Producto de anillos

En matemáticas , un producto de anillos o producto directo de anillos es un anillo que se forma mediante el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes de varios anillos (posiblemente un infinito), dotado de operaciones de componentes . Es un producto directo de la categoría de anillos .

Como los productos directos se definen hasta un isomorfismo , se dice coloquialmente que un anillo es el producto de algunos anillos si es isomorfo al producto directo de estos anillos. Por ejemplo, el teorema del resto chino puede enunciarse como: si m y n son números enteros coprimos , el anillo cociente es el producto de y${\displaystyle \mathbb {Z} /mn\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} .}$

Un ejemplo importante es Z / n Z , el anillo de números enteros módulo n . Si n se escribe como un producto de potencias primos (véase Teorema fundamental de la aritmética ),

${\displaystyle n=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}\cdots \ p_{k}^{n_{k}},}$

donde los p _i son primos distintos , entonces Z / n Z es naturalmente isomorfo al producto

${\displaystyle \mathbf {Z} /p_{1}^{n_{1}}\mathbf {Z} \ \times \ \mathbf {Z} /p_{2}^{n_{2}}\mathbf {Z} \ \times \ \cdots \ \times \ \mathbf {Z} /p_{k}^{n_{k}}\mathbf {Z} .}$

Esto se desprende del teorema del resto chino .

Si R = Π _{i ∈ I} R _i es un producto de anillos, entonces para cada i en I tenemos un homomorfismo de anillos sobreyectivo p _i  : R → R _i que proyecta el producto sobre la i  ésima coordenada. El producto R junto con las proyecciones p _i tiene la siguiente propiedad universal :

si S es cualquier anillo y f _i  : S → R _i es un homomorfismo de anillo para cada i en I , entonces existe precisamente un homomorfismo de anillo f  : S → R tal que p _i  ∘  f = f _i para cada i en I .

Esto demuestra que el producto de anillos es una instancia de productos en el sentido de la teoría de categorías .

Cuando I es finito, el grupo aditivo subyacente de Π _{i ∈ I} R _i coincide con la suma directa de los grupos aditivos de los R _i . En este caso, algunos autores llaman a R la "suma directa de los anillos R _i " y escriben ⊕ _{i ∈ I} R _i , pero esto es incorrecto desde el punto de vista de la teoría de categorías , ya que normalmente no es un coproducto en la categoría de anillos (con identidad): por ejemplo, cuando dos o más de los R _i son no triviales , la función de inclusión R _i → R no logra mapear 1 a 1 y, por lo tanto, no es un homomorfismo de anillos.

(Un coproducto finito en la categoría de álgebras conmutativas sobre un anillo conmutativo es un producto tensorial de álgebras . Un coproducto en la categoría de álgebras es un producto libre de álgebras .)

Los productos directos son conmutativos y asociativos hasta el isomorfismo natural, lo que significa que no importa en qué orden se forme el producto directo.

Si A _i es un ideal de R _i para cada i en I , entonces A = Π _{i ∈ I} A _i es un ideal de R . Si I es finito, entonces el recíproco es verdadero, es decir, todo ideal de R es de esta forma. Sin embargo, si I es infinito y los anillos R _i no son triviales, entonces el recíproco es falso: el conjunto de elementos con todas las coordenadas distintas de cero, excepto un número finito, forma un ideal que no es un producto directo de ideales de R _i . El ideal A es un ideal primo en R si todos menos uno de los A _i son iguales a R _i y el A _i restante es un ideal primo en R _i . Sin embargo, el recíproco no es verdadero cuando I es infinito. Por ejemplo, la suma directa de los R _i forma un ideal no contenido en ningún A de ese tipo , pero el axioma de elección da que está contenido en algún ideal maximal que es primo a fortiori .

Un elemento x en R es una unidad si y sólo si todos sus componentes son unidades, es decir, si y sólo si p _i  ( x ) es una unidad en R _i para todo i en I . El grupo de unidades de R es el producto de los grupos de unidades de R _i .

Un producto de dos o más anillos no triviales siempre tiene divisores de cero distintos de cero : si x es un elemento del producto cuyas coordenadas son todas cero excepto p _i  ( x ) e y es un elemento del producto con todas las coordenadas cero excepto p _j  ( y ) donde i  ≠  j , entonces xy  = 0 en el anillo de producto.

• Herstein, IN (2005) [1968], Anillos no conmutativos (5.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-88385-039-8
• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, pág. 91, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556, Zbl  0984.00001