Operador estrella de Hodge

En matemáticas , el operador de estrella de Hodge o estrella de Hodge es una función lineal definida en el álgebra exterior de un espacio vectorial orientado de dimensión finita dotado de una forma bilineal simétrica no degenerada . La aplicación del operador a un elemento del álgebra produce el dual de Hodge del elemento. Esta función fue introducida por WVD Hodge .

Por ejemplo, en un espacio euclidiano tridimensional orientado, un plano orientado puede representarse por el producto exterior de dos vectores base, y su dual de Hodge es el vector normal dado por su producto vectorial ; a la inversa, cualquier vector es dual del plano orientado perpendicular a él, dotado de un bivector adecuado. Generalizando esto a un espacio vectorial n -dimensional, la estrella de Hodge es una aplicación biunívoca de k -vectores a ( n – k ) -vectores; las dimensiones de estos espacios son los coeficientes binomiales .${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}={\tbinom {n}{nk}}}$

La naturalidad del operador estrella significa que puede desempeñar un papel en la geometría diferencial, cuando se aplica al fibrado cotangente de una variedad pseudo-riemanniana , y por lo tanto a las k -formas diferenciales . Esto permite la definición del codiferencial como el adjunto de Hodge de la derivada exterior , lo que conduce al operador de Laplace-de Rham . Esto generaliza el caso del espacio euclidiano tridimensional, en el que la divergencia de un campo vectorial puede realizarse como el codiferencial opuesto al operador de gradiente , y el operador de Laplace en una función es la divergencia de su gradiente. Una aplicación importante es la descomposición de Hodge de formas diferenciales en una variedad riemanniana cerrada .

Sea V un espacio vectorial orientado de dimensión n con una forma bilineal simétrica no degenerada , denominada aquí como un producto interno. (En contextos más generales, como las variedades pseudo-riemannianas y el espacio de Minkowski , la forma bilineal puede no ser positiva). Esto induce un producto interno en k -vectores , para , al definirlo en k -vectores descomponibles y para que sea igual al determinante de Gram ^{[1] : 14} ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\textstyle \alpha ,\beta \en \bigwedge ^{\!k}V}$${\displaystyle 0\leq k\leq n}$${\displaystyle \alpha =\alpha _{1}\cuña \cdots \cuña \alpha _{k}}$${\displaystyle \beta =\beta _{1}\wedge \cdots \wedge \beta _{k}}$

${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle =\det \left(\left\langle \alpha _ {i},\beta _ {j}\right\rangle _ {i,j=1}^{k }\bien)}$

extendido a través de la linealidad.${\textstyle \bigwedge ^{\!k}V}$

El vector unitario n se define en términos de una base ortonormal orientada de V como:${\displaystyle \omega \in {\textstyle \bigwedge }^{\!n}V}$ ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$

${\displaystyle \omega :=e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n}.}$

(Nota: En el caso pseudo-riemanniano general, la ortonormalidad significa para todos los pares de vectores base). El operador de estrella de Hodge es un operador lineal en el álgebra exterior de V , que asigna k -vectores a ( n – k )-vectores, para . Tiene la siguiente propiedad, que lo define completamente: ^{[1] : 15}${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle \in \{\delta _{ij},-\delta _{ij}\}}$${\displaystyle 0\leq k\leq n}$

${\displaystyle \alpha \wedge ({\star }\beta )=\langle \alpha ,\beta \rangle \,\omega }$ para todos los k -vectores${\displaystyle \alpha ,\beta \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}V.}$

Dualmente, en el espacio de n -formas ( funciones n -multilineales alternantes en ), el dual to es la forma de volumen , la función cuyo valor en es el determinante de la matriz ensamblada a partir de los vectores columna de en coordenadas. Aplicando a la ecuación anterior, obtenemos la definición dual:${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!n}V^{*}}$$Estilo de visualización V^{n}}$${\estilo de visualización \omega}$ ${\estilo de visualización \det}$${\displaystyle v_{1}\cuña \cdots \cuña v_{n}}$${\displaystyle n\veces n}$${\displaystyle v_{j}}$$Estilo de visualización e_i$${\estilo de visualización \det}$

${\displaystyle \det(\alpha \wedge {\star }\beta )=\langle \alpha ,\beta \rangle }$para todos los k -vectores${\displaystyle \alpha ,\beta \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}V.}$

De manera equivalente, tomando , y :${\displaystyle \alpha =\alpha _{1}\cuña \cdots \cuña \alpha _{k}}$${\displaystyle \beta =\beta _{1}\wedge \cdots \wedge \beta _{k}}$${\displaystyle \star \beta =\beta _{1}^{\star }\wedge \cdots \wedge \beta _{n-k}^{\star }}$

