del resplandor cambia de rojo a amarillo, a blanco y a azul. Incluso cuando la longitud de onda máxima se mueve hacia el ultravioleta, se sigue emitiendo suficiente radiación en las longitudes de onda azules para que el cuerpo siga pareciendo azul. Nunca se volverá invisible; de ​​hecho, la radiación de la luz visible aumenta monótonamente con la temperatura. ^[27] La ​​ley de Stefan-Boltzmann también dice que la energía térmica radiante total emitida desde una superficie es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura absoluta . La ley fue formulada por Josef Stefan en 1879 y luego derivada por Ludwig Boltzmann. Se da la fórmula E = σT ⁴ , donde E es el calor radiante emitido desde una unidad de área por unidad de tiempo, T es la temperatura absoluta y σ =5.670 367 × 10 ⁻⁸  W·m ⁻² ⋅K ⁻⁴ es la constante de Stefan-Boltzmann . ^[28]

La ley de Planck establece que ^[29] donde$${\displaystyle B_{\nu }(T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /kT}-1 }},}$$

Para una superficie de cuerpo negro, la densidad de radiancia espectral (definida por unidad de área normal a la propagación) es independiente del ángulo de emisión con respecto a la normal. Sin embargo, esto significa que, siguiendo la ley del coseno de Lambert , es la densidad de radiancia por unidad de área de la superficie emisora ​​a medida que el área de superficie involucrada en la generación de la radiancia aumenta en un factor con respecto a un área normal a la dirección de propagación. En ángulos oblicuos, los intervalos de ángulo sólido involucrados se vuelven más pequeños, lo que resulta en intensidades agregadas más bajas.${\estilo de visualización \theta}$${\displaystyle B_{\nu }(T)\cos \theta }$${\displaystyle 1/\cos \theta}$

La densidad de flujo de energía emitida o irradiancia , está relacionada con la densidad de flujo de fotones a través de ^[30]${\displaystyle B_{\nu}(T,E)}$${\displaystyle b_{\nu}(T,E)}$$${\displaystyle B_{\nu }(T,E)=Eb_{\nu }(T,E)}$$

La ley de desplazamiento de Wien muestra cómo el espectro de la radiación del cuerpo negro a cualquier temperatura se relaciona con el espectro a cualquier otra temperatura. Si conocemos la forma del espectro a una temperatura, podemos calcular la forma a cualquier otra temperatura. La intensidad espectral se puede expresar como una función de la longitud de onda o de la frecuencia.

Una consecuencia de la ley de desplazamiento de Wien es que la longitud de onda en la que la intensidad por unidad de longitud de onda de la radiación producida por un cuerpo negro tiene un máximo o pico local, , es una función únicamente de la temperatura: donde la constante b , conocida como constante de desplazamiento de Wien, es igual a${\displaystyle \lambda _{\text{pico}}}$$${\displaystyle \lambda _{\text{pico}}={\frac {b}{T}},}$$${\displaystyle {\frac {hc}{k}}{\frac {1}{5+W_{0}(-5e^{-5})}}\approx }$ 2,897 771 955 × 10 ⁻³  m K . ^[31] es la función W de Lambert . Por lo tanto , es aproximadamente 2898 μm/T, con la temperatura expresada en kelvin. A una temperatura ambiente típica de 293 K (20 °C), la intensidad máxima es a$Estilo de visualización W_{0}$${\displaystyle \lambda _{\text{pico}}}$9,9 micras .

La ley de Planck también se enunció anteriormente como una función de la frecuencia. La intensidad máxima para esto está dada por ^[32] En forma sin unidades, el máximo ocurre cuando , donde . La solución numérica aproximada es . A una temperatura ambiente típica de 293 K (20 °C), la intensidad máxima es para = 17 THz .$${\displaystyle \nu _{\text{pico}}=T\times 5.879...\times 10^{10}\ \mathrm {Hz} /\mathrm {K} .}$$$Estilo de visualización e^{x}(1-x/3)=1}$${\displaystyle x=h\nu/kT}$${\displaystyle x\aproximadamente 2,82}$${\estilo de visualización \nu}$

