Pseudovector

En física y matemáticas , un pseudovector (o vector axial ) ^[2] es una cantidad que se comporta como un vector en muchas situaciones, pero su dirección no se conforma cuando el objeto se transforma rígidamente por rotación , traslación , reflexión , etc. Esto también puede suceder cuando se cambia la orientación del espacio . Por ejemplo, el momento angular es un pseudovector porque a menudo se describe como un vector, pero con solo cambiar la posición de referencia (y cambiar el vector de posición ), el momento angular puede invertir la dirección, lo que no se supone que suceda con los verdaderos vectores (también conocidos como vectores polares ). ^[3]

Un ejemplo de un pseudovector es la normal a un plano orientado . Un plano orientado puede definirse por dos vectores no paralelos, a y b , ^[4] que abarcan el plano. El vector a × b es una normal al plano (hay dos normales, una en cada lado; la regla de la mano derecha determinará cuál), y es un pseudovector. Esto tiene consecuencias en gráficos de computadora, donde debe considerarse al transformar normales de superficie . En tres dimensiones, el rotacional de un campo vectorial polar en un punto y el producto vectorial de dos vectores polares son pseudovectores. ^[5]

Varias magnitudes en física se comportan como pseudovectores en lugar de vectores polares, incluidos el campo magnético y la velocidad angular . En matemáticas, en tres dimensiones, los pseudovectores son equivalentes a los bivectores , de los cuales se pueden derivar las reglas de transformación de los pseudovectores. De manera más general, en el álgebra geométrica n -dimensional , los pseudovectores son los elementos del álgebra con dimensión n − 1 , escrito ⋀ ^{n −1} R ⁿ . La etiqueta "pseudo-" se puede generalizar aún más a pseudoescalares y pseudotensores , los cuales ganan un cambio de signo adicional bajo rotaciones impropias en comparación con un escalar o tensor verdadero .

Los ejemplos físicos de pseudovectores incluyen torque , ^[4] velocidad angular , momento angular , ^[4] campo magnético , ^[4] vorticidad y momento dipolar magnético .

Consideremos el pseudovector de momento angular L = Σ( r × p ) . Al conducir un automóvil y mirar hacia adelante, cada una de las ruedas tiene un vector de momento angular que apunta hacia la izquierda. Si el mundo se refleja en un espejo que cambia el lado izquierdo y derecho del automóvil, el "reflejo" de este "vector" de momento angular (visto como un vector ordinario) apunta hacia la derecha, pero el vector de momento angular real de la rueda (que sigue girando hacia adelante en el reflejo) sigue apuntando hacia la izquierda, lo que corresponde al cambio de signo adicional en el reflejo de un pseudovector.

La distinción entre vectores polares y pseudovectores se vuelve importante para comprender el efecto de la simetría en la solución de sistemas físicos . Considere un bucle de corriente eléctrica en el plano z = 0 que dentro del bucle genera un campo magnético orientado en la dirección z . Este sistema es simétrico (invariante) bajo reflexiones especulares a través de este plano, con el campo magnético sin cambios por la reflexión. Pero se esperaría que reflejar el campo magnético como un vector a través de ese plano lo invirtiera; esta expectativa se corrige al darse cuenta de que el campo magnético es un pseudovector, con el cambio de signo adicional que lo deja sin cambios.

En física, los pseudovectores son generalmente el resultado de tomar el producto vectorial de dos vectores polares o el rotacional de un campo vectorial polar. El producto vectorial y el rotacional se definen, por convención, según la regla de la mano derecha, pero podrían haberse definido con la misma facilidad en términos de una regla de la mano izquierda. Todo el cuerpo de física que trata con pseudovectores (diestros) y la regla de la mano derecha podría reemplazarse por el uso de pseudovectores (zurdos) y la regla de la mano izquierda sin problemas. Los pseudovectores (izquierdos) así definidos serían opuestos en dirección a los definidos por la regla de la mano derecha.

