Integral de Riemann

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En la rama de las matemáticas conocida como análisis real , la integral de Riemann , creada por Bernhard Riemann , fue la primera definición rigurosa de la integral de una función en un intervalo . Fue presentada a la facultad de la Universidad de Göttingen en 1854, pero no se publicó en una revista hasta 1868. ^[1] Para muchas funciones y aplicaciones prácticas, la integral de Riemann puede evaluarse mediante el teorema fundamental del cálculo o aproximarse mediante integración numérica , o simularse utilizando la integración de Monte Carlo .

Sea f una función real no negativa en el intervalo [ a , b ] y sea S la región del plano bajo el gráfico de la función f y por encima del intervalo [ a , b ] . Vea la figura en la parte superior derecha. Esta región se puede expresar en notación de constructor de conjuntos como$${\displaystyle S=\left\{(x,y)\,:\,a\leq x\leq b\,,\,0<y<f(x)\right\}.}$$

Nos interesa medir el área de S . Una vez que la hayamos medido, denotaremos el área de la forma habitual por$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$

La idea básica de la integral de Riemann es utilizar aproximaciones muy simples para el área de S. Al tomar aproximaciones cada vez mejores, podemos decir que "en el límite" obtenemos exactamente el área de S bajo la curva.

Cuando f ( x ) puede tomar valores negativos, la integral es igual al área con signo entre la gráfica de f y el eje x : es decir, el área por encima del eje x menos el área por debajo del eje x .

Una partición de un intervalo [ a , b ] es una secuencia finita de números de la forma$${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{i}<\dots <x_{n}=b}$$

Cada [ x _i , x _{i + 1} ] se denomina subintervalo de la partición. La malla o norma de una partición se define como la longitud del subintervalo más largo, es decir,$${\displaystyle \max \left(x_{i+1}-x_{i}\right),\quad i\in [0,n-1].}$$

Una partición etiquetada P ( x , t ) de un intervalo [ a , b ] es una partición junto con una elección de un punto de muestra dentro de cada subintervalo: es decir, los números t ₀ , ..., t _{n − 1} con t _i ∈ [ x _i , x _{i + 1} ] para cada i . La malla de una partición etiquetada es la misma que la de una partición ordinaria.

Supongamos que dos particiones P ( x , t ) y Q ( y , s ) son ambas particiones del intervalo [ a , b ] . Decimos que Q ( y , s ) es un refinamiento de P ( x , t ) si para cada entero i , con i ∈ [0, n ] , existe un entero r ( i ) tal que x _i = y _{r ( i )} y tal que t _i = s _j para algún j con j ∈ [ r ( i ), r ( i + 1)] . Es decir, una partición etiquetada divide algunos de los subintervalos y agrega puntos de muestra donde sea necesario, "refinando" la precisión de la partición.

Podemos convertir el conjunto de todas las particiones etiquetadas en un conjunto dirigido diciendo que una partición etiquetada es mayor o igual que otra si la primera es un refinamiento de la última.

Sea f una función de valor real definida en el intervalo [ a , b ] . La suma de Riemann de f con respecto a la partición etiquetada x ₀ , ..., x _n junto con t ₀ , ..., t _{n − 1} es ^[2]$${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})\left(x_{i+1}-x_{i}\right).}$$

Cada término de la suma es el producto del valor de la función en un punto dado y la longitud de un intervalo. En consecuencia, cada término representa el área (con signo) de un rectángulo con altura f ( t _i ) y ancho x _{i + 1} − x _i . La suma de Riemann es el área (con signo) de todos los rectángulos.

Conceptos estrechamente relacionados son las sumas Darboux inferior y superior . Son similares a las sumas de Riemann, pero las etiquetas se reemplazan por el ínfimo y el supremo (respectivamente) de f en cada subintervalo:$${\displaystyle {\begin{aligned}L(f,P)&=\sum _{i=0}^{n-1}\inf _{t\in [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i}),\\U(f,P)&=\sum _{i=0}^{n-1}\sup _{t\in [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i}).\end{aligned}}}$$

Si f es continua, entonces las sumas de Darboux inferior y superior para una partición sin etiquetas son iguales a la suma de Riemann para esa partición, donde las etiquetas se eligen para ser el mínimo o máximo (respectivamente) de f en cada subintervalo. (Cuando f es discontinua en un subintervalo, puede que no haya una etiqueta que alcance el ínfimo o supremo en ese subintervalo). La integral de Darboux , que es similar a la integral de Riemann pero basada en sumas de Darboux, es equivalente a la integral de Riemann.