Al integrar sobre la frecuencia la radiancia (unidades: potencia / [área × ángulo sólido]) se obtiene utilizando con y siendo la constante de Stefan-Boltzmann .${\displaystyle B_{\nu }(T)\cos(\theta )}$${\estilo de visualización L}$$${\displaystyle L={\frac {2\pi ^{5}}{15}}{\frac {k^{4}T^{4}}{c^{2}h^{3}}}{\frac {1}{\pi }}=\sigma T^{4}{\frac {\cos(\theta )}{\pi }}}$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }dx\,{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}={\frac {\pi ^{4}}{15}}}$${\displaystyle x\equiv {\frac {h\nu }{kT}}}$${\displaystyle \sigma \equiv {\frac {2\pi ^{5}}{15}}{\frac {k^{4}}{c^{2}h^{3}}}=5.670373\times 10^{-8}\mathrm {\frac {W}{m^{2}K^{4}}} }$

Como nota al margen, a una distancia d, la intensidad por área de superficie radiante es la expresión útil cuando la superficie receptora es perpendicular a la radiación.${\estilo de visualización dI}$${\estilo de visualización dA}$$${\displaystyle dI=\sigma T^{4}{\frac {\cos \theta }{\pi d^{2}}}dA}$$

Integrando posteriormente sobre el ángulo sólido para todos los ángulos azimutales (0 a ) y ángulos polares de 0 a , llegamos a la ley de Stefan-Boltzmann : la potencia j * emitida por unidad de área de la superficie de un cuerpo negro es directamente proporcional a la cuarta potencia de su temperatura absoluta: Usamos${\estilo de visualización L}$${\estilo de visualización \Omega}$${\estilo de visualización 2\pi}$${\estilo de visualización \theta}$${\estilo de visualización \pi /2}$$${\displaystyle j^{\star }=\sigma T^{4},}$$$${\displaystyle \int \cos \theta \,d\Omega =\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta \,d\theta \,d\phi =\pi .}$$

El cuerpo humano irradia energía en forma de luz infrarroja . La potencia neta radiada es la diferencia entre la potencia emitida y la potencia absorbida: Aplicando la ley de Stefan-Boltzmann, donde A y T son la superficie corporal y la temperatura, es la emisividad y T ₀ es la temperatura ambiente.$${\displaystyle P_{\text{neto}}=P_{\text{emitir}}-P_{\text{absorber}}.}$$$${\displaystyle P_{\text{neto}}=A\sigma \varepsilon \left(T^{4}-T_{0}^{4}\right),}$$${\estilo de visualización \varepsilon}$

La superficie total de un adulto es de aproximadamente2 m ² , y la emisividad infrarroja media y lejana de la piel y la mayoría de las prendas de vestir es cercana a la unidad, como lo es para la mayoría de las superficies no metálicas. ^{[33] [34]} La temperatura de la piel es de aproximadamente 33 °C, ^[35] pero la ropa reduce la temperatura de la superficie a aproximadamente 28 °C cuando la temperatura ambiente es de 20 °C. ^[36] Por lo tanto, la pérdida neta de calor radiativo es de aproximadamente La energía total irradiada en un día es de aproximadamente 8 MJ , o 2000 kcal ( calorías de los alimentos ). La tasa metabólica basal para un hombre de 40 años es de aproximadamente 35 kcal/(m ² ·h), ^[37] lo que equivale a 1700 kcal por día, asumiendo la misma área de 2 m ² . Sin embargo, la tasa metabólica media de los adultos sedentarios es aproximadamente un 50% a 70% mayor que su tasa basal. ^[38]$${\displaystyle P_{\text{neta}}=P_{\text{emisión}}-P_{\text{absorción}}=\mathrm {100~W} .}$$

Existen otros mecanismos importantes de pérdida térmica, como la convección y la evaporación . La conducción es insignificante: el número de Nusselt es mucho mayor que la unidad. La evaporación por transpiración solo es necesaria si la radiación y la convección son insuficientes para mantener una temperatura estable (pero la evaporación de los pulmones ocurre de todos modos). Las tasas de convección libre son comparables, aunque algo inferiores, a las tasas de radiación. ^[39] Por lo tanto, la radiación representa aproximadamente dos tercios de la pérdida de energía térmica en aire frío y quieto. Dada la naturaleza aproximada de muchas de las suposiciones, esto solo puede tomarse como una estimación burda. El movimiento del aire ambiental, que causa convección forzada o evaporación, reduce la importancia relativa de la radiación como mecanismo de pérdida térmica.

