0,999...

En matemáticas , 0,999... (también escrito como 0, 9 , 0..9, o 0.(9) ) denota el número más pequeño mayor que cada número en la secuencia (0.9, 0.99, 0.999, ...) . Se puede demostrar que este número es 1 ; es decir, 

${\displaystyle 0,999...=1.}$

A pesar de los conceptos erróneos comunes, 0,999... no es "casi exactamente 1" o "muy, muy cerca pero no exactamente 1"; más bien, 0,999... y "1" son exactamente el mismo número.

Se da a continuación una prueba elemental que implica únicamente aritmética elemental y el hecho de que no existe ningún número real positivo menor que todo 1/10 ⁿ , donde n es un número natural, propiedad que resulta inmediatamente de la propiedad arquimediana de los números reales .

Existen muchas otras formas de demostrar esta igualdad, desde argumentos intuitivos hasta pruebas matemáticamente rigurosas . Los argumentos intuitivos se basan generalmente en propiedades de decimales finitas que se extienden sin prueba a decimales infinitos. Las pruebas se basan generalmente en propiedades básicas de números reales y métodos de cálculo , como series y límites . Una pregunta que se estudia en la educación matemática es por qué algunas personas rechazan esta igualdad.

En otros sistemas numéricos, 0,999... puede tener el mismo significado, una definición diferente o no estar definido. Todo decimal con terminación distinta de cero tiene dos representaciones iguales (por ejemplo, 8,32000... y 8,31999...). Tener valores con múltiples representaciones es una característica de todos los sistemas numéricos posicionales que representan los números reales.

Es posible demostrar la ecuación 0,999... = 1 utilizando únicamente las herramientas matemáticas de comparación y adición de números decimales (finitos) , sin ninguna referencia a temas más avanzados como series y límites . La prueba que se da a continuación es una formalización directa del hecho intuitivo de que, si uno dibuja 0,9, 0,99, 0,999, etc. en la recta numérica , no queda espacio para colocar un número entre ellos y 1. El significado de la notación 0,999... es el punto más pequeño de la recta numérica que se encuentra a la derecha de todos los números 0,9, 0,99, 0,999, etc. Como en última instancia no hay espacio entre 1 y estos números, el punto 1 debe ser este punto más pequeño, y por lo tanto 0,999... = 1 .

Si se colocan 0,9, 0,99, 0,999, etc. en la recta numérica , se ve inmediatamente que todos estos puntos están a la izquierda de 1, y que se acercan cada vez más a 1. Para cualquier número que sea menor que 1, la secuencia 0,9, 0,99, 0,999, etc., llegará a un número mayor que ⁠ ⁠ . Por lo tanto, no tiene sentido identificar 0,999... con ningún número menor que 1. Mientras tanto, todo número mayor que 1 será mayor que cualquier decimal de la forma 0,999...9 para cualquier número finito de nueves. Por lo tanto, 0,999... tampoco puede identificarse con ningún número mayor que 1. Como 0,999... no puede ser mayor que 1 ni menor que 1, debe ser igual a 1 para que sea un número real. ^{[1] [2]}${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x}$

Denotemos por 0.(9) _n el número 0,999...9, con nueves después del punto decimal. Así, 0.(9) ₁ = 0,9 , 0.(9) ₂ = 0,99 , 0.(9) ₃ = 0,999 , y así sucesivamente. Se tiene 1 − 0.(9) ₁ = 0,1 = ⁠ ⁠ , 1 − 0.(9) ₂ = 0,01 = ⁠ ⁠ , y así sucesivamente; es decir, 1 − 0.(9) _n = para todo número natural ⁠ ⁠ .${\estilo de visualización n}$${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{10}}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{10^{2}}}}$${\estilo de texto {\frac {1}{10^{n}}}}$ ${\estilo de visualización n}$

Sea un número no mayor que 1 y mayor que 0,9, 0,99, 0,999, etc.; es decir, 0.(9) _n < ≤ 1 , para todo ⁠ ⁠ . Restando estas desigualdades de 1, se obtiene 0 ≤ 1 − < ⁠ ⁠ .${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{10^{n}}}}$

El final de la prueba requiere que no haya ningún número positivo que sea menor que para todo ⁠ ⁠ . Esta es una versión de la propiedad de Arquímedes , que es verdadera para los números reales. ^{[3] [4]} Esta propiedad implica que si 1 − < ⁠ ⁠ para todo ⁠ ⁠ , entonces 1 − solo puede ser igual a 0. Por lo tanto, = 1 y 1 es el número más pequeño que es mayor que todos los 0,9, 0,99, 0,999, etc. Es decir, 1 = 0,999... .${\estilo de texto {\frac {1}{10^{n}}}}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{10^{n}}}}$${\estilo de visualización 1-n}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x}$

Esta prueba se basa en la propiedad arquimediana de los números racionales y reales. Los números reales pueden ampliarse en sistemas numéricos , como los números hiperreales , con números infinitamente pequeños ( infinitesimales ) y números infinitamente grandes ( números infinitos ). ^{[5] [6]} Cuando se utilizan tales sistemas, la notación 0,999... no se utiliza generalmente, ya que no hay un número más pequeño entre los números mayores que todos los 0.(9) _n . ^[a]

Parte de lo que demuestra este argumento es que existe un límite superior mínimo de la secuencia 0,9, 0,99, 0,999, etc.: el número más pequeño que es mayor que todos los términos de la secuencia. Uno de los axiomas del sistema de números reales es el axioma de completitud , que establece que toda secuencia acotada tiene un límite superior mínimo. ^{[7] [8]} Este límite superior mínimo es una forma de definir expansiones decimales infinitas: el número real representado por un decimal infinito es el límite superior mínimo de sus truncamientos finitos. ^[9] El argumento aquí no necesita asumir completitud para ser válido, porque muestra que esta secuencia particular de números racionales tiene un límite superior mínimo y que este límite superior mínimo es igual a uno. ^[10]

