Anillo no conmutativo

En matemáticas , un anillo no conmutativo es un anillo cuya multiplicación no es conmutativa ; es decir, existen a y b en el anillo tales que ab y ba son diferentes. De manera equivalente, un anillo no conmutativo es un anillo que no es un anillo conmutativo .

El álgebra no conmutativa es la parte de la teoría de anillos dedicada al estudio de las propiedades de los anillos no conmutativos, incluidas las propiedades que se aplican también a los anillos conmutativos.

A veces se utiliza el término anillo no conmutativo en lugar de anillo para referirse a un anillo no especificado que no es necesariamente conmutativo y, por lo tanto, puede ser conmutativo. Generalmente, esto se hace para enfatizar que las propiedades estudiadas no se limitan a los anillos conmutativos, ya que, en muchos contextos, anillo se utiliza como una abreviatura de anillo conmutativo .

Aunque algunos autores no asumen que los anillos tienen una identidad multiplicativa, en este artículo hacemos esa suposición a menos que se indique lo contrario.

Algunos ejemplos de anillos no conmutativos:

• El anillo matricial de matrices n por n sobre los números reales , donde n > 1
• Cuaterniones de Hamilton
• Cualquier anillo de grupo construido a partir de un grupo que no sea abeliano.

Algunos ejemplos de anillos que normalmente no son conmutativos (pero pueden serlo en casos simples):

• El anillo libre generado por un conjunto finito, un ejemplo de dos elementos no iguales que son${\displaystyle \mathbb {Z} \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle }$${\displaystyle 2x_{1}x_{2}+x_{2}x_{1}\neq 3x_{1}x_{2}}$
• El álgebra de Weyl , siendo el anillo de operadores diferenciales polinomiales definidos sobre el espacio afín; por ejemplo, , donde el ideal corresponde al conmutador${\displaystyle A_{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle A_{1}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} \langle x,y\rangle /(xy-yx-1)}$
• El anillo cociente , llamado plano cuántico, donde${\displaystyle \mathbb {C} \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle /(x_{i}x_{j}-q_{ij}x_{j}x_{i})}$${\displaystyle q_{ij}\in \mathbb {C} }$
• Cualquier álgebra de Clifford se puede describir explícitamente utilizando una presentación de álgebra: dado un espacio vectorial de dimensión n con una forma cuadrática , el álgebra de Clifford asociada tiene la presentación para cualquier base de ,${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle q:V\otimes V\to \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {F} \langle e_{1},\ldots ,e_{n}\rangle /(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}-q(e_{i},e_{j}))}$${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$${\displaystyle V}$
• Las superálgebras son otro ejemplo de anillos no conmutativos; pueden presentarse como${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]\langle \theta _{1},\ldots ,\theta _{m}\rangle /(\theta _{i}\theta _{j}+\theta _{j}\theta _{i})}$
• Existen anillos no conmutativos finitos: por ejemplo, las matrices n por n sobre un cuerpo finito , para n > 1 . El anillo no conmutativo más pequeño es el anillo de las matrices triangulares superiores sobre el cuerpo con dos elementos; tiene ocho elementos y todos los anillos no conmutativos con ocho elementos son isomorfos a él o a su opuesto . ^[1]

A partir de los anillos de división que surgieron de la geometría, el estudio de los anillos no conmutativos se ha convertido en un área importante del álgebra moderna. La teoría y la exposición de los anillos no conmutativos se expandieron y refinaron en los siglos XIX y XX por numerosos autores. Una lista incompleta de dichos contribuyentes incluye a E. Artin , Richard Brauer , PM Cohn , WR Hamilton , IN Herstein , N. Jacobson , K. Morita , E. Noether , Ø. Ore , J. Wedderburn y otros.

Debido a que los anillos no conmutativos de interés científico son más complicados que los anillos conmutativos, su estructura, propiedades y comportamiento son menos comprendidos. Se ha realizado una gran cantidad de trabajo generalizando con éxito algunos resultados de anillos conmutativos a anillos no conmutativos. Una diferencia importante entre los anillos que son y no son conmutativos es la necesidad de considerar por separado los ideales derechos e ideales izquierdos . Es común que los teóricos de anillos no conmutativos impongan una condición en uno de estos tipos de ideales sin exigir que se cumpla para el lado opuesto. Para los anillos conmutativos, la distinción izquierda-derecha no existe.

