Biyección

Una biyección , función biyectiva o correspondencia biyectiva entre dos conjuntos matemáticos es una función tal que cada elemento del segundo conjunto (el codominio ) es la imagen de exactamente un elemento del primer conjunto (el dominio ). De manera equivalente, una biyección es una relación entre dos conjuntos tal que cada elemento de cualquiera de los dos conjuntos está emparejado con exactamente un elemento del otro conjunto.

Una función es biyectiva si y sólo si es invertible ; es decir, una función es biyectiva si y sólo si existe una función inversa de f , tal que cada una de las dos formas de componer las dos funciones produce una función identidad : para cada en y para cada en${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle g:Y\to X,}$${\displaystyle g(f(x))=x}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle f(g(y))=y}$${\estilo de visualización y}$${\displaystyle Y.}$

Por ejemplo, la multiplicación por dos define una biyección de los números enteros a los pares , que tiene como función inversa la división por dos .

Una función es biyectiva si y solo si es inyectiva (o biyectiva ), es decir, que cada elemento del codominio se asigna a como máximo un elemento del dominio, y sobreyectiva (o sobre ), es decir, que cada elemento del codominio se asigna a como máximo un elemento del dominio. El término correspondencia biyectiva no debe confundirse con función biyectiva , que significa inyectiva pero no necesariamente sobreyectiva.

La operación elemental de contar establece una biyección desde un conjunto finito hasta los primeros números naturales (1, 2, 3, ...) , hasta el número de elementos del conjunto contado. Resulta que dos conjuntos finitos tienen el mismo número de elementos si y sólo si existe una biyección entre ellos. De manera más general, se dice que dos conjuntos tienen el mismo número cardinal si existe una biyección entre ellos.

Una función biyectiva de un conjunto a sí mismo también se llama permutación , ^[1] y el conjunto de todas las permutaciones de un conjunto forma su grupo simétrico .

Algunas biyecciones con propiedades adicionales han recibido nombres específicos, que incluyen automorfismos , isomorfismos , homeomorfismos , difeomorfismos , grupos de permutación y la mayoría de las transformaciones geométricas . Las correspondencias de Galois son biyecciones entre conjuntos de objetos matemáticos de naturaleza aparentemente muy diferente.

Para que una relación binaria que empareja elementos del conjunto X con elementos del conjunto Y sea una biyección, deben cumplirse cuatro propiedades:

1. cada elemento de X debe estar emparejado con al menos un elemento de Y ,
2. Ningún elemento de X puede emparejarse con más de un elemento de Y ,
3. cada elemento de Y debe estar emparejado con al menos un elemento de X , y
4. Ningún elemento de Y puede emparejarse con más de un elemento de X.

Satisfacer las propiedades (1) y (2) significa que un emparejamiento es una función con dominio X. Es más común ver las propiedades (1) y (2) escritas como una sola declaración: cada elemento de X está emparejado con exactamente un elemento de Y. Las funciones que satisfacen la propiedad (3) se dice que son " sobre Y " y se llaman sobreyecciones (o funciones sobreyectivas ). Las funciones que satisfacen la propiedad (4) se dicen que son " funciones uno a uno " y se llaman inyecciones (o funciones inyectivas ). ^[2] Con esta terminología, una biyección es una función que es tanto una sobreyección como una inyección, o usando otras palabras, una biyección es una función que es tanto "uno a uno" como "sobre". ^[3]

Consideremos la alineación de bateo de un equipo de béisbol o de cricket (o cualquier lista de todos los jugadores de cualquier equipo deportivo donde cada jugador ocupa un lugar específico en una alineación). El conjunto X serán los jugadores del equipo (de tamaño nueve en el caso del béisbol) y el conjunto Y serán las posiciones en el orden de bateo (1º, 2º, 3º, etc.). El "emparejamiento" está dado por qué jugador está en qué posición en este orden. La propiedad (1) se satisface ya que cada jugador está en algún lugar de la lista. La propiedad (2) se satisface ya que ningún jugador batea en dos (o más) posiciones en el orden. La propiedad (3) dice que para cada posición en el orden, hay algún jugador bateando en esa posición y la propiedad (4) afirma que dos o más jugadores nunca batean en la misma posición en la lista.

En un aula hay un número determinado de asientos. Un grupo de estudiantes entra en la sala y el instructor les pide que se sienten. Después de una rápida mirada alrededor del aula, el instructor declara que existe una biyección entre el conjunto de estudiantes y el conjunto de asientos, donde cada estudiante está emparejado con el asiento en el que está sentado. Lo que el instructor observó para llegar a esta conclusión fue que:

1. Cada estudiante estaba en un asiento (no había nadie de pie),
2. Ningún estudiante estaba en más de un asiento,
3. En cada asiento había alguien sentado allí (no había asientos vacíos), y
4. Ningún asiento tenía más de un estudiante ocupado.

