Vector euclidiano

En matemáticas , física e ingeniería , un vector euclidiano o simplemente un vector (a veces llamado vector geométrico ^[1] o vector espacial ^[2] ) es un objeto geométrico que tiene magnitud (o longitud ) y dirección . Los vectores euclidianos se pueden sumar y escalar para formar un espacio vectorial . Una cantidad vectorial es una cantidad física con valores vectoriales , que incluye unidades de medida y posiblemente un soporte , formulada como un segmento de línea dirigido . Un vector se representa con frecuencia gráficamente como una flecha que conecta un punto inicial A con un punto terminal B , ^[3] y se denota por${\textstyle {\stackrel {\longrightarrow}{AB}}.}$

Un vector es lo que se necesita para "llevar" el punto A al punto B ; la palabra latina vector significa "portador". ^[4] Fue utilizada por primera vez por astrónomos del siglo XVIII que investigaban la revolución planetaria alrededor del Sol. ^[5] La magnitud del vector es la distancia entre los dos puntos, y la dirección se refiere a la dirección del desplazamiento de A a B. Muchas operaciones algebraicas con números reales , como la suma , la resta , la multiplicación y la negación , tienen análogos cercanos para los vectores, ^[6] operaciones que obedecen a las conocidas leyes algebraicas de conmutatividad , asociatividad y distributividad . Estas operaciones y leyes asociadas califican a los vectores euclidianos como un ejemplo del concepto más generalizado de vectores definidos simplemente como elementos de un espacio vectorial .

Los vectores juegan un papel importante en la física : la velocidad y la aceleración de un objeto en movimiento y las fuerzas que actúan sobre él se pueden describir con vectores. ^[7] Muchas otras cantidades físicas se pueden considerar útiles como vectores. Aunque la mayoría de ellas no representan distancias (excepto, por ejemplo, la posición o el desplazamiento ), su magnitud y dirección aún se pueden representar mediante la longitud y la dirección de una flecha. La representación matemática de un vector físico depende del sistema de coordenadas utilizado para describirlo. Otros objetos similares a vectores que describen cantidades físicas y se transforman de manera similar bajo cambios del sistema de coordenadas incluyen pseudovectores y tensores . ^[8]

El concepto de vector, tal como se lo conoce hoy, es el resultado de un desarrollo gradual durante un período de más de 200 años. Alrededor de una docena de personas contribuyeron significativamente a su desarrollo. ^[9] En 1835, Giusto Bellavitis abstrajo la idea básica cuando estableció el concepto de equipolencia . Trabajando en un plano euclidiano, hizo equipolente cualquier par de segmentos de línea paralelos de la misma longitud y orientación. Esencialmente, realizó una relación de equivalencia en los pares de puntos (bipuntos) en el plano, y así erigió el primer espacio de vectores en el plano. ^{[9] : 52–4} El término vector fue introducido por William Rowan Hamilton como parte de un cuaternión , que es una suma q = s + v de un número real s (también llamado escalar ) y un vector tridimensional . Al igual que Bellavitis, Hamilton consideraba a los vectores como representantes de clases de segmentos dirigidos equipolentes. Como los números complejos utilizan una unidad imaginaria para complementar la línea real , Hamilton consideró que el vector v era la parte imaginaria de un cuaternión: ^[10]

La parte algebraicamente imaginaria, construida geométricamente por una línea recta o radio vector, que tiene, en general, para cada cuaternión determinado, una longitud determinada y una dirección determinada en el espacio, puede llamarse parte vectorial o, simplemente, vector del cuaternión.

Varios otros matemáticos desarrollaron sistemas similares a vectores a mediados del siglo XIX, incluidos Augustin Cauchy , Hermann Grassmann , August Möbius , Comte de Saint-Venant y Matthew O'Brien . La obra de Grassmann de 1840 Theorie der Ebbe und Flut (Teoría del flujo y el reflujo) fue el primer sistema de análisis espacial similar al sistema actual y tenía ideas correspondientes al producto vectorial, el producto escalar y la diferenciación vectorial. El trabajo de Grassmann fue en gran medida desatendido hasta la década de 1870. ^[9] Peter Guthrie Tait llevó el estándar de cuaterniones después de Hamilton. Su Tratado elemental de cuaterniones de 1867 incluyó un tratamiento extenso del operador nabla o del ∇. En 1878, William Kingdon Clifford publicó Elements of Dynamic . Clifford simplificó el estudio de los cuaterniones aislando el producto escalar y el producto vectorial de dos vectores del producto cuaternial completo. Este enfoque hizo que los cálculos vectoriales estuvieran disponibles para los ingenieros y otras personas que trabajaban en tres dimensiones y eran escépticas respecto de la cuarta.

Josiah Willard Gibbs , que conoció los cuaterniones a través del Tratado sobre electricidad y magnetismo de James Clerk Maxwell , separó su parte vectorial para un tratamiento independiente. La primera mitad de Elementos de análisis vectorial de Gibbs , publicado en 1881, presenta lo que es esencialmente el sistema moderno de análisis vectorial. ^{[9] [6]} En 1901, Edwin Bidwell Wilson publicó Análisis vectorial , adaptado de las conferencias de Gibbs, que desterró cualquier mención de los cuaterniones en el desarrollo del cálculo vectorial.