En términos generales, la integral de Riemann es el límite de las sumas de Riemann de una función a medida que las particiones se vuelven más finas. Si existe el límite, se dice que la función es integrable (o, más específicamente, Riemann-integrable ). La suma de Riemann se puede hacer tan cercana como se desee a la integral de Riemann haciendo que la partición sea lo suficientemente fina. ^[3]

Un requisito importante es que la malla de las particiones debe hacerse cada vez más pequeña, de modo que tenga el límite cero. Si no fuera así, no estaríamos obteniendo una buena aproximación a la función en ciertos subintervalos. De hecho, esto es suficiente para definir una integral. Para ser más específicos, decimos que la integral de Riemann de f existe y es igual a s si se cumple la siguiente condición:

Para todo ε > 0 , existe δ > 0 tal que para cualquier partición etiquetada x ₀ , ..., x _n y t ₀ , ..., t _{n − 1} cuya malla sea menor que δ , tenemos$${\displaystyle \left|\left(\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\right)-s\right|<\varepsilon .}$$

Lamentablemente, esta definición es muy difícil de usar. Sería útil desarrollar una definición equivalente de la integral de Riemann con la que sea más fácil trabajar. Desarrollamos esta definición ahora, con una prueba de equivalencia a continuación. Nuestra nueva definición dice que la integral de Riemann de f existe y es igual a s si se cumple la siguiente condición:

Para todo ε > 0 , existe una partición etiquetada y ₀ , ..., y _m y r ₀ , ..., r _{m − 1} tal que para cualquier partición etiquetada x ₀ , ..., x _n y t ₀ , ..., t _{n − 1} que es un refinamiento de y ₀ , ..., y _m y r ₀ , ..., r _{m − 1} , tenemos$${\displaystyle \left|\left(\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\right)-s\right|<\varepsilon .}$$

Ambas significan que, eventualmente, la suma de Riemann de f con respecto a cualquier partición queda atrapada cerca de s . Como esto es cierto sin importar cuán cerca exijamos que queden atrapadas las sumas, decimos que las sumas de Riemann convergen a s . Estas definiciones son, en realidad, un caso especial de un concepto más general, una red .

Como dijimos antes, estas dos definiciones son equivalentes. En otras palabras, s funciona en la primera definición si y solo si s funciona en la segunda definición. Para demostrar que la primera definición implica la segunda, comience con un ε y elija un δ que satisfaga la condición. Elija cualquier partición etiquetada cuya malla sea menor que δ . Su suma de Riemann está dentro de ε de s , y cualquier refinamiento de esta partición también tendrá una malla menor que δ , por lo que la suma de Riemann del refinamiento también estará dentro de ε de s .

Para demostrar que la segunda definición implica la primera, lo más fácil es utilizar la integral de Darboux . Primero, se demuestra que la segunda definición es equivalente a la definición de la integral de Darboux; para esto, véase el artículo sobre la integral de Darboux . Ahora demostraremos que una función integrable de Darboux satisface la primera definición. Fijemos ε y elijamos una partición y ₀ , ..., y _m tal que las sumas de Darboux inferior y superior con respecto a esta partición estén dentro de ε /2 del valor s de la integral de Darboux. Sea$${\displaystyle r=2\sup _{x\in [a,b]}|f(x)|.}$$

Si r = 0 , entonces f es la función cero, que es claramente integrable tanto en Darboux como en Riemann con cero integral. Por lo tanto, supondremos que r > 0 . Si m > 1 , entonces elegimos δ tal que$${\displaystyle \delta <\min \left\{{\frac {\varepsilon }{2r(m-1)}},\left(y_{1}-y_{0}\right),\left(y_{2}-y_{1}\right),\cdots ,\left(y_{m}-y_{m-1}\right)\right\}}$$

Si m = 1 , entonces elegimos que δ sea menor que uno. Elijamos una partición etiquetada x ₀ , ..., x _n y t ₀ , ..., t _{n − 1} con una malla menor que δ . Debemos demostrar que la suma de Riemann está dentro de ε de s .

