Composición de funciones

En matemáticas , el operador de composición toma dos funciones y y devuelve una nueva función . Por lo tanto, la función g se aplica después de aplicar f a x . ${\estilo de visualización \circ}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización g}$${\displaystyle h(x):=(g\circ f)(x)=g(f(x))}$

La composición inversa , a veces denominada , aplica la operación en el orden opuesto, aplicando primero y segundo. Intuitivamente, la composición inversa es un proceso de encadenamiento en el que la salida de la función f alimenta la entrada de la función g .${\displaystyle f\mapsto g}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización g}$

La composición de funciones es un caso especial de la composición de relaciones , a veces también denotada por . Como resultado, todas las propiedades de la composición de relaciones son verdaderas para la composición de funciones, ^[1] como la asociatividad.${\estilo de visualización \circ}$

• Composición de funciones en un conjunto finito: Si f = {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} , y g = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} , entonces g ∘ f = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 3)} , como se muestra en la figura.
• Composición de funciones en un conjunto infinito : Si f : R → R (donde R es el conjunto de todos los números reales ) está dada por f ( x ) = 2 x + 4 y g : R → R está dada por g ( x ) = x ³ , entonces:
  ( f ∘ g )( x ) = f ( g ( x )) = f ( x ³ ) = 2 x ³ + 4 , y
  ( g ∘ f )( x ) = g ( f ( x )) = g (2 x + 4) = (2 x + 4) ³ .
• Si la altitud de un avión en el momento  t es a ( t ) , y la presión del aire en la altitud x es p ( x ) , entonces ( p ∘ a )( t ) es la presión alrededor del avión en el momento  t .

La composición de funciones es siempre asociativa , una propiedad heredada de la composición de relaciones . ^[1] Es decir, si f , g y h son componibles, entonces f ∘ ( g  ∘  h ) = ( f  ∘  g ) ∘ h . ^[2] Dado que los paréntesis no cambian el resultado, generalmente se omiten.

En sentido estricto, la composición g  ∘  f solo tiene sentido si el codominio de f es igual al dominio de g ; en un sentido más amplio, es suficiente que el primero sea un subconjunto impropio del segundo. ^{[nb 1]} Además, a menudo es conveniente restringir tácitamente el dominio de f , de modo que f produzca solo valores en el dominio de g . Por ejemplo, la composición g  ∘  f de las funciones f  : R → (−∞,+9] definida por f ( x ) = 9 − x ² y g  : [0,+∞) → R definida por puede definirse en el intervalo [−3,+3] .${\displaystyle g(x)={\sqrt {x}}}$

Se dice que las funciones g y f conmutan entre sí si g  ∘  f = f  ∘  g . La conmutatividad es una propiedad especial, que se alcanza solo en determinadas funciones y, a menudo, en circunstancias especiales. Por ejemplo, | x | + 3 = | x + 3 | solo cuando x ≥ 0 . La imagen muestra otro ejemplo.

La composición de funciones inyectivas es siempre inyectiva. De manera similar, la composición de funciones sobreyectivas es siempre sobreyectiva. De ello se deduce que la composición de dos biyecciones es también una biyección. La función inversa de una composición (que se supone invertible) tiene la propiedad de que ( f  ∘  g ) ⁻¹ = g ⁻¹ ∘ f ⁻¹ . ^[3]

Las derivadas de composiciones que involucran funciones diferenciables se pueden hallar utilizando la regla de la cadena . Las derivadas superiores de dichas funciones se dan mediante la fórmula de Faà di Bruno . ^[2]

La composición de funciones a veces se describe como un tipo de multiplicación en un espacio funcional, pero tiene propiedades muy diferentes de la multiplicación puntual de funciones (por ejemplo, la composición no es conmutativa ). ^[4]