El instructor pudo concluir que había tantos asientos como estudiantes, sin tener que contar ninguno de los dos conjuntos.

• Para cualquier conjunto X , la función identidad 1 _X : X → X , 1 _X ( x ) = x es biyectiva.
• La función f : R → R , f ( x ) = 2 x + 1 es biyectiva, ya que para cada y existe un único x = ( y − 1)/2 tal que f ( x ) = y . De manera más general, cualquier función lineal sobre los números reales, f : R → R , f ( x ) = ax + b (donde a no es cero) es una biyección. Cada número real y se obtiene a partir de (o se empareja con) el número real x = ( y − b )/ a .
• La función f : R → (−π/2, π/2), dada por f ( x ) = arctan( x ) es biyectiva, ya que cada número real x está emparejado con exactamente un ángulo y en el intervalo (−π/2, π/2) de modo que tan( y ) = x (es decir, y = arctan( x )). Si el codominio (−π/2, π/2) se hiciera más grande para incluir un múltiplo entero de π/2, entonces esta función ya no sería sobreyectiva, ya que no hay ningún número real que pueda emparejarse con el múltiplo de π/2 por esta función arctan.
• La función exponencial g : R → R , g ( x ) = e ^x , no es biyectiva: por ejemplo, no hay x en R tal que g ( x ) = −1, lo que demuestra que g no es sobreyectiva. Sin embargo, si el codominio se restringe a los números reales positivos , entonces g sería biyectiva; su inversa (ver más abajo) es la función logaritmo natural ln.${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\equiv \left(0,\infty \right)}$
• La función h : R → R ⁺ , h ( x ) = x ² no es biyectiva: por ejemplo, h (−1) = h (1) = 1, lo que demuestra que h no es inyectiva. Sin embargo, si el dominio está restringido a , entonces h sería biyectiva; su inversa es la función raíz cuadrada positiva.${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}\equiv \left[0,\infty \right)}$
• Por el teorema de Schröder-Bernstein , dados dos conjuntos X e Y , y dos funciones inyectivas f : X → Y y g : Y → X , existe una función biyectiva h : X → Y .

Una biyección f con dominio X (indicada por f : X → Y en notación funcional ) también define una relación inversa que comienza en Y y va a X (al girar las flechas). El proceso de "girar las flechas" para una función arbitraria no produce, en general , una función, pero las propiedades (3) y (4) de una biyección dicen que esta relación inversa es una función con dominio Y . Además, las propiedades (1) y (2) dicen entonces que esta función inversa es una sobreyección y una inyección, es decir, la función inversa existe y también es una biyección. Las funciones que tienen funciones inversas se dicen que son invertibles . Una función es invertible si y solo si es una biyección.

Expresada en notación matemática concisa, una función f : X → Y es biyectiva si y solo si satisface la condición

para cada y en Y hay un único x en X con y = f ( x ).

Siguiendo con el ejemplo de la alineación de bateo en el béisbol, la función que se está definiendo toma como entrada el nombre de uno de los jugadores y da como salida la posición de ese jugador en el orden de bateo. Como esta función es una biyección, tiene una función inversa que toma como entrada una posición en el orden de bateo y da como salida el jugador que bateará en esa posición.

La composición de dos biyecciones f : X → Y y g : Y → Z es una biyección, cuya inversa está dada por es .${\estilo de visualización g\,\circ \,f}$${\estilo de visualización g\,\circ \,f}$${\displaystyle (g\,\circ \,f)^{-1}\;=\;(f^{-1})\,\circ \,(g^{-1})}$

Por el contrario, si la composición de dos funciones es biyectiva, sólo se deduce que f es inyectiva y g es sobreyectiva .${\displaystyle g\,\circ \,f}$

Si X e Y son conjuntos finitos , entonces existe una biyección entre los dos conjuntos X e Y si y sólo si X e Y tienen el mismo número de elementos. De hecho, en la teoría axiomática de conjuntos , esto se toma como la definición de "mismo número de elementos" ( equinumerosidad ), y la generalización de esta definición a los conjuntos infinitos conduce al concepto de número cardinal , una forma de distinguir los diversos tamaños de los conjuntos infinitos.

• Una función f : R → R es biyectiva si y solo si su gráfica corta cada línea horizontal y vertical exactamente una vez.
• Si X es un conjunto, entonces las funciones biyectivas de X sobre sí mismo, junto con la operación de composición funcional (∘), forman un grupo , el grupo simétrico de X , que se denota de diversas formas como S( X ), S _X o X ! ( X factorial ).
• Las biyecciones preservan las cardinalidades de los conjuntos: para un subconjunto A del dominio con cardinalidad | A | y un subconjunto B del codominio con cardinalidad | B |, se tienen las siguientes igualdades:

  | f ( A )| = | A | y | f ⁻¹ ( B )| = | B |.