En física e ingeniería , un vector se considera típicamente como una entidad geométrica caracterizada por una magnitud y una dirección relativa . Se define formalmente como un segmento de línea dirigido , o flecha, en un espacio euclidiano . ^[11] En matemáticas puras , un vector se define de manera más general como cualquier elemento de un espacio vectorial . En este contexto, los vectores son entidades abstractas que pueden o no estar caracterizadas por una magnitud y una dirección. Esta definición generalizada implica que las entidades geométricas mencionadas anteriormente son un tipo especial de vectores abstractos, ya que son elementos de un tipo especial de espacio vectorial llamado espacio euclidiano . Este artículo en particular trata sobre vectores estrictamente definidos como flechas en el espacio euclidiano. Cuando se hace necesario distinguir estos vectores especiales de los vectores tal como se definen en matemáticas puras, a veces se los denomina vectores geométricos , espaciales o euclidianos .

Un vector euclidiano puede tener un punto inicial y un punto terminal definidos ; tal condición puede enfatizarse llamando al resultado un vector ligado . ^[12] Cuando solo importan la magnitud y la dirección del vector, y los puntos inicial o terminal particulares no tienen importancia, el vector se llama vector libre . La distinción entre vectores ligados y libres es especialmente relevante en mecánica, donde una fuerza aplicada a un cuerpo tiene un punto de contacto (ver fuerza y ​​par resultantes ).

Dos flechas y en el espacio representan el mismo vector libre si tienen la misma magnitud y dirección: es decir, son equipolentes si el cuadrilátero ABB′A′ es un paralelogramo . Si el espacio euclidiano está dotado de una elección de origen , entonces un vector libre es equivalente al vector ligado de la misma magnitud y dirección cuyo punto inicial es el origen. ${\displaystyle {\stackrel {\,\longrightarrow}{AB}}}$${\displaystyle {\stackrel {\,\longrightarrow}{A'B'}}}$

El término vector también tiene generalizaciones a dimensiones superiores y a enfoques más formales con aplicaciones mucho más amplias.

En la geometría euclidiana clásica (es decir, geometría sintética ), los vectores se introdujeron (durante el siglo XIX) como clases de equivalencia bajo equipolencia , de pares ordenados de puntos; dos pares ( A , B ) y ( C , D ) son equipolentes si los puntos A , B , D , C , en este orden, forman un paralelogramo . Una clase de equivalencia de este tipo se denomina vector , más precisamente, vector euclidiano. ^[13] La clase de equivalencia de ( A , B ) a menudo se denota${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}.}$

Un vector euclidiano es, por tanto, una clase de equivalencia de segmentos dirigidos con la misma magnitud (por ejemplo, la longitud del segmento de línea ( A , B ) ) y la misma dirección (por ejemplo, la dirección de A a B ). ^[14] En física, los vectores euclidianos se utilizan para representar cantidades físicas que tienen magnitud y dirección, pero que no están ubicadas en un lugar específico, a diferencia de los escalares , que no tienen dirección. ^[7] Por ejemplo, la velocidad , las fuerzas y la aceleración se representan mediante vectores.

En la geometría moderna, los espacios euclidianos se definen a menudo a partir del álgebra lineal . Más precisamente, un espacio euclidiano E se define como un conjunto al que se asocia un espacio de producto interno de dimensión finita sobre los números reales y una acción de grupo cuyo grupo aditivo es libre y transitivo ( véase Espacio afín para más detalles de esta construcción). Los elementos de se denominan traslaciones . Se ha demostrado que las dos definiciones de espacios euclidianos son equivalentes y que las clases de equivalencia bajo equipolencia pueden identificarse con traslaciones.${\displaystyle {\overrightarrow {E}},}$${\displaystyle {\overrightarrow {E}},}$${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$

A veces, los vectores euclidianos se consideran sin referencia a un espacio euclidiano. En este caso, un vector euclidiano es un elemento de un espacio vectorial normado de dimensión finita sobre los números reales o, típicamente, un elemento del espacio de coordenadas reales equipado con el producto escalar . Esto tiene sentido, ya que la adición en un espacio vectorial de este tipo actúa libre y transitivamente sobre el propio espacio vectorial. Es decir, es un espacio euclidiano, con él mismo como espacio vectorial asociado y el producto escalar como producto interno.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

El espacio euclidiano se presenta a menudo como el espacio euclidiano estándar de dimensión n . Esto está motivado por el hecho de que cada espacio euclidiano de dimensión n es isomorfo al espacio euclidiano Más precisamente, dado tal espacio euclidiano, uno puede elegir cualquier punto O como origen . Por el proceso de Gram-Schmidt , uno también puede encontrar una base ortonormal del espacio vectorial asociado (una base tal que el producto interno de dos vectores base es 0 si son diferentes y 1 si son iguales). Esto define las coordenadas cartesianas de cualquier punto P del espacio, como las coordenadas sobre esta base del vector Estas elecciones definen un isomorfismo del espacio euclidiano dado al mapear cualquier punto a la n -tupla de sus coordenadas cartesianas, y cada vector a su vector de coordenadas .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

Como el concepto de fuerza del físico tiene una dirección y una magnitud, puede verse como un vector. Como ejemplo, considere una fuerza hacia la derecha F de 15 newtons . Si el eje positivo también apunta hacia la derecha, entonces F está representada por el vector 15 N, y si el eje positivo apunta hacia la izquierda, entonces el vector para F es −15 N. En cualquier caso, la magnitud del vector es 15 N. Del mismo modo, la representación vectorial de un desplazamiento Δ s de 4 metros sería 4 m o −4 m, dependiendo de su dirección, y su magnitud sería 4 m independientemente.

