Notación de Einstein

En matemáticas , especialmente en el uso del álgebra lineal en la física matemática y la geometría diferencial , la notación de Einstein (también conocida como convención de suma de Einstein o notación de suma de Einstein ) es una convención de notación que implica la suma sobre un conjunto de términos indexados en una fórmula, logrando así brevedad. Como parte de las matemáticas, es un subconjunto de notación del cálculo de Ricci ; sin embargo, a menudo se usa en aplicaciones de física que no distinguen entre espacios tangentes y cotangentes . Fue introducida a la física por Albert Einstein en 1916. ^[1]

Según esta convención, cuando una variable de índice aparece dos veces en un único término y no está definida de otra manera (ver Variables libres y acotadas ), implica la suma de ese término sobre todos los valores del índice. Por lo tanto, cuando los índices pueden abarcar el conjunto {1, 2, 3} , la convención simplifica:$${\displaystyle y=\sum _{i=1}^{3}c_{i}x^{i}=c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}}$$$${\displaystyle y=c_{i}x^{i}}$$

Los índices superiores no son exponentes sino índices de coordenadas, coeficientes o vectores base . Es decir, en este contexto x ² debe entenderse como el segundo componente de x en lugar del cuadrado de x (esto puede conducir ocasionalmente a ambigüedad). La posición del índice superior en x ⁱ se debe a que, típicamente, un índice aparece una vez en una posición superior (superíndice) y una vez en una posición inferior (subíndice) en un término (ver § Aplicación a continuación). Típicamente, ( x ¹ x ² x ³ ) sería equivalente al tradicional ( x y z ) .

En relatividad general , una convención común es que

• El alfabeto griego se utiliza para los componentes de espacio y tiempo, donde los índices toman los valores 0, 1, 2 o 3 (las letras utilizadas con frecuencia son μ , ν , ... ),
• El alfabeto latino se utiliza únicamente para componentes espaciales, donde los índices toman los valores 1, 2 o 3 (las letras utilizadas con frecuencia son i , j , ... ),

En general, los índices pueden abarcar cualquier conjunto de índices , incluido un conjunto infinito . Esto no debe confundirse con una convención tipográficamente similar que se utiliza para distinguir entre la notación de índice tensorial y la notación de índice abstracto independiente de la base, estrechamente relacionada pero distinta .

Un índice que se suma es un índice de suma , en este caso " i  ". También se lo denomina índice ficticio , ya que cualquier símbolo puede reemplazar a " i  " sin cambiar el significado de la expresión (siempre que no entre en conflicto con otros símbolos de índice en el mismo término).

Un índice que no se suma es un índice libre y debe aparecer solo una vez por término. Si aparece un índice de este tipo, normalmente también aparece en todos los demás términos de una ecuación. Un ejemplo de un índice libre es la " i  " en la ecuación , que es equivalente a la ecuación .${\displaystyle v_{i}=a_{i}b_{j}x^{j}}$${\textstyle v_{i}=\sum _{j}(a_{i}b_{j}x^{j})}$

La notación de Einstein se puede aplicar de formas ligeramente diferentes. Normalmente, cada índice aparece una vez en una posición superior (superíndice) y una vez en una posición inferior (subíndice) en un término; sin embargo, la convención se puede aplicar de forma más general a cualquier índice repetido dentro de un término. ^[2] Cuando se trata de vectores covariantes y contravariantes , donde la posición de un índice indica el tipo de vector, normalmente se aplica el primer caso; un vector covariante solo se puede contraer con un vector contravariante, lo que corresponde a la suma de los productos de coeficientes. Por otro lado, cuando hay una base de coordenadas fija (o cuando no se consideran vectores de coordenadas), se puede optar por utilizar solo subíndices; consulte § Superíndices y subíndices frente a solo subíndices a continuación.

En términos de covarianza y contravarianza de vectores ,

• Los índices superiores representan componentes de vectores contravariantes ( vectores ),
• Los índices inferiores representan componentes de vectores covariantes ( covectores ).