${\displaystyle \det \left(\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}\wedge \beta _{1}^{\star }\wedge \cdots \wedge \beta _{n-k}^{\star }\right)\ =\ \det \left(\langle \alpha _{i},\beta _{j}\rangle \right).}$

Esto significa que, escribiendo una base ortonormal de k -vectores como sobre todos los subconjuntos de , el dual de Hodge es el ( n – k )-vector correspondiente al conjunto complementario :${\displaystyle e_{I}\ =\ e_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}}$${\displaystyle I=\{i_{1}<\cdots <i_{k}\}}$${\displaystyle [n]=\{1,\ldots ,n\}}$${\displaystyle {\bar {I}}=[n]\setminus I=\left\{{\bar {i}}_{1}<\cdots <{\bar {i}}_{n-k}\right\}}$

${\displaystyle {\star }e_{I}=s\cdot t\cdot e_{\bar {I}},}$

donde es el signo de la permutación y es el producto . En el caso riemanniano, .${\displaystyle s\in \{1,-1\}}$${\displaystyle i_{1}\cdots i_{k}{\bar {i}}_{1}\cdots {\bar {i}}_{n-k}}$${\displaystyle t\in \{1,-1\}}$${\displaystyle \langle e_{i_{1}},e_{i_{1}}\rangle \cdots \langle e_{i_{k}},e_{i_{k}}\rangle }$${\displaystyle t=1}$

Dado que la estrella de Hodge toma una base ortonormal a una base ortonormal, es una isometría en el álgebra exterior .${\textstyle \bigwedge V}$

La estrella de Hodge está motivada por la correspondencia entre un subespacio W de V y su subespacio ortogonal (con respecto al producto interior), donde cada espacio está dotado de una orientación y un factor de escala numérico. En concreto, un k -vector descomponible distinto de cero se corresponde por la incrustación de Plücker con el subespacio con base orientada , dotado de un factor de escala igual al volumen k -dimensional del paralelepípedo generado por esta base (igual al Gramiano , el determinante de la matriz de productos interiores ). La estrella de Hodge que actúa sobre un vector descomponible puede escribirse como un ( n − k )-vector descomponible:${\displaystyle w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}\in \textstyle \bigwedge ^{\!k}V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{k}}$${\displaystyle \langle w_{i},w_{j}\rangle }$

${\displaystyle \star (w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k})\,=\,u_{1}\wedge \cdots \wedge u_{n-k},}$

donde forman una base orientada del espacio ortogonal . Además, el ( n − k )-volumen del -paralelepípedo debe ser igual al k -volumen del -paralelepípedo, y debe formar una base orientada de .${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n-k}}$ ${\displaystyle U=W^{\perp }\!}$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{k},u_{1},\ldots ,u_{n-k}}$${\displaystyle V}$

Un k -vector general es una combinación lineal de k -vectores descomponibles, y la definición de estrella de Hodge se extiende a los k -vectores generales al definirla como lineal.

En dos dimensiones con la métrica euclidiana normalizada y la orientación dada por el ordenamiento ( x , y ) , la estrella de Hodge en k -formas viene dada por$${\displaystyle {\begin{aligned}{\star }\,1&=dx\wedge dy\\{\star }\,dx&=dy\\{\star }\,dy&=-dx\\{\star }(dx\wedge dy)&=1.\end{aligned}}}$$

En el plano complejo considerado como un espacio vectorial real con la forma sesquilínea estándar como métrica, la estrella de Hodge tiene la notable propiedad de ser invariante ante cambios holomorfos de coordenadas. Si z = x + iy es una función holomorfa de w = u + iv , entonces por las ecuaciones de Cauchy–Riemann tenemos que ⁠∂ x/∂ tu⁠ = ⁠∂ y/∂ en⁠ y ⁠∂ y/∂ tu⁠ = − ⁠∂ x/∂ en⁠ . En las nuevas coordenadas de manera que se demuestre la invariancia reclamada.$${\displaystyle \alpha \ =\ p\,dx+q\,dy\ =\ \left(p{\frac {\partial x}{\partial u}}+q{\frac {\partial y}{\partial u}}\right)\,du+\left(p{\frac {\partial x}{\partial v}}+q{\frac {\partial y}{\partial v}}\right)\,dv\ =\ p_{1}\,du+q_{1}\,dv,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\star }\alpha &=-q_{1}\,du+p_{1}\,dv\\[4pt]&=-\left(p{\frac {\partial x}{\partial v}}+q{\frac {\partial y}{\partial v}}\right)du+\left(p{\frac {\partial x}{\partial u}}+q{\frac {\partial y}{\partial u}}\right)dv\\[4pt]&=-q\left({\frac {\partial y}{\partial v}}du-{\frac {\partial y}{\partial u}}dv\right)+p\left(-{\frac {\partial x}{\partial v}}du+{\frac {\partial x}{\partial u}}dv\right)\\[4pt]&=-q\left({\frac {\partial x}{\partial u}}du+{\frac {\partial x}{\partial v}}dv\right)+p\left({\frac {\partial y}{\partial u}}du+{\frac {\partial y}{\partial v}}dv\right)\\[4pt]&=-q\,dx+p\,dy,\end{aligned}}}$$