Las ilustraciones algebraicas simples de la igualdad son un tema de discusión y crítica pedagógica. Byers (2007) analiza el argumento de que, en la escuela primaria, se enseña que = 0,333... , por lo que, ignorando todas las sutilezas esenciales, "multiplicar" esta identidad por 3 da 1 = 0,999... . Dice además que este argumento no es convincente, debido a una ambigüedad no resuelta sobre el significado del signo igual ; un estudiante podría pensar: "Seguramente no significa que el número 1 sea idéntico al que se entiende por la notación 0,999... ‍ . " La mayoría de los estudiantes de matemáticas de grado que conoce Byers sienten que, si bien 0,999... está "muy cerca" de 1 con base en la fuerza de este argumento, y algunos incluso dicen que está "infinitamente cerca", no están listos para decir que es igual a 1. ^[11] Richman (1999) analiza cómo "este argumento obtiene su fuerza del hecho de que la mayoría de las personas han sido adoctrinadas para aceptar la primera ecuación sin pensar", pero también sugiere que el argumento puede llevar a los escépticos a cuestionar esta suposición. ^[12]${\textstyle {\frac {1}{3}}}$

Byers también presenta el siguiente argumento.

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.999\ldots \\10x&=9.999\ldots &&{\text{multiplicando por }}10\\10x&=9+0.999\ldots &&{\text{dividiendo la parte entera}}\\10x&=9+x&&{\text{por definición de }}x\\9x&=9&&{\text{restando }}x\\x&=1&&{\text{dividiendo por }}9\end{aligned}}}$

Los estudiantes que no aceptaron el primer argumento a veces aceptan el segundo argumento, pero, en opinión de Byers, todavía no han resuelto la ambigüedad y, por lo tanto, no entienden la representación de decimales infinitos. Peressini y Peressini (2007), presentando el mismo argumento, también afirman que no explica la igualdad, indicando que tal explicación probablemente involucraría conceptos de infinito y completitud . ^[13] Baldwin y Norton (2012), citando a Katz y Katz (2010a), también concluyen que el tratamiento de la identidad basado en argumentos como estos, sin el concepto formal de un límite, es prematuro. ^[14] Cheng (2023) coincide, argumentando que saber que uno puede multiplicar 0.999... por 10 desplazando el punto decimal presupone una respuesta a la pregunta más profunda de cómo uno le da un significado a la expresión 0.999... en absoluto. ^[15] Richman (1999) también ofrece el mismo argumento al señalar que los escépticos pueden cuestionar si es cancelable  , es decir, si tiene sentido restar de ambos lados. ^[12] Eisenmann (2008) sostiene de manera similar que tanto la multiplicación como la resta que eliminan el decimal infinito requieren una mayor justificación. ^[16]${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x}$

El análisis real es el estudio de los fundamentos lógicos del cálculo , incluido el comportamiento de secuencias y series de números reales. ^[17] Las pruebas de esta sección establecen 0,999... = 1 utilizando técnicas familiares del análisis real.

Un desarrollo común de las expansiones decimales es definirlas como sumas de series infinitas . En general:$${\displaystyle b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}\ldots =b_{0}+b_{1}\left({\tfrac {1}{10}}\right)+b_{2}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{2}+b_{3}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{3}+b_{4}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{4}+\cdots .}$$

Para 0,999... se puede aplicar el teorema de convergencia relativo a las series geométricas , afirmando que si ⁠ ⁠${\displaystyle \vert r\vert }$ < 1 , entonces: ^[18]$${\displaystyle ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ={\frac {ar}{1-r}}.}$$

Como 0,999... es una suma con una razón común ⁠ ⁠ , el teorema resuelve rápidamente la cuestión: Esta prueba aparece ya en 1770 en Elementos de álgebra de Leonhard Euler . ^[19]${\displaystyle a=9}$${\displaystyle \textstyle r={\frac {1}{10}}}$$${\displaystyle 0,999\ldots =9\left({\tfrac {1}{10}}\right)+9\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{2}+9\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{3}+\cdots ={\frac {9\left({\tfrac {1}{10}}\right)}{1-{\tfrac {1}{10}}}=1.}$$

La suma de una serie geométrica es en sí misma un resultado incluso más antiguo que Euler. Una derivación típica del siglo XVIII utilizaba una manipulación término por término similar a la prueba algebraica dada anteriormente, y tan tarde como en 1811, el libro de texto de Bonnycastle Introducción al álgebra utiliza un argumento de este tipo para las series geométricas para justificar la misma maniobra en 0,999... ‍ . ^[20] Una reacción del siglo XIX contra estos métodos de suma liberales resultó en la definición que todavía domina hoy: la suma de una serie se define como el límite de la secuencia de sus sumas parciales. Una prueba correspondiente del teorema calcula explícitamente esa secuencia; se puede encontrar en varias introducciones basadas en pruebas al cálculo o al análisis. ^[21]

