Campo cuadrático

En la teoría de números algebraicos , un campo cuadrático es un campo de números algebraicos de grado dos sobre los números racionales .${\displaystyle \mathbf {Q}}$

Cada uno de estos campos cuadráticos es en algún lugar un entero libre de cuadrados (definido de forma única) distinto de y . Si , el campo cuadrático correspondiente se denomina campo cuadrático real , y, si , se denomina campo cuadrático imaginario o campo cuadrático complejo , en función de si es o no un subcampo del campo de los números reales .${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$${\estilo de visualización d}$${\estilo de visualización 0}$${\estilo de visualización 1}$${\displaystyle d>0}$${\estilo de visualización d<0}$

Los cuerpos cuadráticos han sido estudiados en gran profundidad, inicialmente como parte de la teoría de las formas cuadráticas binarias . Aún quedan algunos problemas sin resolver. El problema del número de clase es particularmente importante.

Para un entero libre cuadrado distinto de cero , el discriminante del cuerpo cuadrático es si es congruente con módulo , y en caso contrario . Por ejemplo, si es , entonces es el cuerpo de racionales gaussianos y el discriminante es . La razón de tal distinción es que el anillo de enteros de es generado por en el primer caso y por en el segundo caso.${\estilo de visualización d}$${\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$${\estilo de visualización d}$${\estilo de visualización d}$${\estilo de visualización 1}$${\estilo de visualización 4}$${\estilo de visualización 4d}$${\estilo de visualización d}$${\estilo de visualización -1}$${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización -4}$${\estilo de visualización K}$${\displaystyle (1+{\sqrt {d}})/2}$${\displaystyle {\sqrt {d}}}$

El conjunto de discriminantes de campos cuadráticos es exactamente el conjunto de discriminantes fundamentales (aparte de , que es un discriminante fundamental pero no el discriminante de un campo cuadrático).${\estilo de visualización 1}$

Cualquier número primo da lugar a un ideal en el anillo de números enteros de un cuerpo cuadrático . De acuerdo con la teoría general de la división de ideales primos en extensiones de Galois , esto puede ser ^[1]${\estilo de visualización p}$${\displaystyle p{\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\estilo de visualización K}$

${\estilo de visualización p}$es inerte

${\estilo de visualización (p)}$es un ideal primordial.

El anillo cociente es el cuerpo finito con elementos: .$estilo de visualización p^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/p{\mathcal {O}}_{K}=\mathbf {F} _{p^{2}}}$

${\estilo de visualización p}$ divisiones

${\estilo de visualización (p)}$es un producto de dos ideales primos distintos de .${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

El anillo cociente es el producto .${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/p{\mathcal {O}}_{K}=\mathbf {F} _{p}\times \mathbf {F} _{p}}$

${\estilo de visualización p}$se ramifica

${\estilo de visualización (p)}$es el cuadrado de un ideal primo de .${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

El anillo cociente contiene elementos nilpotentes distintos de cero .

El tercer caso ocurre si y solo si divide al discriminante . El primer y segundo caso ocurren cuando el símbolo de Kronecker es igual a y , respectivamente. Por ejemplo, si es un primo impar que no divide a , entonces divide si y solo si es congruente con un cuadrado módulo . Los dos primeros casos tienen, en cierto sentido, la misma probabilidad de ocurrir a medida que pasan por los primos (véase el teorema de densidad de Chebotarev) . ^[2]${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización D}$ ${\estilo de visualización (D/p)}$${\estilo de visualización -1}$${\estilo de visualización +1}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización D}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización D}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización p}$

La ley de reciprocidad cuadrática implica que el comportamiento de división de un primo en un campo cuadrático depende solo del módulo , donde es el discriminante del campo.${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización D}$${\estilo de visualización D}$

La determinación del grupo de clases de una extensión de campo cuadrático se puede lograr utilizando el límite de Minkowski y el símbolo de Kronecker debido a la finitud del grupo de clases . ^[3] Un campo cuadrático tiene discriminante , por lo que el límite de Minkowski es ^[4]${\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$$${\displaystyle \Delta _{K}={\begin{cases}d&d\equiv 1{\pmod {4}}\\4d&d\equiv 2,3{\pmod {4}};\end{cases}}}$$$${\displaystyle M_{K}={\begin{cases}2{\sqrt {|\Delta |}}/\pi &d<0\\{\sqrt {|\Delta |}}/2&d>0.\end{cases}}}$$

Entonces, el grupo de clases ideal se genera por los ideales primos cuya norma es menor que . Esto se puede hacer observando la descomposición de los ideales para primos donde ^{[1] página 72} Estas descomposiciones se pueden encontrar utilizando el teorema de Dedekind–Kummer .${\displaystyle M_{K}}$${\displaystyle (p)}$${\displaystyle p\in \mathbf {Z} }$${\displaystyle |p|<M_{k}.}$