Un anillo de división, también llamado cuerpo sesgado, es un anillo en el que es posible la división . En concreto, es un anillo distinto de cero ^[2] en el que cada elemento distinto de cero a tiene un inverso multiplicativo , es decir, un elemento x con a · x = x · a = 1 . Dicho de otro modo, un anillo es un anillo de división si y solo si su grupo de unidades es el conjunto de todos los elementos distintos de cero.

Los anillos de división difieren de los cuerpos solo en que no se requiere que su multiplicación sea conmutativa . Sin embargo, según el pequeño teorema de Wedderburn, todos los anillos de división finitos son conmutativos y, por lo tanto, cuerpos finitos . Históricamente, a los anillos de división a veces se los denominaba cuerpos, mientras que a los cuerpos se los denominaba "cuerpos conmutativos".

Se dice que un módulo sobre un anillo (no necesariamente conmutativo) con unidad es semisimple (o completamente reducible) si es la suma directa de submódulos simples (irreducibles).

Se dice que un anillo es (izquierdo)-semisimple si es semisimple como módulo izquierdo sobre sí mismo. Sorprendentemente, un anillo izquierdo-semisimple también es derecho-semisimple y viceversa. Por lo tanto, la distinción entre izquierdo y derecho es innecesaria.

Un anillo semiprimitivo o anillo semisimple de Jacobson o anillo J-semisimple es un anillo cuyo radical de Jacobson es cero. Este es un tipo de anillo más general que un anillo semisimple , pero donde los módulos simples aún proporcionan suficiente información sobre el anillo. Anillos como el anillo de números enteros son semiprimitivos, y un anillo semiprimitivo artiniano es solo un anillo semisimple . Los anillos semiprimitivos pueden entenderse como productos subdirectos de anillos primitivos , que se describen mediante el teorema de densidad de Jacobson .

Un anillo simple es un anillo distinto de cero que no tiene ningún ideal bilateral además del ideal cero y él mismo. Un anillo simple siempre puede considerarse como un álgebra simple . Existen anillos que son simples como anillos pero no como módulos : el anillo de matrices completo sobre un cuerpo no tiene ningún ideal no trivial (ya que cualquier ideal de M( n , R ) es de la forma M( n , I ) con I un ideal de R ), pero tiene ideales izquierdos no triviales (a saber, los conjuntos de matrices que tienen algunas columnas cero fijas).

Según el teorema de Artin-Wedderburn , todo anillo simple artiniano por la izquierda o por la derecha es un anillo matricial sobre un anillo de división . En particular, los únicos anillos simples que son un espacio vectorial de dimensión finita sobre los números reales son anillos de matrices sobre los números reales, los números complejos o los cuaterniones .

Cualquier cociente de un anillo por un ideal maximal es un anillo simple. En particular, un campo es un anillo simple. Un anillo R es simple si y solo si su anillo opuesto R ^o es simple.

Un ejemplo de un anillo simple que no es un anillo matricial sobre un anillo de división es el álgebra de Weyl .

El pequeño teorema de Wedderburn establece que todo dominio finito es un cuerpo . En otras palabras, para los anillos finitos no hay distinción entre dominios, anillos de división y cuerpos.

El teorema de Artin-Zorn generaliza el teorema a anillos alternativos : cada anillo alternativo simple finito es un campo. ^[3]

El teorema de Artin-Wedderburn es un teorema de clasificación para anillos semisimples y álgebras semisimples . El teorema establece que un anillo semisimple (artiniano) ^[4] R es isomorfo a un producto de un número finito de anillos matriciales n _i por _{n i} sobre anillos de división D _i , para algunos números enteros n _i , ambos determinados de forma única hasta la permutación del índice i . En particular, cualquier anillo artiniano simple izquierdo o derecho es isomorfo a un anillo matricial n por n sobre un anillo de división D , donde tanto n como D están determinados de forma única. ^[5]

Como corolario directo, el teorema de Artin-Wedderburn implica que todo anillo simple de dimensión finita sobre un anillo de división (un álgebra simple) es un anillo de matrices . Este es el resultado original de Joseph Wedderburn . Emil Artin lo generalizó posteriormente al caso de los anillos artinianos.

