Ábaco

Un ábaco ( pl.: abaci o ábacos ) , también llamado marco de conteo , es una herramienta de cálculo operada a mano que se utilizó desde la antigüedad en el antiguo Cercano Oriente , Europa, China y Rusia, hasta la adopción del sistema de numeración arábigo . ^[1] Un ábaco consiste en una matriz bidimensional de cuentas deslizables (u objetos similares). En sus primeros diseños, las cuentas podían estar sueltas sobre una superficie plana o deslizarse en ranuras. Más tarde, las cuentas se hicieron deslizarse sobre varillas y se incorporaron a un marco, lo que permitió una manipulación más rápida.

Cada varilla representa típicamente un dígito de un número de varios dígitos dispuesto utilizando un sistema de numeración posicional como la base diez (aunque algunas culturas usaban bases numéricas diferentes ). Los ábacos romanos y del este de Asia utilizan un sistema parecido al decimal codificado biquinario , con una baraja superior (que contiene una o dos cuentas) que representa los cincos y una baraja inferior (que contiene cuatro o cinco cuentas) que representa los unos. Normalmente se utilizan números naturales , pero algunos permiten componentes fraccionarios simples (por ejemplo, 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 4 y 1 ⁄ 12 en el ábaco romano ), y se puede imaginar un punto decimal para la aritmética de punto fijo .

Cualquier diseño de ábaco en particular admite múltiples métodos para realizar cálculos, como suma , resta , multiplicación , división y raíces cuadradas y cúbicas . Primero, las cuentas se organizan para representar un número, luego se manipulan para realizar una operación matemática con otro número y su posición final se puede leer como el resultado (o se puede usar como el número inicial para operaciones posteriores).

En el mundo antiguo, los ábacos eran una herramienta práctica de cálculo. Aunque hoy en día se utilizan calculadoras y ordenadores en lugar de ábacos, estos últimos siguen siendo de uso cotidiano en algunos países. El ábaco tiene la ventaja de no requerir un instrumento de escritura y papel (necesario para la algoritmia ) ni una fuente de energía eléctrica . Los comerciantes, comerciantes y oficinistas de algunas partes de Europa del Este , Rusia, China y África utilizan ábacos. El ábaco sigue siendo de uso común como sistema de puntuación en juegos de mesa no electrónicos . Otros pueden utilizar un ábaco debido a una discapacidad visual que impide el uso de una calculadora. ^[1] El ábaco todavía se utiliza para enseñar los fundamentos de las matemáticas a los niños en la mayoría de los países. ^{[ cita requerida ]}

La palabra ábaco data al menos de 1387 d. C., cuando una obra en inglés medio tomó prestada la palabra del latín que describía un ábaco de arena. La palabra latina se deriva del griego antiguo ἄβαξ ( abax ), que significa algo sin base y, coloquialmente, cualquier pieza de material rectangular. ^{[2] [3] [4]} Alternativamente, sin referencia a textos antiguos sobre etimología, se ha sugerido que significa "una tabla cuadrada sembrada de polvo", ^[5] o "tablero de dibujo cubierto de polvo (para el uso de las matemáticas)" ^[6] (la forma exacta del latín quizás refleja la forma genitiva de la palabra griega, ἄβακoς ( abakos )). Si bien la definición de mesa sembrada de polvo es popular, algunos argumentan que la evidencia es insuficiente para esa conclusión. ^{[7] [nb 1]} El griego ἄβαξ probablemente proviene de una lengua semítica del noroeste como el fenicio , evidenciado por un cognado con la palabra hebrea ʾābāq ( אבק ‎), o "polvo" (en el sentido postbíblico "arena usada como superficie para escribir"). ^[8]

Tanto ábacos ^[9] como ábacos ^[9] se utilizan en plural. El usuario de un ábaco se denomina abacista . ^[10]

El ábaco sumerio apareció entre el 2700 y el 2300 a. C. y contenía una tabla de columnas sucesivas que delimitaban los sucesivos órdenes de magnitud de su sistema numérico sexagesimal (base 60). ^[11]