Si bien las relaciones vectoriales en física se pueden expresar de manera libre de coordenadas, se requiere un sistema de coordenadas para expresar vectores y pseudovectores como cantidades numéricas. Los vectores se representan como tripletes ordenados de números: por ejemplo , y los pseudovectores también se representan de esta forma. Al transformar entre sistemas de coordenadas diestros y zurdos, las representaciones de pseudovectores no se transforman como vectores, y tratarlas como representaciones vectoriales causará un cambio de signo incorrecto, por lo que se debe tener cuidado de realizar un seguimiento de qué tripletes ordenados representan vectores y cuáles representan pseudovectores. Este problema no existe si el producto vectorial de dos vectores se reemplaza por el producto exterior de los dos vectores, lo que produce un bivector que es un tensor de segundo rango y está representado por una matriz de 3 × 3. Esta representación del 2-tensor se transforma correctamente entre dos sistemas de coordenadas cualesquiera, independientemente de su lateralidad.${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z})}$

La definición de un "vector" en física (incluyendo tanto vectores polares como pseudovectores) es más específica que la definición matemática de "vector" (es decir, cualquier elemento de un espacio vectorial abstracto ). Según la definición de física, se requiere que un "vector" tenga componentes que se "transformen" de cierta manera bajo una rotación adecuada : en particular, si todo en el universo rotara, el vector rotaría exactamente de la misma manera. (El sistema de coordenadas es fijo en esta discusión; en otras palabras, esta es la perspectiva de las transformaciones activas ). Matemáticamente, si todo en el universo experimenta una rotación descrita por una matriz de rotación R , de modo que un vector de desplazamiento x se transforma en x ′ = R x , entonces cualquier "vector" v debe transformarse de manera similar en v ′ = R v . Este importante requisito es lo que distingue a un vector (que podría estar compuesto, por ejemplo, de los componentes x , y y z de la velocidad ) de cualquier otro triplete de cantidades físicas (por ejemplo, la longitud, el ancho y la altura de una caja rectangular no pueden considerarse los tres componentes de un vector, ya que girar la caja no transforma apropiadamente estos tres componentes).

(En el lenguaje de la geometría diferencial , este requisito es equivalente a definir un vector como un tensor de rango contravariante uno. En este marco más general, los tensores de rango superior también pueden tener arbitrariamente muchos rangos covariantes y contravariantes mixtos al mismo tiempo, denotados por índices elevados y reducidos dentro de la convención de suma de Einstein ).

Un ejemplo básico y bastante concreto es el de los vectores fila y columna bajo el operador habitual de multiplicación de matrices: en un orden producen el producto escalar, que es simplemente un escalar y como tal un tensor de rango cero, mientras que en el otro producen el producto diádico , que es una matriz que representa un tensor mixto de rango dos, con un índice contravariante y uno covariante. Como tal, la no conmutatividad del álgebra matricial estándar se puede utilizar para realizar un seguimiento de la distinción entre vectores covariantes y contravariantes. De hecho, así es como se llevaba la contabilidad antes de que surgiera la notación tensorial más formal y generalizada. Todavía se manifiesta en cómo se exhiben los vectores base de los espacios tensoriales generales para su manipulación práctica.

La discusión hasta ahora solo se relaciona con rotaciones propias, es decir, rotaciones sobre un eje. Sin embargo, también se pueden considerar rotaciones impropias , es decir, una reflexión especular posiblemente seguida por una rotación propia. (Un ejemplo de una rotación impropia es la inversión a través de un punto en el espacio tridimensional). Supongamos que todo en el universo experimenta una rotación impropia descrita por la matriz de rotación impropia R , de modo que un vector de posición x se transforma en x ′ = R x . Si el vector v es un vector polar, se transformará en v ′ = R v . Si es un pseudovector, se transformará en v ′ = − R v .

Las reglas de transformación para vectores polares y pseudovectores se pueden expresar de forma compacta como

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} '&=R\mathbf {v} &&{\text{(vector polar)}}\\\mathbf {v} '&=(\det R)( R\mathbf {v} )&&{\text{(pseudovector)}}\end{aligned}}}$

donde los símbolos son los descritos anteriormente y la matriz de rotación R puede ser propia o impropia. El símbolo det denota determinante ; esta fórmula funciona porque el determinante de las matrices de rotación propia e impropia son +1 y −1, respectivamente.