Se transforman contravariante o covariantemente, respectivamente, con respecto al cambio de base .

En reconocimiento de este hecho, la siguiente notación utiliza el mismo símbolo tanto para un vector o covector como para sus componentes , como en:$${\displaystyle {\begin{aligned}v=v^{i}e_{i}={\begin{bmatrix}e_{1}&e_{2}&\cdots &e_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\\\vdots \\v^{n}\end{bmatrix}}\\w=w_{i}e^{i}={\begin{bmatrix}w_{1}&w_{2}&\cdots &w_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{1}\\e^{2}\\\vdots \\e^{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

donde v es el vector y v ⁱ son sus componentes (no el i- ésimo covector v ), w es el covector y w _i son sus componentes. Los elementos del vector base son cada uno de los vectores columna, y los elementos de la base del covector son cada uno de los covectores fila. (Véase también § Descripción abstracta; dualidad , más abajo y los ejemplos )${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle e^{i}}$

En presencia de una forma no degenerada (un isomorfismo V → V ^∗ , por ejemplo una métrica de Riemann o una métrica de Minkowski ), se pueden aumentar y disminuir los índices .

Una base da dicha forma (a través de la base dual ), por lo tanto, cuando se trabaja en R ⁿ con una métrica euclidiana y una base ortonormal fija , uno tiene la opción de trabajar solo con subíndices.

Sin embargo, si uno cambia las coordenadas, la forma en que cambian los coeficientes depende de la varianza del objeto, y no se puede ignorar la distinción; ver Covarianza y contravarianza de vectores .

En el ejemplo anterior, los vectores se representan como matrices n × 1 (vectores de columna), mientras que los covectores se representan como matrices 1 × n (covectores de fila).

Al utilizar la convención de vectores de columna:

• " Los índices superiores van de arriba a abajo; los índices inferiores van de izquierda a derecha".
• " Los tensores covariantes son vectores de fila que tienen índices que están por debajo ( co-fila-abajo )".
• Los covectores son vectores de fila: por lo tanto, el índice inferior indica en qué columna se encuentra.$${\displaystyle {\begin{bmatrix}w_{1}&\cdots &w_{k}\end{bmatrix}}.}$$
• Los vectores contravariantes son vectores columna: por lo tanto, el índice superior indica en qué fila se encuentra.$${\displaystyle {\begin{bmatrix}v^{1}\\\vdots \\v^{k}\end{bmatrix}}}$$

La virtud de la notación de Einstein es que representa las cantidades invariantes con una notación simple.

En física, un escalar es invariante ante transformaciones de base. En particular, un escalar de Lorentz es invariante ante una transformación de Lorentz . Los términos individuales de la suma no lo son. Cuando se cambia la base, los componentes de un vector cambian mediante una transformación lineal descrita por una matriz. Esto llevó a Einstein a proponer la convención de que los índices repetidos implican que se debe realizar la suma.

En cuanto a los covectores, se modifican mediante la matriz inversa . Esto está diseñado para garantizar que la función lineal asociada al covector, la suma anterior, sea la misma sin importar cuál sea la base.

El valor de la convención de Einstein es que se aplica a otros espacios vectoriales construidos a partir de V utilizando el producto tensorial y la dualidad . Por ejemplo, V ⊗  V , el producto tensorial de V consigo mismo, tiene una base que consiste en tensores de la forma e _ij = e _i ⊗ e _j . Cualquier tensor T en V ⊗  V se puede escribir como:$${\displaystyle \mathbf {T} =T^{ij}\mathbf {e} _{ij}.}$$

V  * , el dual de V , tiene una base e1 , e2 , ..., en ^que obedece a la regla donde δ es el delta de Kronecker . Como ^{las coordenadas de fila/columna en una matriz corresponden a los índices superior /} inferior en el producto tensorial.$${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{j}^{i}.}$$$${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)=V^{*}\otimes W}$$

En la notación de Einstein, la referencia de elemento habitual para la fila -ésima y la columna -ésima de la matriz se convierte en . Podemos escribir las siguientes operaciones en notación de Einstein de la siguiente manera.${\displaystyle A_{mn}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {A^{m}}_{n}}$

Utilizando una base ortogonal , el producto interno ( producto escalar vectorial ) es la suma de los componentes correspondientes multiplicados entre sí:$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u_{j}v^{j}}$$

Esto también se puede calcular multiplicando el covector por el vector.

