Campo de fracciones

En álgebra abstracta , el cuerpo de fracciones de un dominio integral es el cuerpo más pequeño en el que puede estar incluido . La construcción del cuerpo de fracciones se basa en la relación entre el dominio integral de los números enteros y el cuerpo de los números racionales . Intuitivamente, consiste en proporciones entre elementos del dominio integral.

El campo de fracciones de un dominio integral se denota a veces por o , y la construcción a veces también se llama campo de fracciones , campo de cocientes o campo de cocientes de . Los cuatro son de uso común, pero no deben confundirse con el cociente de un anillo por un ideal , que es un concepto bastante diferente. Para un anillo conmutativo que no es un dominio integral, la construcción análoga se llama localización o anillo de cocientes.${\displaystyle R}$${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$${\displaystyle \operatorname {Quot} (R)}$${\displaystyle R}$

Dado un dominio integral y siendo , definimos una relación de equivalencia en siendo siempre que . Denotamos la clase de equivalencia de por . Esta noción de equivalencia está motivada por los números racionales , que tienen la misma propiedad con respecto al anillo subyacente de números enteros.${\displaystyle R}$${\displaystyle R^{*}=R\setminus \{0\}}$${\displaystyle R\times R^{*}}$${\displaystyle (n,d)\sim (m,b)}$${\displaystyle nb=md}$${\displaystyle (n,d)}$${\displaystyle {\frac {n}{d}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Entonces el campo de fracciones es el conjunto con adición dada por${\displaystyle {\text{Frac}}(R)=(R\times R^{*})/\sim }$

${\displaystyle {\frac {n}{d}}+{\frac {m}{b}}={\frac {nb+md}{db}}}$

y la multiplicación dada por

${\displaystyle {\frac {n}{d}}\cdot {\frac {m}{b}}={\frac {nm}{db}}.}$

Se puede comprobar que estas operaciones están bien definidas y que, para cualquier dominio integral , es efectivamente un cuerpo. En particular, para , el inverso multiplicativo de es como se esperaba: .${\displaystyle R}$${\displaystyle {\text{Frac}}(R)}$${\displaystyle n,d\neq 0}$${\displaystyle {\frac {n}{d}}}$${\displaystyle {\frac {d}{n}}\cdot {\frac {n}{d}}=1}$

La incrustación de in asigna cada in a la fracción para cualquier valor distinto de cero (la clase de equivalencia es independiente de la elección ). Esto se basa en la identidad .${\displaystyle R}$${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\frac {en}{e}}}$${\displaystyle e\in R}$${\displaystyle e}$${\displaystyle {\frac {n}{1}}=n}$

El campo de fracciones de se caracteriza por la siguiente propiedad universal :${\displaystyle R}$

si es un homomorfismo de anillo inyectivo de en un cuerpo , entonces existe un homomorfismo de anillo único que extiende .${\displaystyle h:R\to F}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle F}$${\displaystyle g:\operatorname {Frac} (R)\to F}$${\displaystyle h}$

Hay una interpretación categórica de esta construcción. Sea la categoría de dominios integrales y mapas de anillos inyectivos. El funtor de a la categoría de cuerpos que lleva cada dominio integral a su cuerpo fraccionario y cada homomorfismo al mapa inducido en cuerpos (que existe por la propiedad universal) es el adjunto izquierdo del funtor de inclusión de la categoría de cuerpos a . Por lo tanto, la categoría de cuerpos (que es una subcategoría completa) es una subcategoría reflexiva de .${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {C} }$

No se requiere una identidad multiplicativa para el rol del dominio integral; esta construcción se puede aplicar a cualquier generador aleatorio conmutativo distinto de cero sin divisores de cero distintos de cero . La incrustación está dada por para cualquier distinto de cero . ^[1] ${\displaystyle R}$${\displaystyle r\mapsto {\frac {rs}{s}}}$${\displaystyle s\in R}$

• El campo de las fracciones del anillo de los números enteros es el campo de los racionales : .${\displaystyle \mathbb {Q} =\operatorname {Frac} (\mathbb {Z} )}$
• Sea el anillo de números enteros gaussianos . Luego , el campo de números racionales gaussianos .${\displaystyle R:=\{a+b\mathrm {i} \mid a,b\in \mathbb {Z} \}}$${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)=\{c+d\mathrm {i} \mid c,d\in \mathbb {Q} \}}$
• El campo de fracciones de un campo es canónicamente isomorfo al campo mismo.
• Dado un campo , el campo de fracciones del anillo de polinomios en un indeterminado (que es un dominio integral), se llama${\displaystyle K}$${\displaystyle K[X]}$campo de funciones racionales ,campo de fracciones racionalesocampo de expresiones racionales^[2][3][4][5]y se denota.${\displaystyle K(X)}$
• El campo de fracciones del anillo de convolución de funciones de semirrecta produce un espacio de operadores , que incluye la función delta de Dirac , el operador diferencial y el operador integral . Esta construcción proporciona una representación alternativa de la transformada de Laplace que no depende explícitamente de una transformada integral. ^[6]

Para cualquier anillo conmutativo y cualquier conjunto multiplicativo en , la localización es el anillo conmutativo que consiste en fracciones${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$

${\displaystyle {\frac {r}{s}}}$

con y , donde ahora es equivalente a si y sólo si existe tal que .${\displaystyle r\in R}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle (r,s)}$${\displaystyle (r',s')}$${\displaystyle t\in S}$${\displaystyle t(rs'-r's)=0}$

Cabe destacar dos casos especiales de esto:

• Si es el complemento de un ideal primo , entonces también se denota . Cuando es un dominio integral y es el ideal cero, es el campo de fracciones de .${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle R_{P}}$
  ${\displaystyle R}$${\displaystyle P}$${\displaystyle R_{P}}$${\displaystyle R}$
• Si es el conjunto de divisores distintos de cero en , entonces se denomina anillo de cociente total . El anillo de cociente total de un dominio integral es su cuerpo de fracciones, pero el anillo de cociente total está definido para cualquier anillo conmutativo .${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S^{-1}R}$
  

Tenga en cuenta que se permite que contenga 0, pero en ese caso será el anillo trivial .${\displaystyle S}$${\displaystyle S^{-1}R}$

El semicuerpo de fracciones de un semianillo conmutativo sin divisores de cero es el semicuerpo más pequeño en el que puede estar incluido .

Los elementos del semicuerpo de fracciones del semianillo conmutativo son clases de equivalencia escritas como${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$

con y en .${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle R}$

• Condición del mineral ; condición relacionada con la construcción de fracciones en el caso no conmutativo.
• Anillo total de fracciones