Para ver esto, elija un intervalo [ x _i , x _{i + 1} ] . Si este intervalo está contenido dentro de algún [ y _j , y _{j + 1} ] , entonces donde m _j y M _j son respectivamente, el ínfimo y el supremo de f en [ y _j , y _{j + 1} ] . Si todos los intervalos tuvieran esta propiedad, entonces esto concluiría la prueba, porque cada término en la suma de Riemann estaría acotado por un término correspondiente en las sumas de Darboux, y elegimos que las sumas de Darboux estuvieran cerca de s . Este es el caso cuando m = 1 , por lo que la prueba termina en ese caso.$${\displaystyle m_{j}\leq f(t_{i})\leq M_{j}}$$

Por lo tanto, podemos suponer que m > 1 . En este caso, es posible que uno de los [ x _i , x _{i + 1} ] no esté contenido en ningún [ y _j , y _{j + 1} ] . En cambio, puede extenderse a lo largo de dos de los intervalos determinados por y ₀ , ..., y _m . (No puede encontrarse en tres intervalos porque se supone que δ es menor que la longitud de cualquier intervalo). En símbolos, puede suceder que$${\displaystyle y_{j}<x_{i}<y_{j+1}<x_{i+1}<y_{j+2}.}$$

(Podemos suponer que todas las desigualdades son estrictas porque de lo contrario estaríamos en el caso anterior por nuestra suposición sobre la longitud de δ ). Esto puede suceder como máximo m − 1 veces.

Para manejar este caso, estimaremos la diferencia entre la suma de Riemann y la suma de Darboux subdividiendo la partición x ₀ , ..., x _n en y _{j + 1} . El término f ( t _i )( x _{i + 1} − x _i ) en la suma de Riemann se divide en dos términos:$${\displaystyle f\left(t_{i}\right)\left(x_{i+1}-x_{i}\right)=f\left(t_{i}\right)\left(x_{i+1}-y_{j+1}\right)+f\left(t_{i}\right)\left(y_{j+1}-x_{i}\right).}$$

Supóngase, sin pérdida de generalidad , que t _i ∈ [ y _j , y _{j + 1} ] . Entonces , este término está acotado por el término correspondiente en la suma de Darboux para y _j . Para acotar el otro término, observe que$${\displaystyle m_{j}\leq f(t_{i})\leq M_{j},}$$$${\displaystyle x_{i+1}-y_{j+1}<\delta <{\frac {\varepsilon }{2r(m-1)}},}$$

De ello se deduce que, para algunos (de hecho, para cualquier) t^*
_i∈ [ y _{j + 1} , x _{i + 1} ] ,$${\displaystyle \left|f\left(t_{i}\right)-f\left(t_{i}^{*}\right)\right|\left(x_{i+1}-y_{j+1}\right)<{\frac {\varepsilon }{2(m-1)}}.}$$

Como esto ocurre como máximo m − 1 veces, la distancia entre la suma de Riemann y una suma de Darboux es como máximo ε /2 . Por lo tanto, la distancia entre la suma de Riemann y s es como máximo  ε .