Una secuencia ( , , , ...)$estilo de visualización x_{0}}$$estilo de visualización x_{1}}$$estilo de visualización x_{2}$ tiene el valor como su límite si la distancia se vuelve arbitrariamente pequeña a medida que aumenta. La afirmación de que 0,999... = 1 puede interpretarse y demostrarse como un límite: ^[b] Las dos primeras igualdades pueden interpretarse como definiciones abreviadas de símbolos. Las igualdades restantes pueden demostrarse. El último paso, que 10 ⁿ tiende a 0 cuando tiende a infinito ( ⁠ ⁠ ), a menudo se justifica por la propiedad arquimediana de los números reales. Esta actitud basada en el límite hacia 0,999... a menudo se expresa en términos más evocadores pero menos precisos. Por ejemplo, el libro de texto de 1846 The University Arithmetic explica: ".999 +, continuado hasta el infinito = 1, porque cada anexión de un 9 acerca el valor a 1"; En Aritmética para escuelas de 1895 se dice que "cuando se toma una gran cantidad de 9, la diferencia entre 1 y 0,99999... se vuelve inconcebiblemente pequeña". ^[22] Los estudiantes suelen interpretar incorrectamente estas heurísticas como si implicaran que 0,999... es en sí mismo menor que 1. ^[23]${\estilo de visualización x}$${\displaystyle \left\vert x-x_{n}\right\vert }$${\estilo de visualización n}$$${\displaystyle 0.999\ldots \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \lim _{n\to \infty }0.\underbrace {99\ldots 9} _{n}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {9}{10^{k}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)=1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1-0=1.}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle \infty }$

La definición de serie anterior define el número real que se nombra mediante una expansión decimal. Un enfoque complementario está adaptado al proceso opuesto: para un número real dado, se define la(s) expansión(es) decimal(es) para nombrarlo.

Si se sabe que un número real se encuentra en el intervalo cerrado [0, 10] (es decir, es mayor o igual a 0 y menor o igual a 10), se puede imaginar dividir ese intervalo en diez partes que se superponen solo en sus extremos: [0, 1] , [1, 2] , [2, 3] , y así sucesivamente hasta [9, 10] . El número debe pertenecer a uno de estos; si pertenece a [2, 3] , entonces se registra el dígito "2" y se subdivide ese intervalo en [2, 2.1] , [2.1, 2.2] , ..., [2.8, 2.9] , [2.9, 3] . Continuando este proceso se obtiene una secuencia infinita de intervalos anidados , etiquetados por una secuencia infinita de dígitos ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ..., y uno escribe${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle b_{1}}$${\displaystyle b_{2}}$${\displaystyle b_{3}}$$${\displaystyle x=b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}\ldots \,.}$$

En este formalismo, las identidades 1 = 0,999... y 1 = 1,000... reflejan, respectivamente, el hecho de que 1 se encuentra tanto en [0, 1] como en [1, 2] , por lo que se puede elegir cualquiera de los subintervalos al encontrar sus dígitos. Para garantizar que esta notación no abuse del signo "=", se necesita una forma de reconstruir un número real único para cada decimal. Esto se puede hacer con límites, pero otras construcciones continúan con el tema del ordenamiento. ^[24]

Una opción sencilla es el teorema de intervalos anidados , que garantiza que dada una secuencia de intervalos cerrados anidados cuyas longitudes se vuelven arbitrariamente pequeñas, los intervalos contienen exactamente un número real en su intersección . Por lo tanto , ⁠ ⁠ , ${\displaystyle b_{1}}$⁠ ⁠${\displaystyle b_{2}}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle b_{3}}$ , ... se define como el único número contenido dentro de todos los intervalos [ , + 1]${\displaystyle b_{0}}$${\displaystyle b_{0}}$ , [ , + 0,1]${\displaystyle b_{0}.b_{1}}$${\displaystyle b_{0}.b_{1}}$ , y así sucesivamente. 0,999... es entonces el único número real que se encuentra en todos los intervalos [0, 1] , [0,9, 1] , [0,99, 1] y [0,99...9, 1] para cada cadena finita de 9. Como 1 es un elemento de cada uno de estos intervalos, 0,999... = 1 . ^[25]

El teorema de intervalos anidados se basa generalmente en una característica más fundamental de los números reales: la existencia de límites superiores mínimos o supremos . Para explotar directamente estos objetos, se puede definir ...${\displaystyle b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}}$ como el límite superior mínimo del conjunto de aproximantes , , , ... ${\displaystyle b_{0}}$^[26] Se puede demostrar entonces que esta definición (o la definición de intervalos anidados ) es coherente con el procedimiento de subdivisión, lo que implica 0,999 ... = 1 de nuevo. Tom Apostol concluye: "el hecho de que un número real pueda tener dos representaciones decimales diferentes es simplemente un reflejo del hecho de que dos conjuntos diferentes de números reales pueden tener el mismo supremo". ^[27]${\displaystyle b_{0}.b_{1}}$${\displaystyle b_{0}.b_{1}b_{2}}$

Algunos enfoques definen explícitamente los números reales como ciertas estructuras construidas sobre los números racionales , utilizando la teoría de conjuntos axiomáticos . Los números naturales {0, 1, 2, 3, ...} comienzan con 0 y continúan hacia arriba de modo que cada número tiene un sucesor. Se pueden extender los números naturales con sus negativos para dar todos los números enteros , y extenderse aún más a las razones, dando los números racionales . Estos sistemas numéricos están acompañados por la aritmética de la adición, la resta, la multiplicación y la división. ^{[28] [29]} Más sutilmente, incluyen el ordenamiento , de modo que un número puede compararse con otro y encontrarse que es menor que, mayor que o igual a otro número. ^[30]