Un ejemplo clásico de la construcción de un cuerpo cuadrático es tomar el único cuerpo cuadrático dentro del cuerpo ciclotómico generado por una raíz primitiva de la unidad, con un número primo impar. La unicidad es una consecuencia de la teoría de Galois , existiendo un único subgrupo de índice en el grupo de Galois sobre . Como se explicó en el período gaussiano , el discriminante del cuerpo cuadrático es para y para . Esto también se puede predecir a partir de la teoría de ramificaciones suficientes . De hecho, es el único primo que se ramifica en el cuerpo ciclotómico, por lo que es el único primo que puede dividir el discriminante del cuerpo cuadrático. Eso descarta los 'otros' discriminantes y en los casos respectivos.${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 2}$${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=4n+1}$${\displaystyle -p}$${\displaystyle p=4n+3}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle -4p}$${\displaystyle 4p}$

Si se toman los otros campos ciclotómicos, estos tienen grupos de Galois con torsión extra, por lo que contienen al menos tres campos cuadráticos. En general, un campo cuadrático de discriminante de campo se puede obtener como un subcampo de un campo ciclotómico de raíces -ésimas de la unidad. Esto expresa el hecho de que el conductor de un campo cuadrático es el valor absoluto de su discriminante, un caso especial de la fórmula conductor-discriminante .${\displaystyle 2}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$

La siguiente tabla muestra algunos órdenes de discriminantes pequeños de cuerpos cuadráticos. El orden máximo de un cuerpo de números algebraicos es su anillo de enteros , y el discriminante del orden máximo es el discriminante del cuerpo. El discriminante de un orden no máximo es el producto del discriminante del orden máximo correspondiente por el cuadrado del determinante de la matriz que expresa una base del orden no máximo sobre una base del orden máximo. Todos estos discriminantes pueden definirse mediante la fórmula Discriminante de un cuerpo de números algebraicos § Definición .

Para anillos enteros cuadráticos reales, el número de clase ideal , que mide la falla de la factorización única, se da en OEIS A003649; para el caso imaginario, se da en OEIS A000924.

Orden	Discriminante	Número de clase	Unidades	Comentarios
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}$	${\displaystyle -20}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \pm 1}$	Clases ideales ,${\displaystyle (1)}$${\displaystyle (2,1+{\sqrt {-5}})}$
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[(1+{\sqrt {-19}})/2\right]}$	${\displaystyle -19}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm 1}$	Dominio ideal principal , no euclidiano
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[2{\sqrt {-1}}\right]}$	${\displaystyle -16}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm 1}$	Orden no maximo
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[(1+{\sqrt {-15}})/2\right]}$	${\displaystyle -15}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \pm 1}$	Clases ideales ,${\displaystyle (1)}$${\displaystyle (1,(1+{\sqrt {-15}})/2)}$
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\sqrt {-3}}\right]}$	${\displaystyle -12}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm 1}$	Orden no maximo
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[(1+{\sqrt {-11}})/2\right]}$	${\displaystyle -11}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm 1}$	Euclidiano
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\sqrt {-2}}\right]}$	${\displaystyle -8}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm 1}$	Euclidiano
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[(1+{\sqrt {-7}})/2\right]}$	${\displaystyle -7}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm 1}$	Números enteros kleinianos
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\sqrt {-1}}\right]}$	${\displaystyle -4}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm 1,\pm i}$(cíclico de orden )${\displaystyle 4}$	Números enteros gaussianos
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[(1+{\sqrt {-3}})/2\right]}$	${\displaystyle -3}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm 1,(\pm 1\pm {\sqrt {-3}})/2}$.	Números enteros de Eisenstein
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\sqrt {-21}}\right]}$	${\displaystyle -84}$	${\displaystyle 4}$		Grupo de clases no cíclico:${\displaystyle (\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )^{2}}$
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[(1+{\sqrt {5}})/2\right]}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm ((1+{\sqrt {5}})/2)^{n}}$(norma )${\displaystyle (-1)^{n}}$
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\sqrt {2}}\right]}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm (1+{\sqrt {2}})^{n}}$(norma )${\displaystyle (-1)^{n}}$
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\sqrt {3}}\right]}$	${\displaystyle 12}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm (2+{\sqrt {3}})^{n}}$(norma )${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[(1+{\sqrt {13}})/2\right]}$	${\displaystyle 13}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm ((3+{\sqrt {13}})/2)^{n}}$(norma )${\displaystyle (-1)^{n}}$
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[(1+{\sqrt {17}})/2\right]}$	${\displaystyle 17}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm (4+{\sqrt {17}})^{n}}$(norma )${\displaystyle (-1)^{n}}$
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\sqrt {5}}\right]}$	${\displaystyle 20}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm ({\sqrt {5}}+2)^{n}}$(norma )${\displaystyle (-1)^{n}}$	Orden no maximo

Algunos de estos ejemplos se enumeran en Artin, Algebra (2.ª ed.), §13.8.

• Buell, Duncan (1989), Formas cuadráticas binarias: teoría clásica y cálculos modernos , Springer-Verlag , ISBN 0-387-97037-1Capítulo 6.
• Samuel, Pierre (1972), Teoría algebraica de los números (edición de tapa dura), París/Boston: Hermann/Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-901-66506-5
  • Samuel, Pierre (2008), Teoría algebraica de números (edición de bolsillo), Dover, ISBN 978-0-486-46666-8
• Stewart, IN ; Tall, DO (1979), Teoría algebraica de números , Chapman y Hall, ISBN 0-412-13840-9Capítulo 3.1.

• Weisstein, Eric W. "Campo cuadrático". MathWorld .
• "Campo cuadrático", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]