Supóngase que uno tiene dos (o más) funciones f : X → X , g : X → X que tienen el mismo dominio y codominio; a menudo se las llama transformaciones . Entonces se pueden formar cadenas de transformaciones compuestas juntas, como f ∘ f ∘ g ∘ f . Tales cadenas tienen la estructura algebraica de un monoide , llamado monoide de transformación o (mucho menos) un monoide de composición . En general, los monoides de transformación pueden tener una estructura notablemente complicada. Un ejemplo notable en particular es la curva de De Rham . El conjunto de todas las funciones f : X → X se llama semigrupo de transformación completo ^[5] o semigrupo simétrico ^[6] en  X . (En realidad, se pueden definir dos semigrupos dependiendo de cómo se defina la operación de semigrupo como la composición izquierda o derecha de funciones. ^[7] )

Si las transformaciones son biyectivas (y por lo tanto invertibles), entonces el conjunto de todas las combinaciones posibles de estas funciones forma un grupo de transformación ; y se dice que el grupo es generado por estas funciones. Un resultado fundamental en la teoría de grupos, el teorema de Cayley , dice esencialmente que cualquier grupo es de hecho sólo un subgrupo de un grupo de permutación (salvo el isomorfismo ). ^[8]

El conjunto de todas las funciones biyectivas f : X → X (llamadas permutaciones ) forma un grupo con respecto a la composición de funciones. Este es el grupo simétrico , también llamado a veces grupo de composición .

En el semigrupo simétrico (de todas las transformaciones) también se encuentra una noción más débil y no única de inversa (llamada pseudoinversa) porque el semigrupo simétrico es un semigrupo regular . ^[9]

Si Y ⊆ X , entonces f : X → Y puede componerse consigo misma; esto a veces se denota como f ² . Es decir:

De manera más general, para cualquier número natural n ≥ 2 , la n ésima potencia funcional se puede definir inductivamente por f  ⁿ = f ∘ f  ^{n −1} = f  ^{n −1} ∘ f , una notación introducida por Hans Heinrich Bürmann ^{[ cita requerida ] [10] [11]} y John Frederick William Herschel . ^{[12] [10] [13] [11]} La composición repetida de dicha función consigo misma se denomina iteración de función .

• Por convención, f 0  ^se define como el mapa identidad en el dominio de f  , id _X.
• Si Y = X y f : X → X admite una función inversa f  ⁻¹ , las potencias funcionales negativas f  ^{− n} se definen para n > 0 como la potencia negada de la función inversa: f  ^{− n} = ( f  ⁻¹ ) ⁿ . ^{[12] [10] [11]}

Nota: Si f toma sus valores en un anillo (en particular para f  real o de valor complejo ), existe un riesgo de confusión, ya que f  ⁿ también podría representar el producto  n -vez de f , p. ej. f  ² ( x ) = f ( x ) · f ( x ) . ^[11] Para funciones trigonométricas, generalmente se entiende esto último, al menos para exponentes positivos. ^[11] Por ejemplo, en trigonometría , esta notación superíndice representa la exponenciación estándar cuando se usa con funciones trigonométricas :

pecado ² ( x ) = pecado ( x ) · pecado ( x ) .

Sin embargo, para exponentes negativos (especialmente −1), generalmente se refiere a la función inversa, por ejemplo, tan ⁻¹ = arctan ≠ 1/tan .

En algunos casos, cuando, para una función dada f , la ecuación g ∘ g = f tiene una solución única g , esa función puede definirse como la raíz cuadrada funcional de f , y luego escribirse como g = f  ^1/2 .

De manera más general, cuando g ⁿ = f tiene una solución única para algún número natural n > 0 , entonces f  ^{m / n} puede definirse como g ^m .

Con restricciones adicionales, esta idea se puede generalizar de modo que el recuento de iteraciones se convierta en un parámetro continuo; en este caso, dicho sistema se denomina flujo y se especifica mediante soluciones de la ecuación de Schröder . Las funciones iteradas y los flujos se dan de forma natural en el estudio de los fractales y los sistemas dinámicos .