El paso de los racionales a los reales es una extensión importante. Hay al menos dos formas populares de lograr este paso, ambas publicadas en 1872: cortes de Dedekind y sucesiones de Cauchy . Las pruebas de que 0,999... = 1 que utilicen directamente estas construcciones no se encuentran en los libros de texto sobre análisis real, donde la tendencia moderna durante las últimas décadas ha sido utilizar un análisis axiomático. Incluso cuando se ofrece una construcción, generalmente se aplica para probar los axiomas de los números reales, que luego respaldan las pruebas anteriores. Sin embargo, varios autores expresan la idea de que comenzar con una construcción es más apropiado desde el punto de vista lógico y las pruebas resultantes son más autónomas. ^[c]

En el enfoque de corte de Dedekind , cada número real se define como el conjunto infinito de todos los números racionales menores que ⁠ ⁠ . ^[d] En particular, el número real 1 es el conjunto de todos los números racionales que son menores que 1. ^[e] Cada expansión decimal positiva determina fácilmente un corte de Dedekind: el conjunto de números racionales que son menores que alguna etapa de la expansión. Entonces, el número real 0,999... es el conjunto de números racionales tales que < 0 , o < 0,9 , o < 0,99 , o es menor que algún otro número de la forma ^[31]${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$$${\displaystyle 1-{\frac {1}{10^{n}}}=0.(9)_{n}=0.\underbrace {99\ldots 9} _{n{\text{ nines}}}.}$$

Cada elemento de 0,999... es menor que 1, por lo que es un elemento del número real 1. A la inversa, todos los elementos de 1 son números racionales que se pueden escribir como con y ⁠ ⁠ . Esto implica y por lo tanto$${\displaystyle {\frac {a}{b}}<1,}$$${\displaystyle b>0}$${\displaystyle b>a}$$${\displaystyle 1-{\frac {a}{b}}={\frac {b-a}{b}}\geq {\frac {1}{b}}>{\frac {1}{10^{b}}},}$$$${\displaystyle {\frac {a}{b}}<1-{\frac {1}{10^{b}}}.}$$

Dado que, según la definición anterior, cada elemento de 1 es también un elemento de 0,999..., y, combinado con la prueba anterior de que cada elemento de 0,999... es también un elemento de 1, los conjuntos 0,999... y 1 contienen los mismos números racionales y, por lo tanto, son el mismo conjunto, es decir, 0,999... = 1 .$${\displaystyle 1-{\frac {1}{10^{b}}}=0.(9)_{b}<0.999\ldots ,}$$

La definición de números reales como cortes de Dedekind fue publicada por primera vez por Richard Dedekind en 1872. ^[32] El enfoque anterior para asignar un número real a cada expansión decimal se debe a un artículo expositivo titulado "¿Es 0,999 ... = 1 ?" de Fred Richman en Mathematics Magazine . ^[12] Richman señala que tomar cortes de Dedekind en cualquier subconjunto denso de los números racionales arroja los mismos resultados; en particular, utiliza fracciones decimales , para las cuales la prueba es más inmediata. También señala que, por lo general, las definiciones permiten que { | < 1}${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$ sea un corte pero no { | ≤ 1}${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$ (o viceversa). ^[33] Una modificación adicional del procedimiento conduce a una estructura diferente donde los dos no son iguales. Aunque es consistente, muchas de las reglas comunes de la aritmética decimal ya no se cumplen, por ejemplo, la fracción no tiene representación; consulte § Sistemas numéricos alternativos a continuación.${\textstyle {\frac {1}{3}}}$

Otro enfoque es definir un número real como el límite de una secuencia de Cauchy de números racionales. Esta construcción de los números reales utiliza el ordenamiento de los racionales de forma menos directa. Primero, la distancia entre y se define como el valor absoluto ⁠ ⁠ , donde el valor absoluto se define como el máximo de y ⁠ ⁠ , por lo tanto nunca negativo. Luego, los reales se definen como las secuencias de racionales que tienen la propiedad de la secuencia de Cauchy utilizando esta distancia. Es decir, en la secuencia ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ..., una aplicación de números naturales a racionales, para cualquier racional positivo hay un tal que para todo ⁠ ⁠ ; la distancia entre términos se vuelve más pequeña que cualquier racional positivo. ^[34]${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \left\vert x-y\right\vert }$${\displaystyle \left\vert z\right\vert }$${\displaystyle z}$${\displaystyle -z}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle N}$${\displaystyle \left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert \leq \delta }$${\displaystyle m,n>N}$

Si y son dos secuencias de Cauchy, entonces se definen como iguales como números reales si la secuencia tiene el límite 0. Los truncamientos del número decimal ... generan una secuencia de racionales, que es Cauchy; esto se toma para definir el valor real del número. ^[35] Por lo tanto, en este formalismo la tarea es mostrar que la secuencia de números racionales tiene un límite 0. Considerando el término ⁠ ⁠ de la secuencia, para ⁠ ⁠ , debe demostrarse que Esto puede demostrarse mediante la definición de un límite . Entonces, nuevamente, 0.999... = 1 . ^[36]${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle (y_{n})}$${\displaystyle (x_{n}-y_{n})}$${\displaystyle b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}}$$${\displaystyle \left(1-0,1-{9 \over 10},1-{99 \over 100},\ldots \right)=\left(1,{1 \over 10},{1 \over 100},\ldots \right)}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=0.}$$

La definición de números reales como secuencias de Cauchy fue publicada por primera vez por separado por Eduard Heine y Georg Cantor , también en 1872. ^[32] El enfoque anterior para las expansiones decimales, incluida la prueba de que 0,999... = 1 , sigue de cerca el trabajo de Griffiths y Hilton de 1970 Un libro de texto completo de matemáticas clásicas: una interpretación contemporánea . ^[37]

