Teorema de Brauer-Siegel

En matemáticas , el teorema de Brauer-Siegel , llamado así en honor a Richard Brauer y Carl Ludwig Siegel , es un resultado asintótico sobre el comportamiento de los cuerpos numéricos algebraicos , obtenido por Richard Brauer y Carl Ludwig Siegel . Intenta generalizar los resultados conocidos sobre los números de clase de cuerpos cuadráticos imaginarios a una secuencia más general de cuerpos numéricos.

${\displaystyle K_{1},K_{2},\ldots .\ }$

En todos los casos, excepto en el caso del cuerpo racional Q y de los cuerpos cuadráticos imaginarios, debe tenerse en cuenta el regulador R _i de K _i , porque K _i tiene entonces unidades de orden infinito según el teorema de la unidad de Dirichlet . La hipótesis cuantitativa del teorema estándar de Brauer-Siegel es que si D _i es el discriminante de K _i , entonces

${\displaystyle {\frac {[K_{i}:\mathbf {Q} ]}{\log |D_{i}|}}\to 0{\text{ como }}i\to \infty .}$

Suponiendo eso, y la hipótesis algebraica de que K _i es una extensión de Galois de Q , la conclusión es que

${\displaystyle {\frac {\log(h_{i}R_{i})}{\log {\sqrt {|D_{i}|}}}}\to 1{\text{ como }}i\to \infty }$

donde h _i es el número de clase de K _i . Si se supone que todos los grados están acotados por encima por una constante uniforme N , entonces se puede descartar el supuesto de normalidad - esto es lo que se demuestra realmente en el artículo de Brauer. ${\displaystyle [K_{i}:\mathbf {Q} ]}$

Este resultado es ineficaz , como lo fue también el resultado obtenido en los campos cuadráticos en los que se basó. Los resultados eficaces en la misma dirección se iniciaron en el trabajo de Harold Stark a principios de los años 1970.

• Richard Brauer , Sobre la función zeta de los campos numéricos algebraicos , American Journal of Mathematics 69 (1947), 243–250.

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