Los vectores son fundamentales en las ciencias físicas. Se pueden utilizar para representar cualquier cantidad que tenga magnitud, dirección y que se adhiera a las reglas de la suma vectorial. Un ejemplo es la velocidad , cuya magnitud es la rapidez . Por ejemplo, la velocidad de 5 metros por segundo hacia arriba podría representarse mediante el vector (0, 5) (en 2 dimensiones con el eje y positivo como 'arriba'). Otra cantidad representada por un vector es la fuerza , ya que tiene una magnitud y dirección y sigue las reglas de la suma vectorial. ^[7] Los vectores también describen muchas otras cantidades físicas, como el desplazamiento lineal, el desplazamiento , la aceleración lineal, la aceleración angular , el momento lineal y el momento angular . Otros vectores físicos, como el campo eléctrico y magnético , se representan como un sistema de vectores en cada punto de un espacio físico; es decir, un campo vectorial . Ejemplos de cantidades que tienen magnitud y dirección, pero que no siguen las reglas de la suma vectorial, son el desplazamiento angular y la corriente eléctrica. En consecuencia, estos no son vectores.

En el sistema de coordenadas cartesianas , un vector límite se puede representar identificando las coordenadas de su punto inicial y terminal. Por ejemplo, los puntos A = (1, 0, 0) y B = (0, 1, 0) en el espacio determinan el vector límite que apunta desde el punto x = 1 en el eje x hasta el punto y = 1 en el eje y .${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$

En coordenadas cartesianas, un vector libre puede considerarse en términos de un vector límite correspondiente, en este sentido, cuyo punto inicial tiene las coordenadas del origen O = (0, 0, 0) . Entonces, queda determinado por las coordenadas del punto terminal de ese vector límite. Por lo tanto, el vector libre representado por (1, 0, 0) es un vector de longitud unitaria, que apunta a lo largo de la dirección del eje x positivo .

Esta representación de coordenadas de vectores libres permite expresar sus características algebraicas de una manera numérica conveniente. Por ejemplo, la suma de los dos vectores (libres) (1, 2, 3) y (−2, 0, 4) es el vector (libre)$${\displaystyle (1,2,3)+(-2,0,4)=(1-2,2+0,3+4)=(-1,2,7)\,.}$$

En los entornos geométricos y físicos, a veces es posible asociar, de manera natural, una longitud o magnitud y una dirección a los vectores. Además, la noción de dirección está estrictamente asociada con la noción de un ángulo entre dos vectores. Si se define el producto escalar de dos vectores, entonces también es posible definir una longitud; el producto escalar proporciona una caracterización algebraica conveniente tanto del ángulo (una función del producto escalar entre dos vectores no nulos) como de la longitud (la raíz cuadrada del producto escalar de un vector por sí mismo). En tres dimensiones, es posible definir además el producto vectorial , que proporciona una caracterización algebraica del área y la orientación en el espacio del paralelogramo definido por dos vectores (usados ​​como lados del paralelogramo). En cualquier dimensión (y, en particular, en dimensiones superiores), es posible definir el producto exterior , que (entre otras cosas) proporciona una caracterización algebraica del área y la orientación en el espacio del paralelotopo n -dimensional definido por n vectores.

En un espacio pseudoeuclidiano , la longitud al cuadrado de un vector puede ser positiva, negativa o cero. Un ejemplo importante es el espacio de Minkowski (que es importante para nuestra comprensión de la relatividad especial ).

Sin embargo, no siempre es posible o deseable definir la longitud de un vector. Este tipo más general de vector espacial es el tema de los espacios vectoriales (para vectores libres) y los espacios afines (para vectores ligados, cada uno representado por un par ordenado de "puntos"). Un ejemplo físico proviene de la termodinámica , donde muchas cantidades de interés pueden considerarse vectores en un espacio sin noción de longitud o ángulo. ^[15]

En física, así como en matemáticas, un vector se identifica a menudo con una tupla de componentes, o lista de números, que actúan como coeficientes escalares para un conjunto de vectores base . Cuando la base se transforma, por ejemplo por rotación o estiramiento, entonces los componentes de cualquier vector en términos de esa base también se transforman en un sentido opuesto. El vector en sí no ha cambiado, pero la base sí, por lo que los componentes del vector deben cambiar para compensar. El vector se llama covariante o contravariante , dependiendo de cómo la transformación de los componentes del vector se relaciona con la transformación de la base. En general, los vectores contravariantes son "vectores regulares" con unidades de distancia (como un desplazamiento), o distancia multiplicada por alguna otra unidad (como velocidad o aceleración); los vectores covariantes, por otro lado, tienen unidades de uno sobre distancia como gradiente . Si cambiamos las unidades (un caso especial de cambio de base ) de metros a milímetros, un factor de escala de 1/1000, un desplazamiento de 1 m se convierte en 1000 mm, un cambio contravariante en el valor numérico. Por el contrario, un gradiente de 1  K /m se convierte en 0,001 K/mm, un cambio covariante en el valor (para más información, consulte covarianza y contravarianza de vectores ). Los tensores son otro tipo de cantidad que se comporta de esta manera; un vector es un tipo de tensor .

En matemáticas puras , un vector es cualquier elemento de un espacio vectorial sobre un campo determinado y suele representarse como un vector de coordenadas . Los vectores descritos en este artículo son un caso muy especial de esta definición general, porque son contravariantes con respecto al espacio circundante. La contravariancia captura la intuición física que se esconde detrás de la idea de que un vector tiene "magnitud y dirección".