Sea la función que toma el valor 1 en cada punto. Cualquier suma de Riemann de f en [0, 1] tendrá el valor 1, por lo tanto la integral de Riemann de f en [0, 1] es 1.${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$

Sea la función indicadora de los números racionales en [0, 1] ; es decir, toma el valor 1 en los números racionales y 0 en los números irracionales. Esta función no tiene una integral de Riemann. Para demostrarlo, mostraremos cómo construir particiones etiquetadas cuyas sumas de Riemann se acerquen arbitrariamente tanto a cero como a uno.${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }:[0,1]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }}$

Para empezar, sean x ₀ , ..., x _n y t ₀ , ..., t _{n − 1} una partición etiquetada (cada t _i está entre x _i y x _{i + 1} ). Elija ε > 0 . Los t _i ya han sido elegidos, y no podemos cambiar el valor de f en esos puntos. Pero si cortamos la partición en pequeños trozos alrededor de cada t _i , podemos minimizar el efecto de los t _i . Luego, al elegir cuidadosamente las nuevas etiquetas, podemos hacer que el valor de la suma de Riemann resulte estar dentro de ε de cero o de uno.

Nuestro primer paso es cortar la partición. Hay n de los t _i , y queremos que su efecto total sea menor que ε . Si confinamos cada uno de ellos a un intervalo de longitud menor que ε / n , entonces la contribución de cada t _i a la suma de Riemann será al menos 0 · ε / n y como máximo 1 · ε / n . Esto hace que la suma total sea al menos cero y como máximo ε . Entonces, sea δ un número positivo menor que ε / n . Si sucede que dos de los t _i están dentro de δ uno del otro, elija δ más pequeño. Si sucede que algún t _i está dentro de δ de algún x _j , y t _i no es igual a x _j , elija δ más pequeño. Dado que solo hay un número finito de t _i y x _j , siempre podemos elegir δ suficientemente pequeño.

Ahora añadimos dos cortes a la partición para cada t _i . Uno de los cortes estará en t _i − δ /2 , y el otro estará en t _i + δ /2 . Si uno de estos sale del intervalo [0, 1], lo dejamos fuera. t _i será la etiqueta correspondiente al subintervalo$${\displaystyle \left[t_{i}-{\frac {\delta }{2}},t_{i}+{\frac {\delta }{2}}\right].}$$

Si t _i está directamente encima de uno de los x _j , entonces dejamos que t _i sea la etiqueta para ambos intervalos:$${\displaystyle \left[t_{i}-{\frac {\delta }{2}},x_{j}\right],\quad {\text{and}}\quad \left[x_{j},t_{i}+{\frac {\delta }{2}}\right].}$$

Todavía tenemos que elegir etiquetas para los otros subintervalos. Los elegiremos de dos maneras diferentes. La primera forma es elegir siempre un punto racional , de modo que la suma de Riemann sea lo más grande posible. Esto hará que el valor de la suma de Riemann sea al menos 1 − ε . La segunda forma es elegir siempre un punto irracional, de modo que la suma de Riemann sea lo más pequeña posible. Esto hará que el valor de la suma de Riemann sea como máximo ε .

Como empezamos desde una partición arbitraria y terminamos tan cerca como quisimos de cero o de uno, es falso decir que finalmente estamos atrapados cerca de algún número s , por lo que esta función no es integrable de Riemann. Sin embargo, es integrable de Lebesgue . En el sentido de Lebesgue, su integral es cero, ya que la función es cero en casi todas partes . Pero este es un hecho que está más allá del alcance de la integral de Riemann.

Hay ejemplos aún peores. es equivalente (es decir, igual casi en todas partes) a una función integrable de Riemann, pero hay funciones acotadas no integrables de Riemann que no son equivalentes a ninguna función integrable de Riemann. Por ejemplo, sea C el conjunto de Smith–Volterra–Cantor , y sea I _C su función indicadora. Como C no es medible según Jordan , I _C no es integrable de Riemann. Además, ninguna función g equivalente a I _C es integrable de Riemann: g , como I _C , debe ser cero en un conjunto denso, por lo que, como en el ejemplo anterior, cualquier suma de Riemann de g tiene un refinamiento que está dentro de ε de 0 para cualquier número positivo  ε . Pero si existe la integral de Riemann de g , entonces debe ser igual a la integral de Lebesgue de I _C , que es 1/2 . Por lo tanto, g no es integrable de Riemann.${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }}$

Es común definir la integral de Riemann como la integral de Darboux . Esto se debe a que la integral de Darboux es técnicamente más simple y a que una función es integrable según el método de Riemann si y solo si es integrable según el método de Darboux.

