Notación posicional

La notación posicional (o notación de valor posicional , o sistema de numeración posicional ) generalmente denota la extensión a cualquier base del sistema de numeración indoarábigo (o sistema decimal ). De manera más general, un sistema posicional es un sistema de numeración en el que la contribución de un dígito al valor de un número es el valor del dígito multiplicado por un factor determinado por la posición del dígito. En los primeros sistemas de numeración , como los números romanos , un dígito tiene un solo valor: I significa uno, X significa diez y C cien (sin embargo, los valores pueden modificarse cuando se combinan). En los sistemas posicionales modernos, como el sistema decimal , la posición del dígito significa que su valor debe multiplicarse por algún valor: en 555, los tres símbolos idénticos representan cinco centenas, cinco decenas y cinco unidades, respectivamente, debido a sus diferentes posiciones en la cadena de dígitos.

El sistema de numeración babilónico , de base 60, fue el primer sistema posicional que se desarrolló, y su influencia está presente hoy en día en la forma de contar el tiempo y los ángulos en los registros relacionados con el 60, como 60 minutos en una hora y 360 grados en un círculo. Hoy en día, el sistema de numeración hindú-arábigo ( de base diez ) es el sistema más utilizado a nivel mundial. Sin embargo, el sistema de numeración binario (de base dos) se utiliza en casi todos los ordenadores y dispositivos electrónicos porque es más fácil de implementar de forma eficiente en los circuitos electrónicos .

Se han descrito sistemas con base negativa, base compleja o dígitos negativos. La mayoría de ellos no requieren el signo menos para designar números negativos.

El uso de un punto decimal en base diez se extiende a las fracciones y permite representar cualquier número real con una precisión arbitraria. Con la notación posicional, los cálculos aritméticos son mucho más simples que con cualquier sistema numérico anterior; esto condujo a la rápida difusión de la notación cuando se introdujo en Europa occidental.

Hoy en día, el sistema decimal de base 10 , que presumiblemente está motivado por el conteo con los diez dedos , es omnipresente. Se han utilizado otras bases en el pasado y algunas continúan utilizándose en la actualidad. Por ejemplo, el sistema de numeración babilónico , acreditado como el primer sistema de numeración posicional, era de base 60. Sin embargo, carecía de un cero real . Inicialmente inferido solo por el contexto, más tarde, alrededor del 700 a. C., el cero pasó a indicarse mediante un "espacio" o un "símbolo de puntuación" (como dos cuñas inclinadas) entre los números. ^[1] Era un marcador de posición en lugar de un cero verdadero porque no se usaba solo o al final de un número. Números como 2 y 120 (2×60) parecían iguales porque el número más grande carecía de un marcador de posición final. Solo el contexto podía diferenciarlos.

El polímata Arquímedes (ca. 287–212 a. C.) inventó un sistema posicional decimal basado en 10 ⁸ en su Calculador de arena ; ^[2] el matemático alemán del siglo XIX Carl Gauss lamentó cómo podría haber progresado la ciencia si Arquímedes hubiera dado el salto a algo parecido al sistema decimal moderno. ^{[3] Los astrónomos} helenísticos y romanos utilizaron un sistema de base 60 basado en el modelo babilónico (véase numerales griegos § Cero ).

Antes de que la notación posicional se convirtiera en estándar, se utilizaban sistemas aditivos simples ( notación de signo-valor ) como los números romanos , y los contadores en la antigua Roma y durante la Edad Media usaban el ábaco o contadores de piedra para hacer aritmética. ^[4]

Las varillas de conteo y la mayoría de los ábacos se han utilizado para representar números en un sistema de numeración posicional. Con las varillas de conteo o los ábacos para realizar operaciones aritméticas, la escritura de los valores iniciales, intermedios y finales de un cálculo se podía realizar fácilmente con un sistema aditivo simple en cada posición o columna. Este enfoque no requería memorizar tablas (como ocurre con la notación posicional) y podía producir resultados prácticos rápidamente.

El sistema de notación posicional más antiguo que se conserva es el de los numerales chinos de varilla , utilizados al menos desde principios del siglo VIII, o quizás los numerales jemeres , que muestran posibles usos de los números posicionales en el siglo VII. Los numerales jemeres y otros numerales indios se originan con los numerales Brahmi de alrededor del siglo III a. C., símbolos que, en ese momento, no se usaban posicionalmente. Los numerales indios medievales son posicionales, al igual que los numerales árabes derivados , registrados a partir del siglo X.

Después de la Revolución Francesa (1789-1799), el nuevo gobierno francés promovió la extensión del sistema decimal. ^[5] Algunos de esos esfuerzos en favor de este sistema (como la hora decimal y el calendario decimal ) no tuvieron éxito. Otros esfuerzos franceses en favor de este sistema (la decimalización de la moneda y la metrificación de pesos y medidas) se extendieron ampliamente fuera de Francia y llegaron a casi todo el mundo.

