Conjunto incontable

En matemáticas , un conjunto incontable , informalmente, es un conjunto infinito que contiene demasiados elementos para ser contable . La incontabilidad de un conjunto está estrechamente relacionada con su número cardinal : un conjunto es incontable si su número cardinal es mayor que aleph-null , la cardinalidad de los números naturales .

Existen muchas caracterizaciones equivalentes de la incontabilidad. Un conjunto X es incontable si y solo si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

• No existe función inyectiva (por lo tanto no hay biyección ) de X al conjunto de números naturales.
• X no es vacío y para cada ω- secuencia de elementos de X , existe al menos un elemento de X no incluido en ella. Es decir, X no es vacío y no existe función sobreyectiva de los números naturales a X .
• La cardinalidad de X no es finita ni igual a ( aleph-null ).$estilo de visualización {\aleph _{0}}$
• El conjunto X tiene cardinalidad estrictamente mayor que .$estilo de visualización {\aleph _{0}}$

Las primeras tres de estas caracterizaciones pueden demostrarse equivalentes en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección , pero la equivalencia de la tercera y la cuarta no puede demostrarse sin principios de elección adicionales.

• Si un conjunto incontable X es un subconjunto del conjunto Y , entonces Y es incontable.

El ejemplo más conocido de un conjunto incontable es el conjunto R de todos los números reales ; el argumento diagonal de Cantor muestra que este conjunto es incontable. La técnica de prueba de diagonalización también se puede utilizar para demostrar que varios otros conjuntos son incontables, como el conjunto de todas las secuencias infinitas de números naturales y el conjunto de todos los subconjuntos del conjunto de números naturales. La cardinalidad de R a menudo se denomina cardinalidad del continuo y se denota por , o , o ( beth-one ).${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle 2^{\aleph _ {0}}}$${\displaystyle \beth _{1}}$

El conjunto de Cantor es un subconjunto incontable de R. El conjunto de Cantor es un fractal y tiene dimensión de Hausdorff mayor que cero pero menor que uno ( R tiene dimensión uno). Este es un ejemplo del siguiente hecho: cualquier subconjunto de R de dimensión de Hausdorff estrictamente mayor que cero debe ser incontable.

Otro ejemplo de un conjunto incontable es el conjunto de todas las funciones desde R hasta R . Este conjunto es incluso "más incontable" que R en el sentido de que la cardinalidad de este conjunto es ( beth-two ), que es mayor que .${\displaystyle \beth _{2}}$${\displaystyle \beth _{1}}$

Un ejemplo más abstracto de un conjunto incontable es el conjunto de todos los números ordinales contables , denotado por Ω o ω ₁ . ^[1] La cardinalidad de Ω se denota ( aleph-ona ). Se puede demostrar, utilizando el axioma de elección , que es el número cardinal incontable más pequeño . Por lo tanto, o bien , la cardinalidad de los reales, es igual a o es estrictamente mayor. Georg Cantor fue el primero en proponer la cuestión de si es igual a . En 1900, David Hilbert planteó esta cuestión como el primero de sus 23 problemas . El enunciado que ahora se llama hipótesis del continuo , y se sabe que es independiente de los axiomas de Zermelo-Fraenkel para la teoría de conjuntos (incluido el axioma de elección ).${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \beth _{1}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \beth _{1}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph_{1}=\beth_{1}}$

Sin el axioma de elección , podrían existir cardinalidades incomparables a (a saber, las cardinalidades de los conjuntos infinitos finitos de Dedekind ). Los conjuntos de estas cardinalidades satisfacen las tres primeras caracterizaciones anteriores, pero no la cuarta caracterización. Dado que estos conjuntos no son mayores que los números naturales en el sentido de cardinalidad, es posible que algunos no quieran llamarlos incontables.$estilo de visualización {\aleph _{0}}$

Si se cumple el axioma de elección, las siguientes condiciones sobre un cardinal son equivalentes:${\estilo de visualización \kappa}$

• ${\displaystyle \kappa \nleq \aleph _ {0};}$
• ${\displaystyle \kappa >\aleph _ {0};}$y
• ${\displaystyle \kappa \geq \aleph _ {1}}$, donde y es el ordinal inicial menor mayor que${\displaystyle \aleph _{1}=|\omega _{1}|}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega .}$

Sin embargo, todas ellas pueden ser diferentes si el axioma de elección falla. Por lo tanto, no resulta obvio cuál es la generalización adecuada de la "incontabilidad" cuando el axioma falla. Tal vez sea mejor evitar el uso de la palabra en este caso y especificar a cuál de estas se refiere.

• Número aleph
• Número de Beth
• Primer ordinal incontable
• Función inyectiva

• Halmos, Paul , Naive Set Theory . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpreso por Springer-Verlag, Nueva York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (edición de Springer-Verlag). Reimpreso por Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (edición de bolsillo).  
• Jech, Thomas (2002), Teoría de conjuntos , Springer Monographs in Mathematics (3.ª edición del milenio), Springer, ISBN 3-540-44085-2

• Prueba de que R es incontable