Supongamos que v ₁ y v ₂ son pseudovectores conocidos, y v ₃ se define como su suma, v ₃ = v ₁ + v ₂ . Si el universo se transforma mediante una matriz de rotación R , entonces v ₃ se transforma en

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v_{3}} '=\mathbf {v_{1}} '+\mathbf {v_{2}} '&=(\det R)(R\mathbf {v_{1}} )+(\det R)(R\mathbf {v_{2}} )\\&=(\det R)(R(\mathbf {v_{1}} +\mathbf {v_{2}} ))=(\det R)(R\mathbf {v_{3}} ).\end{aligned}}}$

Por lo tanto, v ₃ también es un pseudovector. De manera similar, se puede demostrar que la diferencia entre dos pseudovectores es un pseudovector, que la suma o diferencia de dos vectores polares es un vector polar, que multiplicar un vector polar por cualquier número real da como resultado otro vector polar y que multiplicar un pseudovector por cualquier número real da como resultado otro pseudovector.

Por otra parte, supongamos que se sabe que v ₁ es un vector polar, que v ₂ es un pseudovector y que v ₃ se define como su suma, v ₃ = v ₁ + v ₂ . Si el universo se transforma mediante una matriz de rotación impropia R , entonces v ₃ se transforma en

${\displaystyle \mathbf {v_{3}} '=\mathbf {v_{1}} '+\mathbf {v_{2}} '=(R\mathbf {v_{1}} )+(\det R) (R\mathbf {v_{2}} )=R(\mathbf {v_{1}} +(\det R)\mathbf {v_{2}} ).}$

Por lo tanto, v ₃ no es ni un vector polar ni un pseudovector (aunque sigue siendo un vector, según la definición de la física). En el caso de una rotación impropia, v ₃ ni siquiera mantiene en general la misma magnitud:

${\displaystyle |\mathbf {v_{3}} |=|\mathbf {v_{1}} +\mathbf {v_{2}} |,{\text{ pero }}\left|\mathbf {v_{3}} '\right|=\left|\mathbf {v_{1}} '-\mathbf {v_{2}} '\right|}$.

Si la magnitud de v ₃ describiera una cantidad física mensurable, eso significaría que las leyes de la física no aparecerían iguales si el universo se observara en un espejo. De hecho, esto es exactamente lo que sucede en la interacción débil : ciertas desintegraciones radiactivas tratan a la "izquierda" y a la "derecha" de forma diferente, un fenómeno que se puede rastrear hasta la suma de un vector polar con un pseudovector en la teoría subyacente. (Véase violación de paridad .)

Para una matriz de rotación R , ya sea propia o impropia, la siguiente ecuación matemática siempre es verdadera:

${\displaystyle (R\mathbf {v_{1}} )\times (R\mathbf {v_{2}} )=(\det R)(R(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} ))}$,

donde v ₁ y v ₂ son vectores tridimensionales cualesquiera. (Esta ecuación se puede demostrar mediante un argumento geométrico o mediante un cálculo algebraico).

Supongamos que v ₁ y v ₂ son vectores polares conocidos, y v ₃ se define como su producto vectorial, v ₃ = v ₁ × v ₂ . Si el universo se transforma mediante una matriz de rotación R , entonces v ₃ se transforma en

${\displaystyle \mathbf {v_{3}} '=\mathbf {v_{1}} '\times \mathbf {v_{2}} '=(R\mathbf {v_{1}} )\times (R\mathbf {v_{2}} )=(\det R)(R(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} ))=(\det R)(R\mathbf {v_{3}} ).}$

Por lo tanto, v ₃ es un pseudovector. De manera similar, se puede demostrar:

• vector polar × vector polar = pseudovector
• pseudovector × pseudovector = pseudovector
• vector polar × pseudovector = vector polar
• pseudovector × vector polar = vector polar

Esto es isomorfo a la suma módulo 2, donde "polar" corresponde a 1 y "pseudo" a 0.

De la definición se desprende claramente que un vector de desplazamiento es un vector polar. El vector de velocidad es un vector de desplazamiento (un vector polar) dividido por el tiempo (un escalar), por lo que también es un vector polar. Del mismo modo, el vector de momento es el vector de velocidad (un vector polar) multiplicado por la masa (un escalar), por lo que es un vector polar. El momento angular es el producto vectorial de un desplazamiento (un vector polar) y un momento (un vector polar), por lo que es un pseudovector. El par es el momento angular (un pseudovector) dividido por el tiempo (un escalar), por lo que también es un pseudovector. Siguiendo de esta manera, es sencillo clasificar cualquiera de los vectores comunes en física como pseudovector o vector polar. (Existen los vectores que violan la paridad en la teoría de interacciones débiles, que no son ni vectores polares ni pseudovectores. Sin embargo, estos aparecen muy raramente en física).