Los vectores se suelen denotar en negrita minúscula, como en , y , o en negrita cursiva minúscula, como en a . ( Las letras mayúsculas se utilizan normalmente para representar matrices ). Otras convenciones incluyen o a , especialmente en escritura a mano. Alternativamente, algunos utilizan una tilde (~) o un subrayado ondulado dibujado debajo del símbolo, p. ej . , que es una convención para indicar el tipo de letra en negrita. Si el vector representa una distancia o desplazamiento dirigido desde un punto A a un punto B (véase la figura), también se puede denotar como o AB . En la literatura alemana , era especialmente común representar vectores con letras fraktur pequeñas como .${\displaystyle \mathbf {u}}$${\displaystyle \mathbf {v}}$${\displaystyle \mathbf {w}}$${\displaystyle {\vec {a}}}$${\displaystyle {\underset {^{\sim }}{a}}}$${\displaystyle {\stackrel {\longrightarrow }{AB}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

Los vectores se suelen mostrar en gráficos u otros diagramas como flechas ( segmentos de línea dirigidos ), como se ilustra en la figura. Aquí, el punto A se denomina origen , cola , base o punto inicial , y el punto B se denomina cabeza , punta , punto final , punto terminal o punto final . La longitud de la flecha es proporcional a la magnitud del vector , mientras que la dirección en la que apunta la flecha indica la dirección del vector.

En un diagrama bidimensional, a veces se desea un vector perpendicular al plano del diagrama. Estos vectores se muestran comúnmente como pequeños círculos. Un círculo con un punto en su centro (Unicode U+2299 ⊙) indica un vector que apunta hacia afuera del frente del diagrama, hacia el observador. Un círculo con una cruz inscrita en él (Unicode U+2297 ⊗) indica un vector que apunta hacia adentro y detrás del diagrama. Estos pueden considerarse como ver la punta de una flecha y ver los vuelos de una flecha desde atrás.

Para realizar cálculos con vectores, la representación gráfica puede resultar demasiado engorrosa. Los vectores en un espacio euclidiano n -dimensional se pueden representar como vectores de coordenadas en un sistema de coordenadas cartesianas . El punto final de un vector se puede identificar con una lista ordenada de n números reales ( n - tupla ). Estos números son las coordenadas del punto final del vector, con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas dado , y se denominan típicamente componentes escalares (o proyecciones escalares ) del vector sobre los ejes del sistema de coordenadas.

Como ejemplo en dos dimensiones (ver figura), el vector desde el origen O = (0, 0) hasta el punto A = (2, 3) se escribe simplemente como$${\displaystyle \mathbf {a} =(2,3).}$$

La noción de que la cola del vector coincide con el origen es implícita y fácil de entender, por lo que la notación más explícita suele considerarse innecesaria (y, de hecho, rara vez se utiliza).${\displaystyle {\overrightarrow {OA}}}$

En el espacio euclidiano tridimensional (o R ³ ), los vectores se identifican con triples de componentes escalares: también escritos,$${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3}).}$$$${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z}).}$$

Esto puede generalizarse al espacio euclidiano n-dimensional (o R ⁿ ).$${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n-1},a_{n}).}$$

Estos números a menudo se organizan en un vector de columna o vector de fila , particularmente cuando se trata de matrices , de la siguiente manera:$${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\\end{bmatrix}}=[a_{1}\ a_{2}\ a_{3}]^{\operatorname {T} }.}$$

Otra forma de representar un vector en n dimensiones es introducir los vectores base estándar . Por ejemplo, en tres dimensiones, hay tres: Éstos tienen la interpretación intuitiva como vectores de longitud unitaria que apuntan hacia arriba, respectivamente, a los ejes x , y y z de un sistema de coordenadas cartesianas . En términos de éstos, cualquier vector a en R ³ puede expresarse en la forma:$${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1}=(1,0,0),\ {\mathbf {e} }_{2}=(0,1,0),\ {\mathbf {e} }_{3}=(0,0,1).}$$$${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1),\ }$$

o$${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\mathbf {a} _{3}=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3},}$$

donde a ₁ , a ₂ , a ₃ se denominan componentes vectoriales (o proyecciones vectoriales ) de a sobre los vectores base o, equivalentemente, sobre los ejes cartesianos correspondientes x , y y z (véase la figura), mientras que a ₁ , a ₂ , a ₃ son los respectivos componentes escalares (o proyecciones escalares).

En los libros de texto introductorios de física, los vectores base estándar se denotan a menudo en su lugar (o , en el que el símbolo del sombrero normalmente denota vectores unitarios ). En este caso, los componentes escalares y vectoriales se denotan respectivamente a _x , a _y , a _z , y a _x , a _y , a _z (nótese la diferencia en negrita). Por lo tanto,${\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {}} }$

$${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{x}+\mathbf {a} _{y}+\mathbf {a} _{z}=a_{x}{\mathbf {i} }+a_{y}{\mathbf {j} }+a_{z}{\mathbf {k} }.}$$

La notación e _i es compatible con la notación de índice y la convención de suma comúnmente utilizadas en matemáticas, física e ingeniería de nivel superior.

Como se explicó anteriormente, un vector suele describirse mediante un conjunto de componentes vectoriales que se suman para formar el vector dado. Normalmente, estos componentes son las proyecciones del vector sobre un conjunto de ejes de referencia mutuamente perpendiculares (vectores base). Se dice que el vector se descompone o resuelve con respecto a ese conjunto.

La descomposición o resolución ^[16] de un vector en componentes no es única, pues depende de la elección de los ejes sobre los que se proyecta el vector.

Además, no es obligatorio el uso de vectores unitarios cartesianos como base para representar un vector. Los vectores también se pueden expresar en términos de una base arbitraria, incluidos los vectores unitarios de un sistema de coordenadas cilíndricas ( ) o esféricas ( ). Las dos últimas opciones son más convenientes para resolver problemas que poseen simetría cilíndrica o esférica, respectivamente.${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\rho }}},{\boldsymbol {\hat {\phi }}},\mathbf {\hat {z}} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} ,{\boldsymbol {\hat {\theta }}},{\boldsymbol {\hat {\phi }}}}$

La elección de una base no afecta las propiedades de un vector ni su comportamiento bajo transformaciones.