En la enseñanza de las matemáticas en las escuelas secundarias , los números reales se construyen definiendo un número utilizando un entero seguido de un punto decimal y una secuencia infinita escrita como una cadena para representar la parte fraccionaria de cualquier número real dado. En esta construcción, el conjunto de cualquier combinación de un entero y dígitos después del punto decimal (o punto decimal en sistemas que no sean de base 10) es el conjunto de números reales. Se puede demostrar rigurosamente que esta construcción satisface todos los axiomas reales después de definir una relación de equivalencia sobre el conjunto que define 1 = _eq 0.999... así como para cualquier otro decimal distinto de cero con solo un número finito de términos distintos de cero en la cadena decimal con su versión de 9 finales. En otras palabras, la igualdad 0.999... = 1 es una condición necesaria para que las cadenas de dígitos se comporten como deberían hacerlo los números reales. ^{[38] [39]}

Una de las nociones que puede resolver el problema es el requisito de que los números reales estén densamente ordenados. El ordenamiento denso implica que si no hay ningún elemento nuevo estrictamente entre dos elementos del conjunto, los dos elementos deben considerarse iguales. Por lo tanto, si 0,99999... fuera diferente de 1, tendría que haber otro número real entre ellos, pero no lo hay: no se puede cambiar un solo dígito en ninguno de los dos para obtener tal número. ^[40]

El resultado de que 0,999... = 1 se generaliza fácilmente de dos maneras. En primer lugar, cada número distinto de cero con una notación decimal finita (equivalente a infinitos ceros finales) tiene una contraparte con nueves finales. Por ejemplo, 0,24999... es igual a 0,25, exactamente como en el caso especial considerado. Estos números son exactamente las fracciones decimales y son densos . ^{[41] [9]}

En segundo lugar, se aplica un teorema comparable en cada base o radio . Por ejemplo, en base 2 (el sistema de numeración binario ) 0,111... es igual a 1, y en base 3 (el sistema de numeración ternario ) 0,222... es igual a 1. En general, cualquier expresión de base terminal tiene una contraparte con dígitos finales repetidos iguales a − 1 . Es probable que los libros de texto de análisis real omitan el ejemplo de 0,999... y presenten una o ambas de estas generalizaciones desde el principio. ^[42]${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$

Representaciones alternativas de 1 también ocurren en bases no enteras. Por ejemplo, en la base de la proporción áurea , las dos representaciones estándar son 1.000... y 0.101010..., y hay infinitas más representaciones que incluyen 1 adyacentes. Generalmente, para casi todos entre 1 y 2, hay incontables expansiones de base de 1. En contraste, todavía hay incontables ⁠ ⁠ , incluidos todos los números naturales mayores que 1, para los cuales solo hay una expansión de base de 1, aparte del trivial 1.000... ‍ . Este resultado fue obtenido por primera vez por Paul Erdős , Miklos Horváth e István Joó alrededor de 1990. En 1998 Vilmos Komornik y Paola Loreti determinaron la base más pequeña de este tipo, la constante de Komornik-Loreti = 1.787231650... ‍ . En esta base, 1 = 0,11010011001011010010110011010011... ; los dígitos están dados por la secuencia de Thue-Morse , que no se repite. ^[43]${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

Una generalización de mayor alcance aborda los sistemas de numeración posicional más generales . Éstos también tienen múltiples representaciones y, en cierto sentido, las dificultades son aún mayores. Por ejemplo: ^[44]

• En el sistema ternario equilibrado , = 0,111... = 1,111 ... ‍ .${\textstyle {\frac {1}{2}}}$
• En el sistema de numeración factorial inverso (utilizando bases 2!, 3!, 4!, ... para las posiciones después del punto decimal), 1 = 1,000... = 0,1234... ‍ .

Petkovšek (1990) ha demostrado que para cualquier sistema posicional que nombra todos los números reales, el conjunto de números reales con múltiples representaciones es siempre denso. Llama a la prueba "un ejercicio instructivo en topología elemental de conjuntos puntuales "; implica considerar conjuntos de valores posicionales como espacios de Stone y notar que sus representaciones reales están dadas por funciones continuas . ^[45]

Una aplicación de 0,999... como representación de 1 se da en la teoría de números elemental . En 1802, H. Goodwyn publicó una observación sobre la aparición de 9 en las representaciones decimales periódicas de fracciones cuyos denominadores son ciertos números primos . ^[46] Algunos ejemplos incluyen:

• ${\textstyle {\frac {1}{7}}}$= 0,142857 y 142 + 857 = 999 .
• ${\textstyle {\frac {1}{73}}}$= 0,01369863 y 0136 + 9863 = 9999 .

E. Midy demostró un resultado general sobre tales fracciones, ahora llamado teorema de Midy , en 1836. La publicación fue oscura, y no está claro si su prueba involucraba directamente 0.999..., pero al menos una prueba moderna de William G. Leavitt sí lo hace. Si se puede demostrar que si un decimal de la forma ... es${\displaystyle 0.b_{1}b_{2}b_{3}}$ un entero positivo, entonces debe ser 0.999..., que es entonces la fuente de los 9 en el teorema. ^[47] Las investigaciones en esta dirección pueden motivar conceptos como máximo común divisor , aritmética modular , primos de Fermat , orden de elementos de grupo y reciprocidad cuadrática . ^[48]

Volviendo al análisis real, el análogo de base 3 0,222... = 1 juega un papel clave en la caracterización de uno de los fractales más simples, el conjunto de Cantor de tercios medios : un punto en el intervalo unitario se encuentra en el conjunto de Cantor si y solo si puede representarse en ternario utilizando solo los dígitos 0 y 2.

