Grupo de clase ideal

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En matemáticas , el grupo de clase ideal (o grupo de clase ) de un cuerpo de números algebraicos K es el grupo cociente J _K  / P _K donde J _K es el grupo de ideales fraccionarios del anillo de números enteros de K y P _K es su subgrupo de ideales principales . El grupo de clase es una medida del grado en que falla la factorización única en el anillo de números enteros de K. El orden del grupo, que es finito , se denomina número de clase de K.

La teoría se extiende a los dominios de Dedekind y sus cuerpos de fracciones , para los cuales las propiedades multiplicativas están íntimamente ligadas a la estructura del grupo de clases. Por ejemplo, el grupo de clases de un dominio de Dedekind es trivial si y solo si el anillo es un dominio de factorización único .

Los grupos de clases ideales (o, mejor dicho, lo que efectivamente eran grupos de clases ideales) fueron estudiados algún tiempo antes de que se formulara la idea de un ideal . Estos grupos aparecieron en la teoría de las formas cuadráticas : en el caso de las formas cuadráticas integrales binarias , tal como Carl Friedrich Gauss las presentó en una especie de forma final , se definió una ley de composición sobre ciertas clases de equivalencia de formas. Esto dio como resultado un grupo abeliano finito , tal como se reconoció en ese momento.

Más tarde, Ernst Kummer estaba trabajando en una teoría de campos ciclotómicos . Se había dado cuenta (probablemente por varias personas) de que el fracaso en completar las demostraciones en el caso general del Último Teorema de Fermat por factorización usando las raíces de la unidad se debía a una muy buena razón: un fracaso de la factorización única -es decir, el teorema fundamental de la aritmética- para sostenerse en los anillos generados por esas raíces de la unidad era un obstáculo importante. Del trabajo de Kummer surgió por primera vez un estudio de la obstrucción a la factorización. Ahora reconocemos esto como parte del grupo de clase ideal: de hecho, Kummer había aislado la p - torsión en ese grupo para el campo de p -raíces de la unidad, para cualquier número primo p , como la razón del fracaso del método estándar de ataque al problema de Fermat (ver primo regular ).

Un poco más tarde, Richard Dedekind formuló nuevamente el concepto de ideal, ya que Kummer había trabajado de una manera diferente. En este punto, los ejemplos existentes se pudieron unificar. Se demostró que, si bien los anillos de números enteros algebraicos no siempre tienen una factorización única en primos (porque no necesitan ser dominios ideales principales ), sí tienen la propiedad de que cada ideal propio admite una factorización única como producto de ideales primos (es decir, cada anillo de números enteros algebraicos es un dominio de Dedekind ). El tamaño del grupo de clases ideales puede considerarse como una medida de la desviación de un anillo de ser un dominio ideal principal; un anillo es un dominio ideal principal si y solo si tiene un grupo de clases ideales triviales.

Si R es un dominio integral , defina una relación ~ sobre ideales fraccionarios no nulos de R por I ~ J siempre que existan elementos no nulos a y b de R tales que ( a ) I = ( b ) J . (Aquí la notación ( a ) significa el ideal principal de R que consiste en todos los múltiplos de a .) Se demuestra fácilmente que ésta es una relación de equivalencia . Las clases de equivalencia se denominan clases ideales de R . Las clases ideales se pueden multiplicar: si [ I ] denota la clase de equivalencia del ideal I , entonces la multiplicación [ I ][ J ] = [ IJ ] está bien definida y es conmutativa . Los ideales principales forman la clase ideal [ R ] que sirve como elemento identidad para esta multiplicación. Por tanto, una clase [ I ] tiene una inversa [ J ] si y sólo si existe un ideal J tal que IJ es un ideal principal. En general, tal J puede no existir y, en consecuencia, el conjunto de clases ideales de R solo puede ser un monoide .

Sin embargo, si R es el anillo de números enteros algebraicos en un cuerpo de números algebraicos , o más generalmente un dominio de Dedekind , la multiplicación definida anteriormente convierte el conjunto de clases ideales fraccionarias en un grupo abeliano , el grupo de clases ideales de R. La propiedad de grupo de existencia de elementos inversos se sigue fácilmente del hecho de que, en un dominio de Dedekind, cada ideal distinto de cero (excepto R ) es un producto de ideales primos .