Un ejemplo común del operador de estrella de Hodge es el caso n = 3 , cuando se puede tomar como la correspondencia entre vectores y bivectores. Específicamente, para el R ³ euclidiano con la base de las formas unitarias que se usan a menudo en el cálculo vectorial , se encuentra que${\displaystyle dx,dy,dz}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\star }\,dx&=dy\wedge dz\\{\star }\,dy&=dz\wedge dx\\{\star }\,dz&=dx\wedge dy.\end{aligned}}}$$

La estrella de Hodge relaciona el producto exterior y vectorial en tres dimensiones: ^[2] Aplicada a tres dimensiones, la estrella de Hodge proporciona un isomorfismo entre vectores axiales y bivectores , por lo que cada vector axial a está asociado a un bivector A y viceversa, es decir: ^[2] .$${\displaystyle {\star }(\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )=\mathbf {u} \times \mathbf {v} \qquad {\star }(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} .}$$ ${\displaystyle \mathbf {A} ={\star }\mathbf {a} ,\ \ \mathbf {a} ={\star }\mathbf {A} }$

La estrella de Hodge también puede interpretarse como una forma de la correspondencia geométrica entre un eje de rotación y una rotación infinitesimal (ver también: grupo de rotación 3D#álgebra de Lie ) alrededor del eje, con velocidad igual a la longitud del eje de rotación. Un producto interno en un espacio vectorial da un isomorfismo que se identifica con su espacio dual , y el espacio vectorial es naturalmente isomorfo al producto tensorial . Así, para , la aplicación en estrella lleva cada vector a un bivector , que corresponde a un operador lineal . Específicamente, es un operador antisimétrico , que corresponde a una rotación infinitesimal: es decir, las rotaciones macroscópicas alrededor del eje están dadas por la matriz exponencial . Con respecto a la base de , el tensor corresponde a una matriz de coordenadas con 1 en la fila y la columna, etc., y la cuña es la matriz antisimétrica , etc. Es decir, podemos interpretar el operador estrella como: Bajo esta correspondencia, el producto vectorial de los vectores corresponde al conmutador corchete de Lie de los operadores lineales: .${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V\cong V^{*}\!}$${\displaystyle V}$${\displaystyle L(V,V)}$ ${\displaystyle V^{*}\!\!\otimes V\cong V\otimes V}$${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}}$${\textstyle \textstyle \star \colon V\to \bigwedge ^{\!2}\!V\subset V\otimes V}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \star \mathbf {v} \in V\otimes V}$${\displaystyle L_{\mathbf {v} }\colon V\to V}$${\displaystyle L_{\mathbf {v} }}$${\displaystyle \mathbb {v} }$ ${\displaystyle \exp(tL_{\mathbf {v} })}$${\displaystyle dx,dy,dz}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle dx\otimes dy}$${\displaystyle dx}$${\displaystyle dy}$${\displaystyle dx\wedge dy\,=\,dx\otimes dy-dy\otimes dx}$${\displaystyle \scriptscriptstyle \left[{\begin{array}{rrr}\,0\!\!&\!\!1&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\\[-.5em]\,\!-1\!\!&\!\!0\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\\[-.5em]\,0\!\!&\!\!0\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\end{array}}\!\!\!\right]}$$${\displaystyle \mathbf {v} =a\,dx+b\,dy+c\,dz\quad \longrightarrow \quad \star {\mathbf {v} }\ \cong \ L_{\mathbf {v} }\ =\left[{\begin{array}{rrr}0&c&-b\\-c&0&a\\b&-a&0\end{array}}\right].}$$${\displaystyle L_{\mathbf {u} \times \mathbf {v} }=L_{\mathbf {v} }L_{\mathbf {u} }-L_{\mathbf {u} }L_{\mathbf {v} }=-\left[L_{\mathbf {u} },L_{\mathbf {v} }\right]}$