Un vector también puede descomponerse con respecto a vectores base "no fijos" que cambian su orientación en función del tiempo o del espacio. Por ejemplo, un vector en el espacio tridimensional puede descomponerse con respecto a dos ejes, respectivamente normal y tangente a una superficie (véase la figura). Además, los componentes radial y tangencial de un vector se relacionan con el radio de rotación de un objeto. El primero es paralelo al radio y el segundo es ortogonal a él. ^[17]

En estos casos, cada uno de los componentes puede a su vez descomponerse con respecto a un sistema de coordenadas fijo o un conjunto base (por ejemplo, un sistema de coordenadas global o un marco de referencia inercial ).

En la siguiente sección se utiliza el sistema de coordenadas cartesianas con vectores base y se supone que todos los vectores tienen el origen como punto base común. Un vector a se escribirá como$${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1}=(1,0,0),\ {\mathbf {e} }_{2}=(0,1,0),\ {\mathbf {e} }_{3}=(0,0,1)}$$$${\displaystyle {\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}.}$$

Se dice que dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud y dirección. De manera equivalente, serán iguales si sus coordenadas son iguales. Por lo tanto, dos vectores y son iguales si$${\displaystyle {\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$$$${\displaystyle {\mathbf {b} }=b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$$$${\displaystyle a_{1}=b_{1},\quad a_{2}=b_{2},\quad a_{3}=b_{3}.\,}$$

Dos vectores son opuestos si tienen la misma magnitud pero dirección opuesta ; ^[18] entonces dos vectores

$${\displaystyle {\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$$

y

$${\displaystyle {\mathbf {b} }=b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$$

son opuestos si

$${\displaystyle a_{1}=-b_{1},\quad a_{2}=-b_{2},\quad a_{3}=-b_{3}.\,}$$

Dos vectores son equidireccionales (o codireccionales ) si tienen la misma dirección pero no necesariamente la misma magnitud. ^[18] Dos vectores son paralelos si tienen la misma dirección o dirección opuesta, pero no necesariamente la misma magnitud; dos vectores son antiparalelos si tienen dirección estrictamente opuesta, pero no necesariamente la misma magnitud. ^[a]

La suma de a y b de dos vectores puede definirse como El vector resultante a veces se denomina vector resultante de a y b .$${\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} =(a_{1}+b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}+b_{2})\mathbf {e} _{2}+(a_{3}+b_{3})\mathbf {e} _{3}.}$$

La adición se puede representar gráficamente colocando la cola de la flecha b en la punta de la flecha a y dibujando luego una flecha desde la cola de a hasta la punta de b . La nueva flecha dibujada representa el vector a + b , como se ilustra a continuación: ^[7]

Este método de adición a veces se denomina regla del paralelogramo porque a y b forman los lados de un paralelogramo y a + b es una de las diagonales. Si a y b son vectores ligados que tienen el mismo punto base, este punto también será el punto base de a + b . Se puede comprobar geométricamente que a + b = b + a y ( a + b ) + c = a + ( b + c ).

La diferencia de a y b es

$${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} =(a_{1}-b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}-b_{2})\mathbf {e} _{2}+(a_{3}-b_{3})\mathbf {e} _{3}.}$$

La resta de dos vectores se puede ilustrar geométricamente de la siguiente manera: para restar b de a , se colocan las colas de a y b en el mismo punto y luego se dibuja una flecha desde la cabeza de b hasta la cabeza de a . Esta nueva flecha representa el vector (-b) + a , donde (-b) es el opuesto de b , ver dibujo. Y (-b) + a = a − b .

Un vector también puede multiplicarse, o reescalarse , por cualquier número real r . En el contexto del álgebra vectorial convencional , estos números reales suelen llamarse escalares (de scale ) para distinguirlos de los vectores. La operación de multiplicar un vector por un escalar se denomina multiplicación escalar . El vector resultante es

$${\displaystyle r\mathbf {a} =(ra_{1})\mathbf {e} _{1}+(ra_{2})\mathbf {e} _{2}+(ra_{3})\mathbf {e} _{3}.}$$

De manera intuitiva, multiplicar por un escalar r alarga un vector por un factor de r . Geométricamente, esto se puede visualizar (al menos en el caso en que r es un entero) como colocar r copias del vector en una línea donde el punto final de un vector es el punto inicial del siguiente vector.

Si r es negativo, el vector cambia de dirección: gira un ángulo de 180°. A continuación se ofrecen dos ejemplos ( r = −1 y r = 2):

La multiplicación escalar es distributiva respecto de la suma de vectores en el siguiente sentido: r ( a + b ) = r a + r b para todos los vectores a y b y todos los escalares r . También se puede demostrar que a − b = a + (−1) b .

La longitud , magnitud o norma del vector a se denota por ‖ a ‖ o, menos comúnmente, | a |, que no debe confundirse con el valor absoluto (una "norma" escalar).

La longitud del vector a se puede calcular con la norma euclidiana ,

$${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}},}$$

lo cual es una consecuencia del teorema de Pitágoras ya que los vectores base e ₁ , e ₂ , e ₃ son vectores unitarios ortogonales.

Esto resulta ser igual a la raíz cuadrada del producto escalar , que se analiza a continuación, del vector consigo mismo:

$${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}.}$$

Un vector unitario es cualquier vector con una longitud de uno; normalmente, los vectores unitarios se utilizan simplemente para indicar la dirección. Un vector de longitud arbitraria se puede dividir por su longitud para crear un vector unitario. ^[14] Esto se conoce como normalizar un vector. Un vector unitario a menudo se indica con un sombrero como en â .