El teorema de densidad de Jacobson es un teorema relativo a módulos simples sobre un anillo R. ^[6 ]

El teorema se puede aplicar para mostrar que cualquier anillo primitivo puede verse como un subanillo "denso" del anillo de transformaciones lineales de un espacio vectorial. ^{[7] [8]} Este teorema apareció por primera vez en la literatura en 1945, en el famoso artículo "Teoría de la estructura de anillos simples sin suposiciones de finitud" de Nathan Jacobson . ^[9] Esto puede verse como una especie de generalización de la conclusión del teorema de Artin-Wedderburn sobre la estructura de los anillos artinianos simples .

Más formalmente, el teorema puede enunciarse de la siguiente manera:

Teorema de densidad de Jacobson. Sea U un simple módulo R recto , D = End( U _R ) , y X ⊂ U un conjunto finito y D -linealmente independiente. Si A es una transformación D -lineal en U entonces existe r ∈ R tal que A ( x ) = x · r para todo x en X . ^[10]

Sea J( R ) el radical de Jacobson de R . Si U es un módulo recto sobre un anillo, R , e I es un ideal recto en R , entonces definamos U · I como el conjunto de todas las sumas (finitas) de elementos de la forma u · i , donde · es simplemente la acción de R sobre U . Necesariamente, U · I es un submódulo de U .

Si V es un submódulo máximo de U , entonces U / V es simple . Por lo tanto, U ·J( R ) es necesariamente un subconjunto de V , por la definición de J( R ) y el hecho de que U / V es simple. ^[11] Por lo tanto, si U contiene al menos un submódulo máximo (propio), U ·J( R ) es un submódulo propio de U . Sin embargo, esto no tiene por qué ser válido para módulos arbitrarios U sobre R , ya que U no necesita contener ningún submódulo máximo. ^[12] Naturalmente, si U es un módulo noetheriano , esto se cumple. Si R es noetheriano y U es finitamente generado , entonces U es un módulo noetheriano sobre R , y la conclusión se satisface. ^[13] Algo notable es que el supuesto más débil, a saber, que U es finitamente generado como un módulo R (y no hay ningún supuesto de finitud en R ), es suficiente para garantizar la conclusión. Esta es esencialmente la afirmación del lema de Nakayama. ^[14]

Precisamente, se tiene lo siguiente.

Lema de Nakayama : Sea U un módulo recto finitamente generado sobre un anillo R. Si U es un módulo distinto de cero, entonces U ·J( R ) es un submódulo propio de U. ^[14]

Una versión del lema se cumple para módulos rectos sobre anillos unitarios no conmutativos R . El teorema resultante a veces se conoce como el teorema de Jacobson-Azumaya . ^[15]

La localización es un método sistemático de sumar inversos multiplicativos a un anillo , y se aplica habitualmente a anillos conmutativos. Dado un anillo R y un subconjunto S , se desea construir algún anillo R * y homomorfismo de anillos de R a R *, de modo que la imagen de S consista en unidades (elementos invertibles) en R *. Además, se desea que R * sea la forma "mejor posible" o "más general" de hacer esto; de la manera habitual, esto debería expresarse mediante una propiedad universal . La localización de R por S se denota habitualmente por S  ⁻¹ R ; sin embargo, se utilizan otras notaciones en algunos casos especiales importantes. Si S es el conjunto de los elementos distintos de cero de un dominio integral , entonces la localización es el cuerpo de fracciones y, por lo tanto, se denota habitualmente Frac( R ).

La localización de anillos no conmutativos es más difícil; la localización no existe para cada conjunto S de unidades prospectivas. Una condición que garantiza que la localización existe es la condición Ore .

Un caso de anillos no conmutativos en el que la localización tiene un claro interés es el de los anillos de operadores diferenciales. Tiene la interpretación, por ejemplo, de adjuntar una inversa formal D ⁻¹ para un operador de diferenciación D . Esto se hace en muchos contextos en métodos para ecuaciones diferenciales . Ahora existe una gran teoría matemática al respecto, llamada microlocalización , que se conecta con numerosas otras ramas. La etiqueta micro tiene que ver con conexiones con la teoría de Fourier , en particular.