En el caso , la estrella de Hodge actúa como un endomorfismo de la segunda potencia exterior (es decir, asigna 2-formas a 2-formas, ya que 4 − 2 = 2 ). Si la firma del tensor métrico es toda positiva, es decir, en una variedad riemanniana , entonces la estrella de Hodge es una involución . Si la firma es mixta, es decir, pseudo-riemanniana , entonces aplicar el operador dos veces devolverá el argumento hasta un signo – vea § Dualidad a continuación. Esta propiedad particular del endomorfismo de las 2-formas en cuatro dimensiones hace que las dos formas auto-duales y anti-auto-duales sean objetos geométricos naturales para estudiar. Es decir, uno puede describir el espacio de 2-formas en cuatro dimensiones con una base que "diagonaliza" el operador de estrella de Hodge con valores propios (o , dependiendo de la firma).${\displaystyle n=4}$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle \pm i}$

Para ser más concretos, analizamos el operador de estrella de Hodge en el espacio-tiempo de Minkowski donde con signatura métrica (− + + +) y coordenadas . La forma de volumen está orientada como . Para las formas unidimensionales , mientras que para las formas bidimensionales ,${\displaystyle n=4}$${\displaystyle (t,x,y,z)}$${\displaystyle \varepsilon _{0123}=1}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\star dt&=-dx\wedge dy\wedge dz\,,\\\star dx&=-dt\wedge dy\wedge dz\,,\\\star dy&=-dt\wedge dz\wedge dx\,,\\\star dz&=-dt\wedge dx\wedge dy\,,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\star (dt\wedge dx)&=-dy\wedge dz\,,\\\star (dt\wedge dy)&=-dz\wedge dx\,,\\\star (dt\wedge dz)&=-dx\wedge dy\,,\\\star (dx\wedge dy)&=dt\wedge dz\,,\\\star (dz\wedge dx)&=dt\wedge dy\,,\\\star (dy\wedge dz)&=dt\wedge dx\,.\end{aligned}}}$$

Estos se resumen en la notación de índice como$${\displaystyle {\begin{aligned}\star (dx^{\mu })&=\eta ^{\mu \lambda }\varepsilon _{\lambda \nu \rho \sigma }{\frac {1}{3!}}dx^{\nu }\wedge dx^{\rho }\wedge dx^{\sigma }\,,\\\star (dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })&=\eta ^{\mu \kappa }\eta ^{\nu \lambda }\varepsilon _{\kappa \lambda \rho \sigma }{\frac {1}{2!}}dx^{\rho }\wedge dx^{\sigma }\,.\end{aligned}}}$$

El dual de Hodge de tres y cuatro formas se puede deducir fácilmente del hecho de que, en la signatura de Lorentz, para las formas de rango impar y para las formas de rango par. Una regla fácil de recordar para estas operaciones de Hodge es que, dada una forma , su dual de Hodge se puede obtener escribiendo los componentes no involucrados en en un orden tal que . ^{[ verificación necesaria ]} Se ingresará un signo menos adicional solo si contiene . (Para (+ − − −) , se coloca un signo menos solo si implica un número impar de las formas asociadas al espacio , y .)${\displaystyle (\star )^{2}=1}$${\displaystyle (\star )^{2}=-1}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\star }\alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha \wedge (\star \alpha )=dt\wedge dx\wedge dy\wedge dz}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle dt}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle dx}$${\displaystyle dy}$${\displaystyle dz}$

Obsérvese que las combinaciones toman como valor propio el operador de estrella de Hodge, es decir, y por lo tanto merecen el nombre de dos formas autoduales y antiautoduales. Comprender la geometría, o cinemática, del espacio-tiempo de Minkowski en los sectores autoduales y antiautoduales resulta esclarecedor tanto desde una perspectiva matemática como física , y establece contactos con el uso del lenguaje de dos espinores en la física moderna, como el formalismo de espinor-helicidad o la teoría de twistores .$${\displaystyle (dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })^{\pm }:={\frac {1}{2}}{\big (}dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }\mp i\star (dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }){\big )}}$$${\displaystyle \pm i}$$${\displaystyle \star (dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })^{\pm }=\pm i(dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })^{\pm },}$$

La estrella de Hodge es invariante conformemente en n formas en un espacio vectorial de dimensión 2n V, es decir, si es una métrica en y , entonces las estrellas de Hodge inducidas son las mismas. ${\displaystyle g}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \lambda >0}$$${\displaystyle \star _{g},\star _{\lambda g}\colon \Lambda ^{n}V\to \Lambda ^{n}V}$$