Para normalizar un vector a = ( a ₁ , a ₂ , a ₃ ) , se escala el vector por el recíproco de su longitud ‖ a ‖. Es decir:

$${\displaystyle \mathbf {\hat {a}} ={\frac {\mathbf {a} }{\left\|\mathbf {a} \right\|}}={\frac {a_{1}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{1}+{\frac {a_{2}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {a_{3}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{3}}$$

El vector cero es el vector con longitud cero. Escrito en coordenadas, el vector es (0, 0, 0) , y comúnmente se denota , 0 , o simplemente 0 . A diferencia de cualquier otro vector, tiene una dirección arbitraria o indeterminada, y no se puede normalizar (es decir, no hay ningún vector unitario que sea múltiplo del vector cero). La suma del vector cero con cualquier vector a es a (es decir, 0 + a = a ).${\displaystyle {\vec {0}}}$

El producto escalar de dos vectores a y b (a veces llamado producto interno o, dado que su resultado es un escalar, producto escalar ) se denota por a  ∙  b, y se define como:

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta ,}$$

donde θ es la medida del ángulo entre a y b (ver la función trigonométrica para una explicación del coseno). Geométricamente, esto significa que a y b se dibujan con un punto de inicio común, y luego la longitud de a se multiplica por la longitud del componente de b que apunta en la misma dirección que a .

El producto escalar también se puede definir como la suma de los productos de los componentes de cada vector como

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.}$$

El producto vectorial (también llamado producto vectorial o producto externo ) solo tiene sentido en tres o siete dimensiones. El producto vectorial se diferencia del producto escalar principalmente en que el resultado del producto vectorial de dos vectores es un vector. El producto vectorial, denotado a  ×  b , es un vector perpendicular tanto a a como a b y se define como

$${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\sin(\theta )\,\mathbf {n} }$$

donde θ es la medida del ángulo entre a y b , y n es un vector unitario perpendicular tanto a a como a b que completa un sistema diestro . La restricción de lateralidad es necesaria porque existen dos vectores unitarios que son perpendiculares tanto a a como a b , a saber, n y (− n ).

El producto vectorial a  ×  b se define de modo que a , b y a  ×  b también se conviertan en un sistema dextrógiro (aunque a y b no sean necesariamente ortogonales ). Esta es la regla de la mano derecha .

La longitud de a  ×  b se puede interpretar como el área del paralelogramo que tiene a y b como lados.

El producto vectorial se puede escribir como$${\displaystyle {\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} }=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}){\mathbf {e} }_{2}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}){\mathbf {e} }_{3}.}$$

Para elecciones arbitrarias de orientación espacial (es decir, permitiendo sistemas de coordenadas tanto para zurdos como para diestros) el producto vectorial de dos vectores es un pseudovector en lugar de un vector (ver más abajo).

El producto triple escalar (también llamado producto de caja o producto triple mixto ) no es realmente un operador nuevo, sino una forma de aplicar los otros dos operadores de multiplicación a tres vectores. El producto triple escalar a veces se denota por ( a b c ) y se define como:

$${\displaystyle (\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ).}$$

Tiene tres usos principales. En primer lugar, el valor absoluto del producto de caja es el volumen del paralelepípedo que tiene aristas definidas por los tres vectores. En segundo lugar, el triple producto escalar es cero si y solo si los tres vectores son linealmente dependientes , lo que se puede demostrar fácilmente considerando que para que los tres vectores no formen un volumen, todos deben estar en el mismo plano. En tercer lugar, el producto de caja es positivo si y solo si los tres vectores a , b y c son diestros.

En componentes ( con respecto a una base ortonormal diestra ), si se piensa en los tres vectores como filas (o columnas, pero en el mismo orden), el triple producto escalar es simplemente el determinante de la matriz de 3 por 3 que tiene los tres vectores como filas.$${\displaystyle (\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}}$$

El triple producto escalar es lineal en las tres entradas y antisimétrico en el siguiente sentido:$${\displaystyle (\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )=(\mathbf {c} \ \mathbf {a} \ \mathbf {b} )=(\mathbf {b} \ \mathbf {c} \ \mathbf {a} )=-(\mathbf {a} \ \mathbf {c} \ \mathbf {b} )=-(\mathbf {b} \ \mathbf {a} \ \mathbf {c} )=-(\mathbf {c} \ \mathbf {b} \ \mathbf {a} ).}$$

Hasta ahora, todos los ejemplos se han referido a vectores expresados ​​en términos de la misma base, es decir, la base e { e ₁ , e ₂ , e ₃ }. Sin embargo, un vector se puede expresar en términos de cualquier número de bases diferentes que no necesariamente estén alineadas entre sí, y aun así seguir siendo el mismo vector. En la base e , un vector a se expresa, por definición, como

$${\displaystyle \mathbf {a} =p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3}.}$$

Los componentes escalares en la base e son, por definición,

$${\displaystyle {\begin{aligned}p&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{1},\\q&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{2},\\r&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{3}.\end{aligned}}}$$

En otra base ortonormal n = { n ₁ , n ₂ , n ₃ } que no está necesariamente alineada con e , el vector a se expresa como

$${\displaystyle \mathbf {a} =u\mathbf {n} _{1}+v\mathbf {n} _{2}+w\mathbf {n} _{3}}$$

y los componentes escalares en la base n son, por definición,

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{1},\\v&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{2},\\w&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{3}.\end{aligned}}}$$