J. Lennart Berggren señala que las fracciones decimales posicionales fueron utilizadas por primera vez por el matemático árabe Abu'l-Hasan al-Uqlidisi ya en el siglo X. ^[6] El matemático judío Immanuel Bonfils utilizó fracciones decimales alrededor de 1350, pero no desarrolló ninguna notación para representarlas. ^[7] El matemático persa Jamshīd al-Kāshī hizo el mismo descubrimiento de fracciones decimales en el siglo XV. ^[6] Al Khwarizmi introdujo las fracciones en los países islámicos a principios del siglo IX; su presentación de fracciones era similar a las fracciones matemáticas chinas tradicionales de Sunzi Suanjing . ^[8] Esta forma de fracción con numerador arriba y denominador abajo sin una barra horizontal también fue utilizada por Abu'l-Hasan al-Uqlidisi del siglo X y Jamshīd al-Kāshī del siglo XV en su obra "Clave aritmética". ^{[8] [9]}

La adopción de la representación decimal de números menores que uno, una fracción , se atribuye a menudo a Simon Stevin a través de su libro de texto De Thiende ; ^[10] pero tanto Stevin como EJ Dijksterhuis indican que Regiomontanus contribuyó a la adopción europea de decimales generales : ^[11]

Los matemáticos europeos, al adoptar de los hindúes, a través de los árabes, la idea del valor posicional de los números enteros, descuidaron la extensión de esta idea a las fracciones. Durante algunos siglos se limitaron a utilizar fracciones comunes y sexagesimales ... Esta falta de entusiasmo nunca se ha superado por completo, y las fracciones sexagesimales siguen formando la base de nuestra trigonometría, astronomía y medición del tiempo. ¶ ... Los matemáticos intentaron evitar las fracciones tomando el radio R igual a un número de unidades de longitud de la forma 10 ⁿ y luego suponiendo para n un valor integral tan grande que todas las cantidades que se dan pudieran expresarse con suficiente precisión mediante números enteros. ¶ El primero en aplicar este método fue el astrónomo alemán Regiomontanus. En la medida en que expresó segmentos de línea goniométricos en una unidad R /10 ⁿ , Regiomontanus puede ser considerado un anticipador de la doctrina de las fracciones posicionales decimales. ^{[11] : 17, 18}

En opinión de Dijksterhuis, "después de la publicación de De Thiende sólo se necesitó un pequeño avance para establecer el sistema completo de fracciones posicionales decimales, y este paso fue dado rápidamente por varios escritores... después de Stevin, la figura más importante en este desarrollo fue Regiomontanus". Dijksterhuis señaló que [Stevin] "le da todo el crédito a Regiomontanus por su contribución anterior, diciendo que las tablas trigonométricas del astrónomo alemán en realidad contienen toda la teoría de los 'números del décimo progreso'". ^{[11] : 19}

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En los sistemas de numeración matemáticos, el radix r suele ser el número de dígitos únicos , incluido el cero, que utiliza un sistema de numeración posicional para representar números. En algunos casos, como con una base negativa , el radix es el valor absoluto de la base b . Por ejemplo, para el sistema decimal, el radix (y la base) es diez, porque utiliza los diez dígitos del 0 al 9. Cuando un número "llega" al 9, el siguiente número no será otro símbolo diferente, sino un "1" seguido de un "0". En binario, el radix es dos, ya que después de llegar al "1", en lugar de "2" u otro símbolo escrito, salta directamente al "10", seguido de "11" y "100".${\displaystyle r=|b|}$

El símbolo más alto de un sistema de numeración posicional suele tener un valor menor que el valor de la base de ese sistema de numeración. Los sistemas de numeración posicional estándar difieren entre sí solo en la base que utilizan.

El radio es un número entero mayor que 1, ya que un radio de cero no tendría ningún dígito y un radio de 1 solo tendría el dígito cero. Las bases negativas rara vez se utilizan. En un sistema con más de un dígito único, los números pueden tener muchas representaciones posibles diferentes.${\displaystyle |b|}$

Es importante que el radio sea finito, de lo que se deduce que el número de dígitos es bastante bajo. De lo contrario, la longitud de un número no tendría por qué ser logarítmica en su tamaño.

(En ciertos sistemas de numeración posicional no estándar , incluida la numeración biyectiva , la definición de la base o de los dígitos permitidos se desvía de lo anterior).

En la notación posicional de base diez ( decimal ) estándar, hay diez dígitos decimales y el número

${\displaystyle 5305_{\mathrm {dec} }=(5\times 10^{3})+(3\times 10^{2})+(0\times 10^{1})+(5\times 10^{0})}$.

En el sistema hexadecimal estándar , existen los dieciséis dígitos hexadecimales (0–9 y A–F) y el número

${\displaystyle 14\mathrm {B} 9_{\mathrm {hex} }=(1\times 16^{3})+(4\times 16^{2})+(\mathrm {B} \times 16^{1})+(9\times 16^{0})\qquad (=5305_{\mathrm {dec} }),}$

donde B representa el número once como un solo símbolo.

En general, en base b , hay b dígitos y el número${\displaystyle \{d_{1},d_{2},\dotsb ,d_{b}\}=:D}$

${\displaystyle (a_{3}a_{2}a_{1}a_{0})_{b}=(a_{3}\times b^{3})+(a_{2}\times b^{2})+(a_{1}\times b^{1})+(a_{0}\times b^{0})}$

tiene Nota que representa una secuencia de dígitos, no una multiplicación .${\displaystyle \forall k\colon a_{k}\in D.}$${\displaystyle a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}}$

Al describir la base en notación matemática , generalmente se utiliza la letra b como símbolo de este concepto, por lo que, para un sistema binario , b es igual a 2. Otra forma común de expresar la base es escribiéndola como un subíndice decimal después del número que se está representando (esta notación se utiliza en este artículo). 1111011 ₂ implica que el número 1111011 es un número de base 2, igual a 123 ₁₀ (una representación de notación decimal ), 173 ₈ ( octal ) y 7B ₁₆ ( hexadecimal ). En libros y artículos, cuando se utilizan inicialmente las abreviaturas escritas de las bases numéricas, la base no se imprime posteriormente: se supone que el binario 1111011 es lo mismo que 1111011 ₂ .