El grupo de clases ideal es trivial (es decir, tiene un solo elemento) si y solo si todos los ideales de R son principales. En este sentido, el grupo de clases ideal mide qué tan lejos está R de ser un dominio de ideales principales y, por lo tanto, de satisfacer la factorización prima única (los dominios de Dedekind son dominios de factorización única si y solo si son dominios de ideales principales).

El número de clases ideales (laEl número de clase deRpuede ser infinito en general. De hecho, todo grupo abeliano esisomorfoal grupo de clase ideal de algún dominio de Dedekind.^[1]Pero siRes un anillo de números enteros algebraicos, entonces el número de clase es siemprefinito. Este es uno de los principales resultados dela teoría clásica de números algebraicos.

El cálculo del grupo de clases es difícil, en general; se puede hacer a mano para el anillo de números enteros en un cuerpo de números algebraicos con discriminante pequeño , utilizando el límite de Minkowski . Este resultado proporciona un límite, que depende del anillo, de modo que cada clase ideal contiene una norma ideal menor que el límite. En general, el límite no es lo suficientemente preciso como para que el cálculo sea práctico para cuerpos con discriminante grande, pero las computadoras son adecuadas para la tarea.

La aplicación de anillos de números enteros R a sus grupos de clases correspondientes es funcional , y el grupo de clases puede subsumirse bajo el título de teoría K algebraica , con K ₀ ( R ) siendo el funtor que asigna a R su grupo de clases ideal; más precisamente, K ₀ ( R ) = Z × C ( R ), donde C ( R ) es el grupo de clases. También se pueden emplear grupos K superiores e interpretarlos aritméticamente en relación con anillos de números enteros.

Se ha señalado anteriormente que el grupo de clases ideales proporciona parte de la respuesta a la pregunta de en qué medida los ideales de un dominio de Dedekind se comportan como elementos. La otra parte de la respuesta la proporciona el grupo de unidades del dominio de Dedekind, ya que el paso de los ideales principales a sus generadores requiere el uso de unidades (y esta es también la razón por la que se introduce el concepto de ideal fraccionario):

Defina una función desde R ^× al conjunto de todos los ideales fraccionarios no nulos de R enviando cada elemento al ideal principal (fraccional) que genera. Este es un homomorfismo de grupo ; su núcleo es el grupo de unidades de R y su conúcleo es el grupo de clases ideales de R. El hecho de que estos grupos no sean triviales es una medida del hecho de que la función no sea un isomorfismo: es decir, el hecho de que los ideales no actúen como elementos del anillo, es decir, como números.

• Los anillos Z , Z [ω] y Z [ i ] , donde ω es una raíz cúbica de 1 e i es una raíz cuarta de 1 (es decir, una raíz cuadrada de −1 ), son todos dominios ideales principales (y de hecho son todos dominios euclidianos ), y por lo tanto tienen la clase número 1: es decir, tienen grupos de clases ideales triviales.
• Si k es un cuerpo, entonces el anillo polinómico k [ X ₁ , X ₂ , X ₃ , ...] es un dominio integral. Tiene un conjunto infinito numerable de clases ideales.

Si es un entero sin cuadrados (un producto de primos distintos) distinto de 1, entonces es una extensión cuadrática de Q . Si , entonces el número de clase del anillo de enteros algebraicos de es igual a 1 para exactamente los siguientes valores de : . Este resultado fue conjeturado por primera vez por Gauss y demostrado por Kurt Heegner , aunque la prueba de Heegner no fue creída hasta que Harold Stark dio una prueba posterior en 1967. (Véase el teorema de Stark-Heegner .) Este es un caso especial del famoso problema del número de clase .${\estilo de visualización d}$${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)}$${\estilo de visualización d<0}$${\estilo de visualización R}$${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)}$${\estilo de visualización d}$${\displaystyle d=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163}$

Si, por otra parte, d > 0, entonces se desconoce si existen infinitos cuerpos con el número de clase 1. Los resultados computacionales indican que existen muchos de esos cuerpos. Sin embargo, ni siquiera se sabe si existen infinitos cuerpos numéricos con el número de clase 1. ^[2]${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)}$