La combinación del operador y la derivada exterior d genera los operadores clásicos grad , curl y div en cuerpos vectoriales en el espacio euclidiano tridimensional. Esto funciona de la siguiente manera: d toma una forma 0 (una función) a una forma 1, una forma 1 a una forma 2 y una forma 2 a una forma 3 (y toma una forma 3 a cero). Para una forma 0 , el primer caso escrito en componentes da:${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle f=f(x,y,z)}$$${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,dy+{\frac {\partial f}{\partial z}}\,dz.}$$

El producto interno identifica 1-formas con campos vectoriales como , etc., por lo que se convierte en .${\displaystyle dx\mapsto (1,0,0)}$${\displaystyle df}$${\textstyle \operatorname {grad} f=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)}$

En el segundo caso, un campo vectorial corresponde a la 1-forma , que tiene derivada exterior:${\displaystyle \mathbf {F} =(A,B,C)}$${\displaystyle \varphi =A\,dx+B\,dy+C\,dz}$$${\displaystyle d\varphi =\left({\frac {\partial C}{\partial y}}-{\frac {\partial B}{\partial z}}\right)dy\wedge dz+\left({\frac {\partial C}{\partial x}}-{\frac {\partial A}{\partial z}}\right)dx\wedge dz+\left({\partial B \over \partial x}-{\frac {\partial A}{\partial y}}\right)dx\wedge dy.}$$

La aplicación de la estrella de Hodge da la forma 1: que se convierte en el campo vectorial .$${\displaystyle \star d\varphi =\left({\partial C \over \partial y}-{\partial B \over \partial z}\right)\,dx-\left({\partial C \over \partial x}-{\partial A \over \partial z}\right)\,dy+\left({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial y}\right)\,dz,}$$${\textstyle \operatorname {curl} \mathbf {F} =\left({\frac {\partial C}{\partial y}}-{\frac {\partial B}{\partial z}},\,-{\frac {\partial C}{\partial x}}+{\frac {\partial A}{\partial z}},\,{\frac {\partial B}{\partial x}}-{\frac {\partial A}{\partial y}}\right)}$

En el tercer caso, corresponde nuevamente a . Aplicando nuevamente la estrella de Hodge, la derivada exterior y la estrella de Hodge:${\displaystyle \mathbf {F} =(A,B,C)}$${\displaystyle \varphi =A\,dx+B\,dy+C\,dz}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\star \varphi &=A\,dy\wedge dz-B\,dx\wedge dz+C\,dx\wedge dy,\\d{\star \varphi }&=\left({\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}\right)dx\wedge dy\wedge dz,\\\star d{\star \varphi }&={\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}=\operatorname {div} \mathbf {F} .\end{aligned}}}$$

Una ventaja de esta expresión es que la identidad d ² = 0 , que es verdadera en todos los casos, tiene como casos especiales otras dos identidades: 1) curl grad f = 0 , y 2) div curl F = 0 . En particular, las ecuaciones de Maxwell toman una forma particularmente simple y elegante, cuando se expresan en términos de la derivada exterior y la estrella de Hodge. La expresión (multiplicada por una potencia apropiada de -1) se llama codiferencial ; se define en generalidad completa, para cualquier dimensión, más adelante en el artículo siguiente.${\displaystyle \star d\star }$

También se puede obtener el Laplaciano Δ f  = div grad  f en términos de las operaciones anteriores:$${\displaystyle \Delta f=\star d{\star df}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$$

El laplaciano también puede verse como un caso especial del operador más general de Laplace-deRham donde es el codiferencial para las formas . Cualquier función es una forma 0, y y por lo tanto esto se reduce al laplaciano ordinario. Para la forma 1 anterior, el codiferencial es y después de algunos cálculos sencillos se obtiene el laplaciano que actúa sobre .${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}$${\displaystyle \delta =(-1)^{k}\star d\star }$${\displaystyle k}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \delta f=0}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \delta =-\star d\star }$${\displaystyle \varphi }$

La aplicación de la estrella de Hodge dos veces deja un vector k sin cambios, excepto posiblemente por su signo: porque en un espacio n -dimensional V , uno tiene${\displaystyle \eta \in {\textstyle \bigwedge }^{k}V}$

${\displaystyle {\star }{\star }\eta =(-1)^{k(n-k)}s\,\eta ,}$

donde s es la paridad de la signatura del producto interno en V , es decir, el signo del determinante de la matriz del producto interno con respecto a cualquier base. Por ejemplo, si n = 4 y la signatura del producto interno es (+ − − −) o (− + + +) entonces s = −1 . Para las variedades de Riemann (incluidos los espacios euclidianos), siempre tenemos s = 1 .

