Clasificación de las álgebras de Clifford

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En álgebra abstracta , en particular en la teoría de formas cuadráticas no degeneradas en espacios vectoriales , las álgebras de Clifford reales y complejas de dimensión finita para una forma cuadrática no degenerada se han clasificado completamente como anillos . En cada caso, el álgebra de Clifford es un álgebra isomorfa a un anillo de matrices completo sobre R , C o H (los cuaterniones ), o a una suma directa de dos copias de dicha álgebra, aunque no de manera canónica . A continuación se muestra que distintas álgebras de Clifford pueden ser álgebra-isomorfas , como es el caso de Cl _1,1 ( R ) y Cl _2,0 ( R ), que son ambas isomorfas como anillos al anillo de matrices de dos por dos sobre los números reales.

El producto de Clifford es el producto de anillo manifiesto para el álgebra de Clifford, y todos los homomorfismos de álgebras en este artículo son con respecto a este producto de anillo. Otros productos definidos dentro de las álgebras de Clifford, como el producto exterior , y otra estructura, como el subespacio distinguido de generadores V , no se utilizan aquí. Este artículo utiliza la convención del signo (+) para la multiplicación de Clifford de modo que para todos los vectores v en el espacio vectorial de generadores V , donde Q es la forma cuadrática en el espacio vectorial V . Denotaremos el álgebra de matrices n × n con entradas en el álgebra de división K por M _n ( K ) o End( K ⁿ ). La suma directa de dos de esas álgebras idénticas se denotará por M _n ( K ) ⊕ M _n ( K ) , que es isomorfa a M _n ( K ⊕ K ) .$${\displaystyle v^{2}=Q(v)1}$$

Las álgebras de Clifford presentan una periodicidad doble sobre los números complejos y una periodicidad óctuple sobre los números reales, que está relacionada con las mismas periodicidades para los grupos de homotopía del grupo unitario estable y el grupo ortogonal estable , y se denomina periodicidad de Bott . La conexión se explica mediante el modelo geométrico de la aproximación de los espacios de bucles a la periodicidad de Bott: sus incrustaciones periódicas dobles/óctuples de los grupos clásicos entre sí (que corresponden a los grupos de isomorfismo de las álgebras de Clifford), y sus cocientes sucesivos son espacios simétricos que son homotópicamente equivalentes a los espacios de bucles del grupo unitario/ortogonal.

El caso complejo es particularmente simple: cada forma cuadrática no degenerada en un espacio vectorial complejo es equivalente a la forma diagonal estándar.

${\displaystyle Q(u)=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+\cdots +u_{n}^{2},}$

donde n = dim( V ) , por lo que esencialmente solo hay un álgebra de Clifford para cada dimensión. Esto se debe a que los números complejos incluyen i por lo que − u _k ² = +( iu _k ) ² y, por lo tanto, los términos positivos o negativos son equivalentes. Denotaremos el álgebra de Clifford en C ⁿ con la forma cuadrática estándar por Cl _n ( C ).

Hay dos casos distintos a considerar, según que n sea par o impar. Cuando n es par, el álgebra Cl _n ( C ) es centralmente simple y por lo tanto, por el teorema de Artin-Wedderburn, es isomorfa a un álgebra matricial sobre C .

Cuando n es impar, el centro incluye no sólo los escalares sino también los pseudoescalares (elementos de grado n ). Siempre podemos encontrar un pseudoescalar normalizado ω tal que ω ² = 1 . Definir los operadores

${\displaystyle P_{\pm }={\frac {1}{2}}(1\pm \omega ).}$

Estos dos operadores forman un conjunto completo de idempotentes ortogonales y, dado que son centrales, dan una descomposición de Cl _n ( C ) en una suma directa de dos álgebras.