• Si X e Y son conjuntos finitos con la misma cardinalidad, y f : X → Y , entonces los siguientes son equivalentes:
  1. f es una biyección.
  2. f es una sobreyección .
  3. f es una inyección .
• Para un conjunto finito S , existe una biyección entre el conjunto de posibles ordenamientos totales de los elementos y el conjunto de biyecciones de S a S . Es decir, el número de permutaciones de elementos de S es el mismo que el número de ordenamientos totales de ese conjunto, es decir, n !.

Las biyecciones son precisamente los isomorfismos en la categoría Conjunto de conjuntos y funciones de conjuntos. Sin embargo, las biyecciones no siempre son los isomorfismos para categorías más complejas. Por ejemplo, en la categoría Grp de grupos , los morfismos deben ser homomorfismos ya que deben preservar la estructura del grupo, por lo que los isomorfismos son isomorfismos de grupo que son homomorfismos biyectivos.

La noción de correspondencia biyectiva se generaliza a funciones parciales , donde se denominan biyecciones parciales , aunque solo se requiere que las biyecciones parciales sean inyectivas. La razón de esta relajación es que una función parcial (propia) ya no está definida para una parte de su dominio; por lo tanto, no hay una razón convincente para restringir su inversa a ser una función total , es decir, definida en todas partes de su dominio. El conjunto de todas las biyecciones parciales en un conjunto base dado se denomina semigrupo inverso simétrico . ^[4]

Otra forma de definir la misma noción es decir que una biyección parcial de A a B es cualquier relación R (que resulta ser una función parcial) con la propiedad de que R es el gráfico de una biyección f : A′ → B′ , donde A′ es un subconjunto de A y B′ es un subconjunto de B . ^[5]

Cuando la biyección parcial está en el mismo conjunto, a veces se denomina transformación parcial uno a uno . ^[6] Un ejemplo es la transformación de Möbius simplemente definida en el plano complejo, en lugar de su finalización en el plano complejo extendido. ^[7]

• Teorema de Ax-Grothendieck
• Biyección, inyección y sobreyección
• Numeración biyectiva
• Prueba biyectiva
• Teoría de categorías
• Función multivalor

Este tema es un concepto básico de la teoría de conjuntos y se puede encontrar en cualquier texto que incluya una introducción a la teoría de conjuntos. Casi todos los textos que tratan de una introducción a la escritura de demostraciones incluirán una sección sobre la teoría de conjuntos, por lo que el tema se puede encontrar en cualquiera de los siguientes:

• Hall, Marshall Jr. (1959). La teoría de grupos . MacMillan.
• Wolf (1998). Prueba, lógica y conjetura: la caja de herramientas de un matemático . Freeman.
• Sundstrom (2003). Razonamiento matemático: escritura y demostración . Prentice-Hall.
• Smith; Eggen; St.Andre (2006). Una transición a las matemáticas avanzadas (6.ª ed.) . Thomson (Brooks/Cole).
• Schumacher (1996). Capítulo cero: Nociones fundamentales de matemáticas abstractas . Addison-Wesley.
• O'Leary (2003). La estructura de la prueba: con lógica y teoría de conjuntos . Prentice-Hall.
• Morash. Puente hacia las matemáticas abstractas . Random House.
• Maddox (2002). Pensamiento y escritura matemática . Harcourt/ Academic Press.
• Lay (2001). Análisis con introducción a la demostración . Prentice Hall.
• Gilbert; Vanstone (2005). Introducción al pensamiento matemático . Pearson Prentice-Hall.
• Fletcher; Patty. Fundamentos de matemáticas superiores . PWS-Kent.
• Iglewicz; Stoyle. Introducción al razonamiento matemático . MacMillan.
• Devlin, Keith (2004). Conjuntos, funciones y lógica: una introducción a las matemáticas abstractas . Chapman & Hall/ CRC Press.
• D'Angelo; West (2000). Pensamiento matemático: resolución de problemas y demostraciones . Prentice Hall.
• Cupillari (1989). Los entresijos de las pruebas . Wadsworth. ISBN 9780534103200.
• Introducción a las matemáticas abstractas . Brooks/Cole.
• Barnier; Feldman (2000). Introducción a las matemáticas avanzadas . Prentice Hall.
• Ash. Introducción a las matemáticas abstractas . MAA.

Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Biyectividad .

• "Biyección", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Biyección". MathWorld .
• Usos más tempranos de algunas palabras de las matemáticas: la entrada sobre inyección, sobreyección y biyección tiene la historia de la inyección y términos relacionados.