Cuantización (física)

La cuantización (en inglés británico quantisation ) es el procedimiento sistemático de transición desde una comprensión clásica de los fenómenos físicos a una comprensión más nueva conocida como mecánica cuántica . Es un procedimiento para construir la mecánica cuántica a partir de la mecánica clásica . Una generalización que implica infinitos grados de libertad es la cuantización de campo , como en la "cuantización del campo electromagnético ", refiriéndose a los fotones como " cuantos " de campo (por ejemplo, como cuantos de luz ). Este procedimiento es básico para las teorías de la física atómica , la química, la física de partículas , la física nuclear , la física de la materia condensada y la óptica cuántica .

En 1901, cuando Max Planck estaba desarrollando la función de distribución de la mecánica estadística para resolver el problema de la catástrofe ultravioleta , se dio cuenta de que las propiedades de la radiación del cuerpo negro se pueden explicar mediante el supuesto de que la cantidad de energía debe estar en unidades fundamentales contables, es decir, la cantidad de energía no es continua sino discreta . Es decir, existe una unidad mínima de energía y se cumple la siguiente relación para la frecuencia . Aquí, se llama constante de Planck , que representa la cantidad del efecto mecánico cuántico. Significa un cambio fundamental del modelo matemático de las cantidades físicas.${\displaystyle E=h\nu}$${\estilo de visualización \nu}$${\estilo de visualización h}$

En 1905, Albert Einstein publicó un artículo titulado "Desde un punto de vista heurístico sobre la emisión y transformación de la luz", en el que explicaba el efecto fotoeléctrico sobre las ondas electromagnéticas cuantizadas . ^[1] El cuanto de energía al que se hace referencia en este artículo se denominó posteriormente " fotón ". En julio de 1913, Niels Bohr utilizó la cuantización para describir el espectro de un átomo de hidrógeno en su artículo "Sobre la constitución de átomos y moléculas".

Las teorías anteriores han tenido éxito, pero son teorías muy fenomenológicas. Sin embargo, el matemático francés Henri Poincaré fue el primero en dar una definición sistemática y rigurosa de lo que es la cuantización en su artículo de 1912 "Sur la théorie des quanta". ^{[2] [3]}

El término "física cuántica" fue utilizado por primera vez en El universo de Planck a la luz de la física moderna de Johnston (1931).

La cuantización canónica desarrolla la mecánica cuántica a partir de la mecánica clásica . Se introduce una relación de conmutación entre coordenadas canónicas . Técnicamente, se convierten las coordenadas en operadores, mediante combinaciones de operadores de creación y aniquilación . Los operadores actúan sobre los estados cuánticos de la teoría. El estado de energía más bajo se denomina estado de vacío .

Incluso en el contexto de la cuantificación canónica, existe una dificultad asociada a la cuantificación de observables arbitrarios en el espacio de fase clásico. Esta es la ambigüedad de ordenación : clásicamente, las variables de posición y momento x y p conmutan, pero sus contrapartes de operadores mecánicos cuánticos no lo hacen. Se han propuesto varios esquemas de cuantificación para resolver esta ambigüedad, ^[4] de los cuales el más popular es el esquema de cuantificación de Weyl . Sin embargo, el teorema de Groenewold-van Hove dicta que no existe un esquema de cuantificación perfecto. Específicamente, si las cuantificaciones de x y p se toman como los operadores de posición y momento habituales, entonces ningún esquema de cuantificación puede reproducir perfectamente las relaciones de corchetes de Poisson entre los observables clásicos. ^[5] Véase el teorema de Groenewold para una versión de este resultado.

Existe una manera de realizar una cuantificación canónica sin tener que recurrir al enfoque no covariante de foliar el espacio-tiempo y elegir un hamiltoniano . Este método se basa en una acción clásica, pero es diferente del enfoque integral funcional.

El método no se aplica a todas las acciones posibles (por ejemplo, acciones con una estructura no causal o acciones con "flujos" de calibración ). Comienza con el álgebra clásica de todos los funcionales (suaves) sobre el espacio de configuración. Esta álgebra se cociente sobre el ideal generado por las ecuaciones de Euler-Lagrange . Luego, esta álgebra cociente se convierte en un álgebra de Poisson introduciendo un corchete de Poisson derivable de la acción, llamado corchete de Peierls . Esta álgebra de Poisson se deforma entonces en ℏ de la misma manera que en la cuantificación canónica.

En la teoría cuántica de campos , también existe una forma de cuantificar acciones con "flujos" de calibración . Se trata del formalismo de Batalin-Vilkovisky , una extensión del formalismo BRST .

