Hoja (geometría)

Producto exterior de vectores

En el estudio de las álgebras geométricas , una $k$ -cuchilla o un $k$ -vector simple es una generalización del concepto de escalares y vectores para incluir bivectores simples , trivectores , etc. Específicamente, una $k$ -cuchilla es un $k$ -vector que puede expresarse como el producto exterior (informalmente producto cuña ) de 1-vectores, y es de grado $k$ .

En detalle: ^[1]

Una hoja 0 es un escalar .
Una hoja de 1 es un vector . Todo vector es simple.
Un bipala es un bivector simple . Las sumas de dos palas también son bivectores, pero no siempre simples. Un bipala puede expresarse como el producto en cuña de dos vectores $a$ y $b$ :
$a\cuña b.$
Un tri-álabe es un trivector simple, es decir, puede expresarse como el producto en cuña de tres vectores $a$ , $b$ y $c$ :
$a\cuña b\cuña c.$
En un espacio vectorial de dimensión $n$ , una hoja de grado $n - 1$ se denomina pseudovector^[2] o antivector^[3] .
El elemento de mayor grado en un espacio se llama pseudoescalar , y en un espacio de dimensión $n$ es una $n$ -cuchilla. ^[4]
En un espacio vectorial de dimensión $n$ , hay $k (n - k) + 1$ dimensiones de libertad para elegir una $k$ -pala para $0 \leq k \leq n$ , de las cuales una dimensión es un multiplicador de escala general. ^[5]

Un subespacio vectorial de dimensión finita $k$ puede representarse mediante la $k$ -hoja formada como un producto en cuña de todos los elementos de una base para ese subespacio. ^[6] De hecho, una $k$ -hoja es naturalmente equivalente a un $k$ -subespacio, hasta un factor escalar. Cuando el espacio está dotado de una forma de volumen (una función escalar multilineal alternante $k ), dicha$ $k$ -hoja puede normalizarse para tomar un valor unitario, haciendo que la correspondencia sea única hasta un signo.

Ejemplos

En el espacio bidimensional, los escalares se describen como 0-palas, los vectores son 1-palas y los elementos de área son 2-palas; en este contexto se los conoce como pseudoescalares , ya que son elementos de un espacio unidimensional que es distinto de los escalares regulares.

En el espacio tridimensional, las álabes 0 son escalares y las álabes 1 son vectores tridimensionales, mientras que las álabes 2 son elementos de área orientada. En este caso, las álabes 3 se denominan pseudoescalares y representan elementos de volumen tridimensionales, que forman un espacio vectorial unidimensional similar a los escalares. A diferencia de los escalares, las álabes 3 se transforman de acuerdo con el determinante jacobiano de una función de cambio de coordenadas .

Véase también

Notas

^ Marcos A. Rodrigues (2000). "§1.2 Álgebra geométrica: un esquema". Invariantes para el reconocimiento y clasificación de patrones . World Scientific. p. 3 y siguientes . ISBN 981-02-4278-6.
^ William E Baylis (2004). "§4.2.3 Multivectores de grado superior en Cℓn: duales". Lecciones sobre álgebras (geométricas) de Clifford y aplicaciones . Birkhäuser. pág. 100. ISBN 0-8176-3257-3.
^ Lengyel, Eric (2016). Fundamentos del desarrollo de motores de juegos, volumen 1: matemáticas . Terathon Software LLC. ISBN 978-0-9858117-4-7.
^ John A. Vince (2008). Álgebra geométrica para gráficos por computadora. Springer. pág. 85. ISBN 978-1-84628-996-5.
^ Para los grassmannianos (incluido el resultado sobre la dimensión) un buen libro es: Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, Sr. 1288523. La prueba de la dimensionalidad es realmente sencilla. Tome el producto exterior de $k$ vectores y realice operaciones de columna elementales sobre estos (factorizando los pivotes) hasta que el bloque superior $k$ $\times$ $k$ sean vectores base elementales de . El producto de cuña se parametriza entonces por el producto de los pivotes y el bloque inferior $k$ $\times ($ $n$ $-$ $k$ $)$ . Compárese también con la dimensión de un Grassmanniano , $k$ $($ $n$ $-$ $k$ $)$ , en el que se elimina el multiplicador escalar. $v_{1}\cuña \cdots \cuña v_{k}$ $\mathbb {F} ^{k}$
^ David Hestenes (1999). Nuevos fundamentos para la mecánica clásica: teorías fundamentales de la física. Springer. pág. 54. ISBN 0-7923-5302-1.

Referencias

David Hestenes ; Garret Sobczyk (1987). "Capítulo 1: Álgebra geométrica". Álgebra de Clifford para cálculo geométrico: un lenguaje unificado para matemáticas y física. Springer. pág. 1 y siguientes . ISBN 90-277-2561-6.
Chris Doran y Anthony Lasenby (2003). Álgebra geométrica para físicos. Cambridge University Press. ISBN 0-521-48022-1.
A Lasenby, J Lasenby y R Wareham (2004) Un enfoque covariante para la geometría utilizando álgebra geométrica . Informe técnico. Departamento de Ingeniería de la Universidad de Cambridge, Cambridge, Reino Unido.
R Wareham; J Cameron y J Lasenby (2005). "Aplicaciones del álgebra geométrica conforme a la visión por computadora y los gráficos". En Hongbo Li; Peter J Olver y Gerald Sommer (eds.). Álgebra computacional y álgebra geométrica con aplicaciones . Springer. pág. 329 y siguientes . ISBN . 3-540-26296-2.

Enlaces externos

Una introducción al álgebra geométrica, especialmente para científicos informáticos.

[Rodrigues-1] Marcos A. Rodrigues (2000). "§1.2 Álgebra geométrica: un esquema". Invariantes para el reconocimiento y clasificación de patrones . World Scientific. p. 3 y siguientes . ISBN 981-02-4278-6.

[Baylis01-2] William E Baylis (2004). "§4.2.3 Multivectores de grado superior en Cℓn: duales". Lecciones sobre álgebras (geométricas) de Clifford y aplicaciones . Birkhäuser. pág. 100. ISBN 0-8176-3257-3.

[3] Lengyel, Eric (2016). Fundamentos del desarrollo de motores de juegos, volumen 1: matemáticas . Terathon Software LLC. ISBN 978-0-9858117-4-7.

[Vince-4] John A. Vince (2008). Álgebra geométrica para gráficos por computadora. Springer. pág. 85. ISBN 978-1-84628-996-5.

[5] Para los grassmannianos (incluido el resultado sobre la dimensión) un buen libro es: Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, Sr. 1288523. La prueba de la dimensionalidad es realmente sencilla. Tome el producto exterior de $k$ vectores y realice operaciones de columna elementales sobre estos (factorizando los pivotes) hasta que el bloque superior $k$ $\times$ $k$ sean vectores base elementales de . El producto de cuña se parametriza entonces por el producto de los pivotes y el bloque inferior $k$ $\times ($ $n$ $-$ $k$ $)$ . Compárese también con la dimensión de un Grassmanniano , $k$ $($ $n$ $-$ $k$ $)$ , en el que se elimina el multiplicador escalar. $v_{1}\cuña \cdots \cuña v_{k}$ $\mathbb {F} ^{k}$

[Hestenes-6] David Hestenes (1999). Nuevos fundamentos para la mecánica clásica: teorías fundamentales de la física. Springer. pág. 54. ISBN 0-7923-5302-1.