Algunos libros de cálculo no utilizan particiones etiquetadas generales, sino que se limitan a tipos específicos de particiones etiquetadas. Si el tipo de partición se limita demasiado, algunas funciones no integrables pueden parecer integrables.

Una restricción popular es el uso de sumas de Riemann "de mano izquierda" y "de mano derecha". En una suma de Riemann de mano izquierda, t _i = x _i para todo i , y en una suma de Riemann de mano derecha, t _i = x _{i + 1} para todo i . Por sí sola, esta restricción no plantea ningún problema: podemos refinar cualquier partición de forma que sea una suma de mano izquierda o de mano derecha subdividándola en cada t _i . En un lenguaje más formal, el conjunto de todas las sumas de Riemann de mano izquierda y el conjunto de todas las sumas de Riemann de mano derecha es cofinal en el conjunto de todas las particiones etiquetadas.

Otra restricción popular es el uso de subdivisiones regulares de un intervalo. Por ejemplo, la n- ésima subdivisión regular de [0, 1] consta de los intervalos$${\displaystyle \left[0,{\frac {1}{n}}\right],\left[{\frac {1}{n}},{\frac {2}{n}}\right],\ldots ,\left[{\frac {n-1}{n}},1\right].}$$

Nuevamente, esta restricción por sí sola no plantea un problema, pero el razonamiento requerido para ver este hecho es más difícil que en el caso de las sumas de Riemann de la izquierda y de la derecha.

Sin embargo, combinar estas restricciones, de modo que se utilicen sólo sumas de Riemann de la izquierda o de la derecha en intervalos divididos regularmente, es peligroso. Si se sabe de antemano que una función es integrable según el método de Riemann, esta técnica dará el valor correcto de la integral. Pero en estas condiciones, la función indicadora parecerá ser integrable en [0, 1] con una integral igual a uno: cada punto final de cada subintervalo será un número racional, por lo que la función siempre se evaluará en números racionales y, por lo tanto, parecerá siempre igual a uno. El problema con esta definición se hace evidente cuando tratamos de dividir la integral en dos partes. La siguiente ecuación debería ser válida:${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }}$$${\displaystyle \int _{0}^{{\sqrt {2}}-1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx+\int _{{\sqrt {2}}-1}^{1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx=\int _{0}^{1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx.}$$

Si utilizamos subdivisiones regulares y sumas de Riemann de la izquierda o de la derecha, entonces los dos términos de la izquierda son iguales a cero, ya que cada punto final excepto 0 y 1 será irracional, pero como hemos visto el término de la derecha será igual a 1.

Como se definió anteriormente, la integral de Riemann evita este problema al negarse a integrar. La integral de Lebesgue se define de tal manera que todas estas integrales son 0.${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }.}$

La integral de Riemann es una transformación lineal; es decir, si f y g son integrables mediante Riemann en [ a , b ] y α y β son constantes, entonces$${\displaystyle \int _{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$$

Dado que la integral de Riemann de una función es un número, esto hace que la integral de Riemann sea una funcional lineal en el espacio vectorial de funciones integrables de Riemann.

Una función acotada en un intervalo compacto [ a , b ] es integrable según Riemann si y sólo si es continua casi en todas partes (el conjunto de sus puntos de discontinuidad tiene medida cero , en el sentido de la medida de Lebesgue ). Esta es laTeorema de Lebesgue-Vitali (de caracterización de las funciones integrables de Riemann). Fue demostrado independientemente porGiuseppe Vitaliy porHenri Lebesgueen 1907, y utiliza la noción demedida cero, pero no hace uso de la medida general ni de la integral de Lebesgue.

La condición de integrabilidad se puede demostrar de varias maneras, ^{[4] [5] [6] [7]} una de las cuales se esboza a continuación.