La identidad anterior implica que la inversa de se puede dar como${\displaystyle \star }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\star }^{-1}:~{\textstyle \bigwedge }^{\!k}V&\to {\textstyle \bigwedge }^{\!n-k}V\\\eta &\mapsto (-1)^{k(n-k)}\!s\,{\star }\eta \end{aligned}}}$

Si n es impar entonces k ( n − k ) es par para cualquier k , mientras que si n es par entonces k ( n − k ) tiene la paridad de k . Por lo tanto:

${\displaystyle {\star }^{-1}={\begin{cases}s\,{\star }&n{\text{ is odd}}\\(-1)^{k}s\,{\star }&n{\text{ is even}}\end{cases}}}$

donde k es el grado del elemento sobre el que se opera.

Para una variedad pseudo-riemanniana orientada n -dimensional M , aplicamos la construcción anterior a cada espacio cotangente y sus potencias exteriores , y por lo tanto a las k -formas diferenciales , las secciones globales del fibrado . La métrica riemanniana induce un producto interno en en cada punto . Definimos el dual de Hodge de una k -forma , definiendo como la única ( n – k )-forma que satisface para cada k -forma , donde es una función de valor real en , y la forma de volumen es inducida por la métrica pseudo-riemanniana. Integrando esta ecuación sobre , el lado derecho se convierte en el producto interno ( integrable al cuadrado ) en k -formas , y obtenemos: ${\displaystyle {\text{T}}_{p}^{*}M}$${\textstyle \bigwedge ^{k}{\text{T}}_{p}^{*}M}$ ${\textstyle \zeta \in \Omega ^{k}(M)=\Gamma \left(\bigwedge ^{k}{\text{T}}^{*}\!M\right)}$ ${\textstyle \bigwedge ^{k}\mathrm {T} ^{*}\!M\to M}$${\textstyle \bigwedge ^{k}{\text{T}}_{p}^{*}M}$${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle {\star }\zeta }$$${\displaystyle \eta \wedge {\star }\zeta \ =\ \langle \eta ,\zeta \rangle \,\omega }$$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \langle \eta ,\zeta \rangle }$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle M}$${\displaystyle L^{2}}$$${\displaystyle \int _{M}\eta \wedge {\star }\zeta \ =\ \int _{M}\langle \eta ,\zeta \rangle \ \omega .}$$

De manera más general, si no es orientable, se puede definir la estrella de Hodge de forma k como una forma pseudo diferencial ( n – k ) ; es decir, una forma diferencial con valores en el fibrado lineal canónico .${\displaystyle M}$

Calculamos en términos de notación de índice tensorial con respecto a una base (no necesariamente ortonormal) en un espacio tangente y su base dual en , que tiene la matriz métrica y su matriz inversa . El dual de Hodge de una forma k descomponible es:${\textstyle \left\{{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right\}}$${\displaystyle V=T_{p}M}$${\displaystyle \{dx_{1},\ldots ,dx_{n}\}}$${\displaystyle V^{*}=T_{p}^{*}M}$${\textstyle (g_{ij})=\left(\left\langle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}},{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right\rangle \right)}$${\displaystyle (g^{ij})=(\langle dx^{i},dx^{j}\rangle )}$$${\displaystyle \star \left(dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}\right)\ =\ {\frac {\sqrt {\left|\det[g_{ij}]\right|}}{(n-k)!}}g^{i_{1}j_{1}}\cdots g^{i_{k}j_{k}}\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}dx^{j_{k+1}}\wedge \dots \wedge dx^{j_{n}}.}$$

Aquí está el símbolo de Levi-Civita con , y tomamos implícitamente la suma sobre todos los valores de los índices repetidos . El factorial tiene en cuenta el doble conteo y no está presente si los índices de suma están restringidos de modo que . El valor absoluto del determinante es necesario ya que puede ser negativo, como para los espacios tangentes a las variedades lorentzianas .${\displaystyle \varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}}$${\displaystyle \varepsilon _{1\dots n}=1}$${\displaystyle j_{1},\ldots ,j_{n}}$${\displaystyle (n-k)!}$${\displaystyle j_{k+1}<\dots <j_{n}}$

Una forma diferencial arbitraria se puede escribir de la siguiente manera:$${\displaystyle \alpha \ =\ {\frac {1}{k!}}\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}\ =\ \sum _{i_{1}<\dots <i_{k}}\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}.}$$

El factorial se incluye nuevamente para tener en cuenta el doble conteo cuando permitimos índices no crecientes. Nos gustaría definir el dual del componente de modo que el dual de Hodge de la forma esté dado por${\displaystyle k!}$${\displaystyle \alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}}$$${\displaystyle \star \alpha ={\frac {1}{(n-k)!}}(\star \alpha )_{i_{k+1},\dots ,i_{n}}dx^{i_{k+1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{n}}.}$$