La aplicación de la ley de Wien a las emisiones del cuerpo humano da como resultado una longitud de onda máxima de Por este motivo, los dispositivos de imágenes térmicas para sujetos humanos son más sensibles en el rango de 7 a 14 micrómetros.$${\displaystyle \lambda _{\text{pico}}=\mathrm {\frac {2,898\times 10^{-3}~K\cdot m}{305~K}} =\mathrm {9,50~\mu m} .}$$

La ley del cuerpo negro se puede utilizar para estimar la temperatura de un planeta que orbita alrededor del Sol.

La temperatura de un planeta depende de varios factores:

• Radiación incidente de su estrella
• Radiación emitida por el planeta (por ejemplo, el resplandor infrarrojo de la Tierra )
• El efecto albedo hace que una fracción de la luz sea reflejada por el planeta.
• El efecto invernadero en los planetas con atmósfera
• Energía generada internamente por el propio planeta debido a la desintegración radiactiva , el calentamiento por mareas y la contracción adiabática debido al enfriamiento .

El análisis sólo considera el calor del Sol para un planeta del Sistema Solar.

La ley de Stefan-Boltzmann da la potencia total (energía/segundo) que emite el Sol:

$${\displaystyle P_{\rm {S\ emt}}=4\pi R_{\rm {S}}^{2}\sigma T_{\rm {S}}^{4}}$$

( 1 )

dónde

El Sol emite esa energía de manera uniforme en todas las direcciones. Por ello, el planeta recibe solo una pequeña fracción de ella. La energía del Sol que llega al planeta (en la parte superior de la atmósfera) es:

$${\displaystyle P_{\rm {SE}}=P_{\rm {S\ emt}}\left({\frac {\pi R_{\rm {E}}^{2}}{4\pi D^{2}}}\right)}$$

( 2 )

dónde

Debido a su alta temperatura, el Sol emite en gran medida en el rango de frecuencias ultravioleta y visible (UV-Vis). En este rango de frecuencias, el planeta refleja una fracción de esta energía, donde es el albedo o reflectancia del planeta en el rango UV-Vis. En otras palabras, el planeta absorbe una fracción de la luz del Sol y refleja el resto. La energía absorbida por el planeta y su atmósfera es entonces:${\estilo de visualización \alpha}$${\estilo de visualización \alpha}$${\estilo de visualización 1-\alfa}$

$${\displaystyle P_{\rm {abs}}=(1-\alpha )\,P_{\rm {SE}}}$$

( 3 )

Aunque el planeta sólo absorbe como área circular , emite en todas direcciones; la superficie esférica es . Si el planeta fuera un cuerpo negro perfecto, emitiría de acuerdo con la ley de Stefan-Boltzmann${\displaystyle \pi R^{2}}$${\displaystyle 4\pi R^{2}}$

$${\displaystyle P_{\rm {emt\,bb}}=4\pi R_{\rm {E}}^{2}\sigma T_{\rm {E}}^{4}}$$

( 4 )

donde es la temperatura del planeta. Esta temperatura, calculada para el caso del planeta actuando como un cuerpo negro estableciendo , se conoce como temperatura efectiva . La temperatura real del planeta probablemente será diferente, dependiendo de su superficie y propiedades atmosféricas. Ignorando la atmósfera y el efecto invernadero, el planeta, dado que está a una temperatura mucho más baja que el Sol, emite principalmente en la porción infrarroja (IR) del espectro. En este rango de frecuencia, emite de la radiación que emitiría un cuerpo negro donde es la emisividad promedio en el rango IR. La potencia emitida por el planeta es entonces:${\displaystyle T_{\rm {E}}}$${\displaystyle P_{\rm {abs}}=P_{\rm {emt\,bb}}}$${\displaystyle {\overline {\epsilon }}}$${\displaystyle {\overline {\epsilon }}}$

$${\displaystyle P_{\rm {emt}}={\overline {\epsilon }}\,P_{\rm {emt\,bb}}}$$

( 5 )

Para un cuerpo en equilibrio de intercambio radiativo con su entorno, la tasa a la que emite energía radiante es igual a la tasa a la que la absorbe: ^{[40] [41]}

$${\displaystyle P_{\rm {abs}}=P_{\rm {emt}}}$$

( 6 )

Sustituyendo las expresiones para la energía solar y planetaria en las ecuaciones 1 a 6 y simplificando, se obtiene la temperatura estimada del planeta, ignorando el efecto invernadero, T _P :

$${\displaystyle T_{P}=T_{S}{\sqrt {\frac {R_{S}{\sqrt {\frac {1-\alpha }{\overline {\varepsilon }}}}}{2D}}}}$$

( 7 )

En otras palabras, dadas las suposiciones realizadas, la temperatura de un planeta depende únicamente de la temperatura superficial del Sol, del radio del Sol, de la distancia entre el planeta y el Sol, del albedo y de la emisividad IR del planeta.