Los valores de p , q , r y u , v , w se relacionan con los vectores unitarios de tal manera que la suma vectorial resultante es exactamente el mismo vector físico a en ambos casos. Es común encontrar vectores conocidos en términos de diferentes bases (por ejemplo, una base fija a la Tierra y una segunda base fija a un vehículo en movimiento). En tal caso, es necesario desarrollar un método para convertir entre bases de modo que se puedan realizar las operaciones vectoriales básicas, como la suma y la resta. Una forma de expresar u , v , w en términos de p , q , r es usar matrices de columnas junto con una matriz de coseno de dirección que contenga la información que relaciona las dos bases. Tal expresión se puede formar mediante la sustitución de las ecuaciones anteriores para formar

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {n} _{1},\\v&=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {n} _{2},\\w&=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {n} _{3}.\end{aligned}}}$$

Distribuyendo la multiplicación por puntos se obtiene

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{1}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{1},\\v&=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{2}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{2},\\w&=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{3}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{3}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{3}.\end{aligned}}}$$

Reemplazar cada producto escalar por un escalar único da

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&=c_{11}p+c_{12}q+c_{13}r,\\v&=c_{21}p+c_{22}q+c_{23}r,\\w&=c_{31}p+c_{32}q+c_{33}r,\end{aligned}}}$$

y estas ecuaciones se pueden expresar como la ecuación matricial única

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}u\\v\\w\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p\\q\\r\end{bmatrix}}.}$$

Esta ecuación matricial relaciona los componentes escalares de a en la base n ( u , v y w ) con los de la base e ( p , q y r ). Cada elemento de la matriz c _jk es el coseno director que relaciona n _j con e _k . ^[19] El término coseno director se refiere al coseno del ángulo entre dos vectores unitarios, que también es igual a su producto escalar. ^[19] Por lo tanto,

$${\displaystyle {\begin{aligned}c_{11}&=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{1}\\c_{12}&=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\\c_{13}&=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{3}\\c_{21}&=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{1}\\c_{22}&=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{2}\\c_{23}&=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{3}\\c_{31}&=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{1}\\c_{32}&=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{2}\\c_{33}&=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{3}\end{aligned}}}$$

Al referirnos colectivamente a e ₁ , e ₂ , e ₃ como la base e y a n ₁ , n ₂ , n ₃ como la base n , la matriz que contiene todos los c _jk se conoce como la " matriz de transformación de e a n ", o la " matriz de rotación de e a n " (porque puede imaginarse como la "rotación" de un vector de una base a otra), o la "matriz de cosenos directores de e a n " ^[19] (porque contiene cosenos directores). Las propiedades de una matriz de rotación son tales que su inversa es igual a su transpuesta . Esto significa que la "matriz de rotación de e a n " es la transpuesta de la "matriz de rotación de n a e ".

Las propiedades de una matriz de coseno de dirección, C son: ^[20]

• el determinante es la unidad, |C| = 1;
• la inversa es igual a la transpuesta;
• Las filas y columnas son vectores unitarios ortogonales, por lo tanto, sus productos escalares son cero.

La ventaja de este método es que una matriz de coseno de dirección generalmente se puede obtener independientemente utilizando ángulos de Euler o un cuaternión para relacionar las dos bases vectoriales, por lo que las conversiones de bases se pueden realizar directamente, sin tener que calcular todos los productos puntuales descritos anteriormente.

Aplicando varias multiplicaciones de matrices en sucesión, cualquier vector puede expresarse en cualquier base siempre que se conozca el conjunto de cosenos directores que relacionan las bases sucesivas. ^[19]

Con excepción de los productos cruzados y triples, las fórmulas anteriores se generalizan a dos dimensiones y dimensiones superiores. Por ejemplo, la suma se generaliza a dos dimensiones como y en cuatro dimensiones como$${\displaystyle (a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2})+(b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2})=(a_{1}+b_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{2}+b_{2}){\mathbf {e} }_{2},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}(a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}+a_{4}{\mathbf {e} }_{4})&+(b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}+b_{4}{\mathbf {e} }_{4})=\\(a_{1}+b_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{2}+b_{2}){\mathbf {e} }_{2}&+(a_{3}+b_{3}){\mathbf {e} }_{3}+(a_{4}+b_{4}){\mathbf {e} }_{4}.\end{aligned}}}$$

El producto vectorial no se generaliza fácilmente a otras dimensiones, aunque sí lo hace el producto exterior , estrechamente relacionado , cuyo resultado es un bivector . En dos dimensiones, esto es simplemente un pseudoescalar$${\displaystyle (a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2})\wedge (b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2})=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}.}$$

Un producto vectorial de siete dimensiones es similar al producto vectorial en que su resultado es un vector ortogonal a los dos argumentos; sin embargo, no existe una forma natural de seleccionar uno de los posibles productos de este tipo.

Los vectores tienen muchos usos en la física y otras ciencias.

En espacios vectoriales abstractos, la longitud de la flecha depende de una escala adimensional . Si representa, por ejemplo, una fuerza, la "escala" es de dimensión física longitud/fuerza. Por lo tanto, normalmente hay coherencia en la escala entre cantidades de la misma dimensión, pero, de lo contrario, las proporciones de escala pueden variar; por ejemplo, si "1 newton" y "5 m" se representan con una flecha de 2 cm, las escalas son 1 m:50 N y 1:250 respectivamente. La misma longitud de vectores de diferente dimensión no tiene un significado particular a menos que haya alguna constante de proporcionalidad inherente al sistema que representa el diagrama. Además, la longitud de un vector unitario (de dimensión longitud, no longitud/fuerza, etc.) no tiene un significado invariante respecto del sistema de coordenadas.

En las áreas de física y matemáticas, un vector evoluciona con el tiempo, lo que significa que depende de un parámetro temporal t . Por ejemplo, si r representa el vector de posición de una partícula, entonces r ( t ) da una representación paramétrica de la trayectoria de la partícula. Las funciones con valores vectoriales se pueden diferenciar e integrar diferenciando o integrando los componentes del vector, y muchas de las reglas conocidas del cálculo siguen siendo válidas para la derivada y la integral de las funciones con valores vectoriales.