Algunos estudiosos señalan la existencia de un carácter en la escritura cuneiforme babilónica que podría haberse derivado de una representación del ábaco. ^{[12] Algunos} estudiosos de la antigua Babilonia, como Ettore Carruccio, creen que los antiguos babilonios "parecen haber utilizado el ábaco para las operaciones de suma y resta; sin embargo, este dispositivo primitivo resultó difícil de utilizar para cálculos más complejos". ^[14]

El historiador griego Heródoto mencionó el ábaco en el Antiguo Egipto . Escribió que los egipcios manipulaban las piedras de derecha a izquierda, en sentido opuesto al método griego de izquierda a derecha. Los arqueólogos han encontrado discos antiguos de varios tamaños que se cree que se utilizaron como contadores. Sin embargo, aún no se han descubierto representaciones de este instrumento en las paredes. ^[15]

Alrededor del año 600 a. C., los persas comenzaron a utilizar el ábaco por primera vez, durante el Imperio aqueménida . ^[16] Bajo los imperios parto , sasánida e iraní , los eruditos se concentraron en intercambiar conocimientos e inventos con los países que los rodeaban (India, China y el Imperio romano ), que es como el ábaco puede haber sido exportado a otros países.

La evidencia arqueológica más antigua del uso del ábaco griego data del siglo V a. C. ^[17] Demóstenes (384-322 a. C.) se quejaba de que la necesidad de usar guijarros para los cálculos era demasiado difícil. ^{[18] [19]} Una obra de teatro de Alexis del siglo IV a. C. menciona un ábaco y guijarros para la contabilidad, y tanto Diógenes como Polibio usan el ábaco como metáfora del comportamiento humano, afirmando que "los hombres que a veces representaban más y a veces menos" como los guijarros en un ábaco. ^[19] El ábaco griego era una mesa de madera o mármol, preestablecida con pequeños contadores de madera o metal para cálculos matemáticos. ^{[ cita requerida ]} Este ábaco griego se utilizó en la Persia aqueménida, la civilización etrusca , la Antigua Roma y el mundo cristiano occidental hasta la Revolución Francesa .

Una tablilla encontrada en la isla griega de Salamina en 1846 d. C. (la Tablilla de Salamina ) data del 300 a. C., lo que la convierte en la tabla de conteo más antigua descubierta hasta ahora. Es una losa de mármol blanco de 149 cm (59 pulgadas) de largo, 75 cm (30 pulgadas) de ancho y 4,5 cm (2 pulgadas) de espesor, en la que hay 5 grupos de marcas. En el centro de la tablilla hay un conjunto de 5 líneas paralelas divididas equitativamente por una línea vertical, rematadas con un semicírculo en la intersección de la línea horizontal más baja y la línea vertical única. Debajo de estas líneas hay un espacio amplio con una grieta horizontal que lo divide. Debajo de esta grieta hay otro grupo de once líneas paralelas, nuevamente divididas en dos secciones por una línea perpendicular a ellas, pero con el semicírculo en la parte superior de la intersección; la tercera, sexta y novena de estas líneas están marcadas con una cruz donde se cruzan con la línea vertical. ^[20] También de esta época es el Vaso de Darío , descubierto en 1851. Estaba cubierto de imágenes, entre ellas las de un "tesorero" que sostenía una tablilla de cera en una mano mientras con la otra manipulaba fichas sobre una mesa. ^[18]

El método habitual de cálculo en la antigua Roma, al igual que en Grecia, consistía en mover fichas sobre una mesa lisa. En un principio se utilizaban piedras ( en latín , calculi ). Las líneas marcadas indicaban las unidades, los cincos, las decenas, etc., como en el sistema de numeración romano .