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{n}(\mathbf {C} )=\mathrm {Cl} _{n}^{+}(\mathbf {C} )\oplus \mathrm {Cl} _{n}^{-}(\mathbf {C} ),}$

dónde

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{n}^{\pm }(\mathbf {C} )=P_{\pm }\mathrm {Cl} _{n}(\mathbf {C} ).}$

Las álgebras Cl _n ^± ( C ) son simplemente los espacios propios positivos y negativos de ω y las P _± son simplemente los operadores de proyección. Como ω es impar, estas álgebras se mezclan por α (la función lineal en V definida por v ↦ − v ):

${\displaystyle \alpha \left(\mathrm {Cl} _{n}^{\pm }(\mathbf {C} )\right)=\mathrm {Cl} _{n}^{\mp }(\mathbf {C} ),}$

y por lo tanto isomorfas (ya que α es un automorfismo ). Estas dos álgebras isomorfas son cada una centralmente simples y por lo tanto, nuevamente, isomorfas a un álgebra matricial sobre C. Los tamaños de las matrices se pueden determinar a partir del hecho de que la dimensión de Cl _n ( C ) es 2 ⁿ . Lo que tenemos entonces es la siguiente tabla:

La subálgebra par Cl^[0]
_en( C ) de Cl _n ( C ) es (no canónicamente) isomorfo a Cl _{n −1} ( C ). Cuando n es par, la subálgebra par se puede identificar con las matrices diagonales en bloques (cuando se dividen en matrices en bloques de 2 × 2 ). Cuando n es impar, la subálgebra par consta de aquellos elementos de End( C ^N ) ⊕ End( C ^N ) para los cuales las dos piezas son idénticas. Elegir cualquiera de las piezas da un isomorfismo con Cl _n ^[0] ( C ) ≅ End( C ^N ) .

La clasificación permite definir los espinores de Dirac y los espinores de Weyl en dimensión par. ^[1]

En dimensión par n , el álgebra de Clifford Cl _n ( C ) es isomorfa a End( C ^N ), que tiene su representación fundamental en Δ _n  := C ^N . Un espinor de Dirac complejo es un elemento de Δ _n . El término complejo significa que es el elemento de un espacio de representación de un álgebra de Clifford compleja, en lugar de que sea un elemento de un espacio vectorial complejo.

La subálgebra par Cl _n ⁰ ( C ) es isomorfa a End( C ^{N /2} ) ⊕ End( C ^{N /2} ) y por lo tanto se descompone en la suma directa de dos espacios de representación irreducibles Δ⁺
_n⊕Δ⁻ⁿ
_​, cada uno isomorfo a C ^{N /2 . Un} espinor de Weyl complejo levógiro (respectivamente dextrógiro) es un elemento de Δ⁺
_n(respectivamente, Δ⁻ⁿ
_​).

El teorema de estructura es fácil de demostrar de manera inductiva. Para los casos base, Cl ₀ ( C ) es simplemente C ≅ End( C ) , mientras que Cl ₁ ( C ) se obtiene mediante el álgebra C ⊕ C ≅ End( C ) ⊕ End( C ) definiendo la única matriz gamma como γ ₁ = (1, −1) .

También necesitaremos Cl ₂ ( C ) ≅ End( C ² ) . Las matrices de Pauli se pueden utilizar para generar el álgebra de Clifford estableciendo γ ₁ = σ ₁ , γ ₂ = σ ₂ . El lapso del álgebra generada es End( C ² ).

La prueba se completa construyendo un isomorfismo Cl _{n +2} ( C ) ≅ Cl _n ( C ) ⊗ Cl ₂ ( C ) . Sea γ _a generar Cl _n ( C ), y generar Cl ₂ ( C ). Sea ω = i el elemento de quiralidad que satisface ω ² = 1 y ω + ω = 0 . Estos se pueden usar para construir matrices gamma para Cl _{n +2} ( C ) estableciendo Γ _a = γ _a ⊗ ω para 1 ≤ a ≤ n y Γ _a = 1 ⊗ para a = n + 1, n + 2 . Se puede demostrar que estos satisfacen el álgebra de Clifford requerida y, por la propiedad universal de las álgebras de Clifford, existe un isomorfismo Cl _n ( C ) ⊗ Cl ₂ ( C ) → Cl _{n +2} ( C ) .${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{a}}$${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{1}{\tilde {\gamma }}_{2}}$${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{a}}$${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{a}}$${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{a-n}}$

Finalmente, en el caso par esto significa por la hipótesis de inducción Cl _{n +2} ( C ) ≅ End( C ^N ) ⊗ End( C ² ) ≅ End( C ^{N +1} ) . El caso impar sigue de manera similar ya que el producto tensorial se distribuye sobre sumas directas.