Anteriormente, se han analizado los pseudovectores utilizando transformaciones activas . Un enfoque alternativo, más en la línea de las transformaciones pasivas , es mantener el universo fijo, pero cambiar la " regla de la mano derecha " por la "regla de la mano izquierda" en todas partes en matemáticas y física, incluso en la definición del producto vectorial y el rotacional . Cualquier vector polar (por ejemplo, un vector de traslación) permanecería inalterado, pero los pseudovectores (por ejemplo, el vector del campo magnético en un punto) cambiarían de signo. Sin embargo, no habría consecuencias físicas, aparte de los fenómenos que violan la paridad, como ciertas desintegraciones radiactivas . ^[6]

Una forma de formalizar pseudovectores es la siguiente: si V es un espacio vectorial de n dimensiones, entonces un pseudovector de V es un elemento de la ( n  − 1)-ésima potencia exterior de V : ⋀ ^{n −1} ( V ). Los pseudovectores de V forman un espacio vectorial con la misma dimensión que V .

Esta definición no es equivalente a la que requiere un cambio de signo en caso de rotaciones impropias, pero es general para todos los espacios vectoriales. En particular, cuando n es par , dicho pseudovector no experimenta un cambio de signo, y cuando la característica del cuerpo subyacente de V es 2, un cambio de signo no tiene efecto. Por lo demás, las definiciones son equivalentes, aunque debe tenerse en cuenta que sin una estructura adicional (específicamente, una forma de volumen o una orientación ), no hay una identificación natural de ⋀ ^{n −1} ( V ) con V .

Otra forma de formalizarlos es considerándolos como elementos de un espacio de representación para . Los vectores se transforman en la representación fundamental de con datos dados por , de modo que para cualquier matriz en , se tiene . Los pseudovectores se transforman en una representación pseudofundamental , con . Otra forma de ver este homomorfismo para impar es que en este caso . Entonces es un producto directo de homomorfismos de grupo; es el producto directo del homomorfismo fundamental en con el homomorfismo trivial en .${\displaystyle {\text{O}}(n)}$${\displaystyle {\text{O}}(n)}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\rho _{\text{fondo}},{\text{O}}(n))}$${\estilo de visualización R}$${\displaystyle {\text{O}}(n)}$${\displaystyle \rho _{\text{fondo}}(R)=R}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\rho _{\text{pseudo}},{\text{O}}(n))}$${\displaystyle \rho _{\text{pseudo}}(R)=\det(R)R}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle {\text{O}}(n)\cong {\text{SO}}(n)\times \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \rho _{\text{pseudo}}}$${\displaystyle {\text{SO}}(n)}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

En el álgebra geométrica, los elementos básicos son vectores, y estos se utilizan para construir una jerarquía de elementos utilizando las definiciones de productos de esta álgebra. En particular, el álgebra construye pseudovectores a partir de vectores.

La multiplicación básica en el álgebra geométrica es el producto geométrico , que se denota simplemente yuxtaponiendo dos vectores como en ab . Este producto se expresa como:

${\displaystyle \mathbf {ab} =\mathbf {a\cdot b} +\mathbf {a\wedge b} \ ,}$

donde el término principal es el producto punto del vector habitual y el segundo término se denomina producto cuña o producto exterior . Utilizando los postulados del álgebra, se pueden evaluar todas las combinaciones de productos punto y cuña. Se proporciona una terminología para describir las distintas combinaciones. Por ejemplo, un multivector es una suma de productos cuña k -fold de varios valores k . Un producto cuña k -fold también se conoce como k -blade .

En el presente contexto, el pseudovector es una de estas combinaciones. Este término se asocia a un multivector diferente según las dimensiones del espacio (es decir, el número de vectores linealmente independientes en el espacio). En tres dimensiones, el bivector o 2-hoja más general se puede expresar como el producto de cuña de dos vectores y es un pseudovector. ^[7] Sin embargo, en cuatro dimensiones, los pseudovectores son trivectores . ^[8] En general, es una ( n − 1) -hoja, donde n es la dimensión del espacio y el álgebra. ^[9] Un espacio n -dimensional tiene n vectores base y también n pseudovectores base. Cada pseudovector base se forma a partir del producto externo (cuña) de todos menos uno de los n vectores base. Por ejemplo, en cuatro dimensiones donde los vectores base se toman como { e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₄ }, los pseudovectores se pueden escribir como: { e ₂₃₄ , e ₁₃₄ , e ₁₂₄ , e ₁₂₃ }.