El dígito ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ de la representación refleja la posición del punto en la ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ etapa de la construcción. Por ejemplo, al punto se le da la representación habitual de 0,2 o 0,2000..., ya que se encuentra a la derecha de la primera eliminación y a la izquierda de cada eliminación posterior. El punto no se representa como 0,1 sino como 0,0222..., ya que se encuentra a la izquierda de la primera eliminación y a la derecha de cada eliminación posterior. ^[49]${\textstyle {\frac {2}{3}}}$${\textstyle {\frac {1}{3}}}$

Los nueves repetidos también aparecen en otra obra de Georg Cantor. Deben tenerse en cuenta para construir una prueba válida, aplicando su argumento diagonal de 1891 a las expansiones decimales, de la incontabilidad del intervalo unitario. Una prueba de este tipo debe poder declarar que ciertos pares de números reales son diferentes en función de sus expansiones decimales, por lo que hay que evitar pares como 0,2 y 0,1999... Un método simple representa todos los números con expansiones no terminales; el método opuesto descarta los nueves repetidos. ^[f] Una variante que puede estar más cerca del argumento original de Cantor utiliza la base 2, y al convertir las expansiones de base 3 en expansiones de base 2, también se puede demostrar la incontabilidad del conjunto de Cantor. ^[50]

Los estudiantes de matemáticas suelen rechazar la igualdad de 0,999... y 1 por razones que van desde su apariencia dispar hasta profundas dudas sobre el concepto de límite y desacuerdos sobre la naturaleza de los infinitesimales . Hay muchos factores comunes que contribuyen a la confusión:

• Los estudiantes a menudo están "mentalmente comprometidos con la noción de que un número puede ser representado de una sola manera por un decimal". Ver dos decimales manifiestamente diferentes que representan el mismo número parece ser una paradoja , que se amplifica con la aparición del aparentemente bien entendido número 1. ^[g]
• Algunos estudiantes interpretan "0,999..." (o una notación similar) como una cadena grande pero finita de nueves, posiblemente con una longitud variable y no especificada. Si aceptan una cadena infinita de nueves, pueden esperar que aparezca un último 9 "en el infinito". ^[51]
• La intuición y la enseñanza ambigua llevan a los estudiantes a pensar en el límite de una secuencia como una especie de proceso infinito en lugar de un valor fijo, ya que una secuencia no necesita alcanzar su límite. Cuando los estudiantes aceptan la diferencia entre una secuencia de números y su límite, pueden leer "0,999..." como si se refiriera a la secuencia en lugar de a su límite. ^[52]

Estas ideas son erróneas en el contexto de los números reales estándar, aunque algunas pueden ser válidas en otros sistemas numéricos, ya sea inventados por su utilidad matemática general o como contraejemplos instructivos para comprender mejor 0,999...; ver § En sistemas numéricos alternativos más abajo.

Muchas de estas explicaciones las encontró David Tall , quien ha estudiado las características de la enseñanza y la cognición que conducen a algunos de los malentendidos que ha encontrado con sus estudiantes universitarios. Al entrevistar a sus estudiantes para determinar por qué la gran mayoría rechazó inicialmente la igualdad, descubrió que "los estudiantes seguían concibiendo 0,999... como una secuencia de números que se acercaban cada vez más a 1 y no como un valor fijo, porque 'no has especificado cuántos lugares hay' o 'es el decimal más cercano posible por debajo de 1 ' ". ^[23]

El argumento elemental de multiplicar 0,333... =${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ por 3 puede convencer a estudiantes renuentes de que 0,999... = 1. Aún así, cuando se enfrentan al conflicto entre su creencia en la primera ecuación y su incredulidad en la segunda, algunos estudiantes comienzan a no creer en la primera ecuación o simplemente se frustran. ^[53] Los métodos más sofisticados tampoco son infalibles: los estudiantes que son completamente capaces de aplicar definiciones rigurosas aún pueden recurrir a imágenes intuitivas cuando se sorprenden por un resultado en matemáticas avanzadas, incluido 0,999... ‍ . Por ejemplo, un estudiante de análisis real pudo demostrar que 0,333... =${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ usando una definición suprema , pero luego insistió en que 0,999... < 1 basándose en su comprensión anterior de la división larga . ^[54] Otros aún pueden demostrar que = 0,333... , pero, al ser confrontados por la prueba fraccionaria, insisten en que la "lógica" reemplaza a los cálculos matemáticos.${\textstyle {\frac {1}{3}}}$

Mazur (2005) cuenta la historia de un estudiante de cálculo que, por lo demás, era brillante y que "cuestionaba casi todo lo que yo decía en clase, pero nunca cuestionaba su calculadora", y que había llegado a creer que nueve dígitos son todo lo que uno necesita para hacer matemáticas, incluido el cálculo de la raíz cuadrada de 23. El estudiante se sentía incómodo con un argumento limitante de que 9,99... = 10 , y lo calificaba de "un proceso de crecimiento infinito imaginado descabelladamente". ^[55]

Como parte de la teoría APOS del aprendizaje matemático, Dubinsky et al. (2005) proponen que los estudiantes que conciben 0,999... como una cadena finita e indeterminada con una distancia infinitamente pequeña de 1 "aún no han construido una concepción completa del proceso del decimal infinito". Otros estudiantes que tienen una concepción completa del proceso de 0,999... tal vez no sean capaces de "encapsular" ese proceso en una "concepción de objeto", como la concepción de objeto que tienen de 1, y por eso ven el proceso 0,999... y el objeto 1 como incompatibles. También vinculan esta capacidad mental de encapsulación con la visualización como un número en sí mismo y con el manejo del conjunto de números naturales como un todo. ^[56]${\textstyle {\frac {1}{3}}}$

Con el auge de Internet , los debates sobre 0,999... se han vuelto algo común en los grupos de noticias y foros de mensajes , incluidos muchos que nominalmente tienen poco que ver con las matemáticas. En el grupo de noticias sci.math , discutir sobre 0,999... se describe como un "deporte popular", y es una de las preguntas respondidas en sus Preguntas frecuentes . ^{[57] [58]} Las Preguntas frecuentes cubren brevemente ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{3}}}$ , la multiplicación por 10 y los límites, y también alude a las secuencias de Cauchy.