El caso real es significativamente más complicado, ya que exhibe una periodicidad de 8 en lugar de 2, y existe una familia de álgebras de Clifford de 2 parámetros.

En primer lugar, existen formas cuadráticas no isomorfas de un grado dado, clasificadas por signatura.

Toda forma cuadrática no degenerada en un espacio vectorial real es equivalente a una forma cuadrática isótropa :

${\displaystyle Q(u)=u_{1}^{2}+\cdots +u_{p}^{2}-u_{p+1}^{2}-\cdots -u_{p+q}^{2}}$

donde n = p + q es la dimensión del espacio vectorial. El par de números enteros ( p , q ) se denomina firma de la forma cuadrática. El espacio vectorial real con esta forma cuadrática se suele denotar como R ^{p , q} . El álgebra de Clifford sobre R ^{p , q} se denota como Cl _{p , q} ( R ).

Una base ortonormal estándar { e _i } para R ^{p , q} consta de n = p + q vectores mutuamente ortogonales, p de los cuales tienen norma +1 y q de los cuales tienen norma −1.

Dada una base estándar { e _i } como se define en la subsección anterior, la unidad pseudoescalar en Cl _{p , q} ( R ) se define como

${\displaystyle \omega =e_{1}e_{2}\cdots e_{n}.}$

Este es a la vez un elemento de Coxeter de algún tipo (producto de reflexiones) y un elemento más largo de un grupo de Coxeter en el orden de Bruhat ; esto es una analogía. Corresponde a y generaliza una forma de volumen (en el álgebra exterior ; para la forma cuadrática trivial, el pseudoescalar unitario es una forma de volumen), y eleva la reflexión a través del origen (lo que significa que la imagen del pseudoescalar unitario es la reflexión a través del origen, en el grupo ortogonal ).

Para calcular el cuadrado ω ² = ( e ₁ e ₂ ⋅⋅⋅ e _n )( e ₁ e ₂ ⋅⋅⋅ e _n ) , se puede invertir el orden del segundo grupo, obteniendo sgn( σ ) e ₁ e ₂ ⋅⋅⋅ e _n e _n ⋅⋅⋅ e ₂ e ₁ , o aplicar una mezcla perfecta , obteniendo sgn( σ ) e ₁ e ₁ e ₂ e ₂ ⋅⋅⋅ e _n e _n . Ambos tienen signo (−1) ^{⌊ n /2⌋} = (−1) ^{n ( n −1)/2} , que es 4-periódico ( prueba ), y combinado con e _i e _i = ±1 , esto muestra que el cuadrado de ω está dado por

${\displaystyle \omega ^{2}=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}(-1)^{q}=(-1)^{\frac {(p-q)(p-q-1)}{2}}={\begin{cases}+1&p-q\equiv 0,1\mod {4}\\-1&p-q\equiv 2,3\mod {4}.\end{cases}}}$

Nótese que, a diferencia del caso complejo, en general no es posible encontrar un pseudoescalar cuyo cuadrado sea +1.

Si n (equivalentemente, p − q ) es par, el álgebra Cl _{p , q} ( R ) es centralmente simple y, por lo tanto, isomorfa a un álgebra matricial sobre R o H por el teorema de Artin-Wedderburn .

Si n (equivalentemente, p − q ) es impar, entonces el álgebra ya no es central simple sino que tiene un centro que incluye tanto los pseudoescalares como los escalares. Si n es impar y ω ² = +1 (equivalentemente, si p − q ≡ 1 (mod 4) ), entonces, al igual que en el caso complejo, el álgebra Cl _{p , q} ( R ) se descompone en una suma directa de álgebras isomorfas

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )=\operatorname {Cl} _{p,q}^{+}(\mathbf {R} )\oplus \operatorname {Cl} _{p,q}^{-}(\mathbf {R} ),}$

cada uno de los cuales es centralmente simple y por lo tanto isomorfo al álgebra matricial sobre R o H.