La base b también puede indicarse con la frase "base - b ". Por ejemplo, los números binarios son de "base 2", los octales son de "base 8", los decimales son de "base 10", etc.

Para una base dada b, el conjunto de dígitos {0, 1, ..., b −2, b −1} se denomina conjunto estándar de dígitos. Por lo tanto, los números binarios tienen dígitos {0, 1}; los números decimales tienen dígitos {0, 1, 2, ..., 8, 9}; y así sucesivamente. Por lo tanto, los siguientes son errores de notación: 52 ₂ , 2 ₂ , 1A ₉ . (En todos los casos, uno o más dígitos no están en el conjunto de dígitos permitidos para la base dada).

Los sistemas de numeración posicional funcionan utilizando la exponenciación de la base. El valor de un dígito es el dígito multiplicado por el valor de su lugar. Los valores de posición son el número de la base elevado a la n- ésima potencia, donde n es el número de otros dígitos entre un dígito dado y el punto de la base . Si un dígito dado está en el lado izquierdo del punto de la base (es decir, su valor es un entero ), entonces n es positivo o cero; si el dígito está en el lado derecho del punto de la base (es decir, su valor es fraccionario), entonces n es negativo.

Como ejemplo de uso, el número 465 en su respectiva base b (que debe ser al menos base 7 porque el dígito más alto es 6) es igual a:

${\displaystyle 4\times b^{2}+6\times b^{1}+5\times b^{0}}$

Si el número 465 estuviera en base 10, entonces sería igual a:

${\displaystyle 4\times 10^{2}+6\times 10^{1}+5\times 10^{0}=4\times 100+6\times 10+5\times 1=465}$

(465 ₁₀ = 465 ₁₀ )

Sin embargo, si el número estuviera en base 7, entonces sería igual a:

${\displaystyle 4\times 7^{2}+6\times 7^{1}+5\times 7^{0}=4\times 49+6\times 7+5\times 1=243}$

(465 ₇ = 243 ₁₀ )

10 _b = b para cualquier base b , ya que 10 _b = 1× b ¹ + 0× b ⁰ . Por ejemplo, 10 ₂ = 2; 10 ₃ = 3; 10 ₁₆ = 16 ₁₀ . Tenga en cuenta que el último "16" se indica en base 10. La base no hace ninguna diferencia para los números de un dígito.

Este concepto se puede demostrar mediante un diagrama. Un objeto representa una unidad. Cuando el número de objetos es igual o mayor que la base b , entonces se crea un grupo de objetos con b objetos. Cuando el número de estos grupos supera b , entonces se crea un grupo de estos grupos de objetos con b grupos de b objetos; y así sucesivamente. Por lo tanto, el mismo número en diferentes bases tendrá diferentes valores:

241 en base 5: 2 grupos de 5 2 (25) 4 grupos de 5 1 grupo de 1 ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo + + o ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo

241 en base 8: 2 grupos de 8 2 (64) 4 grupos de 8 1 grupo de 1 ooooooooo ooooooooo ooooooooo ooooooooo ooooooo ooooooo ooooooo ooooooooo ooooooooo oooooooo + + o ooooooooo ooooooooo ooooooo ooooooo ooooooo ooooooooo ooooooooo ooooooooo ooooooooo ooooooooo

La notación se puede ampliar aún más permitiendo un signo menos inicial. Esto permite la representación de números negativos. Para una base dada, cada representación corresponde exactamente a un número real y cada número real tiene al menos una representación. Las representaciones de números racionales son aquellas representaciones que son finitas, utilizan la notación de barras o terminan con un ciclo de dígitos que se repite infinitamente.

Un dígito es un símbolo que se utiliza para la notación posicional, y un numeral consta de uno o más dígitos que se utilizan para representar un número con notación posicional. Los dígitos más comunes en la actualidad son los dígitos decimales "0", "1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8" y "9". La distinción entre un dígito y un numeral es más pronunciada en el contexto de una base numérica.

Un numeral distinto de cero con más de una posición de dígito significará un número diferente en una base numérica diferente, pero en general, los dígitos significarán lo mismo. ^[12] Por ejemplo, el numeral de base 8 23 ₈ contiene dos dígitos, "2" y "3", y con un número base (subíndice) "8". Cuando se convierte a base 10, el 23 ₈ es equivalente a 19 ₁₀ , es decir, 23 ₈ = 19 ₁₀ . En nuestra notación aquí, el subíndice " ₈ " del numeral 23 ₈ es parte del numeral, pero este puede no ser siempre el caso.

Imaginemos que el numeral "23" tiene una base ambigua. Entonces, "23" podría ser cualquier base, a partir de la base 4. En base 4, el "23" significa 11 ₁₀ , es decir, 23 ₄ = 11 _10. En base 60, el "23" significa el número 123 ₁₀ , es decir, 23 ₆₀ = 123 _10. El numeral "23" entonces, en este caso, corresponde al conjunto de números de base 10 {11, 13, 15, 17, 19, 21, 23 , ..., 121, 123} mientras que sus dígitos "2" y "3" siempre conservan su significado original: el "2" significa "dos de", y el "3" significa "tres de".