Una edición de 2003 de la columna de interés general del periódico The Straight Dope analiza 0,999... vía y límites, diciendo conceptos erróneos,${\textstyle {\frac {1}{3}}}$

El primate inferior que hay en nosotros todavía se resiste y dice: .999~ no representa realmente un número , sino un proceso . Para encontrar un número tenemos que detener el proceso, en cuyo punto la idea de .999~ = 1 se desmorona. Tonterías. ^[59]

Un artículo de Slate informa que el concepto de 0,999... es "muy discutido en sitios web que van desde los foros de mensajes de World of Warcraft hasta los foros de Ayn Rand ". ^[60] 0,999... también aparece en chistes matemáticos , como: ^[61]

P: ¿Cuántos matemáticos hacen falta para cambiar una bombilla ?
R: 0,999999...

El hecho de que 0,999... sea igual a 1 se ha comparado con la paradoja del corredor de Zenón . ^[62] La paradoja del corredor se puede modelar matemáticamente y luego, como 0,999..., resolverse utilizando una serie geométrica. Sin embargo, no está claro si este tratamiento matemático aborda las cuestiones metafísicas subyacentes que Zenón estaba explorando. ^[63]

Aunque los números reales forman un sistema numérico extremadamente útil , la decisión de interpretar la notación "0,999..." como el nombre de un número real es en última instancia una convención, y Timothy Gowers sostiene en Matemáticas: una introducción muy breve que la identidad resultante 0,999... = 1 también es una convención:

Sin embargo, no se trata de una convención arbitraria, porque no adoptarla obliga a inventar nuevos objetos extraños o a abandonar algunas de las reglas familiares de la aritmética. ^[64]

Algunas pruebas de que 0,999... = 1 se basan en la propiedad arquimediana de los números reales: que no existen infinitesimales distintos de cero . En concreto, la diferencia 1 − 0,999... debe ser menor que cualquier número racional positivo, por lo que debe ser un infinitesimal; pero como los números reales no contienen infinitesimales distintos de cero, la diferencia es cero y, por tanto, los dos valores son iguales.

Sin embargo, existen estructuras algebraicas ordenadas matemáticamente coherentes , incluidas varias alternativas a los números reales, que no son arquimedianas. El análisis no estándar proporciona un sistema numérico con una matriz completa de infinitesimales (y sus inversos). ^[h] AH Lightstone desarrolló una expansión decimal para números hiperreales en (0, 1) ^∗ . Lightstone muestra cómo asociar cada número con una secuencia de dígitos, indexada por los números hipernaturales . Si bien no analiza directamente 0,999..., muestra que el número real está representado por 0,333...;...333..., que es una consecuencia del principio de transferencia . Como consecuencia, el número 0,999...;...999... = 1 . Con este tipo de representación decimal, no todas las expansiones representan un número. En particular, "0,333...;...000..." y "0,999...;...000..." no corresponden a ningún número. ^[65]$${\displaystyle 0.d_{1}d_{2}d_{3}\ldots ;\ldots d_{\infty -1}d_{\infty }d_{\infty +1}\ldots ,}$$${\textstyle {\frac {1}{3}}}$

La definición estándar del número 0,999... es el límite de la secuencia 0,9, 0,99, 0,999, ... ‍ . Una definición diferente implica un ultralímite , es decir, la clase de equivalencia [(0,9, 0,99, 0,999, ...)] de esta secuencia en la construcción de ultrapotencia , que es un número que se queda corto respecto a 1 por una cantidad infinitesimal. ^[66] De manera más general, el número hiperreal = 0,999...;...999000... , con el último dígito 9 en rango hipernatural infinito ⁠ ⁠ , satisface una desigualdad estricta ⁠ ⁠ . En consecuencia, una interpretación alternativa para "cero seguido de infinitos 9" podría ser ^[67] Todas estas interpretaciones de "0,999..." son infinitamente cercanas a 1. Ian Stewart caracteriza esta interpretación como una forma "enteramente razonable" de justificar rigurosamente la intuición de que "falta un poquito" de 1 en 0,999.... ^[i] Junto con Katz y Katz (2010b), Ely (2010) también cuestiona la suposición de que las ideas de los estudiantes sobre 0,999... < 1 son intuiciones erróneas sobre los números reales, interpretándolas más bien como intuiciones no estándar que podrían ser valiosas en el aprendizaje del cálculo. ^[68]${\displaystyle u_{H}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle u_{H}<1}$$${\displaystyle {\underset {H}{0.\underbrace {999\ldots } }}\;=1\;-\;{\frac {1}{10^{H}}}.}$$

La teoría de juegos combinatorios proporciona un concepto generalizado de número que abarca los números reales y mucho más. ^[69] Por ejemplo, en 1974, Elwyn Berlekamp describió una correspondencia entre cadenas de segmentos rojos y azules en Hackenbush y expansiones binarias de números reales, motivada por la idea de compresión de datos . Por ejemplo, el valor de la cadena de Hackenbush LRRLRLRL... es 0.010101... ₂ = .${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ Sin embargo, el valor de LRLLL... (que corresponde a 0.111... ₂ es infinitesimalmente menor que 1. La diferencia entre los dos es el número surrealista , donde es el primer ordinal infinito ; el juego relevante es LRRRR... o 0.000... ₂ . ^[j]${\textstyle {\frac {1}{\omega }}}$${\displaystyle \omega }$

Esto es cierto para las expansiones binarias de muchos números racionales, donde los valores de los números son iguales pero las rutas de árboles binarios correspondientes son diferentes. Por ejemplo, 0.10111... ₂ = 0.11000... ₂ , que son ambas iguales a ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle {\frac {3}{4}}}$ , pero la primera representación corresponde a la ruta de árbol binario LRLRLLL..., mientras que la segunda corresponde a la ruta diferente LRLLRRR... ‍ .