En particular, cualquier conjunto que sea como máximo numerable tiene medida de Lebesgue cero, y por lo tanto una función acotada (en un intervalo compacto) con sólo un número finito o numerable de discontinuidades es integrable según Riemann. Otro criterio suficiente para la integrabilidad de Riemann sobre [ a , b ] , pero que no involucra el concepto de medida, es la existencia de un límite de lado derecho (o lado izquierdo) en cada punto en [ a , b ) (o ( a , b ] ). ^[10]

Una función indicadora de un conjunto acotado es integrable en Riemann si y solo si el conjunto es medible según Jordan . La integral de Riemann puede interpretarse en teoría de la medida como la integral con respecto a la medida de Jordan.

Si una función de valor real es monótona en el intervalo [ a , b ] es integrable según el método de Riemann, ya que su conjunto de discontinuidades es, como máximo, numerable y, por lo tanto, de medida de Lebesgue cero. Si una función de valor real en [ a , b ] es integrable según el método de Riemann, es integrable según el método de Lebesgue . Es decir, la integrabilidad según el método de Riemann es una condición más fuerte (es decir, más difícil de satisfacer) que la integrabilidad según el método de Lebesgue. La inversa no se cumple; no todas las funciones integrables según el método de Lebesgue son integrables según el método de Riemann.

El teorema de Lebesgue-Vitali no implica que todos los tipos de discontinuidades tengan el mismo peso en la obstrucción de que una función acotada de valor real sea integrable según el método de Riemann en [ a , b ] . De hecho, ciertas discontinuidades no tienen absolutamente ningún papel en la integrabilidad según el método de Riemann de la función, una consecuencia de la clasificación de las discontinuidades de una función. ^{[ cita requerida ]}

Si f _n es una secuencia uniformemente convergente en [ a , b ] con límite f , entonces la integrabilidad de Riemann de todos los f _n implica la integrabilidad de Riemann de f , y$${\displaystyle \int _{a}^{b}f\,dx=\int _{a}^{b}{\lim _{n\to \infty }{f_{n}}\,dx}=\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}\,dx.}$$

Sin embargo, el teorema de convergencia monótona de Lebesgue (sobre un límite puntual monótono) no se cumple para las integrales de Riemann. Por lo tanto, en la integración de Riemann, tomar límites bajo el signo integral es mucho más difícil de justificar lógicamente que en la integración de Lebesgue. ^[11]

Es fácil extender la integral de Riemann a funciones con valores en el espacio vectorial euclidiano para cualquier n . La integral se define componente por componente; en otras palabras, si f = ( f ₁ , ..., f _n ) entonces${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \int \mathbf {f} =\left(\int f_{1},\,\dots ,\int f_{n}\right).}$$

En particular, dado que los números complejos son un espacio vectorial real , esto permite la integración de funciones de valores complejos.

La integral de Riemann sólo se define en intervalos acotados y no se extiende bien a intervalos ilimitados. La extensión más simple posible es definir dicha integral como un límite , es decir, como una integral impropia :$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{a\to -\infty \atop b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$

Esta definición conlleva algunas sutilezas, como el hecho de que no siempre es equivalente calcular el valor principal de Cauchy.$${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,dx.}$$

Por ejemplo, considere la función de signo f ( x ) = sgn( x ) que es 0 en x = 0 , 1 para x > 0 y −1 para x < 0 . Por simetría, siempre, independientemente de a . Pero hay muchas formas de expandir el intervalo de integración para llenar la línea real, y otras formas pueden producir resultados diferentes; en otras palabras, el límite multivariado no siempre existe. Podemos calcular$${\displaystyle \int _{-a}^{a}f(x)\,dx=0}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-a}^{2a}f(x)\,dx&=a,\\\int _{-2a}^{a}f(x)\,dx&=-a.\end{aligned}}}$$

En general, esta integral impropia de Riemann no está definida. Ni siquiera estandarizar una forma de que el intervalo se aproxime a la línea real funciona porque conduce a resultados inquietantemente contraintuitivos. Si estamos de acuerdo (por ejemplo) en que la integral impropia siempre debe ser entonces la integral de la traslación f ( x − 1) es −2, por lo que esta definición no es invariante ante cambios, una propiedad altamente indeseable. De hecho, esta función no solo no tiene una integral impropia de Riemann, sino que su integral de Lebesgue también está indefinida (es igual a ∞ − ∞ ).$${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,dx,}$$