Escribiendo en el siglo I a. C., Horacio hace referencia al ábaco de cera, un tablero cubierto con una fina capa de cera negra sobre el que se inscribían columnas y figuras utilizando un estilete. ^[21]

Un ejemplo de evidencia arqueológica del ábaco romano , que se muestra cerca en una reconstrucción, data del siglo I d. C. Tiene ocho ranuras largas que contienen hasta cinco cuentas en cada una y ocho ranuras más cortas que tienen una o ninguna cuenta en cada una. La ranura marcada con I indica unidades, X decenas, y así sucesivamente hasta millones. Las cuentas en las ranuras más cortas denotan cincos (cinco unidades, cinco decenas, etc.) que se asemejan a un sistema decimal codificado biquinario relacionado con los números romanos . Las ranuras cortas de la derecha pueden haber sido utilizadas para marcar "onzas" romanas (es decir, fracciones).

El sistema romano de «contrafundición» se utilizó ampliamente en la Europa medieval y persistió en un uso limitado hasta el siglo XIX. ^[22] Los abaquistas adinerados usaban fichas acuñadas decorativas, llamadas jetons .

Debido a la reintroducción del ábaco con modificaciones por parte del Papa Silvestre II , se volvió a utilizar ampliamente en Europa durante el siglo XI ^{[23] [24]} Utilizaba cuentas en alambres, a diferencia de los tableros de conteo romanos tradicionales, lo que significaba que el ábaco podía usarse mucho más rápido y se movía más fácilmente. ^[25]

La documentación escrita más antigua conocida del ábaco chino data del siglo II a. C. ^[26]

El ábaco chino, también conocido como suanpan (算盤/算盘, lit. "bandeja de cálculo"), viene en varias longitudes y anchos, dependiendo del operador. Por lo general, tiene más de siete varillas. Hay dos cuentas en cada varilla en el piso superior y cinco cuentas en cada uno de los inferiores, para representar números en un sistema decimal codificado biquinario . Las cuentas suelen ser redondeadas y estar hechas de madera dura . Las cuentas se cuentan moviéndolas hacia arriba o hacia abajo hacia la viga; las cuentas que se mueven hacia la viga se cuentan, mientras que las que se alejan de ella no. ^[27] Una de las cuentas superiores es 5, mientras que una de las inferiores es 1. Cada varilla tiene un número debajo, que muestra el valor posicional. El suanpan se puede restablecer a la posición inicial instantáneamente con un movimiento rápido a lo largo del eje horizontal para girar todas las cuentas lejos de la viga horizontal en el centro.

El prototipo del ábaco chino apareció durante la dinastía Han y las cuentas son ovaladas. La dinastía Song y anteriores utilizaban el tipo 1:4 o ábaco de cuatro cuentas similar al ábaco moderno, incluida la forma de las cuentas conocida comúnmente como ábaco de estilo japonés. ^[28]

A principios de la dinastía Ming , el ábaco comenzó a aparecer en una proporción de 1:5. La cubierta superior tenía una cuenta y la inferior cinco cuentas. ^[29] A finales de la dinastía Ming, los estilos de ábaco aparecieron en una proporción de 2:5. ^[29] La cubierta superior tenía dos cuentas y la inferior cinco.

Se han ideado diversas técnicas de cálculo para el Suanpan que permiten realizar cálculos eficientes. Algunas escuelas enseñan a los estudiantes a utilizarlo.

En el largo pergamino A lo largo del río durante el Festival Qingming pintado por Zhang Zeduan durante la dinastía Song (960-1297), se ve claramente un suanpan junto a un libro de cuentas y recetas médicas en el mostrador de una botica (Feibao).

La similitud del ábaco romano con el chino sugiere que uno podría haber inspirado al otro, dada la evidencia de una relación comercial entre el Imperio Romano y China. Sin embargo, no se ha demostrado ninguna conexión directa, y la similitud de los ábacos puede ser una coincidencia, ya que ambos surgieron en última instancia de contar con cinco dedos por mano. Mientras que el modelo romano (como la mayoría de los coreanos y japoneses modernos) tiene 4 más 1 cuenta por decimal, el suanpan estándar tiene 5 más 2. Por cierto, esto permite su uso con un sistema de numeración hexadecimal (o cualquier base hasta 18) que puede haber sido utilizado para las medidas de peso tradicionales chinas. (En lugar de funcionar con cables como en los modelos chino, coreano y japonés, el modelo romano usaba ranuras, lo que presumiblemente hacía que los cálculos aritméticos fueran mucho más lentos).