Baylis ha comparado las propiedades de transformación del pseudovector en tres dimensiones con las del producto vectorial . ^[10] Dice: "Los términos vector axial y pseudovector suelen tratarse como sinónimos, pero es bastante útil poder distinguir un bivector de su dual". Parafraseando a Baylis: Dados dos vectores polares (es decir, vectores verdaderos) a y b en tres dimensiones, el producto vectorial compuesto por a y b es el vector normal a su plano dado por c = a × b . Dado un conjunto de vectores base ortonormales de mano derecha { e _ℓ } , el producto vectorial se expresa en términos de sus componentes como:

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left(a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2}\right)\mathbf {e} _{1}+\left(a^{3}b^{1}-a^{1}b^{3}\right)\mathbf {e} _{2}+\left(a^{1}b^{2}-a^{2}b^{1}\right)\mathbf {e} _{3},}$

donde los superíndices etiquetan los componentes del vector. Por otra parte, el plano de los dos vectores está representado por el producto exterior o producto cuña, denotado por a ∧ b . En este contexto de álgebra geométrica, este bivector se llama pseudovector, y es el dual de Hodge del producto vectorial. ^[11] El dual de e ₁ se introduce como e ₂₃ ≡ e ₂ e ₃ = e ₂ ∧ e ₃ , y así sucesivamente. Es decir, el dual de e ₁ es el subespacio perpendicular a e ₁ , es decir, el subespacio generado por e ₂ y e ₃ . Con esta comprensión, ^[12]

${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =\left(a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2}\right)\mathbf {e} _{23}+\left(a^{3}b^{1}-a^{1}b^{3}\right)\mathbf {e} _{31}+\left(a^{1}b^{2}-a^{2}b^{1}\right)\mathbf {e} _{12}\ .}$

Para más detalles, consulte Operador de estrella de Hodge § Tres dimensiones . El producto vectorial y el producto en cuña están relacionados por:

${\displaystyle \mathbf {a} \ \wedge \ \mathbf {b} ={\mathit {i}}\ \mathbf {a} \ \times \ \mathbf {b} \ ,}$

donde i = e ₁ ∧ e ₂ ∧ e ₃ se llama pseudoescalar unitario . ^{[13] [14]} Tiene la propiedad: ^[15]

${\displaystyle {\mathit {i}}^{2}=-1\ .}$

Utilizando las relaciones anteriores, se ve que si los vectores a y b se invierten cambiando los signos de sus componentes mientras se dejan fijos los vectores base, tanto el pseudovector como el producto vectorial son invariantes. Por otro lado, si los componentes son fijos y los vectores base e _ℓ están invertidos, entonces el pseudovector es invariante, pero el producto vectorial cambia de signo. Este comportamiento de los productos vectoriales es consistente con su definición como elementos similares a vectores que cambian de signo bajo la transformación de un sistema de coordenadas dextrógiro a levógiro, a diferencia de los vectores polares.

Como acotación al margen, se puede notar que no todos los autores en el campo del álgebra geométrica usan el término pseudovector, y algunos autores siguen la terminología que no distingue entre el pseudovector y el producto vectorial. ^[16] Sin embargo, debido a que el producto vectorial no se generaliza a otras dimensiones que no sean tres, ^[17] la noción de pseudovector basada en el producto vectorial tampoco se puede extender a un espacio de cualquier otro número de dimensiones. El pseudovector como una ( n – 1) -hoja en un espacio n -dimensional no está restringido de esta manera.

Otra nota importante es que los pseudovectores, a pesar de su nombre, son "vectores" en el sentido de ser elementos de un espacio vectorial . La idea de que "un pseudovector es diferente de un vector" solo es cierta con una definición diferente y más específica del término "vector", como se explicó anteriormente.

• Álgebra exterior
• Álgebra de Clifford
• Antivector , una generalización del pseudovector en el álgebra de Clifford
• Orientabilidad : discusión sobre espacios no orientables.
• Densidad del tensor