Operación algebraica

En matemáticas , una operación algebraica básica es cualquiera de las operaciones comunes del álgebra elemental , que incluyen la suma , la resta , la multiplicación , la división , la elevación a una potencia de un número entero y la extracción de raíces ( potencia fraccionaria ). ^[1] Estas operaciones se pueden realizar con números , en cuyo caso se las suele llamar operaciones aritméticas . También se pueden realizar, de manera similar, con variables , expresiones algebraicas , ^[2] y, de manera más general, con elementos de estructuras algebraicas , como grupos y cuerpos . ^[3] Una operación algebraica también se puede definir de manera más general como una función de una potencia cartesiana de un conjunto dado al mismo conjunto. ^[4]

El término operación algebraica también se puede utilizar para operaciones que se pueden definir mediante la combinación de operaciones algebraicas básicas, como el producto escalar . En cálculo y análisis matemático , la operación algebraica también se utiliza para las operaciones que se pueden definir mediante métodos puramente algebraicos . Por ejemplo, la exponenciación con un exponente entero o racional es una operación algebraica, pero no la exponenciación general con un exponente real o complejo . Además, la derivada es una operación que no es algebraica.

Los símbolos de multiplicación se suelen omitir y se implican cuando no hay un operador entre dos variables o términos, o cuando se utiliza un coeficiente . Por ejemplo, 3 × x ² se escribe como 3 x ² y 2 × x × y se escribe como 2 xy . ^[5] A veces, los símbolos de multiplicación se sustituyen por un punto o un punto central, de modo que x  × y se escribe como x . y o x · y . El texto simple , los lenguajes de programación y las calculadoras también utilizan un único asterisco para representar el símbolo de multiplicación, ^[6] y debe utilizarse explícitamente; por ejemplo, 3 x se escribe como 3 * x .

En lugar de utilizar el ambiguo signo de división (÷), ^[una] división suele representarse con un vinculum , una línea horizontal, como en ⁠3/x + 1En texto simple y lenguajes de programación, se utiliza una barra (también llamada barra sólida ), p. ej. 3 / ( x + 1).

Los exponentes suelen formatearse utilizando superíndices, como en x ² . En texto simple , el lenguaje de marcado TeX y algunos lenguajes de programación como MATLAB y Julia , el símbolo de intercalación , ^, representa exponentes, por lo que x ² se escribe como x ^ 2. ^{[8] [9]} En lenguajes de programación como Ada , ^[10] Fortran , ^[11] Perl , ^[12] Python ^[13] y Ruby , ^[14] se utiliza un asterisco doble, por lo que x ² se escribe como x ** 2.

El signo más-menos , ±, se utiliza como notación abreviada para dos expresiones escritas como una sola, representando una expresión con un signo más y la otra con un signo menos. Por ejemplo, y = x ± 1 representa las dos ecuaciones y = x + 1 e y = x − 1. A veces, se utiliza para indicar un término positivo o negativo como ± x .

Las operaciones algebraicas funcionan de la misma manera que las operaciones aritméticas , como se puede ver en la siguiente tabla.

Operación	Ejemplo aritmético	Ejemplo de álgebra	Comentarios ≡ significa "equivalente a" ≢ significa "no equivalente a"
Suma	${\displaystyle (5\times 5)+5+5+3}$ equivalente a: ${\displaystyle 5^{2}+(2\times 5)+3}$	${\displaystyle (b\times b)+b+b+a}$ equivalente a: $Estilo de visualización b^{2}+2b+a$	${\displaystyle {\begin{aligned}2\veces b&\equiv 2b\\b+b+b&\equiv 3b\\b\veces b&\equiv b^{2}\end{aligned}}}$
Sustracción	${\displaystyle (7\times 7)-7-5}$ equivalente a: $Estilo de visualización 7^{2}-7-5$	${\displaystyle (b\times b)-ba}$ equivalente a: $Estilo de visualización b^{2}-ba$	${\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}-b&\no \equiv b\\3b-b&\equiv 2b\\b^{2}-b&\equiv b(b-1)\end{aligned}}}$
Multiplicación	${\displaystyle 3\times 5}$o ${\estilo de visualización 3\ .\ 5}$   o   ${\displaystyle 3\cdot 5}$ o   ${\estilo de visualización (3)(5)}$	${\displaystyle a\times b}$o ${\estilo de visualización ab}$   o   ${\displaystyle a\cdot b}$ o   ${\estilo de visualización ab}$	${\displaystyle a\veces a\veces a}$es lo mismo que${\estilo de visualización a^{3}}$
División	${\estilo de visualización 12\div 4}$o   ${\estilo de visualización 12/4}$o   ${\displaystyle {\frac {12}{4}}}$	${\estilo de visualización b\div a}$o   ${\estilo de visualización b/a}$o   ${\displaystyle {\frac {b}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {a+b}{3}}\equiv {\tfrac {1}{3}}\times (a+b)}$
Exponenciación	${\displaystyle 3^{\frac {1}{2}}}$   ${\estilo de visualización 2^{3}}$	${\displaystyle a^{\frac {1}{2}}}$   $Estilo de visualización b^{3}}$	${\displaystyle a^{\frac {1}{2}}}$es lo mismo que${\displaystyle {\sqrt {a}}}$   $Estilo de visualización b^{3}}$es lo mismo que${\displaystyle b\veces b\veces b}$

Nota: el uso de las letras y es arbitrario, y los ejemplos habrían sido igualmente válidos si se hubieran utilizado y .${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$

Propiedad	Ejemplo aritmético	Ejemplo de álgebra	Comentarios ≡ significa "equivalente a" ≢ significa "no equivalente a"
Conmutatividad	${\estilo de visualización 3+5=5+3}$ ${\displaystyle 3\veces 5=5\veces 3}$	${\estilo de visualización a+b=b+a}$ ${\displaystyle a\veces b=b\veces a}$	La suma y la multiplicación son conmutativas y asociativas. [15] La resta y la división no son: p.ej${\displaystyle ab\no \equiv ba}$
Asociatividad	${\displaystyle (3+5)+7=3+(5+7)}$ ${\displaystyle (3\veces 5)\veces 7=3\veces (5\veces 7)}$	${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ ${\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)}$

• Expresión algebraica
• Función algebraica
• Álgebra elemental
• Factorización de una expresión cuadrática
• Orden de operaciones