Otra posible fuente del suanpan son las varillas de conteo chinas , que operaban con un sistema decimal pero carecían del concepto de cero como marcador de posición. ^{[ cita requerida ]} El cero probablemente fue introducido a los chinos en la dinastía Tang (618-907) cuando los viajes por el Océano Índico y el Medio Oriente habrían proporcionado contacto directo con la India, lo que les permitió adquirir el concepto de cero y el punto decimal de los comerciantes y matemáticos indios. ^{[ cita requerida ]}

El Abhidharmakośabhāṣya de Vasubandhu (316-396), una obra sánscrita sobre la filosofía budista , dice que el filósofo del siglo II d. C. Vasumitra dijo que «colocar una mecha (en sánscrito vartikā ) sobre el número uno ( ekāṅka ) significa que es un uno, mientras que colocar la mecha sobre el número cien significa que se llama cien, y sobre el número mil significa que es un mil». No está claro exactamente cuál pudo haber sido esta disposición. Alrededor del siglo V, los empleados indios ya estaban encontrando nuevas formas de registrar el contenido del ábaco. ^[30] Los textos hindúes usaban el término śūnya (cero) para indicar la columna vacía en el ábaco. ^[31]

En Japón, el ábaco se llama soroban (算盤, そろばん, lit. "bandeja para contar"). Fue importado de China en el siglo XIV. ^[32] Probablemente, la clase trabajadora lo utilizaba un siglo o más antes de que lo adoptara la clase dominante, ya que la estructura de clases obstaculizaba tales cambios. ^[33] El ábaco de 1:4, que elimina las cuentas segunda y quinta, que rara vez se usan, se hizo popular en la década de 1940.

El ábaco japonés actual es un ábaco de cuatro cuentas de tipo 1:4, introducido desde China en la era Muromachi . Adopta la forma de la parte superior de una cuenta y la inferior de cuatro cuentas. La cuenta superior de la parte superior equivalía a cinco y la inferior es similar al ábaco chino o coreano, y el número decimal se puede expresar, por lo que el ábaco está diseñado como un dispositivo 1:4. Las cuentas siempre tienen forma de diamante. La división por cociente se utiliza generalmente en lugar del método de división; al mismo tiempo, para hacer que los dígitos de multiplicación y división sean consistentes, utilice la multiplicación por división. Más tarde, Japón tuvo un ábaco de 3:5 llamado 天三算盤, que ahora se encuentra en la colección Ize Rongji de la aldea Shansi en la ciudad de Yamagata . Japón también utilizó un ábaco de tipo 2:5.

El ábaco de cuatro cuentas se extendió y se hizo común en todo el mundo. En varios lugares surgieron mejoras del ábaco japonés. En China, se ha utilizado un ábaco con un marco de aluminio y cuentas de plástico. La lima está al lado de las cuatro cuentas y al presionar el botón de "limpieza" se coloca la cuenta superior en la posición superior y la cuenta inferior en la posición inferior.

El ábaco todavía se fabrica en Japón, a pesar de la proliferación, practicidad y asequibilidad de las calculadoras electrónicas de bolsillo . El uso del soroban todavía se enseña en las escuelas primarias japonesas como parte de las matemáticas , principalmente como una ayuda para el cálculo mental más rápido. Usando imágenes visuales, uno puede completar un cálculo tan rápidamente como con un instrumento físico. ^[34]

El ábaco chino migró de China a Corea alrededor de 1400 d. C. ^{[18] [35] [36]} Los coreanos lo llaman jupan (주판), supan (수판) o jusan (주산). ^[37] El ábaco de cuatro cuentas (1:4) se introdujo durante la dinastía Goryeo . El ábaco 5:1 se introdujo en Corea desde China durante la dinastía Ming.