Observe que una bola gris (espectro plano) alcanza la misma temperatura que un cuerpo negro, sin importar cuán oscuro o claro sea su gris.${\displaystyle (1-\alpha )={\overline {\varepsilon }}}$

Sustituyendo los valores medidos para el Sol y la Tierra obtenemos:

• ${\displaystyle T_{\rm {S}}=5772\ \mathrm {K} ,}$^[42]
• ${\displaystyle R_{\rm {S}}=6.957\times 10^{8}\ \mathrm {m} ,}$^[42]
• ${\displaystyle D=1.496\times 10^{11}\ \mathrm {m} ,}$^[42]
• ${\displaystyle \alpha =0.309\ }$^[43]

Con la emisividad promedio establecida en la unidad, la temperatura efectiva de la Tierra es: o −18,8 °C.${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}}$$${\displaystyle T_{\rm {E}}=254.356\ \mathrm {K} }$$

Esta es la temperatura de la Tierra si irradiara como un cuerpo negro perfecto en el infrarrojo, suponiendo un albedo inmutable e ignorando los efectos de invernadero (que pueden elevar la temperatura de la superficie de un cuerpo por encima de lo que sería si fuera un cuerpo negro perfecto en todos los espectros ^[44] ). De hecho, la Tierra no irradia exactamente como un cuerpo negro perfecto en el infrarrojo, lo que elevará la temperatura estimada unos pocos grados por encima de la temperatura efectiva. Si deseamos estimar cuál sería la temperatura de la Tierra si no tuviera atmósfera, entonces podríamos tomar el albedo y la emisividad de la Luna como una buena estimación. El albedo y la emisividad de la Luna son aproximadamente 0,1054 ^[45] y 0,95 ^[46] respectivamente, lo que arroja una temperatura estimada de aproximadamente 1,36 °C.

Las estimaciones del albedo promedio de la Tierra varían en el rango de 0,3 a 0,4, lo que da como resultado diferentes temperaturas efectivas estimadas. Las estimaciones a menudo se basan en la constante solar (densidad de potencia de insolación total) en lugar de la temperatura, el tamaño y la distancia del Sol. Por ejemplo, utilizando 0,4 para el albedo y una insolación de 1400 W m ⁻² , se obtiene una temperatura efectiva de aproximadamente 245 K. ^[47] De manera similar, utilizando un albedo de 0,3 y una constante solar de 1372 W m ⁻² , se obtiene una temperatura efectiva de 255 K. ^{[48] [49] [50]}

La radiación de fondo de microondas cósmica que se observa hoy es la radiación de cuerpo negro más perfecta jamás observada en la naturaleza, con una temperatura de aproximadamente 2,7 K. ^[51] Es una "instantánea" de la radiación en el momento de la disociación entre materia y radiación en el universo primitivo. Antes de ese momento, la mayor parte de la materia del universo estaba en forma de plasma ionizado en equilibrio térmico, aunque no termodinámico completo, con la radiación.

Según Kondepudi y Prigogine, a temperaturas muy altas (superiores a 10 ¹⁰  K; tales temperaturas existían en el universo primitivo), donde el movimiento térmico separa a los protones y neutrones a pesar de las fuerzas nucleares fuertes, los pares electrón-positrón aparecen y desaparecen espontáneamente y están en equilibrio térmico con la radiación electromagnética. Estas partículas forman parte del espectro del cuerpo negro, además de la radiación electromagnética. ^[52]

Un cuerpo negro a temperatura ambiente (23 °C (296 K; 73 °F)) irradia principalmente en el espectro infrarrojo , que no puede ser percibido por el ojo humano, ^[53] pero puede ser detectado por algunos reptiles. A medida que el objeto aumenta en temperatura a aproximadamente 500 °C (773 K; 932 °F), el espectro de emisión se hace más fuerte y se extiende hasta el rango visual humano, y el objeto aparece de un rojo opaco. A medida que su temperatura aumenta aún más, emite cada vez más luz naranja, amarilla, verde y luego azul (y finalmente, más allá del violeta, ultravioleta ).