En ciertas aplicaciones, cuando un numeral con un número fijo de posiciones necesita representar un número mayor, se puede utilizar una base numérica más alta con más dígitos por posición. Un numeral decimal de tres dígitos puede representar solo hasta 999. Pero si la base numérica se incrementa a 11, por ejemplo, agregando el dígito "A", entonces las mismas tres posiciones, maximizadas a "AAA", pueden representar un número tan grande como 1330. Podríamos aumentar la base numérica nuevamente y asignar "B" a 11, y así sucesivamente (pero también existe un posible cifrado entre número y dígito en la jerarquía número-dígito-numeral). Un numeral de tres dígitos "ZZZ" en base 60 podría significar215 999 . Si usamos toda la colección de nuestros alfanuméricos , podríamos finalmente utilizar un sistema de numeración de base 62 , pero eliminamos dos dígitos, la "I" mayúscula y la "O" mayúscula, para reducir la confusión con los dígitos "1" y "0". ^[13] Nos quedamos con un sistema de numeración de base 60, o sexagesimal, que utiliza 60 de los 62 alfanuméricos estándar. (Pero vea el sistema sexagesimal a continuación). En general, la cantidad de valores posibles que se pueden representar con unnúmero de dígito en basees.${\displaystyle d}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r^{d}}$

Los sistemas de numeración más comunes en informática son el binario (base 2), el octal (base 8) y el hexadecimal (base 16). En el binario , solo los dígitos "0" y "1" están en los numerales. En los numerales octales , están los ocho dígitos del 0 al 7. El hexadecimal es del 0 al 9 A-F, donde los diez números conservan su significado habitual y los alfabéticos corresponden a los valores del 10 al 15, para un total de dieciséis dígitos. El numeral "10" es el numeral binario "2", el numeral octal "8" o el numeral hexadecimal "16".

La notación se puede extender a los exponentes negativos de la base b . En este caso, se utiliza el denominado punto de base, generalmente ».«, como separador de las posiciones con exponentes no negativos de aquellas con exponentes negativos.

Los números que no son enteros utilizan posiciones más allá del punto de la base . Por cada posición detrás de este punto (y por lo tanto después del dígito de las unidades), el exponente n de la potencia b ⁿ disminuye en 1 y la potencia se acerca a 0. Por ejemplo, el número 2,35 es igual a:

${\displaystyle 2\times 10^{0}+3\times 10^{-1}+5\times 10^{-2}}$

Si la base y todos los dígitos del conjunto de dígitos no son negativos, no se pueden expresar números negativos. Para solucionar este problema, se añade un signo menos , en este caso »−«, al sistema numérico. En la notación habitual, se antepone a la cadena de dígitos que representa el número que, de otro modo, no sería negativo.

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La conversión a base de un entero n representado en base se puede realizar mediante una sucesión de divisiones euclidianas por el dígito más a la derecha en base es el resto de la división de n por el segundo dígito más a la derecha es el resto de la división del cociente por y así sucesivamente. El dígito más a la izquierda es el último cociente. En general, el k - ésimo dígito desde la derecha es el resto de la división por del ( k −1) -ésimo cociente.${\displaystyle b_{2}}$${\displaystyle b_{1}}$${\displaystyle b_{2}:}$${\displaystyle b_{2}}$${\displaystyle b_{2};}$${\displaystyle b_{2},}$${\displaystyle b_{2}}$

Por ejemplo: convertir A10B _Hex a decimal (41227):

0xA10B/10 = 0x101A R: 7 (unidades)0x101A/10 = 0x19C R: 2 (decenas) 0x19C/10 = 0x29 R: 2 (centésimas) 0x29/10 = 0x4R: 1 ... 4

Al convertir a una base mayor (por ejemplo, de binario a decimal), el resto se representa como un solo dígito, utilizando dígitos de . Por ejemplo: convertir 0b11111001 (binario) a 249 (decimal):${\displaystyle b_{2}}$${\displaystyle b_{1}}$

0b11111001/10 = 0b11000 R: 0b1001 (0b1001 = "9" para las unidades) 0b11000/10 = 0b10 R: 0b100 (0b100 = "4" para decenas) 0b10/10 = 0b0 R: 0b10 (0b10 = "2" para centenas)

Para la parte fraccionaria , la conversión se puede realizar tomando dígitos después del punto de la base (el numerador) y dividiéndolos por el denominador implícito en la base de destino. Puede ser necesaria una aproximación debido a la posibilidad de dígitos no terminales si el denominador de la fracción reducida tiene un factor primo distinto de cualquiera de los factores primos de la base a la que se va a convertir. Por ejemplo, 0,1 en decimal (1/10) es 0b1/0b1010 en binario; al dividirlo en esa base, el resultado es 0b0,0 0011 (porque uno de los factores primos de 10 es 5). Para fracciones y bases más generales, consulte el algoritmo para bases positivas .

Como alternativa, el método de Horner puede utilizarse para la conversión de bases utilizando multiplicaciones repetidas, con la misma complejidad computacional que las divisiones repetidas. ^[14] Un número en notación posicional puede considerarse como un polinomio, donde cada dígito es un coeficiente. Los coeficientes pueden ser mayores que un dígito, por lo que una forma eficiente de convertir bases es convertir cada dígito y luego evaluar el polinomio mediante el método de Horner dentro de la base de destino. La conversión de cada dígito es una tabla de búsqueda simple , que elimina la necesidad de costosas operaciones de división o módulo; y la multiplicación por x se convierte en un desplazamiento a la derecha. Sin embargo, otros algoritmos de evaluación de polinomios también funcionarían, como el cuadrado repetido para dígitos únicos o dispersos. Ejemplo:

Convertir 0xA10B a 41227 A10B = (10*16^3) + (1*16^2) + (0*16^1) + (11*16^0) Tabla de consulta: 0x0 = 0 0x1 = 1 ... 0x9 = 9 0xA = 10 0xB = 11 0xC = 12 0xD = 13 0xE = 14 0xF = 15 Por lo tanto, los dígitos decimales de 0xA10B son 10, 1, 0 y 11.  Distribuye los dígitos de la siguiente manera. El dígito más significativo (10) se "elimina": 10 1 0 11 <- Dígitos de 0xA10B --------------- 10 Luego multiplicamos el número inferior de la base de origen (16), el producto se coloca debajo del siguiente dígito del valor de origen y luego sumamos: 10 1 0 11 160 --------------- 10 161 Repetir hasta realizar la última adición: 10 1 0 11 160 2576 41216 --------------- 10 161 2576 41227  y eso es 41227 en decimal.