Algunas fuentes mencionan el uso de un ábaco llamado nepohualtzintzin en la antigua cultura azteca . ^[38] Este ábaco mesoamericano utilizaba un sistema de base 20 de 5 dígitos . ^[39] La palabra Nepōhualtzintzin proviene del náhuatl , formada por las raíces; Ne – personal -; pōhual o pōhualli – la cuenta -; y tzintzin – pequeños elementos semejantes. Su significado completo se tomó como: contar con pequeños elementos semejantes. Su uso se enseñaba en el calmécac a los temalpouhqueh – [ temaɬˈpoʍkeʔ] , quienes eran estudiantes dedicados a llevar las cuentas de los cielos, desde niños.

El Nepōhualtzintzin estaba dividido en dos partes principales separadas por una barra o cordón intermedio. En la parte izquierda se encontraban cuatro cuentas. Las cuentas de la primera fila tienen valores unitarios (1, 2, 3 y 4), y en el lado derecho, tres cuentas tenían valores de 5, 10 y 15, respectivamente. Para saber el valor de las respectivas cuentas de las filas superiores, basta multiplicar por 20 (por cada fila), el valor de la cuenta correspondiente en la primera fila.

El dispositivo presentaba 13 filas con 7 cuentas, 91 en total. Este era un número básico para esta cultura. Tenía una estrecha relación con los fenómenos naturales, el inframundo y los ciclos de los cielos. Un Nepōhualtzintzin (91) representaba el número de días que dura una estación del año, dos Nepōhualtzintzin (182) es el número de días del ciclo del maíz, desde su siembra hasta su cosecha, tres Nepōhualtzintzin (273) es el número de días de la gestación de un bebé, y cuatro Nepōhualtzintzin (364) completaban un ciclo y se aproximaban a un año. Al traducirlo a la aritmética informática moderna, el Nepōhualtzintzin equivalía al rango del 10 al 18 en punto flotante , que calculaba con precisión cantidades grandes y pequeñas, aunque no se permitía el redondeo.

El redescubrimiento del Nepōhualtzintzin se debió al ingeniero mexicano David Esparza Hidalgo, ^[40] quien en sus viajes por todo México encontró diversos grabados y pinturas de este instrumento y reconstruyó varios de ellos en oro, jade, incrustaciones de concha, etc. ^[41] Se atribuyen Nepōhualtzintzin muy antiguos a la cultura olmeca , y algunos brazaletes de origen maya , así como diversidad de formas y materiales en otras culturas.

Sánchez escribió en Aritmética en maya que se había encontrado otro ábaco de base 5 y base 4 en la península de Yucatán que también calculaba datos del calendario. Se trataba de un ábaco de dedo que, por un lado, utilizaba 0, 1, 2, 3 y 4, y por el otro, 0, 1, 2 y 3. Nótese el uso del cero al principio y al final de los dos ciclos.

El quipu de los incas era un sistema de cuerdas de colores anudadas que se utilizaba para registrar datos numéricos, ^[42] como palos de conteo avanzados , pero no para realizar cálculos. Los cálculos se llevaban a cabo utilizando una yupana ( quechua para "herramienta de contar"; ver figura) que todavía estaba en uso después de la conquista del Perú. El principio de funcionamiento de una yupana es desconocido, pero en 2001 el matemático italiano De Pasquale propuso una explicación. Al comparar la forma de varias yupanas, los investigadores descubrieron que los cálculos se basaban en el uso de la secuencia de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5 y potencias de 10, 20 y 40 como valores de posición para los diferentes campos en el instrumento. El uso de la secuencia de Fibonacci mantendría al mínimo el número de granos dentro de cualquier campo. ^[43]