Las lámparas de filamento de tungsteno tienen un espectro de cuerpo negro continuo con una temperatura de color más fría, alrededor de 2700 K (2430 °C; 4400 °F), que también emite una energía considerable en el rango infrarrojo. Las lámparas fluorescentes y LED modernas , que son más eficientes, no tienen un espectro de emisión de cuerpo negro continuo, sino que emiten directamente o utilizan combinaciones de fósforos que emiten múltiples espectros estrechos.

En sus primeras memorias, Augustin-Jean Fresnel (1788-1827) respondió a una opinión que extrajo de una traducción francesa de la Óptica de Isaac Newton . Dice que Newton imaginó partículas de luz atravesando el espacio sin que el medio calórico que lo llenase lo impidiera, y refuta esta opinión (que nunca fue sostenida por Newton) diciendo que un cuerpo negro bajo iluminación aumentaría indefinidamente su calor. ^[54]

En 1858, Balfour Stewart describió sus experimentos sobre los poderes de emisión y absorción de radiación térmica de placas pulidas de varias sustancias, en comparación con los poderes de superficies de negro de humo, a la misma temperatura. ^[55] Stewart eligió superficies de negro de humo como su referencia debido a varios hallazgos experimentales previos, especialmente los de Pierre Prevost y de John Leslie . Escribió: "El negro de humo, que absorbe todos los rayos que caen sobre él y, por lo tanto, posee el mayor poder de absorción posible, poseerá también el mayor poder de radiación posible". La declaración de Stewart asumió un principio general: que existe un cuerpo o superficie que tiene el mayor poder de absorción y radiación posible para cada longitud de onda y temperatura de equilibrio.

Stewart se interesó por la radiación térmica selectiva, que investigó utilizando placas que irradiaban y absorbían selectivamente diferentes longitudes de onda. Habló de los experimentos en términos de rayos que podían reflejarse y refractarse y que obedecían al principio de reciprocidad de Stokes-Helmholtz . Su investigación no consideró que las propiedades de los rayos dependan de la longitud de onda y no utilizó herramientas como prismas o rejillas de difracción. Su trabajo fue cuantitativo dentro de estas limitaciones. Realizó sus mediciones en un entorno a temperatura ambiente y rápidamente para captar sus cuerpos en una condición cercana al equilibrio térmico en el que habían sido preparados.

En 1859, Gustav Robert Kirchhoff informó de la coincidencia de las longitudes de onda de las líneas de absorción y emisión de luz visible resueltas espectralmente. De importancia para la física térmica, también observó que las líneas brillantes o las líneas oscuras eran evidentes según la diferencia de temperatura entre el emisor y el absorbedor. ^[56]

Kirchhoff pasó luego a considerar algunos cuerpos que emiten y absorben radiación térmica, en un recinto o cavidad opaca, en equilibrio a una temperatura T.

Aquí se utiliza una notación diferente de la de Kirchhoff. Aquí, la potencia de emisión E ( T , i ) denota una cantidad adimensional, la radiación total emitida por un cuerpo etiquetado por el índice i a la temperatura T . La razón de absorción total a ( T , i ) de ese cuerpo es adimensional, la razón de la radiación absorbida a la incidente en la cavidad a la temperatura T . (A diferencia de Balfour Stewart, la definición de razón de absorción de Kirchhoff no se refería en particular a una superficie de negro de humo como la fuente de la radiación incidente.) Por lo tanto, la razón E ( T , i ) / a ( T , i ) de potencia de emisión a absortividad es una cantidad adimensional, con las dimensiones de la potencia de emisión, porque a ( T , i ) es adimensional. También aquí la potencia de emisión específica de la longitud de onda del cuerpo a la temperatura T se denota por E ( λ , T , i ) y la razón de absorción específica de la longitud de onda por a ( λ , T , i ) . Nuevamente, la relación E ( λ , T , i ) / a ( λ , T , i ) de potencia de emisión a absortividad es una cantidad dimensionada, con las dimensiones de la potencia de emisión.