Convertir 0b11111001 a 249 Tabla de consulta: 0b0 = 0 0b1 = 1Resultado: 1 1 1 1 1 0 0 1 <- Dígitos de 0b11111001 2 6 14 30 62 124 248 ------------------------- 1 3 7 15 31 62 124 249

Los números que tienen una representación finita forman el semianillo

${\displaystyle {\frac {\mathbb {N} _{0}}{b^{\mathbb {N} _{0}}}}:=\left\{mb^{-\nu }\mid m\in \mathbb {N} _{0}\wedge \nu \in \mathbb {N} _{0}\right\}.}$

Más explícitamente, si es una factorización de en los primos con exponentes , ^[15] entonces con el conjunto no vacío de denominadores tenemos${\displaystyle p_{1}^{\nu _{1}}\cdot \ldots \cdot p_{n}^{\nu _{n}}:=b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in \mathbb {P} }$${\displaystyle \nu _{1},\ldots ,\nu _{n}\in \mathbb {N} }$${\displaystyle S:=\{p_{1},\ldots ,p_{n}\}}$

${\displaystyle \mathbb {Z} _{S}:=\left\{x\in \mathbb {Q} \left|\,\exists \mu _{i}\in \mathbb {Z} :x\prod _{i=1}^{n}{p_{i}}^{\mu _{i}}\in \mathbb {Z} \right.\right\}=b^{\mathbb {Z} }\,\mathbb {Z} ={\langle S\rangle }^{-1}\mathbb {Z} }$

donde es el grupo generado por y es la llamada localización de con respecto a .${\displaystyle \langle S\rangle }$${\displaystyle p\in S}$${\displaystyle {\langle S\rangle }^{-1}\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle S}$

El denominador de un elemento de contiene, si se reduce a sus términos más bajos, solo factores primos de . Este anillo de todas las fracciones terminales a base es denso en el campo de los números racionales . Su completitud para la métrica usual (arquimediana) es la misma que para , es decir, los números reales . Por lo tanto, si entonces no debe confundirse con , el anillo de valoración discreto para el primo , que es igual a con .${\displaystyle \mathbb {Z} _{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle S=\{p\}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{\{p\}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{T}}$${\displaystyle T=\mathbb {P} \setminus \{p\}}$

Si divide , tenemos${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle b^{\mathbb {Z} }\,\mathbb {Z} \subseteq c^{\mathbb {Z} }\,\mathbb {Z} .}$

La representación de números no enteros se puede ampliar para permitir una cadena infinita de dígitos más allá del punto. Por ejemplo, 1,12112111121112 ... base 3 representa la suma de la serie infinita :

${\displaystyle {\begin{array}{l}1\times 3^{0\,\,\,}+{}\\1\times 3^{-1\,\,}+2\times 3^{-2\,\,\,}+{}\\1\times 3^{-3\,\,}+1\times 3^{-4\,\,\,}+2\times 3^{-5\,\,\,}+{}\\1\times 3^{-6\,\,}+1\times 3^{-7\,\,\,}+1\times 3^{-8\,\,\,}+2\times 3^{-9\,\,\,}+{}\\1\times 3^{-10}+1\times 3^{-11}+1\times 3^{-12}+1\times 3^{-13}+2\times 3^{-14}+\cdots \end{array}}}$

Como no se puede escribir explícitamente una cadena de dígitos completa e infinita, los puntos suspensivos finales (...) designan los dígitos omitidos, que pueden o no seguir un patrón de algún tipo. Un patrón común es cuando una secuencia finita de dígitos se repite infinitamente. Esto se designa dibujando un vínculo a lo largo del bloque repetido: ^[16]

${\displaystyle 2.42{\overline {314}}_{5}=2.42314314314314314\dots _{5}}$

Se trata de la notación decimal periódica (para la que no existe una única notación o expresión universalmente aceptada). En el caso de la base 10, se denomina decimal periódico o decimal periódico.

Un número irracional tiene una representación infinita y no repetitiva en todas las bases enteras. El hecho de que un número racional tenga una representación finita o requiera una representación repetitiva infinita depende de la base. Por ejemplo, un tercio puede representarse mediante:

${\displaystyle 0.1_{3}}$

${\displaystyle 0.{\overline {3}}_{10}=0.3333333\dots _{10}}$

o, con la base implícita:

${\displaystyle 0.{\overline {3}}=0.3333333\dots }$(ver también 0,999... )

${\displaystyle 0.{\overline {01}}_{2}=0.010101\dots _{2}}$

${\displaystyle 0.2_{6}}$

Para los números enteros p y q con mcd ( p , q ) = 1, la fracción p / q tiene una representación finita en base b si y sólo si cada factor primo de q es también un factor primo de b .