Para d < 0, el grupo de clases ideal de es isomorfo al grupo de clases de las formas cuadráticas binarias integrales de discriminante igual al discriminante de . Para d > 0, el grupo de clases ideal puede tener la mitad del tamaño, ya que el grupo de clases de las formas cuadráticas binarias integrales es isomorfo al grupo de clases estrecho de . ^[3]${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)}$${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)}$${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)}$

Para los anillos enteros cuadráticos reales , el número de clase se da en OEIS A003649; para el caso imaginario , se da en OEIS A000924.

El anillo de enteros cuadráticos R = Z [ √ −5 ] es el anillo de enteros de Q ( √ −5 ). No posee factorización única; de hecho el grupo de clases de R es cíclico de orden 2. En efecto, el anillo ideal

J = (2, 1 + √ −5 )

no es principal, lo que se puede demostrar por contradicción como sigue. tiene una función norma , que satisface , y si y solo si es una unidad en . En primer lugar, , porque el anillo cociente de módulo el ideal es isomorfo a , de modo que el anillo cociente de módulo es isomorfo a . Si J fuera generado por un elemento x de R , entonces x dividiría tanto a 2 como a 1 + √ −5 . Entonces la norma dividiría tanto a y , por lo que N (x) dividiría a 2. Si entonces es una unidad y , una contradicción. Pero tampoco puede ser 2, porque R no tiene elementos de norma 2, porque la ecuación diofántica no tiene soluciones en números enteros, como no tiene soluciones módulo 5 .${\estilo de visualización R}$${\displaystyle N(a+b{\sqrt {-5}})=a^{2}+5b^{2}}$${\displaystyle N(uv)=N(u)N(v)}$${\displaystyle N(u)=1}$${\estilo de visualización u}$${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización J\neq R}$${\estilo de visualización R}$${\displaystyle (1+{\sqrt {-5}})}$${\displaystyle \mathbf {Z} /6\mathbf {Z} }$${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización J}$${\displaystyle \mathbf {Z} /3\mathbf {Z} }$${\estilo de visualización N(x)}$${\displaystyle N(2)=4}$${\displaystyle N(1+{\sqrt {-5}})=6}$${\displaystyle N(x)=1}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización J=R}$${\estilo de visualización N(x)}$ ${\displaystyle b^{2}+5c^{2}=2}$

También se calcula que J ² = (2), que es principal, por lo que la clase de J en el grupo de clases ideales tiene orden dos. Demostrar que no hay otras clases ideales requiere más esfuerzo.

El hecho de que este J no sea principal también está relacionado con el hecho de que el elemento 6 tiene dos factorizaciones distintas en irreducibles :

6 = 2 × 3 = (1 + √ −5 ) × (1 − √ −5 ).

La teoría de cuerpos de clases es una rama de la teoría algebraica de números que busca clasificar todas las extensiones abelianas de un cuerpo de números algebraicos dado, es decir, extensiones de Galois con grupo de Galois abeliano . Un ejemplo particularmente bello se encuentra en el cuerpo de clases de Hilbert de un cuerpo de números, que se puede definir como la extensión abeliana máxima no ramificada de dicho cuerpo. El cuerpo de clases de Hilbert L de un cuerpo de números K es único y tiene las siguientes propiedades:

• Todo ideal del anillo de enteros de K se vuelve principal en L , es decir, si I es un ideal entero de K entonces la imagen de I es un ideal principal en L.
• L es una extensión de Galois de K con un grupo de Galois isomorfo al grupo de clase ideal de K.

Ninguna de estas propiedades es particularmente fácil de probar.

• Fórmula del número de clase
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• Grupo de clase de Arakelov

• Claborn, Luther (1966), "Todo grupo abeliano es un grupo de clases", Pacific Journal of Mathematics , 18 (2): 219–222, doi : 10.2140/pjm.1966.18.219
• Fröhlich, Albrecht ; Taylor, Martin (1993), Teoría algebraica de números , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 27, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43834-6, Sr.  1215934
• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . vol. 322. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8.MR  1697859.Zbl 0956.11021  .​