El ábaco ruso, el schoty ( en ruso : счёты , plural de ruso : счёт , contar), normalmente tiene una sola baraja inclinada, con diez cuentas en cada alambre (excepto un alambre con cuatro cuentas para las fracciones de un cuarto de rublo ). El alambre de 4 cuentas se introdujo para los cuartos de kopeks , que se acuñaron hasta 1916. ^[44] El ábaco ruso se utiliza verticalmente, con cada alambre corriendo horizontalmente. Los alambres suelen estar curvados hacia arriba en el centro, para mantener las cuentas fijadas a ambos lados. Se despeja cuando todas las cuentas se mueven hacia la derecha. Durante la manipulación, las cuentas se mueven hacia la izquierda. Para facilitar la visualización, las 2 cuentas del medio en cada alambre (la 5.ª y la 6.ª cuenta) normalmente son de un color diferente de las otras ocho. Del mismo modo, la cuenta izquierda del alambre de los miles (y el alambre de los millones, si está presente) puede tener un color diferente.

El ábaco ruso se utilizaba en tiendas y mercados de toda la antigua Unión Soviética , y su uso se enseñaba en la mayoría de las escuelas hasta la década de 1990. ^{[45] [46]} Incluso la invención de la calculadora mecánica en 1874 , el aritmómetro Odhner , no los había reemplazado en Rusia. Según Yakov Perelman , se sabía que algunos empresarios que intentaban importar calculadoras al Imperio ruso se marchaban desesperados después de ver a un operador experto del ábaco. ^{[47] Del mismo modo, la producción en masa de} aritmómetros Felix desde 1924 no redujo significativamente el uso del ábaco en la Unión Soviética . ^{[48] El ábaco ruso comenzó a perder popularidad solo después de la producción en masa de} microcalculadoras domésticas en 1974. ^[49]

El ábaco ruso fue traído a Francia alrededor de 1820 por el matemático Jean-Victor Poncelet , que había servido en el ejército de Napoleón y había sido prisionero de guerra en Rusia. ^[50] El ábaco había caído en desuso en Europa occidental en el siglo XVI con el surgimiento de la notación decimal y los métodos algorítmicos . ^{[ cita requerida ]} Para los contemporáneos franceses de Poncelet, era algo nuevo. Poncelet lo utilizó, no con ningún propósito aplicado, sino como una ayuda de enseñanza y demostración. ^[51] Los turcos y los armenios usaban ábacos similares al schoty ruso. Los turcos lo llamaban coulba y los armenios choreb . ^[52]

En todo el mundo, los ábacos se han utilizado en escuelas preescolares y primarias como ayuda en la enseñanza del sistema numérico y la aritmética .

En los países occidentales, es común un marco de cuentas similar al ábaco ruso pero con alambres rectos y un marco vertical (ver imagen).

El marco de alambre se puede utilizar con notación posicional como otros ábacos (por lo tanto, la versión de 10 alambres puede representar números hasta 9,999,999,999), o cada cuenta puede representar una unidad (por ejemplo, 74 se puede representar moviendo todas las cuentas en 7 alambres y 4 cuentas en el octavo alambre, por lo que se pueden representar números hasta 100). En el marco de cuentas que se muestra, el espacio entre el quinto y el sexto alambre, que corresponde al cambio de color entre la quinta y la sexta cuenta en cada alambre, sugiere este último uso. La enseñanza de la multiplicación, por ejemplo, 6 por 7, se puede representar moviendo 7 cuentas en 6 alambres.

El ábaco rojo y blanco se utiliza en las escuelas primarias contemporáneas para una amplia gama de lecciones relacionadas con los números. La versión de veinte cuentas, conocida por su nombre holandés rekenrek ("marco de cálculo"), se utiliza a menudo, ya sea en una tira de cuentas o en un marco rígido. ^[53]

El físico Richard Feynman era conocido por su facilidad para los cálculos matemáticos. Escribió sobre un encuentro en Brasil con un experto japonés en ábaco, que lo desafió a una competición de velocidad entre el lápiz y el papel de Feynman y el ábaco. El ábaco era mucho más rápido para la suma, algo más rápido para la multiplicación, pero Feynman era más rápido en la división. Cuando se utilizó el ábaco para operaciones más complejas, es decir, raíces cúbicas, Feynman ganó fácilmente. Sin embargo, el número elegido al azar era cercano a un número que Feynman sabía que era un cubo exacto, lo que le permitió utilizar métodos aproximados. ^[54]