Para una base dada, cualquier número que pueda representarse mediante un número finito de dígitos (sin utilizar la notación de barras) tendrá múltiples representaciones, incluidas una o dos representaciones infinitas:

1. Se puede añadir un número finito o infinito de ceros:

   ${\displaystyle 3.46_{7}=3.460_{7}=3.460000_{7}=3.46{\overline {0}}_{7}}$

2. El último dígito distinto de cero se puede reducir en uno y se puede agregar una cadena infinita de dígitos, cada uno correspondiente a uno menos que la base (o reemplazar cualquier dígito cero siguiente):

   ${\displaystyle 3.46_{7}=3.45{\overline {6}}_{7}}$

   ${\displaystyle 1_{10}=0.{\overline {9}}_{10}\qquad }$(ver también 0,999... )

   ${\displaystyle 220_{5}=214.{\overline {4}}_{5}}$

Un número irracional (real) tiene una representación infinita y no repetitiva en todas las bases enteras. ^[17]

Ejemplos de ello son las raíces n-ésimas no resolubles

${\displaystyle y={\sqrt[{n}]{x}}}$

con y y ∉ Q , números que se llaman algebraicos , o números como${\displaystyle y^{n}=x}$

${\displaystyle \pi ,e}$

que son trascendentales . El número de trascendentales es incontable y la única manera de escribirlos con un número finito de símbolos es darles un símbolo o una secuencia finita de símbolos.

En el sistema de numeración hindú-arábigo decimal (base 10) , cada posición comenzando desde la derecha es una potencia superior a 10. La primera posición representa 10 ⁰ (1), la segunda posición 10 ¹ (10), la tercera posición 10 ² ( 10 × 10 o 100), la cuarta posición 10 ³ ( 10 × 10 × 10 o 1000), y así sucesivamente.

Los valores fraccionarios se indican con un separador , que puede variar en diferentes lugares. Por lo general, este separador es un punto o una coma . Los dígitos a la derecha de este se multiplican por 10 elevado a una potencia o exponente negativo. La primera posición a la derecha del separador indica 10 ⁻¹ (0,1), la segunda posición 10 ⁻² (0,01) y así sucesivamente para cada posición sucesiva.

A modo de ejemplo, el número 2674 en un sistema numérico de base 10 es:

(2 × 10 ³ ) + (6 × 10 ² ) + (7 × 10 ¹ ) + (4 × 10 ⁰ )

o

(2×1000) + (6×100) + (7×10) + (4×1).

El sistema sexagesimal o de base 60 fue utilizado para las partes enteras y fraccionarias de los numerales babilónicos y otros sistemas mesopotámicos, por los astrónomos helenísticos que utilizaban los numerales griegos solo para la parte fraccionaria, y todavía se utiliza para el tiempo y los ángulos modernos, pero solo para los minutos y los segundos. Sin embargo, no todos estos usos eran posicionales.

El tiempo moderno separa cada posición con dos puntos o un símbolo primo . Por ejemplo, la hora podría ser 10:25:59 (10 horas 25 minutos 59 segundos). Los ángulos usan una notación similar. Por ejemplo, un ángulo podría ser 10° ‍ 25 ′ ‍ 59 ″ (10 grados 25 minutos 59 segundos ). En ambos casos, solo los minutos y los segundos usan notación sexagesimal: los grados angulares pueden ser mayores que 59 (una rotación alrededor de un círculo es 360°, dos rotaciones son 720°, etc.), y tanto el tiempo como los ángulos usan fracciones decimales de segundo. ^{[ cita requerida ]} Esto contrasta con los números utilizados por los astrónomos helenísticos y renacentistas , que usaban tercios , cuartos , etc. para incrementos más finos. Donde nosotros podríamos escribir 10° ‍ 25 ′ ‍ 59.392 ″ , ellos habrían escrito 10° ‍ 25 ′ ‍ 59 ′′ ‍ 23 ′′′ ‍ 31 ′′′′ ‍ 12 ′′′′ o 10° ‍ 25 ⁱ ‍ 59 ⁱⁱ ‍ 23 ⁱⁱⁱ ‍ 31 ^iv ‍ 12 ^v .

El uso de un conjunto de dígitos con letras mayúsculas y minúsculas permite una notación corta para números sexagesimales, por ejemplo, 10:25:59 se convierte en 'ARz' (omitiendo I y O, pero no i y o), lo cual es útil para usar en URL, etc., pero no es muy inteligible para los humanos.

En la década de 1930, Otto Neugebauer introdujo un sistema de notación moderno para los números babilónicos y helenísticos que sustituye la notación decimal moderna de 0 a 59 en cada posición, mientras que utiliza un punto y coma (;) para separar las partes integrales y fraccionarias del número y una coma (,) para separar las posiciones dentro de cada parte. ^[18] Por ejemplo, el mes sinódico medio utilizado por los astrónomos babilónicos y helenísticos y todavía utilizado en el calendario hebreo es 29;31,50,8,20 días, y el ángulo utilizado en el ejemplo anterior se escribiría 10;25,59,23,31,12 grados.

En informática , las bases binaria (base 2), octal (base 8) y hexadecimal (base 16) son las más utilizadas. Las computadoras, en el nivel más básico, tratan solo con secuencias de ceros y unos convencionales, por lo que es más fácil en este sentido tratar con potencias de dos. El sistema hexadecimal se utiliza como "abreviatura" de binario: cada 4 dígitos binarios (bits) se relacionan con un solo dígito hexadecimal. En hexadecimal, los seis dígitos después del 9 se denotan por A, B, C, D, E y F (y, a veces, a, b, c, d, e y f).