Otra forma en la que las demostraciones pueden verse socavadas es si 1 − 0,999... simplemente no existe porque la resta no siempre es posible. Las estructuras matemáticas con una operación de suma pero no una operación de resta incluyen semigrupos conmutativos , monoides conmutativos y semianillos . Richman (1999) considera dos de estos sistemas, diseñados de modo que 0,999... < 1. [ ^12]

En primer lugar, Richman (1999) define un número decimal no negativo como una expansión decimal literal. Define el orden lexicográfico y una operación de adición, señalando que 0,999... < 1 simplemente porque 0 < 1 en el lugar de las unidades, pero para cualquier ⁠ ⁠${\displaystyle x}$ no terminal , se tiene 0,999... + = 1 + ⁠ ⁠${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$ . Por tanto, una peculiaridad de los números decimales es que la adición no siempre se puede cancelar; otra es que ningún número decimal corresponde a ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{3}}}$ . Tras definir la multiplicación, los números decimales forman un semianillo conmutativo positivo y totalmente ordenado. ^[70]

En el proceso de definición de la multiplicación, Richman también define otro sistema que llama "corte "${\displaystyle D}$ , que es el conjunto de cortes de Dedekind de fracciones decimales. Por lo general, esta definición conduce a los números reales, pero para una fracción decimal permite tanto el corte ( ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ ) como el "corte principal" ( ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ ] . El resultado es que los números reales "viven incómodamente juntos" con las fracciones decimales. Nuevamente 0.999... < 1 . No hay infinitesimales positivos en el corte ⁠ ⁠ , pero hay "una especie de infinitesimal negativo", 0 ⁻ , que no tiene expansión decimal. Concluye que 0.999... = 1 + 0 ⁻ , mientras que la ecuación " 0.999... + = 1 " no tiene solución. ^[k]${\displaystyle d}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle d}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle d}$${\displaystyle D}$${\displaystyle x}$

Cuando se les pregunta sobre 0,999..., los novatos a menudo creen que debería haber un "9 final", creyendo que 1 − 0,999... es un número positivo que escriben como "0,000...1". Independientemente de si esto tiene sentido o no, el objetivo intuitivo es claro: agregar un 1 al 9 final en 0,999... llevaría todos los 9 a 0 y dejaría un 1 en el lugar de las unidades. Entre otras razones, esta idea falla porque no hay un "9 final" en 0,999... ‍ . ^[71] Sin embargo, hay un sistema que contiene una cadena infinita de 9, incluido un último 9.

Los números -ádicos son un sistema numérico alternativo de interés en la teoría de números . Al igual que los números reales, los números -ádicos se pueden construir a partir de los números racionales mediante sucesiones de Cauchy ; la construcción utiliza una métrica diferente en la que 0 está más cerca de ⁠ ⁠ , y mucho más cerca de ⁠ ⁠ , que de 1. ^[72] Los números -ádicos forman un campo para primos y un anillo para otros ⁠ ⁠ , incluido 10. Por lo tanto, se puede realizar aritmética en los -ádicos , y no hay infinitesimales.${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p^{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

En los números 10-ádicos, los análogos de las expansiones decimales corren hacia la izquierda. La expansión 10-ádica ...999 tiene un último 9, y no tiene un primer 9. Se puede añadir 1 al lugar de las unidades, y sólo quedan 0 después de llevar a cabo: 1 + ...999 = ...000 = 0 , y por lo tanto ...999 = −1 . ^[73] Otra derivación utiliza una serie geométrica. La serie infinita implicada por "...999" no converge en los números reales, pero converge en los 10-ádicos, y por lo tanto se puede reutilizar la fórmula familiar: ^[74]$${\displaystyle \ldots 999=9+9(10)+9(10)^{2}+9(10)^{3}+\cdots ={\frac {9}{1-10}}=-1.}$$

Compárese con la serie de la sección anterior. Una tercera derivación fue inventada por un estudiante de séptimo grado que tenía dudas sobre el argumento limitante de su maestro de que 0,999... = 1 , pero se sintió inspirado para tomar la prueba de multiplicación por 10 anterior en la dirección opuesta: si = ...999 , entonces 10 = ...990 , por lo tanto 10 = − 9 , por lo tanto = −1 nuevamente. ^[73]${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

Como extensión final, dado que 0,999... = 1 (en los números reales) y ...999 = −1 (en los 10-ádicos), entonces, mediante "fe ciega y malabarismo descarado con los símbolos" ^[75], se pueden sumar las dos ecuaciones y llegar a ...999,999... = 0. Esta ecuación no tiene sentido ni como expansión 10-ádica ni como expansión decimal ordinaria, pero resulta ser significativa y verdadera en la expansión decimal doblemente infinita del solenoide 10-ádico , con extremos izquierdos que se repiten eventualmente para representar los números reales y extremos derechos que se repiten eventualmente para representar los números 10-ádicos. ^[76]

• Finitismo
• Matemáticas informales

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