Nuevamente utilizando una base ortogonal (en 3 dimensiones), el producto vectorial involucra intrínsecamente sumas sobre permutaciones de componentes: donde$${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} ={\varepsilon ^{i}}_{jk}u^{j}v^{k}\mathbf {e} _{i}}$$$${\displaystyle {\varepsilon ^{i}}_{jk}=\delta ^{il}\varepsilon _{ljk}}$$

ε _ijk es el símbolo de Levi-Civita y δ ^il es el delta de Kronecker generalizado . Según esta definición de ε , no hay diferencia entre ε ⁱ _jk y ε _ijk excepto la posición de los índices.

El producto de una matriz A _ij con un vector columna v _j es: equivalente a$${\displaystyle \mathbf {u} _{i}=(\mathbf {A} \mathbf {v} )_{i}=\sum _{j=1}^{N}A_{ij}v_{j}}$$$${\displaystyle u^{i}={A^{i}}_{j}v^{j}}$$

Este es un caso especial de multiplicación de matrices.

El producto matricial de dos matrices A _ij y B _jk es:$${\displaystyle \mathbf {C} _{ik}=(\mathbf {A} \mathbf {B} )_{ik}=\sum _{j=1}^{N}A_{ij}B_{jk}}$$

equivalente a$${\displaystyle {C^{i}}_{k}={A^{i}}_{j}{B^{j}}_{k}}$$

Para una matriz cuadrada A ⁱ _j , la traza es la suma de los elementos diagonales, por lo tanto la suma sobre un índice común A ⁱ _i .

El producto externo del vector columna u ⁱ por el vector fila v _j produce una matriz m  ×  n A :$${\displaystyle {A^{i}}_{j}=u^{i}v_{j}={(uv)^{i}}_{j}}$$

Como i y j representan dos índices diferentes , no hay suma y los índices no se eliminan mediante la multiplicación.

Dado un tensor , se puede aumentar o disminuir un índice contrayendo el tensor con el tensor métrico , g _μν . Por ejemplo, tomando el tensor T ^α _β , se puede disminuir un índice:$${\displaystyle g_{\mu \sigma }{T^{\sigma }}_{\beta }=T_{\mu \beta }}$$

O se puede generar un índice:$${\displaystyle g^{\mu \sigma }{T_{\sigma }}^{\alpha }=T^{\mu \alpha }}$$

• Tensor
• Notación de índice abstracto
• Notación de corchetes
• Notación gráfica de Penrose
• Símbolo de Levi-Civita
• Notación DeWitt

1. Esto se aplica únicamente a los índices numéricos. La situación es la opuesta para los índices abstractos . En ese caso, los propios vectores llevan índices abstractos superiores y los covectores llevan índices abstractos inferiores, como en el ejemplo de la introducción de este artículo. Los elementos de una base de vectores pueden llevar un índice numérico inferior y un índice abstracto superior .

• Kuptsov, LP (2001) [1994], "Regla de Einstein", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.

El Wikilibro Relatividad general tiene una página sobre el tema: Notación de suma de Einstein

• Rawlings, Steve (1 de febrero de 2007). «Conferencia 10: Convención de suma de Einstein e identidades vectoriales». Universidad de Oxford. Archivado desde el original el 6 de enero de 2017. Consultado el 2 de julio de 2008 .
• "Entendiendo el einsum de NumPy". Desbordamiento de pila .