Desafortunadamente, la integral de Riemann impropia no es lo suficientemente potente. El problema más grave es que no existen teoremas ampliamente aplicables para conmutar integrales de Riemann impropias con límites de funciones. En aplicaciones como las series de Fourier , es importante poder aproximar la integral de una función utilizando integrales de aproximaciones a la función. Para las integrales de Riemann propias, un teorema estándar establece que si f _n es una secuencia de funciones que convergen uniformemente a f en un conjunto compacto [ a , b ] , entonces$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$

En intervalos no compactos como la recta real, esto es falso. Por ejemplo, supongamos que f _n ( x ) es n ⁻¹ en [0, n ] y cero en el resto de los intervalos. Para todo n tenemos:$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f_{n}\,dx=1.}$$

La sucesión ( f _n ) converge uniformemente a la función cero, y claramente la integral de la función cero es cero. En consecuencia,$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f\,dx\neq \lim _{n\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}\,dx.}$$

Esto demuestra que, en el caso de las integrales en intervalos no acotados, la convergencia uniforme de una función no es lo suficientemente fuerte como para permitir que un límite pase por un signo integral. Esto hace que la integral de Riemann no sea viable en aplicaciones (aunque la integral de Riemann asigne a ambos lados el valor correcto), porque no existe otro criterio general para intercambiar un límite y una integral de Riemann, y sin dicho criterio es difícil aproximar integrales mediante la aproximación de sus integrandos.

Una mejor ruta es abandonar la integral de Riemann por la integral de Lebesgue . La definición de la integral de Lebesgue no es obviamente una generalización de la integral de Riemann, pero no es difícil demostrar que toda función integrable en Riemann es integrable en Lebesgue y que los valores de las dos integrales coinciden siempre que ambas estén definidas. Además, una función f definida en un intervalo acotado es integrable en Riemann si y solo si está acotada y el conjunto de puntos donde f es discontinua tiene medida de Lebesgue cero.

Una integral que es de hecho una generalización directa de la integral de Riemann es la integral de Henstock-Kurzweil .

Otra forma de generalizar la integral de Riemann es reemplazar los factores x _{k + 1} − x _k en la definición de una suma de Riemann por algo diferente; en términos generales, esto le da al intervalo de integración una noción diferente de longitud. Este es el enfoque adoptado por la integral de Riemann-Stieltjes .

En el cálculo multivariable , las integrales de Riemann para funciones de son integrales múltiples .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

La integral de Riemann no es adecuada para muchos propósitos teóricos. Algunas de las deficiencias técnicas en la integración de Riemann pueden remediarse con la integral de Riemann-Stieltjes , y la mayoría desaparecen con la integral de Lebesgue , aunque esta última no tiene un tratamiento satisfactorio de las integrales impropias . La integral de calibre es una generalización de la integral de Lebesgue que al mismo tiempo está más cerca de la integral de Riemann. Estas teorías más generales permiten la integración de funciones más "dentadas" o "altamente oscilantes" cuya integral de Riemann no existe; pero las teorías dan el mismo valor que la integral de Riemann cuando existe.

En el ámbito educativo, la integral de Darboux ofrece una definición más simple y más fácil de utilizar; se puede utilizar para introducir la integral de Riemann. La integral de Darboux se define siempre que se define la integral de Riemann y siempre da el mismo resultado. Por el contrario, la integral de calibre es una generalización simple pero más potente de la integral de Riemann y ha llevado a algunos educadores a defender que debería reemplazar a la integral de Riemann en los cursos introductorios de cálculo. ^[12]

• Área
• Antiderivada
• Integración de Lebesgue

• Shilov, GE, y Gurevich, BL, 1978. Integral, medida y derivada: un enfoque unificado , Richard A. Silverman, trad. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8 . 
• Apostol, Tom (1974), Análisis matemático , Addison-Wesley

• Medios relacionados con la integral de Riemann en Wikimedia Commons
• "Integral de Riemann", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]