El sistema de numeración octal también se utiliza como otra forma de representar números binarios. En este caso, la base es 8 y, por lo tanto, solo se utilizan los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Al convertir de binario a octal, cada 3 bits se relacionan con un solo dígito octal.

Se han utilizado bases hexadecimales, decimales, octales y una amplia variedad de otras para la codificación de binario a texto , implementaciones de aritmética de precisión arbitraria y otras aplicaciones.

Para obtener una lista de bases y sus aplicaciones, consulte la lista de sistemas de numeración .

Los sistemas de base 12 ( duodecimal o docenal) han sido populares porque la multiplicación y la división son más fáciles que en la base 10, y la adición y la resta son igual de fáciles. Doce es una base útil porque tiene muchos factores . Es el mínimo común múltiplo de uno, dos, tres, cuatro y seis. Todavía hay una palabra especial para "docena" en inglés, y por analogía con la palabra para 10 ² , cien , el comercio desarrolló una palabra para 12 ² , bruto . El reloj estándar de 12 horas y el uso común de 12 en unidades inglesas enfatizan la utilidad de la base. Además, antes de su conversión a decimal, la antigua moneda británica, la libra esterlina (GBP), usaba parcialmente la base 12; había 12 peniques (d) en un chelín (s), 20 chelines en una libra (£) y, por lo tanto, 240 peniques en una libra. De ahí el término LSD o, más apropiadamente, £sd .

La civilización maya y otras civilizaciones de la Mesoamérica precolombina utilizaban el sistema de conteo de base 20 ( vigesimal ), al igual que varias tribus norteamericanas (dos de ellas en el sur de California). También se encuentran pruebas de sistemas de conteo de base 20 en las lenguas de África central y occidental .

En francés también existen restos de un sistema galo de base 20, como se puede ver hoy en los nombres de los números del 60 al 99. Por ejemplo, sesenta y cinco es soixante-cinq (literalmente, "sesenta [y] cinco"), mientras que setenta y cinco es soixante-quinze (literalmente, "sesenta [y] quince"). Además, para cualquier número entre 80 y 99, el número de la "columna de las decenas" se expresa como un múltiplo de veinte. Por ejemplo, ochenta y dos es quatre-vingt-deux (literalmente, cuatro veinte[s] [y] dos), mientras que noventa y dos es quatre-vingt-douze (literalmente, cuatro veinte[s] [y] doce). En francés antiguo, cuarenta se expresaba como dos veintes y sesenta era tres veintes, de modo que cincuenta y tres se expresaba como dos veintes [y] trece, y así sucesivamente.

En inglés, el mismo sistema de conteo de base 20 aparece en el uso de " scores ". Aunque en su mayoría es histórico, a veces se usa coloquialmente. El versículo 10 del Salmo 90 en la versión King James de la Biblia comienza: "Los días de nuestra edad son setenta años; y si en los más robustos son ochenta años, con todo, su fuerza es trabajo y dolor". El discurso de Gettysburg comienza: "Hace ochenta y siete años".

El idioma irlandés también utilizó la base 20 en el pasado, siendo veinte fichid , cuarenta dhá fhichid , sesenta trí fhichid y ochenta ceithre fhichid . Un remanente de este sistema puede verse en la palabra moderna para 40, daoichead .

El idioma galés sigue utilizando un sistema de conteo de base 20 , en particular para la edad de las personas, las fechas y las frases comunes. El 15 también es importante, ya que 16-19 es "uno sobre 15", "dos sobre 15", etc. 18 normalmente es "dos nueves". Se utiliza comúnmente un sistema decimal.

Las lenguas inuit utilizan un sistema de numeración de base 20. Los estudiantes de Kaktovik, Alaska, inventaron un sistema de numeración de base 20 en 1994 ^[19]

Los números daneses muestran una estructura de base 20 similar .

El idioma maorí de Nueva Zelanda también tiene evidencia de un sistema subyacente de base 20, como se ve en los términos Te Hokowhitu a Tu, que se refiere a un grupo de guerra (literalmente, "los siete 20 de Tu") y Tama-hokotahi , que se refiere a un gran guerrero ("el hombre igual a 20").

El sistema binario se utilizó en el Imperio Antiguo egipcio, desde el 3000 a. C. hasta el 2050 a. C. Se escribía en cursiva y los números racionales menores de 1 se redondeaban a 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 , descartando el término 1/64 (el sistema se llamaba Ojo de Horus ).

Varias lenguas aborígenes australianas emplean sistemas de conteo binarios o similares. Por ejemplo, en Kala Lagaw Ya , los números del uno al seis son urapon , ukasar , ukasar-urapon , ukasar-ukasar , ukasar-ukasar-urapon , ukasar-ukasar-ukasar .

Los nativos de América del Norte y Central utilizaban el sistema cuaternario para representar los cuatro puntos cardinales. Los mesoamericanos tendían a añadir un segundo sistema de base 5 para crear un sistema de base 20 modificado.

En muchas culturas se ha utilizado el sistema de base 5 ( quinario ) para contar. Está basado en el número de dígitos de la mano humana. También puede considerarse como una subbase de otras bases, como la base 10, la base 20 y la base 60.