Utilizando la expresión anterior para el dual de Hodge de , encontramos: ^[3]${\displaystyle dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}}$$${\displaystyle (\star \alpha )_{j_{k+1},\dots ,j_{n}}={\frac {\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}{k!}}\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}\,g^{i_{1}j_{1}}\cdots g^{i_{k}j_{k}}\,\varepsilon _{j_{1},\dots ,j_{n}}\,.}$$

Aunque se puede aplicar esta expresión a cualquier tensor , el resultado es antisimétrico, ya que la contracción con el símbolo de Levi-Civita, completamente antisimétrico, cancela todo el tensor excepto la parte totalmente antisimétrica. Por lo tanto, es equivalente a la antisimetrización seguida de la aplicación de la estrella de Hodge.${\displaystyle \alpha }$

La forma de unidad de volumen viene dada por:${\textstyle \omega =\star 1\in \bigwedge ^{n}V^{*}}$$${\displaystyle \omega ={\sqrt {\left|\det[g_{ij}]\right|}}\;dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}.}$$

La aplicación más importante de la estrella de Hodge en variedades es definir la codiferencialidad en las formas . Sea donde es la derivada o diferencial exterior, y para variedades de Riemann. Entonces, mientras${\displaystyle \delta }$${\displaystyle k}$$${\displaystyle \delta =(-1)^{n(k+1)+1}s\ {\star }d{\star }=(-1)^{k}\,{\star }^{-1}d\,{\star }}$$${\displaystyle d}$${\displaystyle s=1}$$${\displaystyle d:\Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k+1}(M)}$$$${\displaystyle \delta :\Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k-1}(M).}$$

La codiferencial no es una antiderivada del álgebra exterior, a diferencia de la derivada exterior.

El codiferencial es el adjunto de la derivada exterior con respecto al producto interior integrable al cuadrado: donde es una -forma y una -forma. Esta propiedad es útil ya que puede usarse para definir el codiferencial incluso cuando la variedad no es orientable (y el operador de estrella de Hodge no está definido). La identidad puede demostrarse a partir del teorema de Stokes para formas suaves: siempre que tenga un límite vacío, o o tenga valores de límite cero. (La definición adecuada de lo anterior requiere especificar un espacio vectorial topológico que sea cerrado y completo en el espacio de formas suaves. El espacio de Sobolev se usa convencionalmente; permite que la secuencia convergente de formas (como ) se intercambie con las operaciones diferenciales e integrales combinadas, de modo que y lo mismo para secuencias que convergen a ).$${\displaystyle \langle \!\langle \eta ,\delta \zeta \rangle \!\rangle \ =\ \langle \!\langle d\eta ,\zeta \rangle \!\rangle ,}$$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle k}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle (k\!-\!1)}$$${\displaystyle 0\ =\ \int _{M}d(\eta \wedge {\star }\zeta )\ =\ \int _{M}\left(d\eta \wedge {\star }\zeta +(-1)^{k-1}\eta \wedge {\star }\,{\star }^{-1}d\,{\star }\zeta \right)\ =\ \langle \!\langle d\eta ,\zeta \rangle \!\rangle -\langle \!\langle \eta ,\delta \zeta \rangle \!\rangle ,}$$${\displaystyle M}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \star \zeta }$${\displaystyle \zeta _{i}\to \zeta }$${\displaystyle i\to \infty }$${\displaystyle \langle \!\langle \eta ,\delta \zeta _{i}\rangle \!\rangle \to \langle \!\langle \eta ,\delta \zeta \rangle \!\rangle }$${\displaystyle \eta }$

Dado que el diferencial satisface , el codiferencial tiene la propiedad correspondiente${\displaystyle d^{2}=0}$$${\displaystyle \delta ^{2}=(-1)^{n}s^{2}{\star }d{\star }{\star }d{\star }=(-1)^{nk+k+1}s^{3}{\star }d^{2}{\star }=0.}$$

El operador de Laplace-deRham está dado por y se encuentra en el corazón de la teoría de Hodge . Es simétrico: y no negativo:$${\displaystyle \Delta =(\delta +d)^{2}=\delta d+d\delta }$$$${\displaystyle \langle \!\langle \Delta \zeta ,\eta \rangle \!\rangle =\langle \!\langle \zeta ,\Delta \eta \rangle \!\rangle }$$$${\displaystyle \langle \!\langle \Delta \eta ,\eta \rangle \!\rangle \geq 0.}$$

