Anillo total de fracciones

En álgebra abstracta , el anillo de cociente total [1] o anillo total de fracciones [2] es una construcción que generaliza la noción de cuerpo de fracciones de un dominio integral a anillos conmutativos R que pueden tener divisores de cero . La construcción incrusta R en un anillo más grande , dando a cada divisor no nulo de R un inverso en el anillo más grande. Si el homomorfismo de R al nuevo anillo debe ser inyectivo , no se puede dar un inverso a ningún otro elemento.

Definición

Sea un anillo conmutativo y sea el conjunto de elementos que no son divisores de cero en ; entonces es un conjunto multiplicativamente cerrado . Por lo tanto, podemos localizar el anillo en el conjunto para obtener el anillo de cociente total . R {\displaystyle R} S {\displaystyle S} R {\displaystyle R} S {\displaystyle S} R {\displaystyle R} S {\displaystyle S} S 1 R = Q ( R ) {\displaystyle S^{-1}R=Q(R)}

Si es un dominio , entonces y el anillo de cociente total es el mismo que el cuerpo de fracciones. Esto justifica la notación , que a veces también se utiliza para el cuerpo de fracciones, ya que no hay ambigüedad en el caso de un dominio. R {\displaystyle R} S = R { 0 } {\displaystyle S=R-\{0\}} Q ( R ) {\displaystyle Q(R)}

Dado que en la construcción no hay divisores de cero, la función natural es inyectiva, por lo que el anillo de cociente total es una extensión de . S {\displaystyle S} R Q ( R ) {\displaystyle R\to Q(R)} R {\displaystyle R}

Ejemplos

  • Para un anillo producto A × B , el anillo cociente total Q ( A × B ) es el producto de los anillos cociente totales Q ( A ) × Q ( B ) . En particular, si A y B son dominios integrales, es el producto de cuerpos cocientes.
  • En un anillo artiniano , todos los elementos son unidades o divisores de cero. Por lo tanto, el conjunto de divisores distintos de cero es el grupo de unidades del anillo, , y por lo tanto . Pero como todos estos elementos ya tienen inversos, . R × {\displaystyle R^{\times }} Q ( R ) = ( R × ) 1 R {\displaystyle Q(R)=(R^{\times })^{-1}R} Q ( R ) = R {\displaystyle Q(R)=R}
  • En un anillo regular de von Neumann conmutativo R , sucede lo mismo. Supongamos que a en R no es divisor de cero. Entonces, en un anillo regular de von Neumann a  =  axa para algún x en R , dando la ecuación a ( xa  − 1) = 0. Como a no es divisor de cero, xa  = 1, lo que demuestra que a es una unidad. Aquí nuevamente, . Q ( R ) = R {\displaystyle Q(R)=R}

El anillo total de fracciones de un anillo reducido

Proposición  —  Sea A un anillo reducido que tiene sólo un número finito de ideales primos mínimos (por ejemplo, un anillo reducido noetheriano ). Entonces p 1 , , p r {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{r}}

Q ( A ) i = 1 r Q ( A / p i ) . {\displaystyle Q(A)\simeq \prod _{i=1}^{r}Q(A/{\mathfrak {p}}_{i}).}

Geométricamente, el esquema artiniano consiste (como un conjunto finito) en los puntos genéricos de los componentes irreducibles de . Spec ( Q ( A ) ) {\displaystyle \operatorname {Spec} (Q(A))} Spec ( A ) {\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}

Demostración: Cada elemento de Q ( A ) es una unidad o un divisor de cero. Por lo tanto, cualquier ideal propio I de Q ( A ) está contenido en el conjunto de divisores de cero de Q ( A ); ese conjunto es igual a la unión de los ideales primos mínimos ya que Q ( A ) se reduce . Por evitación de primos , I debe estar contenido en algún . Por lo tanto, los ideales son ideales máximos de Q ( A ). Además, su intersección es cero . Por lo tanto, por el teorema del resto chino aplicado a Q ( A ), p i Q ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}Q(A)} p i Q ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}Q(A)} p i Q ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}Q(A)}

Q ( A ) i Q ( A ) / p i Q ( A ) {\displaystyle Q(A)\simeq \prod _{i}Q(A)/{\mathfrak {p}}_{i}Q(A)} .

Sea S el conjunto multiplicativamente cerrado de divisores no nulos de A. Por exactitud de localización,

Q ( A ) / p i Q ( A ) = A [ S 1 ] / p i A [ S 1 ] = ( A / p i ) [ S 1 ] {\displaystyle Q(A)/{\mathfrak {p}}_{i}Q(A)=A[S^{-1}]/{\mathfrak {p}}_{i}A[S^{-1}]=(A/{\mathfrak {p}}_{i})[S^{-1}]} ,

que ya es un campo y así debe ser . Q ( A / p i ) {\displaystyle Q(A/{\mathfrak {p}}_{i})} {\displaystyle \square }

Generalización

Si es un anillo conmutativo y es cualquier conjunto multiplicativamente cerrado en , la localización aún puede construirse, pero el homomorfismo de anillo de a podría no ser inyectivo. Por ejemplo, si , entonces es el anillo trivial . R {\displaystyle R} S {\displaystyle S} R {\displaystyle R} S 1 R {\displaystyle S^{-1}R} R {\displaystyle R} S 1 R {\displaystyle S^{-1}R} 0 S {\displaystyle 0\in S} S 1 R {\displaystyle S^{-1}R}

Citas

  1. ^ Matsumura 1980, pág. 12.
  2. ^ Matsumura 1989, pág. 21.

Referencias

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