Cálculo

El conteo es el proceso de determinar el número de elementos de un conjunto finito de objetos; es decir, determinar el tamaño de un conjunto. La forma tradicional de contar consiste en aumentar continuamente un contador (mental o hablado) en una unidad por cada elemento del conjunto, en algún orden, mientras se marcan (o desplazan) esos elementos para evitar visitar el mismo elemento más de una vez, hasta que no queden elementos sin marcar; si el contador se fijó en uno después del primer objeto, el valor después de visitar el objeto final da el número deseado de elementos. El término relacionado enumeración se refiere a la identificación única de los elementos de un conjunto finito (combinatorio) o infinito asignando un número a cada elemento.

Contar a veces implica números distintos de uno; por ejemplo, al contar dinero, contar el cambio, "contar de dos en dos" (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...), o "contar de cinco en cinco" (5, 10, 15, 20, 25, ...).

Hay evidencia arqueológica que sugiere que los humanos han estado contando durante al menos 50.000 años. ^[1] El conteo fue utilizado principalmente por las culturas antiguas para realizar un seguimiento de datos sociales y económicos como el número de miembros del grupo, animales de presa, propiedades o deudas (es decir, contabilidad ). También se encontraron huesos con muescas en las Border Caves en Sudáfrica, lo que puede sugerir que el concepto de contar era conocido por los humanos ya en 44.000 a. C. ^[2] El desarrollo del conteo condujo al desarrollo de la notación matemática , los sistemas numéricos y la escritura .

El conteo verbal implica decir números secuenciales en voz alta o mentalmente para seguir el progreso. Generalmente, este tipo de conteo se realiza con números de base 10 : "1, 2, 3, 4", etc. El conteo verbal se utiliza a menudo para objetos que están presentes en el momento en lugar de para contar cosas a lo largo del tiempo, ya que después de una interrupción, el conteo debe reanudarse desde donde se dejó, un número que debe registrarse o recordarse.

Contar un conjunto pequeño de objetos, especialmente a lo largo del tiempo, se puede lograr de manera eficiente con marcas de conteo : haciendo una marca para cada número y luego contando todas las marcas cuando terminamos de contar. El conteo es el conteo de base 1 .

El conteo con los dedos es conveniente y común para números pequeños. Los niños cuentan con los dedos para facilitar el recuento y para realizar operaciones matemáticas simples. Los métodos de conteo con los dedos más antiguos utilizaban los cuatro dedos y los tres huesos de cada dedo ( falanges ) para contar hasta doce. ^[3] También se utilizan otros sistemas de gestos con las manos, por ejemplo, el sistema chino por el cual se puede contar hasta 10 utilizando solo gestos de una mano. Con el binario de dedos es posible mantener un conteo de dedos hasta 1023 = 2 ¹⁰ − 1 .

También se pueden utilizar diversos dispositivos para facilitar el recuento, como contadores y ábacos .

El conteo inclusivo/exclusivo son términos utilizados para contar intervalos. Para el conteo inclusivo, el punto de partida es uno; para el conteo exclusivo, el punto de partida es cero. El conteo inclusivo se encuentra generalmente cuando se trata del tiempo en los calendarios romanos y las lenguas romances . ^[4] En el antiguo calendario romano , las nonas (que significa "nueve") son 8 días antes de los idus ; más generalmente, las fechas se especifican como días contados de forma inclusiva hasta el siguiente día nombrado. ^[4] En el calendario litúrgico cristiano , Quinquagesima (que significa 50) es 49 días antes del Domingo de Pascua. Cuando se cuenta "de forma inclusiva", el domingo (el día de inicio) será el día 1 y, por lo tanto, el domingo siguiente será el octavo día . Por ejemplo, la frase francesa para " quincena " es quinzaine (15 [días]), y hay palabras similares en griego (δεκαπενθήμερο, dekapenthímero ), español ( quincena ) y portugués ( quinzena ). En contraste, la palabra inglesa "quincena" deriva de "una catorce noches", como la arcaica "sennight" de "una siete noches"; las palabras inglesas no son ejemplos de conteo inclusivo. En idiomas de conteo exclusivo como el inglés, al contar ocho días "desde el domingo", el lunes será el día 1 , el martes el día 2 y el lunes siguiente será el octavo día . ^{[ cita requerida ]} Durante muchos años fue una práctica estándar en la ley inglesa que la frase "desde una fecha" significara "comenzando el día después de esa fecha": esta práctica ahora está en desuso debido al alto riesgo de malentendido. ^[5]

Un conteo similar se lleva a cabo en el cálculo de la edad en el este de Asia , en el que se considera que los recién nacidos tienen 1 año al nacer.

La terminología musical también utiliza el conteo inclusivo de intervalos entre notas de la escala estándar: subir una nota es un intervalo de segunda, subir dos notas es un intervalo de tercera, etc., y subir siete notas es una octava .

Aprender a contar es un hito educativo y de desarrollo importante en la mayoría de las culturas del mundo. Aprender a contar es el primer paso que da un niño en el mundo de las matemáticas y constituye la idea más fundamental de esa disciplina. Sin embargo, algunas culturas de la Amazonia y del interior de Australia no cuentan ^{[6] [7]} y sus lenguas no tienen palabras que representen números.