El sistema de base 8 ( octal ) fue ideado por la tribu Yuki del norte de California, que usaba los espacios entre los dedos para contar, correspondientes a los dígitos del uno al ocho. ^[20] También hay evidencia lingüística que sugiere que los protoindoeuropeos de la Edad de Bronce ( de quienes descienden la mayoría de las lenguas europeas e índicas) podrían haber reemplazado un sistema de base 8 (o un sistema que solo pudiera contar hasta 8) con un sistema de base 10. La evidencia es que algunos sugieren que la palabra para 9, newm , deriva de la palabra para "nuevo", newo- , lo que sugiere que el número 9 había sido inventado recientemente y llamado el "nuevo número". ^[21]

Muchos sistemas de conteo antiguos utilizan cinco como base primaria, que casi seguramente proviene del número de dedos de la mano de una persona. A menudo, estos sistemas se complementan con una base secundaria, a veces diez, a veces veinte. En algunas lenguas africanas, la palabra para cinco es la misma que "mano" o "puño" ( idioma dyola de Guinea-Bissau , idioma banda de África central ). El conteo continúa añadiendo 1, 2, 3 o 4 a combinaciones de 5, hasta que se llega a la base secundaria. En el caso de veinte, esta palabra a menudo significa "hombre completo". Este sistema se conoce como quinquavigesimal . Se encuentra en muchas lenguas de la región de Sudán .

El idioma telefol , hablado en Papúa Nueva Guinea , se destaca por poseer un sistema numérico de base 27.

Existen propiedades interesantes cuando la base no es fija o positiva y cuando los símbolos de los dígitos denotan valores negativos. Existen muchas más variaciones. Estos sistemas tienen valor práctico y teórico para los científicos informáticos.

El ternario balanceado ^[22] utiliza una base de 3 pero el conjunto de dígitos es { 1 ,0,1} en lugar de {0,1,2}. El " 1 " tiene un valor equivalente de −1. La negación de un número se forma fácilmente cambiando el   en los 1. Este sistema se puede utilizar para resolver el problema de la balanza, que requiere encontrar un conjunto mínimo de contrapesos conocidos para determinar un peso desconocido. Se pueden utilizar pesos de 1, 3, 9, ..., 3 ⁿ unidades conocidas para determinar cualquier peso desconocido hasta 1 + 3 + ... + 3 ⁿ unidades. Se puede utilizar un peso en cualquier lado de la balanza o no utilizarlo en absoluto. Los pesos utilizados en el platillo de la balanza con el peso desconocido se designan con 1 , con 1 si se utilizan en el platillo vacío y con 0 si no se utilizan. Si un peso desconocido W se equilibra con 3 (3 ¹ ) en su platillo y 1 y 27 (3 ⁰ y 3 ³ ) en el otro, entonces su peso en decimal es 25 o 10 1 1 en base 3 equilibrada.

10 1 1 ₃ = 1 × 3 ³ + 0 × 3 ² − 1 × 3 ¹ + 1 × 3 ⁰ = 25.

El sistema de numeración factorial utiliza un radio variable, lo que da a los factoriales valores de posición; están relacionados con el teorema del resto chino y las enumeraciones del sistema de numeración de residuos . Este sistema enumera de manera eficaz las permutaciones. Un derivado de este utiliza la configuración del rompecabezas de las Torres de Hanoi como sistema de conteo. La configuración de las torres se puede poner en correspondencia 1 a 1 con el conteo decimal del paso en el que ocurre la configuración y viceversa.

Cada posición no necesita ser posicional en sí misma. Los numerales sexagesimales babilónicos eran posicionales, pero en cada posición había grupos de dos tipos de cuñas que representaban unidades y decenas (una cuña vertical estrecha | para la unidad y una cuña abierta que apuntaba hacia la izquierda ⟨ para la decena) —hasta 5+9=14 símbolos por posición (es decir, 5 decenas ⟨⟨⟨⟨⟨ y 9 unidades |||||||||| agrupadas en uno o dos cuadrados cercanos que contenían hasta tres niveles de símbolos, o un marcador de posición (\\) por la falta de una posición). ^[23] Los astrónomos helenísticos usaban uno o dos numerales griegos alfabéticos para cada posición (uno elegido entre 5 letras que representaban del 10 al 50 y/o uno elegido entre 9 letras que representaban del 1 al 9, o un símbolo de cero ). ^[24]

Ejemplos:

• Lista de sistemas de numeración
• Categoría: Sistemas de numeración posicional

Temas relacionados:

• Algorismo
• Sistema de numeración hindú-arábigo
• Radix mixto
• Sistemas de numeración posicional no estándar
• Notación científica

Otro:

• Cifras significativas

• O'Connor, John; Robertson, Edmund (diciembre de 2000). «Babylonian Numerals». Archivado desde el original el 11 de septiembre de 2014. Consultado el 21 de agosto de 2010 .
• Kadvany, John (diciembre de 2007). "Valor posicional y recursión lingüística". Revista de filosofía india . 35 (5–6): 487–520. doi :10.1007/s10781-007-9025-5. S2CID  52885600.
• Knuth, Donald (1997). El arte de la programación informática . Vol. 2. Addison-Wesley. Págs. 195–213. ISBN. 0-201-89684-2.
• Ifrah, George (2000). La historia universal de los números: desde la prehistoria hasta la invención de la computadora . Wiley. ISBN 0-471-37568-3.
• Kroeber, Alfred (1976) [1925]. Manual de los indios de California. Courier Dover Publications. pág. 176. ISBN 9780486233680.

Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Sistemas de numeración posicional .

• Conversión de base precisa
• El desarrollo de la aritmética hindú árabe y tradicional china
• Implementación de la conversión de base en cut-the-knot
• Aprende a contar otras bases con los dedos
• Convertidor de base de precisión arbitraria en línea