La posición de un punto x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) en el espacio tridimensional se puede representar como un vector de posición cuyo punto base es el origen . El vector de posición tiene dimensiones de longitud .$${\displaystyle {\mathbf {x} }=x_{1}{\mathbf {e} }_{1}+x_{2}{\mathbf {e} }_{2}+x_{3}{\mathbf {e} }_{3}.}$$

Dados dos puntos x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ), y = ( y ₁ , y ₂ , y ₃ ) su desplazamiento es un vector que especifica la posición de y con respecto a x . La longitud de este vector da la distancia en línea recta de x a y . El desplazamiento tiene las dimensiones de longitud.$${\displaystyle {\mathbf {y} }-{\mathbf {x} }=(y_{1}-x_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(y_{2}-x_{2}){\mathbf {e} }_{2}+(y_{3}-x_{3}){\mathbf {e} }_{3}.}$$

La velocidad v de un punto o partícula es un vector, su longitud da la rapidez . Para velocidad constante la posición en el tiempo t será donde x ₀ es la posición en el tiempo t = 0. La velocidad es la derivada temporal de la posición. Sus dimensiones son longitud/tiempo.$${\displaystyle {\mathbf {x} }_{t}=t{\mathbf {v} }+{\mathbf {x} }_{0},}$$

La aceleración a de un punto es un vector que es la derivada temporal de la velocidad. Sus dimensiones son longitud/tiempo ² .

La fuerza es un vector con dimensiones de masa × longitud / tiempo ² (N ms ^-2 ) y la segunda ley de Newton es la multiplicación escalar$${\displaystyle {\mathbf {F} }=m{\mathbf {a} }}$$

El trabajo es el producto escalar de la fuerza y ​​el desplazamiento.$${\displaystyle W={\mathbf {F} }\cdot ({\mathbf {x} }_{2}-{\mathbf {x} }_{1}).}$$

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Una caracterización alternativa de los vectores euclidianos, especialmente en física, los describe como listas de cantidades que se comportan de una determinada manera bajo una transformación de coordenadas . Se requiere que un vector contravariante tenga componentes que "se transformen en sentido opuesto a la base" bajo cambios de base . El vector en sí no cambia cuando se transforma la base; en cambio, los componentes del vector realizan un cambio que cancela el cambio en la base. En otras palabras, si los ejes de referencia (y la base derivada de ellos) se rotaran en una dirección, la representación de componentes del vector rotaría en sentido opuesto para generar el mismo vector final. De manera similar, si los ejes de referencia se estiraran en una dirección, los componentes del vector se reducirían de manera exactamente compensatoria. Matemáticamente, si la base sufre una transformación descrita por una matriz invertible M , de modo que un vector de coordenadas x se transforma en x ′ = M x , entonces un vector contravariante v debe transformarse de manera similar mediante v ′ = M v${\displaystyle ^{-1}}$ . Este importante requisito es lo que distingue a un vector contravariante de cualquier otro triple de cantidades físicamente significativas. Por ejemplo, si v consiste en los componentes x , y y z de la velocidad , entonces v es un vector contravariante: si las coordenadas del espacio se estiran, rotan o tuercen, entonces los componentes de la velocidad se transforman de la misma manera. Por otro lado, por ejemplo, un triple que consiste en la longitud, el ancho y la altura de una caja rectangular podría formar los tres componentes de un vector abstracto , pero este vector no sería contravariante, ya que rotar la caja no cambia la longitud, el ancho y la altura de la caja. Ejemplos de vectores contravariantes incluyen desplazamiento , velocidad , campo eléctrico , momento , fuerza y ​​aceleración .

En el lenguaje de la geometría diferencial , el requisito de que los componentes de un vector se transformen de acuerdo con la misma matriz de la transición de coordenadas es equivalente a definir un vector contravariante como un tensor de rango contravariante uno. Alternativamente, un vector contravariante se define como un vector tangente y las reglas para transformar un vector contravariante se derivan de la regla de la cadena .

Algunos vectores se transforman como vectores contravariantes, excepto que cuando se reflejan a través de un espejo, se invierten y adquieren un signo menos. Se dice que una transformación que cambia la orientación del espacio de derecha a izquierda y viceversa como lo hace un espejo cambia la orientación del espacio. Un vector que adquiere un signo menos cuando cambia la orientación del espacio se llama pseudovector o vector axial . Los vectores ordinarios a veces se denominan vectores verdaderos o vectores polares para distinguirlos de los pseudovectores. Los pseudovectores se presentan con mayor frecuencia como el producto vectorial de dos vectores ordinarios.

Un ejemplo de un pseudovector es la velocidad angular . Al conducir un automóvil y mirar hacia adelante, cada una de las ruedas tiene un vector de velocidad angular que apunta hacia la izquierda. Si el mundo se refleja en un espejo que cambia el lado izquierdo y derecho del automóvil, el reflejo de este vector de velocidad angular apunta hacia la derecha, pero el vector de velocidad angular real de la rueda sigue apuntando hacia la izquierda, lo que corresponde al signo menos. Otros ejemplos de pseudovectores incluyen el campo magnético , el par o, de manera más general, cualquier producto vectorial de dos vectores (verdaderos).

Esta distinción entre vectores y pseudovectores a menudo se ignora, pero se vuelve importante al estudiar las propiedades de simetría .

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• "Vector", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Identidades vectoriales en línea ( PDF )
• Introducción a los vectores Una introducción conceptual ( matemáticas aplicadas )