La equivalencia de Morita es una relación definida entre anillos que conserva muchas propiedades de la teoría de anillos. Recibe su nombre del matemático japonés Kiiti Morita , quien definió la equivalencia y una noción similar de dualidad en 1958.

Se dice que dos anillos R y S (asociativos, con 1) son ( Morita ) equivalentes si hay una equivalencia de la categoría de módulos (izquierdos) sobre R , R-Mod , y la categoría de módulos (izquierdos) sobre S , S-Mod . Se puede demostrar que las categorías de módulos izquierdos R-Mod y S-Mod son equivalentes si y solo si las categorías de módulos derechos Mod-R y Mod-S son equivalentes. Además, se puede demostrar que cualquier funtor de R-Mod a S-Mod que produzca una equivalencia es automáticamente aditivo .

El grupo de Brauer de un cuerpo K es un grupo abeliano cuyos elementos son clases de equivalencia de Morita de álgebras simples centrales de rango finito sobre K y la adición es inducida por el producto tensorial de álgebras. Surgió a partir de los intentos de clasificar las álgebras de división sobre un cuerpo y recibe su nombre del algebrista Richard Brauer . El grupo también puede definirse en términos de la cohomología de Galois . De manera más general, el grupo de Brauer de un esquema se define en términos de las álgebras de Azumaya .

La condición de Ore es una condición introducida por Øystein Ore , en relación con la cuestión de extender más allá de los anillos conmutativos la construcción de un cuerpo de fracciones , o más generalmente la localización de un anillo . La condición de Ore derecha para un subconjunto multiplicativo S de un anillo R es que para a ∈ R y s ∈ S , la intersección aS ∩ sR ≠ ∅ . ^[16] Un dominio que satisface la condición de Ore derecha se llama dominio de Ore derecho . El caso izquierdo se define de manera similar.

En matemáticas , el teorema de Goldie es un resultado estructural básico en la teoría de anillos , demostrado por Alfred Goldie durante la década de 1950. Lo que ahora se denomina un anillo de Goldie recto es un anillo R que tiene una dimensión uniforme finita (también llamada "rango finito") como módulo recto sobre sí mismo, y satisface la condición de cadena ascendente en aniquiladores derechos de subconjuntos de R.

El teorema de Goldie establece que los anillos de Goldie rectos semiprimos son precisamente aquellos que tienen un anillo de cocientes recto clásico artiniano semisimple . La estructura de este anillo de cocientes queda entonces completamente determinada por el teorema de Artin-Wedderburn .

En particular, el teorema de Goldie se aplica a anillos noetherianos rectos semiprimos , ya que por definición los anillos noetherianos rectos tienen la condición de cadena ascendente en todos los ideales rectos. Esto es suficiente para garantizar que un anillo noetheriano recto es Goldie recto. La inversa no se cumple: todo dominio de Ore recto es un dominio de Goldie recto y, por lo tanto, también lo es todo dominio integral conmutativo .

Una consecuencia del teorema de Goldie, también debida a Goldie, es que todo anillo ideal recto principal semiprimo es isomorfo a una suma directa finita de anillos ideales rectos principales primos . Todo anillo ideal recto principal primo es isomorfo a un anillo matricial sobre un dominio de Ore recto.

• Geometría algebraica derivada
• Geometría no conmutativa
• Geometría algebraica no conmutativa
• Análisis armónico no conmutativo
• Teoría de la representación (teoría de grupos)

• Isaacs, I. Martin (1993), Álgebra, un curso de posgrado (1.ª ed.), Brooks/Cole , ISBN 0-534-19002-2
• Jacobson, N. (1945), "Teoría de la estructura de anillos simples sin suposiciones de finitud", Transactions of the American Mathematical Society , 57 : 228–245, doi : 10.2307/1990204 , JSTOR  1990204
• Nagata, M. (1962), Anillos locales , Wiley-Interscience

• Herstein, IN (1968), Anillos no conmutativos , Asociación Matemática de América , ISBN 0-88385-015-X
• Lam, TY (2001), Un primer curso sobre anillos no conmutativos , Springer-Verlag