Anillo semiprimo

En la teoría de anillos , una rama de las matemáticas, los ideales semiprimos y los anillos semiprimos son generalizaciones de los ideales primos y los anillos primos . En álgebra conmutativa , los ideales semiprimos también se denominan ideales radicales y los anillos semiprimos son lo mismo que los anillos reducidos.

Por ejemplo, en el anillo de los números enteros , los ideales semiprimos son el ideal cero, junto con aquellos ideales de la forma donde n es un entero sin cuadrados . Por lo tanto, es un ideal semiprimo de los números enteros (porque 30 = 2 × 3 × 5, sin factores primos repetidos), pero no lo es (porque 12 = 2 ² × 3, con un factor primo repetido).${\displaystyle n\mathbb {Z}}$${\displaystyle 30\mathbb {Z} }$${\displaystyle 12\mathbb {Z} \,}$

La clase de anillos semiprimos incluye anillos semiprimitivos , anillos primos y anillos reducidos .

La mayoría de las definiciones y afirmaciones de este artículo aparecen en (Lam 1999) y (Lam 2001).

Para un anillo conmutativo R , un ideal propio A es un ideal semiprimo si A satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

• Si x ^k está en A para algún entero positivo k y elemento x de R , entonces x está en A .
• Si y está en R pero no en A , todas las potencias enteras positivas de y no están en A.

La última condición de que el complemento esté "cerrado bajo potencias" es análoga al hecho de que los complementos de los ideales primos estén cerrados bajo la multiplicación.

Al igual que con los ideales primos, esto se extiende a los anillos no conmutativos "en términos ideales". Las siguientes condiciones son definiciones equivalentes para un ideal semiprimo A en un anillo R :

• Para cualquier ideal J de R , si J ^k ⊆ A para un número natural positivo k , entonces J ⊆ A .
• Para cualquier ideal recto J de R , si J ^k ⊆ A para un número natural positivo k , entonces J ⊆ A .
• Para cualquier ideal izquierdo J de R , si J ^k ⊆ A para un número natural positivo k , entonces J ⊆ A .
• Para cualquier x en R , si xRx ⊆ A , entonces x está en A .

Aquí nuevamente, hay un análogo no conmutativo de ideales primos como complementos de m-sistemas . Un subconjunto no vacío S de un anillo R se llama n-sistema si para cualquier s en S , existe un r en R tal que srs está en S. Con esta noción, se puede agregar un punto equivalente adicional a la lista anterior:

• R \ A es un sistema n.

El anillo R se denomina anillo semiprimo si el ideal cero es un ideal semiprimo. En el caso conmutativo, esto es equivalente a que R sea un anillo reducido , ya que R no tiene elementos nilpotentes distintos de cero. En el caso no conmutativo, el anillo simplemente no tiene ideales rectos nilpotentes distintos de cero. Por lo tanto, aunque un anillo reducido siempre es semiprimo, la inversa no es cierta. ^[1]

Para empezar, está claro que los ideales primos son semiprimos, y que, para los anillos conmutativos, un ideal primario semiprimo es primo.

Si bien la intersección de ideales primos no suele ser primo, es un ideal semiprimo. En breve se demostrará que también es cierto lo inverso, es decir, que todo ideal semiprimo es la intersección de una familia de ideales primos.

Para cualquier ideal B en un anillo R , podemos formar los siguientes conjuntos:

${\displaystyle {\sqrt {B}}:=\bigcap \{P\subseteq R\mid B\subseteq P,P{\mbox{ un ideal primo}}\}\subseteq \{x\in R\mid x^{n}\in B{\mbox{ para algún }}n\in \mathbb {N} ^{+}\}\,}$

El conjunto es la definición del radical de B y es claramente un ideal semiprimo que contiene a B , y de hecho es el ideal semiprimo más pequeño que contiene a B. La inclusión anterior a veces es adecuada en el caso general, pero para anillos conmutativos se convierte en una igualdad.${\displaystyle {\sqrt {B}}}$

Con esta definición, un ideal A es semiprimo si y solo si . En este punto, también es evidente que todo ideal semiprimo es, de hecho, la intersección de una familia de ideales primos. Además, esto demuestra que la intersección de dos ideales semiprimos cualesquiera es, a su vez, semiprimo.${\displaystyle {\sqrt {A}}=A}$

Por definición, R es semiprimo si y solo si , es decir, la intersección de todos los ideales primos es cero. Este ideal también se denota por y también se denomina radical nil inferior de Baer o radical de Baer-Mccoy o radical primo de R .${\displaystyle {\sqrt {\{0\}}}=\{0\}}$${\displaystyle {\sqrt {\{0\}}}}$${\displaystyle Nil_{*}(R)\,}$

Un anillo Goldie recto es un anillo que tiene una dimensión uniforme finita (también llamada rango finito ) como módulo recto sobre sí mismo, y satisface la condición de cadena ascendente sobre los aniquiladores derechos de sus subconjuntos. El teorema de Goldie establece que los anillos Goldie rectos semiprimos son precisamente aquellos que tienen un anillo clásico recto artiniano semisimple de cocientes . El teorema de Artin-Wedderburn determina entonces completamente la estructura de este anillo de cocientes.

• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lecciones sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas n.º 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, Sr.  1653294
• Lam, TY (2001), Un primer curso sobre anillos no conmutativos , Graduate Texts in Mathematics, vol. 131 (2.ª ed.), Nueva York: Springer-Verlag, pp. xx+385, ISBN 978-0-387-95183-6, Sr.  1838439

• Artículo de PlanetMath sobre ideales semiprimos