Si n es impar y ω ² = −1 (equivalentemente, si p − q ≡ −1 (mod 4) ) entonces el centro de Cl _{p , q} ( R ) es isomorfo a C y puede considerarse como un álgebra compleja . Como álgebra compleja, es centralmente simple y, por lo tanto, isomorfo a un álgebra matricial sobre C .

En total hay tres propiedades que determinan la clase del álgebra Cl _{p , q} ( R ):

• Firma mod 2: n es par/impar: central simple o no
• Firma mod 4: ω ² = ±1 : si no es central simple, el centro es R ⊕ R o C
• Firma mod 8: la clase Brauer del álgebra ( n par) o subálgebra par ( n impar) es R o H

Cada una de estas propiedades depende únicamente de la signatura p − q módulo 8. La tabla de clasificación completa se muestra a continuación. El tamaño de las matrices está determinado por el requisito de que Cl _{p , q} ( R ) tengan dimensión 2 ^{p + q} .

Se puede ver que de todos los tipos de anillos matriciales mencionados, solo hay un tipo compartido por álgebras complejas y reales: el tipo M _{2 ^m} ( C ). Por ejemplo, Cl ₂ ( C ) y Cl _3,0 ( R ) se determinan como M ₂ ( C ). Es importante notar que hay una diferencia en los isomorfismos de clasificación utilizados. Dado que Cl ₂ ( C ) es isomorfo al álgebra a través de una función C -lineal (que es necesariamente R -lineal), y Cl _3,0 ( R ) es isomorfo al álgebra a través de una función R -lineal, Cl ₂ ( C ) y Cl _3,0 ( R ) son isomorfos al R -álgebra.

A continuación se muestra una tabla de esta clasificación para p + q ≤ 8. Aquí p + q corre verticalmente y p − q corre horizontalmente (por ejemplo, el álgebra Cl _1,3 ( R ) ≅ M ₂ ( H ) se encuentra en la fila 4, columna −2).

Hay una red enredada de simetrías y relaciones en la tabla anterior.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cl} _{p+1,q+1}(\mathbf {R} )&=\mathrm {M} _{2}(\operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} ))\\\operatorname {Cl} _{p+4,q}(\mathbf {R} )&=\operatorname {Cl} _{p,q+4}(\mathbf {R} )\end{aligned}}}$

Recorriendo 4 lugares en cualquier fila se obtiene un álgebra idéntica.

De estas periodicidades de Bott se desprende:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+8,q}(\mathbf {R} )=\operatorname {Cl} _{p+4,q+4}(\mathbf {R} )=M_{2^{4}}(\operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )).}$

Si la firma satisface p − q ≡ 1 (mod 4) entonces

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+k,q}(\mathbf {R} )=\operatorname {Cl} _{p,q+k}(\mathbf {R} ).}$

(La tabla es simétrica respecto de las columnas con firma ..., −7, −3, 1, 5, ...)

Por lo tanto, si la firma satisface p − q ≡ 1 (mod 4) ,

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+k,q}(\mathbf {R} )=\operatorname {Cl} _{p,q+k}(\mathbf {R} )=\operatorname {Cl} _{p-k+k,q+k}(\mathbf {R} )=\mathrm {M} _{2^{k}}(\operatorname {Cl} _{p-k,q}(\mathbf {R} ))=\mathrm {M} _{2^{k}}(\operatorname {Cl} _{p,q-k}(\mathbf {R} )).}$

• Álgebra de Dirac Cl _1,3 ( C )
• Álgebra de Pauli Cl _3,0 ( R )
• Álgebra del espacio-tiempo Cl _1,3 ( R )
• Módulo Clifford
• Representación de espín

• Budinich, Paolo; Trautman, Andrzej (1988). El tablero de ajedrez Spinorial . Springer Verlag. ISBN 978-3-540-19078-3.
• Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (2016). Geometría del espín. Princeton Mathematical Series. Vol. 38. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-8391-2.
• Porteous, Ian R. (1995). Álgebras de Clifford y grupos clásicos . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 50. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55177-9.