Para evitar ambigüedades, algunos matemáticos ^{[ cita requerida ]} optan por utilizar ∘ para denotar el significado compositivo, escribiendo f ^{∘ n} ( x ) para la iteración n -ésima de la función f ( x ) , como, por ejemplo, f ^∘3 ( x ) que significa f ( f ( f ( x ))) . Con el mismo propósito, f ^{[ n ]} ( x ) fue utilizado por Benjamin Peirce ^{[14] [11]} mientras que Alfred Pringsheim y Jules Molk sugirieron ⁿ f ( x ) en su lugar. ^{[15] [11] [nb 2]}

Muchos matemáticos, particularmente en teoría de grupos , omiten el símbolo de composición, escribiendo gf para g ∘ f . ^[16]

A mediados del siglo XX, algunos matemáticos adoptaron la notación posfija , escribiendo xf  para f ( x ) y ( xf ) g para g ( f ( x )) . ^[17] Esto puede ser más natural que la notación prefija en muchos casos, como en álgebra lineal cuando x es un vector fila y f y g denotan matrices y la composición es por multiplicación de matrices . El orden es importante porque la composición de funciones no es necesariamente conmutativa. Tener transformaciones sucesivas que se aplican y componen hacia la derecha concuerda con la secuencia de lectura de izquierda a derecha.

Los matemáticos que utilizan la notación posfija pueden escribir " fg ", lo que significa que primero se aplica f y luego se aplica g , de acuerdo con el orden en que aparecen los símbolos en la notación posfija, lo que hace que la notación " fg " sea ambigua. Los científicos informáticos pueden escribir " f  ; g " para esto, ^[18] desambiguando así el orden de composición. Para distinguir el operador de composición izquierda de un punto y coma de texto, en la notación Z se utiliza el carácter ⨾ para la composición de relación izquierda . ^[19] Dado que todas las funciones son relaciones binarias , es correcto utilizar el punto y coma [fat] también para la composición de funciones (consulte el artículo sobre composición de relaciones para obtener más detalles sobre esta notación).

Dada una función  g , el operador de composición C _g se define como aquel operador que asigna funciones a funciones como Los operadores de composición se estudian en el campo de la teoría de operadores .$${\displaystyle C_{g}f=f\circ g.}$$

La composición de funciones aparece de una forma u otra en numerosos lenguajes de programación .

La composición parcial es posible para funciones multivariadas . La función resultante cuando algún argumento x _i de la función f se reemplaza por la función g se denomina composición de f y g en algunos contextos de ingeniería informática y se denota f | _{x i = g}$${\displaystyle f|_{x_{i}=g}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),x_{i+1},\ldots ,x_{n}).}$$

Cuando g es una constante simple b , la composición degenera en una valoración (parcial), cuyo resultado también se conoce como restricción o cofactor . ^[20]

$${\displaystyle f|_{x_{i}=b}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},b,x_{i+1},\ldots ,x_{n}).}$$

En general, la composición de funciones multivariadas puede involucrar varias otras funciones como argumentos, como en la definición de función recursiva primitiva . Dado f , una función n -aria y n funciones m -arias g ₁ , ..., g _n , la composición de f con g ₁ , ..., g _n , es la función m -aria$${\displaystyle h(x_{1},\ldots ,x_{m})=f(g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,g_{n}(x_{1},\ldots ,x_{m})).}$$

Esto a veces se denomina composición generalizada o superposición de f con g ₁ , ..., g _n . ^[21] La composición parcial en un solo argumento mencionada anteriormente se puede instanciar a partir de este esquema más general al establecer que todas las funciones de argumento excepto una sean funciones de proyección elegidas adecuadamente . Aquí g ₁ , ..., g _n se puede ver como una única función con valor de vector/ tupla en este esquema generalizado, en cuyo caso esta es precisamente la definición estándar de composición de funciones. ^[22]