Aprender a calcular con el ábaco puede mejorar la capacidad de cálculo mental. El cálculo mental basado en el ábaco (CMA), que se deriva del ábaco, es el acto de realizar cálculos, incluidas la suma, la resta, la multiplicación y la división, en la mente manipulando un ábaco imaginario. Es una habilidad cognitiva de alto nivel que ejecuta cálculos con un algoritmo eficaz. Las personas que realizan un entrenamiento de CMA a largo plazo muestran una mayor capacidad de memoria numérica y experimentan vías neuronales conectadas de manera más efectiva. ^{[55] [56]} Pueden recuperar la memoria para lidiar con procesos complejos. ^[57] El CMA implica tanto el procesamiento visoespacial como el visomotor que generan el ábaco visual y mueven las cuentas imaginarias. ^[58] Dado que solo requiere que se recuerde la posición final de las cuentas, requiere menos memoria y menos tiempo de cálculo. ^[58]

El ábaco binario se utiliza para explicar cómo las computadoras manipulan los números. ^[59] El ábaco muestra cómo se pueden almacenar números, letras y signos en un sistema binario en una computadora, o mediante ASCII . El dispositivo consta de una serie de cuentas en cables paralelos dispuestos en tres filas separadas. Las cuentas representan un interruptor en la computadora en posición de "encendido" o "apagado".

Los usuarios con discapacidad visual suelen utilizar un ábaco adaptado, inventado por Tim Cranmer y llamado ábaco Cranmer. Se coloca un trozo de tela suave o goma detrás de las cuentas, manteniéndolas en su lugar mientras el usuario las manipula. El dispositivo se utiliza entonces para realizar las funciones matemáticas de multiplicación, división, suma, resta, raíz cuadrada y raíz cúbica. ^[60]

Aunque los estudiantes ciegos se han beneficiado de las calculadoras parlantes, a menudo se les enseña a usar el ábaco en los primeros grados. ^[61] Los estudiantes ciegos también pueden completar tareas matemáticas utilizando una máquina de escribir en braille y el código Nemeth (un tipo de código braille para matemáticas), pero los problemas de multiplicación y división largos son tediosos. El ábaco les proporciona a estos estudiantes una herramienta para calcular problemas matemáticos que iguala la velocidad y el conocimiento matemático que requieren sus compañeros videntes que usan lápiz y papel. Muchas personas ciegas encuentran que esta máquina de números es una herramienta útil a lo largo de la vida. ^[60]

• Zhusuan chino
• Chisanbop
• Ábaco lógico
• Los huesos de Napier
• Mesa de arena
• Regla de cálculo

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• Textos en Wikisource:
  • "Ábaco", de Diccionario de antigüedades griegas y romanas , 3.ª ed., 1890.
  • "Ábaco"  . Enciclopedia Británica . vol. Yo (9ª ed.). 1878. pág. 4.
  • "Ábaco". Encyclopædia Britannica (11ª ed.). 1911.

• Heffelfinger, Totton y Gary Flom, Ábaco: El misterio de la cuenta: un manual del ábaco
• Mini Multimedia
• Stephenson, Stephen Kent (2009), Cómo utilizar un ábaco de conteo

• Esaulov, Vladimir (2019), Historia del ábaco y la informática antigua
• El ábaco: una breve historia

• Schreiber, Michael (2007), Abacus, El proyecto de demostraciones de Wolfram
• El ábaco en varios sistemas numéricos en cut-the-knot
• Subprograma Java de ábacos chinos, japoneses y rusos
• Un ábaco a escala atómica
• Ejemplos de ábacos
• Ábaco aztex
• Ábaco indio
• Curso de ábaco