La estrella de Hodge envía formas armónicas a formas armónicas. Como consecuencia de la teoría de Hodge , la cohomología de De Rham es naturalmente isomorfa al espacio de las k -formas armónicas, y por lo tanto la estrella de Hodge induce un isomorfismo de los grupos de cohomología que a su vez da identificaciones canónicas a través de la dualidad de Poincaré de H ^k ( M ) con su espacio dual .$${\displaystyle {\star }:H_{\Delta }^{k}(M)\to H_{\Delta }^{n-k}(M),}$$

En coordenadas, con la notación anterior, el codiferencial de la forma puede escribirse como donde aquí denota los símbolos de Christoffel de .${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle \delta \alpha =\ -{\frac {1}{k!}}g^{ml}\left({\frac {\partial }{\partial x_{l}}}\alpha _{m,i_{1},\dots ,i_{k-1}}-\Gamma _{ml}^{j}\alpha _{j,i_{1},\dots ,i_{k-1}}\right)dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k-1}},}$$${\displaystyle \Gamma _{ml}^{j}}$${\textstyle \left\{{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right\}}$

En analogía con el lema de Poincaré para derivada exterior , se puede definir su versión para codiferencial, que se lee ^[4]

Si para , donde es un dominio estrella en una variedad, entonces existe tal que .${\displaystyle \delta \omega =0}$ ${\displaystyle \omega \in \Lambda ^{k}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \alpha \in \Lambda ^{k+1}(U)}$ ${\displaystyle \omega =\delta \alpha }$

Una forma práctica de encontrarlo es utilizar el operador de cohomotopía , que es un inverso local de . Hay que definir un operador de homotopía ^[4]${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle h}$${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle H\beta =\int _{0}^{1}{\mathcal {K}}\lrcorner \beta |_{F(t,x)}t^{k}dt,}$

donde es la homotopía lineal entre su centro y un punto , y el vector (de Euler) para se inserta en la forma . Podemos entonces definir el operador de cohomotopía como ^[4]${\displaystyle F(t,x)=x_{0}+t(x-x_{0})}$${\displaystyle x_{0}\in U}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle {\mathcal {K}}=\sum _{i=1}^{n}(x-x_{0})^{i}\partial _{x^{i}}}$${\displaystyle n=\dim(U)}$${\displaystyle \beta \in \Lambda ^{*}(U)}$

${\displaystyle h:\Lambda (U)\rightarrow \Lambda (U),\quad h:=\eta \star ^{-1}H\star }$,

donde para .${\displaystyle \eta \beta =(-1)^{k}\beta }$${\displaystyle \beta \in \Lambda ^{k}(U)}$

El operador de cohomotopía cumple la fórmula de invariancia de (co)homotopía ^[4]

${\displaystyle \delta h+h\delta =I-S_{x_{0}}}$,

donde , y es el retroceso a lo largo del mapa constante .${\displaystyle S_{x_{0}}=\star ^{-1}s_{x_{0}}^{*}\star }$${\displaystyle s_{x_{0}}^{*}}$${\displaystyle s_{x_{0}}:x\rightarrow x_{0}}$

Por lo tanto, si queremos resolver la ecuación , aplicando la fórmula de invariancia de cohomotopía obtenemos${\displaystyle \delta \omega =0}$

${\displaystyle \omega =\delta h\omega +S_{x_{0}}\omega ,}$donde es una forma diferencial que estamos buscando, y la ″constante de integración″ desaparece a menos que sea una forma superior.${\displaystyle h\omega \in \Lambda ^{k+1}(U)}$${\displaystyle S_{x_{0}}\omega }$${\displaystyle \omega }$

El operador de cohomotopía cumple las siguientes propiedades: ^[4] . Permiten utilizarlo para definir ^[4] formas anticoexactas en por , que junto con las formas exactas forman una descomposición en suma directa ^[4]${\displaystyle h^{2}=0,\quad \delta h\delta =\delta ,\quad h\delta h=h}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}(U)=\{\omega \in \Lambda (U)|\omega =h\delta \omega \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(U)=\{\omega \in \Lambda (U)|\omega =\delta h\omega \}}$

${\displaystyle \Lambda (U)={\mathcal {C}}(U)\oplus {\mathcal {Y}}(U)}$.

Esta suma directa es otra forma de decir que la fórmula de invariancia de cohomotopía es una descomposición de la unidad, y los operadores proyectores en los sumandos cumplen las fórmulas de idempotencia : ^[4] .${\displaystyle (h\delta )^{2}=h\delta ,\quad (\delta h)^{2}=\delta h}$

Estos resultados son una extensión de resultados similares para la derivada exterior. ^[5]