Uno de los primeros intentos de cuantificación natural fue la cuantificación de Weyl, propuesta por Hermann Weyl en 1927. ^[6] En ella, se intenta asociar un observable mecánico cuántico (un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert) con una función de valor real en el espacio de fases clásico. La posición y el momento en este espacio de fases se asignan a los generadores del grupo de Heisenberg, y el espacio de Hilbert aparece como una representación grupal del grupo de Heisenberg. En 1946, H. J. Groenewold ^[7] consideró el producto de un par de tales observables y se preguntó cuál sería la función correspondiente en el espacio de fases clásico. Esto lo llevó a descubrir el producto estrella del espacio de fases de un par de funciones. De manera más general, esta técnica conduce a la cuantificación de deformación, donde el ★-producto se toma como una deformación del álgebra de funciones en una variedad simpléctica o variedad de Poisson. Sin embargo, como esquema de cuantificación natural (un funtor ), el mapa de Weyl no es satisfactorio.

Por ejemplo, el mapa de Weyl del momento angular al cuadrado clásico no es solo el operador cuántico del momento angular al cuadrado, sino que además contiene un término constante .3h ²/2⁠ . (Este término adicional es pedagógicamente significativo, ya que explica el momento angular no nulo de la órbita de Bohr del estado fundamental en el átomo de hidrógeno, aunque el estado fundamental estándar del átomo en mecánica cuántica tiene l nulo ). ^[8]

Sin embargo, como un mero cambio de representación , el mapa de Weyl es útil e importante, ya que subyace a la formulación del espacio de fase equivalente alternativo de la mecánica cuántica convencional.

En física matemática, la cuantización geométrica es un enfoque matemático para definir una teoría cuántica correspondiente a una teoría clásica dada. Intenta llevar a cabo la cuantización, para la que en general no existe una receta exacta, de tal manera que se manifiesten ciertas analogías entre la teoría clásica y la teoría cuántica. Por ejemplo, debería incorporarse la similitud entre la ecuación de Heisenberg en la representación de Heisenberg de la mecánica cuántica y la ecuación de Hamilton en la física clásica.

En la década de 1970, Bertram Kostant y Jean-Marie Souriau desarrollaron un enfoque más geométrico de la cuantificación, en el que el espacio de fase clásico puede ser una variedad simpléctica general. El método se desarrolla en dos etapas. ^[9] En primer lugar, se construye un "espacio de Hilbert precuántico" que consiste en funciones integrables al cuadrado (o, más propiamente, secciones de un fibrado de líneas) sobre el espacio de fase. Aquí se pueden construir operadores que satisfacen relaciones de conmutación que corresponden exactamente a las relaciones clásicas de corchete de Poisson. Por otro lado, este espacio de Hilbert precuántico es demasiado grande para ser físicamente significativo. Luego se restringe a funciones (o secciones) que dependen de la mitad de las variables en el espacio de fase, lo que produce el espacio de Hilbert cuántico.

Una teoría mecánica clásica se da a partir de una acción en la que las configuraciones permisibles son aquellas que son extremas con respecto a las variaciones funcionales de la acción. Una descripción mecánico-cuántica del sistema clásico también se puede construir a partir de la acción del sistema mediante la formulación de la integral de trayectorias .

• Gravedad cuántica de bucles (cuantización de bucles)
• Principio de incertidumbre (enfoque de la mecánica estadística cuántica)
• Principio de acción cuántica de Schwinger

• Ali, ST y Engliš, M. (2005). "Métodos de cuantificación: una guía para físicos y analistas". Reseñas en Física matemática 17 (04), 391-490. arXiv :math-ph/0405065 doi :10.1142/S0129055X05002376
• Abraham, R. y Marsden (1985): Fundamentos de mecánica , ed. Addison–Wesley, ISBN 0-8053-0102-X 
• Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, Springer, Bibcode :2013qtm..book.....H
• Woodhouse, Nicholas MJ (2007). Cuantización geométrica . Oxford mathematics monographs (2. ed., reedición). Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-850270-8.
• Landsman, NP (25 de julio de 2005). "Entre lo clásico y lo cuántico". arXiv : quant-ph/0506082 .
• M. Peskin, D. Schroeder, Introducción a la teoría cuántica de campos (Westview Press, 1995) ISBN 0-201-50397-2 
• Weinberg, Steven, La teoría cuántica de campos (3 volúmenes)
• Curtright, TL; Zachos, CK (2012). "Mecánica cuántica en el espacio de fases". Boletín de Física de Asia Pacífico . 01 : 37–46. arXiv : 1104.5269 . doi :10.1142/S2251158X12000069. S2CID  119230734.
• G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily , Métodos topológicos geométricos y algebraicos en mecánica cuántica (World Scientific, 2005) ISBN 981-256-129-3 
• Todorov, Iván (2012). ""La cuantificación es un misterio"". arXiv : 1206.3116 [math-ph].