0

0 ( cero ) es un número que representa una cantidad vacía . Sumar (o restar) 0 a cualquier número deja ese número sin cambios; en terminología matemática, 0 es la identidad aditiva de los números enteros , racionales , reales y complejos , así como otras estructuras algebraicas . Multiplicar cualquier número por 0 da como resultado 0 y, en consecuencia, la división por cero no tiene significado en aritmética .

Como dígito numérico , el 0 desempeña un papel crucial en la notación decimal : indica que la potencia de diez correspondiente al lugar que contiene un 0 no contribuye al total. Por ejemplo, "205" en decimal significa dos centenas, ninguna decena y cinco unidades. El mismo principio se aplica en las notaciones de valor posicional que utilizan una base distinta de diez, como el binario y el hexadecimal . El uso moderno del 0 de esta manera deriva de las matemáticas indias que se transmitieron a Europa a través de los matemáticos islámicos medievales y popularizadas por Fibonacci . Fue utilizado independientemente por los mayas .

Los nombres comunes para el número 0 en inglés incluyen zero , nought , naught ( / n ɔː t / ) y nil . En contextos donde al menos un dígito adyacente lo distingue de la letra O , el número a veces se pronuncia como oh o o ( / oʊ / ). Los términos informales o de jerga para 0 incluyen zilch y zip . Históricamente, también se han utilizado ought , aught ( / ɔː t / ) y cipher .

La palabra cero llegó al idioma inglés a través del francés zéro del italiano zero , una contracción de la forma veneciana zevero del italiano zefiro a través de ṣafira o ṣifr . ^[1] En la época preislámica, la palabra ṣifr (árabe صفر ) tenía el significado de "vacío". ^[2] Sifr evolucionó para significar cero cuando se usó para traducir śūnya ( sánscrito : शून्य ) de la India. ^[2] El primer uso conocido de cero en inglés fue en 1598. ^[3]

El matemático italiano Fibonacci ( c.  1170  – c.  1250 ), que creció en el norte de África y a quien se le atribuye la introducción del sistema decimal en Europa, utilizó el término zephyrum . Este se convirtió en zefiro en italiano, y luego se contrajo a zero en veneciano. La palabra italiana zefiro ya existía (que significa "viento del oeste" del latín y griego Zephyrus ) y puede haber influido en la ortografía al transcribir el árabe ṣifr . ^[4]

Dependiendo del contexto, pueden emplearse diferentes palabras para el número cero, o el concepto de cero. Para la simple noción de falta, se suelen utilizar las palabras " nada " (aunque esto no es exacto) y "ninguno". Las palabras en inglés británico "nought" o "naught" y "nil" también son sinónimas. ^{[5] [6]}

A menudo se le llama "oh" en el contexto de la lectura de una cadena de dígitos, como números de teléfono , direcciones postales , números de tarjetas de crédito , hora militar o años. Por ejemplo, el código de área 201 puede pronunciarse "dos cero uno", y el año 1907 a menudo se pronuncia "diecinueve cero siete". La presencia de otros dígitos, que indica que la cadena contiene solo números, evita la confusión con la letra O. Por esta razón, los sistemas que incluyen cadenas con letras y números (como los códigos postales canadienses ) pueden excluir el uso de la letra O. ^{[ cita requerida ]}

Las palabras del argot para cero incluyen "zip", "zilch", "nada" y "scratch". ^[7] En el contexto de los deportes, a veces se usa "nil", especialmente en inglés británico . Varios deportes tienen palabras específicas para una puntuación de cero, como " love " en tenis , del francés l'œuf , "el huevo", y " duck " en cricket , una abreviatura de "duck's egg". "Goose egg" es otro término del argot general utilizado para cero. ^[7]

no es	corazón con tráquea hermoso, agradable, bueno

Los números del Antiguo Egipto tenían una base de 10. [ ^8] Utilizaban jeroglíficos para los dígitos y no eran posicionales . En un papiro escrito alrededor de 1770 a. C. , un escriba registraba los ingresos y gastos diarios de la corte del faraón , utilizando el jeroglífico nfr para indicar los casos en los que la cantidad de un alimento recibido era exactamente igual a la cantidad desembolsada. El egiptólogo Alan Gardiner sugirió que el jeroglífico nfr se estaba utilizando como símbolo del cero. El mismo símbolo también se utilizaba para indicar el nivel de base en los dibujos de tumbas y pirámides, y las distancias se medían en relación con la línea de base como si estuvieran por encima o por debajo de esta línea. ^[9]