En un segundo informe realizado en 1859, Kirchhoff anunció un nuevo principio general o ley para el que ofreció una prueba teórica y matemática, aunque no ofreció mediciones cuantitativas de las potencias de radiación. ^[57] Su prueba teórica fue y todavía es considerada inválida por algunos escritores. ^{[58] [59]} Su principio, sin embargo, ha perdurado: era que para rayos de calor de la misma longitud de onda, en equilibrio a una temperatura dada, la relación específica de la longitud de onda de la potencia de emisión a la absortividad tiene un mismo valor común para todos los cuerpos que emiten y absorben en esa longitud de onda. En símbolos, la ley establecía que la relación específica de la longitud de onda E ( λ , T , i ) / a ( λ , T , i ) tiene un mismo valor para todos los cuerpos. En este informe no se mencionó a los cuerpos negros.

En 1860, sin saber todavía de las mediciones de Stewart para determinadas calidades de radiación, Kirchhoff señaló que se había establecido experimentalmente desde hacía mucho tiempo que para la radiación térmica total emitida y absorbida por un cuerpo en equilibrio, la razón de radiación total dimensionada E ( T , i ) / a ( T , i ) tiene un mismo valor común a todos los cuerpos. ^[60] Nuevamente sin mediciones de potencias radiativas u otros nuevos datos experimentales, Kirchhoff ofreció una nueva prueba teórica de su nuevo principio de la universalidad del valor de la razón específica de longitud de onda E ( λ , T , i ) / a ( λ , T , i ) en equilibrio térmico. Su nueva prueba teórica fue y todavía es considerada inválida por algunos escritores. ^{[58] [59]}

Pero lo más importante es que se basaba en un nuevo postulado teórico de los "cuerpos perfectamente negros", razón por la cual se habla de la ley de Kirchhoff. Estos cuerpos negros mostraban una absorción completa en su superficie más superficial, infinitamente delgada. Correspondían a los cuerpos de referencia de Balfour Stewart, con radiación interna, recubiertos de negro de humo. No eran los cuerpos perfectamente negros más realistas que Planck consideró más tarde. Los cuerpos negros de Planck irradiaban y absorbían sólo por el material en su interior; sus interfaces con los medios contiguos eran sólo superficies matemáticas, capaces no de absorción ni de emisión, sino sólo de reflexión y transmisión con refracción. ^[61]

La prueba de Kirchhoff consideró un cuerpo no ideal arbitrario denominado i, así como varios cuerpos negros perfectos denominados BB . Requería que los cuerpos se mantuvieran en una cavidad en equilibrio térmico a la temperatura T. Su prueba pretendía demostrar que la relación E ( λ , T , i ) / a ( λ , T , i ) era independiente de la naturaleza i del cuerpo no ideal, por más parcialmente transparente o parcialmente reflectante que fuera.

Su prueba argumentó primero que para la longitud de onda λ y a la temperatura T , en equilibrio térmico, todos los cuerpos perfectamente negros del mismo tamaño y forma tienen el mismo valor común de potencia emisiva E ( λ , T , BB) , con las dimensiones de potencia. Su prueba señaló que la absortividad específica de longitud de onda adimensional a ( λ , T , BB) de un cuerpo perfectamente negro es por definición exactamente 1. Luego, para un cuerpo perfectamente negro, la relación específica de longitud de onda de potencia emisiva a absortividad E ( λ , T , BB) / a ( λ , T , BB) es nuevamente simplemente E ( λ , T , BB) , con las dimensiones de potencia. Kirchhoff consideró el equilibrio térmico con el cuerpo no ideal arbitrario, y con un cuerpo perfectamente negro del mismo tamaño y forma, en su lugar en su cavidad en equilibrio a la temperatura T . Argumentó que los flujos de radiación de calor deben ser los mismos en cada caso. Así, argumentó que en el equilibrio térmico la relación E ( λ , T , i ) / a ( λ , T , i ) era igual a E ( λ , T , BB) , que ahora puede denotarse B _λ ( λ , T ) . B _λ ( λ , T ) es una función continua, dependiente solo de λ a temperatura fija T , y una función creciente de T a longitud de onda fija λ . Se desvanece a bajas temperaturas para longitudes de onda visibles, lo que no depende de la naturaleza i del cuerpo arbitrario no ideal (los factores geométricos, tomados en cuenta detalladamente por Kirchhoff, se han ignorado en lo anterior).