Muchos niños con tan solo 2 años de edad tienen cierta habilidad para recitar la lista de conteo (es decir, decir "uno, dos, tres, ..."). También pueden responder preguntas de ordinalidad para números pequeños, por ejemplo, "¿Qué viene después de tres ?". Incluso pueden ser hábiles para señalar cada objeto de un conjunto y recitar las palabras una tras otra. Esto lleva a muchos padres y educadores a la conclusión de que el niño sabe cómo usar el conteo para determinar el tamaño de un conjunto. ^[8] Las investigaciones sugieren que se necesita aproximadamente un año después de aprender estas habilidades para que un niño comprenda lo que significan y por qué se realizan los procedimientos. ^{[9] [10]} Mientras tanto, los niños aprenden a nombrar cardinalidades que pueden subitizar .

En matemáticas, la esencia de contar un conjunto y hallar un resultado n es que establece una correspondencia biyectiva del conjunto sujeto con el subconjunto de enteros positivos {1, 2, ..., n }. Un hecho fundamental, que puede demostrarse por inducción matemática , es que no puede existir ninguna biyección entre {1, 2, ..., n } y {1, 2, ..., m } a menos que n = m ; este hecho (junto con el hecho de que dos biyecciones pueden componerse para dar otra biyección) asegura que contar el mismo conjunto de diferentes maneras nunca puede dar como resultado números diferentes (a menos que se cometa un error). Este es el teorema matemático fundamental que le da al conteo su propósito; independientemente de cómo cuentes un conjunto (finito), la respuesta es la misma. En un contexto más amplio, el teorema es un ejemplo de un teorema en el campo matemático de la combinatoria (finita) —por lo tanto, a la combinatoria (finita) a veces se la denomina "las matemáticas del conteo".

Muchos conjuntos que surgen en matemáticas no permiten establecer una biyección con {1, 2, ..., n } para cualquier número natural n ; estos se denominan conjuntos infinitos , mientras que aquellos conjuntos para los que sí existe tal biyección (para algún n ) se denominan conjuntos finitos . Los conjuntos infinitos no pueden contarse en el sentido habitual; por un lado, los teoremas matemáticos que subyacen a este sentido habitual para los conjuntos finitos son falsos para los conjuntos infinitos. Además, las diferentes definiciones de los conceptos en términos de los cuales se enuncian estos teoremas, aunque equivalentes para los conjuntos finitos, son inequivalentes en el contexto de los conjuntos infinitos.

La noción de contar puede extenderse a ellos en el sentido de establecer (la existencia de) una biyección con algún conjunto bien entendido. Por ejemplo, si un conjunto puede ser llevado a la biyección con el conjunto de todos los números naturales, entonces se llama " contablemente infinito ". Este tipo de conteo difiere de manera fundamental del conteo de conjuntos finitos, en que agregar nuevos elementos a un conjunto no necesariamente aumenta su tamaño, porque la posibilidad de una biyección con el conjunto original no está excluida. Por ejemplo, el conjunto de todos los números enteros (incluidos los números negativos) puede ser llevado a la biyección con el conjunto de números naturales, e incluso conjuntos aparentemente mucho más grandes como el de todas las secuencias finitas de números racionales siguen siendo (solo) contablemente infinitos. Sin embargo, hay conjuntos, como el conjunto de números reales , que se puede demostrar que son "demasiado grandes" para admitir una biyección con los números naturales, y estos conjuntos se llaman " incontables ". Se dice que los conjuntos para los cuales existe una biyección entre ellos tienen la misma cardinalidad y, en el sentido más general, contar un conjunto puede entenderse como determinar su cardinalidad. Más allá de las cardinalidades dadas por cada uno de los números naturales, existe una jerarquía infinita de cardinalidades infinitas, aunque solo muy pocas de estas cardinalidades se dan en las matemáticas ordinarias (es decir, fuera de la teoría de conjuntos que estudia explícitamente las cardinalidades posibles).

El conteo, principalmente de conjuntos finitos, tiene varias aplicaciones en matemáticas. Un principio importante es que si dos conjuntos X e Y tienen el mismo número finito de elementos, y se sabe que una función f : X → Y es inyectiva , entonces también es sobreyectiva , y viceversa. Un hecho relacionado se conoce como el principio del palomar , que establece que si dos conjuntos X e Y tienen un número finito de elementos n y m con n > m , entonces cualquier función f : X → Y no es inyectiva (por lo que existen dos elementos distintos de X que f envía al mismo elemento de Y ); esto se deduce del principio anterior, ya que si f fuera inyectiva, entonces también lo sería su restricción a un subconjunto estricto S de X con m elementos, cuya restricción sería entonces sobreyectiva, contradiciendo el hecho de que para x en X fuera de S , f ( x ) no puede estar en la imagen de la restricción. Argumentos de conteo similares pueden probar la existencia de ciertos objetos sin proporcionar un ejemplo explícito. En el caso de conjuntos infinitos esto puede aplicarse incluso en situaciones en las que es imposible dar un ejemplo. ^{[ cita requerida ]}

El dominio de la combinatoria enumerativa trata de calcular el número de elementos de conjuntos finitos, sin contarlos realmente; esto último suele ser imposible porque se consideran a la vez infinitas familias de conjuntos finitos, como el conjunto de permutaciones de {1, 2, ..., n } para cualquier número natural n .