Un conjunto de operaciones finitas sobre un conjunto base X se denomina clon si contiene todas las proyecciones y está cerrado bajo composición generalizada. Un clon generalmente contiene operaciones de varias aridades . ^[21] La noción de conmutación también encuentra una generalización interesante en el caso multivariante; se dice que una función f de aridad n conmuta con una función g de aridad m si f es un homomorfismo que preserva g , y viceversa, es decir: ^[21]$${\displaystyle f(g(a_{11},\ldots ,a_{1m}),\ldots ,g(a_{n1},\ldots ,a_{nm}))=g(f(a_{11},\ldots ,a_{n1}),\ldots ,f(a_{1m},\ldots ,a_{nm})).}$$

Una operación unaria siempre conmuta consigo misma, pero no necesariamente es el caso de una operación binaria (o de aridad superior). Una operación binaria (o de aridad superior) que conmuta consigo misma se denomina medial o entrópica . ^[21]

La composición se puede generalizar a relaciones binarias arbitrarias . Si R ⊆ X × Y y S ⊆ Y × Z son dos relaciones binarias, entonces su composición equivale a

${\displaystyle R\circ S=\{(x,z)\in X\times Z:(\exists y\in Y)((x,y)\in R\,\land \,(y,z)\in S)\}}$.

Si consideramos una función como un caso especial de una relación binaria (es decir, relaciones funcionales ), la composición de funciones satisface la definición de composición de relaciones. Se ha utilizado un pequeño círculo R ∘ S para la notación infija de composición de relaciones , así como de funciones. Sin embargo, cuando se utiliza para representar la composición de funciones, la secuencia de texto se invierte para ilustrar las diferentes secuencias de operaciones en consecuencia.${\displaystyle (g\circ f)(x)\ =\ g(f(x))}$

La composición se define de la misma manera para funciones parciales y el teorema de Cayley tiene su análogo llamado teorema de Wagner-Preston . ^[23]

La categoría de conjuntos con funciones como morfismos es la categoría prototípica . Los axiomas de una categoría se inspiran de hecho en las propiedades (y también en la definición) de la composición de funciones. ^[24] Las estructuras dadas por la composición se axiomatizan y se generalizan en la teoría de categorías con el concepto de morfismo como el reemplazo de funciones en la teoría de categorías. El orden inverso de composición en la fórmula ( f  ∘  g ) ⁻¹ = ( g ⁻¹ ∘ f  ⁻¹ ) se aplica para la composición de relaciones que utilizan relaciones inversas y, por lo tanto, en la teoría de grupos . Estas estructuras forman categorías daga .

La base de las matemáticas comienza con los conjuntos y sus elementos . Es posible empezar de otra manera, axiomatizando no los elementos de los conjuntos, sino las funciones entre conjuntos. Esto se puede hacer utilizando el lenguaje de las categorías y las construcciones universales.

... la relación de pertenencia para conjuntos puede reemplazarse a menudo por la operación de composición para funciones. Esto conduce a una base alternativa para las matemáticas sobre categorías, específicamente, sobre la categoría de todas las funciones. Ahora bien, gran parte de las matemáticas son dinámicas, en el sentido de que tratan de morfismos de un objeto en otro objeto del mismo tipo. Tales morfismos ( como las funciones ) forman categorías, y por lo tanto el enfoque a través de categorías se ajusta bien al objetivo de organizar y comprender las matemáticas. Ése, en verdad, debería ser el objetivo de una filosofía adecuada de las matemáticas.

- Saunders Mac Lane , Matemáticas: forma y función ^[25]

El símbolo de composición ∘ se codifica como U+2218 ∘ OPERADOR DE ANILLO ( ∘, ∘ ); consulte el artículo Símbolo de grado para conocer caracteres Unicode de apariencia similar. En TeX , se escribe .\circ

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• "Función compuesta", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Composición de funciones" de Bruce Atwood, Proyecto de demostraciones Wolfram , 2007.