Así, la ley de Kirchhoff de la radiación térmica puede enunciarse de la siguiente manera: Para cualquier material, que irradie y absorba en equilibrio termodinámico a cualquier temperatura dada T , para cada longitud de onda λ , la relación entre el poder emisivo y la absortividad tiene un valor universal, que es característico de un cuerpo negro perfecto, y es un poder emisivo que aquí representamos por B _λ (λ, T) . (Para nuestra notación B _λ ( λ , T ) , la notación original de Kirchhoff era simplemente e .) ^{[60] [62] [63] [64] [65] [66]}

Kirchhoff anunció que la determinación de la función B _λ ( λ , T ) era un problema de la mayor importancia, aunque reconoció que habría dificultades experimentales que superar. Supuso que, como otras funciones que no dependen de las propiedades de los cuerpos individuales, sería una función simple. Ocasionalmente, los historiadores han llamado a esa función B _λ ( λ , T ) "función de Kirchhoff (de emisión, universal)", ^{[67] [68] [69] [70]} aunque su forma matemática precisa no se conocería hasta cuarenta años después, hasta que fue descubierta por Planck en 1900. La prueba teórica del principio de universalidad de Kirchhoff fue elaborada y debatida por varios físicos durante la misma época y posteriormente. ^[59] Kirchhoff afirmó más tarde, en 1860, que su prueba teórica era mejor que la de Balfour Stewart, y en algunos aspectos así era. ^[58] El artículo de Kirchhoff de 1860 no mencionaba la segunda ley de la termodinámica y, por supuesto, no mencionaba el concepto de entropía, que en ese momento no había sido establecido. En un relato más meditado en un libro de 1862, Kirchhoff mencionó la conexión de su ley con el principio de Carnot , que es una forma de la segunda ley. ^[71]

Según Helge Kragh, "la teoría cuántica debe su origen al estudio de la radiación térmica, en particular a la radiación del "cuerpo negro" que Robert Kirchhoff había definido por primera vez en 1859-1860". ^[72]

El efecto Doppler relativista provoca un cambio en la frecuencia f de la luz que se origina en una fuente que se mueve en relación con el observador, de modo que se observa que la onda tiene una frecuencia f' : donde v es la velocidad de la fuente en el marco de reposo del observador, θ es el ángulo entre el vector de velocidad y la dirección observador-fuente medida en el marco de referencia de la fuente, y c es la velocidad de la luz . ^[73] Esto se puede simplificar para los casos especiales de objetos que se mueven directamente hacia ( θ = π) o alejándose ( θ = 0) del observador, y para velocidades mucho menores que c .$${\displaystyle f'=f{\frac {1-{\frac {v}{c}}\cos \theta }{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},}$$

A través de la ley de Planck, el espectro de temperatura de un cuerpo negro está proporcionalmente relacionado con la frecuencia de la luz y uno puede sustituir la temperatura ( T ) por la frecuencia en esta ecuación.

Para el caso de una fuente que se mueve directamente hacia o desde el observador, esto se reduce a: Aquí v > 0 indica una fuente que se aleja, y v < 0 indica una fuente que se aproxima.$${\displaystyle T'=T{\sqrt {\frac {c-v}{c+v}}}.}$$

Este es un efecto importante en astronomía, donde las velocidades de las estrellas y galaxias pueden alcanzar fracciones significativas de c . Un ejemplo se encuentra en la radiación de fondo de microondas cósmica , que exhibe una anisotropía dipolar debido al movimiento de la Tierra en relación con este campo de radiación de cuerpo negro.

• Kroemer, Herbert; Kittel, Charles (1980). Física térmica (2.ª ed.). WH Freeman Company. ISBN 0-7167-1088-9.
• Tipler, Paul; Llewellyn, Ralph (2002). Física moderna (4.ª ed.). WH Freeman. ISBN 0-7167-4345-0.

• Radiación de cuerpo negro JavaScript Interactivos Radiación de cuerpo negro por Fu-Kwun Hwang y Loo Kang Wee
• Calculadora interactiva de radiación de cuerpo negro con efecto Doppler. Incluye la mayoría de los sistemas de unidades.
• Demostración de color a temperatura en Academo.org
• Mecanismos de enfriamiento del cuerpo humano – De la hiperfísica
• Descripciones de la radiación emitida por muchos objetos diferentes.
• Subprograma de emisión de cuerpo negro Archivado el 9 de junio de 2010 en Wayback Machine.
• "Espectro de cuerpo negro" de Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project , 2007.