Orientación (espacio vectorial)

La orientación de un espacio vectorial real o simplemente orientación de un espacio vectorial es la elección arbitraria de qué bases ordenadas están orientadas "positivamente" y cuáles están orientadas "negativamente". En el espacio euclidiano tridimensional , las bases diestras se declaran típicamente orientadas positivamente, pero la elección es arbitraria, ya que también se les puede asignar una orientación negativa. Un espacio vectorial con una orientación seleccionada se denomina espacio vectorial orientado , mientras que uno que no tiene una orientación seleccionada se denominadesorientado​

En matemáticas , la orientabilidad es una noción más amplia que, en dos dimensiones, permite decir cuándo un ciclo gira en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario, y en tres dimensiones cuándo una figura es zurda o diestra. En álgebra lineal sobre los números reales , la noción de orientación tiene sentido en cualquier dimensión finita, y es una especie de asimetría que hace imposible replicar un reflejo mediante un simple desplazamiento . Así, en tres dimensiones, es imposible convertir la mano izquierda de una figura humana en la mano derecha de la figura aplicando solo un desplazamiento, pero sí es posible hacerlo reflejando la figura en un espejo. Como resultado, en el espacio euclidiano tridimensional , las dos posibles orientaciones base se denominan dextrógira y zurda (o dextrógira e izquierdo-quiral).

Sea V un espacio vectorial real de dimensión finita y sean b ₁ y b ₂ dos bases ordenadas para V . Es un resultado estándar en álgebra lineal que existe una única transformación lineal A  : V → V que lleva b ₁ a b ₂ . Se dice que las bases b ₁ y b ₂ tienen la misma orientación (o están orientadas consistentemente) si A tiene determinante positivo ; de lo contrario, tienen orientaciones opuestas . La propiedad de tener la misma orientación define una relación de equivalencia en el conjunto de todas las bases ordenadas para V . Si V no es cero, hay precisamente dos clases de equivalencia determinadas por esta relación. Una orientación en V es una asignación de +1 a una clase de equivalencia y −1 a la otra. ^[1]

Toda base ordenada vive en una u otra clase de equivalencia. Por lo tanto, cualquier elección de una base ordenada privilegiada para V determina una orientación: la clase de orientación de la base privilegiada se declara positiva.

Por ejemplo, la base estándar en R ⁿ proporciona una orientación estándar en R ⁿ (a su vez, la orientación de la base estándar depende de la orientación del sistema de coordenadas cartesianas en el que está construida). Cualquier elección de un isomorfismo lineal entre V y R ⁿ proporcionará entonces una orientación en V .

El orden de los elementos de una base es crucial. Dos bases con un orden diferente se diferenciarán en alguna permutación . Tendrán las mismas orientaciones o ambas, según si la firma de esta permutación es ±1. Esto se debe a que el determinante de una matriz de permutación es igual a la firma de la permutación asociada.

De manera similar, sea A una aplicación lineal no singular del espacio vectorial R ⁿ a R ⁿ . Esta aplicación preserva la orientación si su determinante es positivo. ^[2] Por ejemplo, en R ³ una rotación alrededor del eje cartesiano Z por un ángulo α preserva la orientación: mientras que una reflexión por el plano cartesiano XY no preserva la orientación:$${\displaystyle \mathbf {A} _{1}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix} }}$$$${\displaystyle \mathbf {A} _{2}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}}$$

El concepto de orientación se degenera en el caso de dimensión cero. Un espacio vectorial de dimensión cero tiene un único punto, el vector cero. En consecuencia, la única base de un espacio vectorial de dimensión cero es el conjunto vacío . Por lo tanto, existe una única clase de equivalencia de bases ordenadas, a saber, la clase cuyo único miembro es el conjunto vacío. Esto significa que una orientación de un espacio de dimensión cero es una función. Por lo tanto, es posible orientar un punto de dos maneras diferentes, positiva y negativa.${\displaystyle \conjunto vacío}$${\displaystyle \{\conjunto vacío \}}$$${\displaystyle \{\{\conjunto vacío \}\}\to \{\pm 1\}.}$$

Como solo hay una única base ordenada , un espacio vectorial de dimensión cero es lo mismo que un espacio vectorial de dimensión cero con base ordenada. Elegir o por lo tanto elige una orientación de cada base de cada espacio vectorial de dimensión cero. Si a todos los espacios vectoriales de dimensión cero se les asigna esta orientación, entonces, como todos los isomorfismos entre espacios vectoriales de dimensión cero preservan la base ordenada, también preservan la orientación. Esto es diferente del caso de los espacios vectoriales de dimensión superior donde no hay forma de elegir una orientación para que se preserve bajo todos los isomorfismos.${\displaystyle \conjunto vacío}$${\displaystyle \{\emptyset \}\mapsto +1}$${\displaystyle \{\emptyset \}\mapsto -1}$

Sin embargo, hay situaciones en las que es deseable dar orientaciones diferentes a puntos diferentes. Por ejemplo, considere el teorema fundamental del cálculo como un ejemplo del teorema de Stokes . Un intervalo cerrado [ a , b ] es una variedad unidimensional con borde , y su borde es el conjunto { a , b } . Para obtener el enunciado correcto del teorema fundamental del cálculo, el punto b debe estar orientado positivamente, mientras que el punto a debe estar orientado negativamente.

El caso unidimensional se ocupa de una línea orientada o una línea dirigida , que puede recorrerse en una de dos direcciones. En el espacio de coordenadas real , una línea orientada también se conoce como eje . ^[3] Hay dos orientaciones para una línea , al igual que hay dos orientaciones para un círculo orientado (en el sentido de las agujas del reloj y en el sentido contrario a las agujas del reloj). Una línea orientada semiinfinita se denomina rayo . En el caso de un segmento de línea (un subconjunto conectado de una línea), las dos orientaciones posibles dan como resultado segmentos de línea dirigidos .

A veces, una superficie orientable tiene la orientación seleccionada indicada por la orientación de una normal de superficie . Un plano orientado puede definirse mediante un pseudovector .

Para cualquier espacio vectorial real n -dimensional V podemos formar la k- ésima potencia exterior de V , denotada Λ ^k V . Este es un espacio vectorial real de dimensión . El espacio vectorial Λ ⁿ V (llamado la potencia exterior superior ) por lo tanto tiene dimensión 1. Es decir, Λ ⁿ V es simplemente una línea real. No hay una elección a priori de qué dirección en esta línea es positiva. Una orientación es simplemente una elección de ese tipo. Cualquier forma lineal distinta de cero ω en Λ ⁿ V determina una orientación de V al declarar que x está en la dirección positiva cuando ω ( x ) > 0. Para conectar con el punto de vista de la base decimos que las bases orientadas positivamente son aquellas en las que ω evalúa a un número positivo (ya que ω es una n -forma podemos evaluarla en un conjunto ordenado de n vectores, dando un elemento de R ). La forma ω se llama forma de orientación . Si { e _i } es una base privilegiada para V y { e _i ^∗ } es la base dual , entonces la forma de orientación que da la orientación estándar es e ₁ ^∗ ∧ e ₂ ^∗ ∧ … ∧ e _n ^∗ .${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

La conexión de esto con el punto de vista determinante es: el determinante de un endomorfismo puede interpretarse como la acción inducida sobre la potencia exterior superior.${\displaystyle T:V\a V}$

Sea B el conjunto de todas las bases ordenadas para V . Entonces el grupo lineal general GL( V ) actúa libre y transitivamente sobre B . (En lenguaje sofisticado, B es un GL( V )- torsor ). Esto significa que como variedad , B es (no canónicamente) homeomorfo a GL( V ). Nótese que el grupo GL( V ) no es conexo , sino que tiene dos componentes conexos según si el determinante de la transformación es positivo o negativo (excepto para GL ₀ , que es el grupo trivial y por lo tanto tiene un único componente conexo; esto corresponde a la orientación canónica en un espacio vectorial de dimensión cero). El componente identidad de GL( V ) se denota GL ⁺ ( V ) y consiste en aquellas transformaciones con determinante positivo. La acción de GL ⁺ ( V ) sobre B no es transitiva: hay dos órbitas que corresponden a los componentes conexos de B . Estas órbitas son precisamente las clases de equivalencia a las que se hizo referencia anteriormente. Como B no tiene un elemento distinguido (es decir, una base privilegiada), no hay una elección natural de qué componente es positivo. Contrastemos esto con GL( V ), que sí tiene un componente privilegiado: el componente de la identidad. Una elección específica de homeomorfismo entre B y GL( V ) es equivalente a una elección de una base privilegiada y, por lo tanto, determina una orientación.

Más formalmente: , y la variedad Stiefel de n -marcos en es un - torsor , entonces es un torsor sobre , es decir, sus 2 puntos, y la elección de uno de ellos es una orientación.${\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {GL} (V))=(\operatorname {GL} (V)/\operatorname {GL} ^{+}(V)=\{\pm 1\} }$${\estilo de visualización V}$${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$${\displaystyle V_{n}(V)/\operatorname {GL} ^{+}(V)}$${\estilo de visualización \{\pm 1\}}$

Los diversos objetos del álgebra geométrica están dotados de tres atributos o características : actitud, orientación y magnitud. ^[5] Por ejemplo, un vector tiene una actitud dada por una línea recta paralela a él, una orientación dada por su sentido (a menudo indicado por una punta de flecha) y una magnitud dada por su longitud. De manera similar, un bivector en tres dimensiones tiene una actitud dada por la familia de planos asociados a él (posiblemente especificada por la línea normal común a estos planos ^[6] ), una orientación (a veces denotada por una flecha curva en el plano) que indica una elección del sentido de recorrido de su límite (su circulación ), y una magnitud dada por el área del paralelogramo definido por sus dos vectores. ^[7]

Cada punto p de una variedad diferenciable n -dimensional tiene un espacio tangente T _p M que es un espacio vectorial real n -dimensional. A cada uno de estos espacios vectoriales se le puede asignar una orientación. Algunas orientaciones "varían suavemente" de un punto a otro. Debido a ciertas restricciones topológicas , esto no siempre es posible. Una variedad que admite una elección suave de orientaciones para sus espacios tangentes se dice que es orientable .

• Sistema de coordenadas cartesianas  : sistema de coordenadas más común (geometría)
• Quiralidad (matemáticas)  : Propiedad de un objeto que no es congruente con su imagen especular.
• Permutaciones pares e impares  : propiedad de la teoría de gruposPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Orientación de un fibrado vectorial  – Generalización de una orientación de un espacio vectorial
• Pseudovector  : Cantidad física que cambia de signo con una rotación incorrecta
• Formalismos de rotación en tres dimensiones  – Formas de representar rotaciones 3D
• Regla de la mano derecha  : Mnemotécnico para comprender la orientación de los vectores en el espacio 3D
• Convención de signos  : significado acordado de que una cantidad física es positiva o negativa

• "Orientación", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]