A mediados del segundo milenio a. C., las matemáticas babilónicas contaban con un sofisticado sistema de numeración posicional de base 60. La falta de un valor posicional (o cero) se indicaba mediante un espacio entre los numerales sexagesimales . En una tablilla desenterrada en Kish (que data del año 700 a. C. ), el escriba Bêl-bân-aplu utilizó tres ganchos como marcadores de posición en el mismo sistema babilónico . ^[10] Hacia el año 300 a. C. , un símbolo de puntuación (dos cuñas inclinadas) se reutilizó como marcador de posición. ^{[11] [12]}

El sistema de numeración posicional babilónico se diferenciaba del sistema indoárabe posterior en que no especificaba explícitamente la magnitud del dígito sexagesimal principal, de modo que, por ejemplo, el dígito solitario 1 () podría representar cualquiera de los siguientes números: 1, 60, 3600 = 60 ² , etc., de forma similar al significado de un número de punto flotante pero sin un exponente explícito, y por lo tanto solo se distingue implícitamente del contexto. El marcador de posición similar al cero solo se usó entre dígitos, pero nunca solo o al final de un número. ^[13]

El calendario mesoamericano de Cuenta Larga desarrollado en el centro-sur de México y América Central requería el uso del cero como marcador de posición dentro de su sistema numérico posicional vigesimal (base 20). Muchos glifos diferentes, incluido el cuatrifolio parcial , se usaron como símbolo del cero para estas fechas de Cuenta Larga, la más antigua de las cuales (en la Estela 2 en Chiapa de Corzo, Chiapas ) tiene una fecha del 36 a. C. ^{[a] [14]}

Dado que las ocho primeras fechas de Cuenta Larga aparecen fuera de la patria maya, ^[15] se cree generalmente que el uso del cero en las Américas fue anterior a los mayas y posiblemente fue la invención de los olmecas . ^[16] Muchas de las primeras fechas de Cuenta Larga se encontraron dentro del corazón del territorio olmeca, aunque la civilización olmeca terminó en el siglo IV a. C. , ^[17] varios siglos antes de las primeras fechas de Cuenta Larga conocidas. ^[18]

Aunque el cero se convirtió en una parte integral de los numerales mayas , con una forma de " caparazón" de tortuga vacía y diferente utilizada para muchas representaciones del numeral "cero", se supone que no influyó en los sistemas de numeración del Viejo Mundo . ^{[ cita requerida ]}

El quipu , un dispositivo de cuerda anudada, utilizado en el Imperio Inca y sus sociedades predecesoras en la región andina para registrar la contabilidad y otros datos digitales, está codificado en un sistema posicional de base diez . El cero se representa por la ausencia de un nudo en la posición adecuada. ^[19]

Los antiguos griegos no tenían un símbolo para el cero (μηδέν, pronunciado 'midén'), y no usaban un dígito como marcador de posición para él. ^[20] Según el matemático Charles Seife , los antiguos griegos comenzaron a adoptar el cero babilónico como marcador de posición para su trabajo en astronomía después del 500 a. C., representándolo con la letra griega minúscula ό ( όμικρον : omicron ). Sin embargo, después de usar el cero babilónico como marcador de posición para los cálculos astronómicos, normalmente convertían los números nuevamente en numerales griegos . Los griegos parecían tener una oposición filosófica al uso del cero como número. ^[21] Otros académicos dan a la adopción parcial griega del cero babilónico una fecha posterior, con el neurocientífico Andreas Nieder dando una fecha posterior al 400 a. C. y el matemático Robert Kaplan fechándolo después de las conquistas de Alejandro . ^{[22] [23]}

Los griegos parecían tener dudas sobre la condición del cero como número. Algunos de ellos se preguntaban: “¿Cómo puede el ser no existir?”, lo que dio lugar a argumentos filosóficos y, en la época medieval , religiosos sobre la naturaleza y la existencia del cero y del vacío . Las paradojas de Zenón de Elea dependen en gran medida de la interpretación incierta del cero. ^[24]

Hacia el  año 150 d. C., Ptolomeo , influenciado por Hiparco y los babilonios , utilizaba un símbolo para el cero (—°) ^{[25] [26]} en su obra sobre astronomía matemática llamada Syntaxis Mathematica , también conocida como Almagesto . ^[27] Este cero helenístico fue quizás el uso documentado más antiguo de un numeral que representaba el cero en el Viejo Mundo. ^[28] Ptolomeo lo utilizó muchas veces en su Almagesto (VI.8) para la magnitud de los eclipses solares y lunares . Representaba el valor de los dígitos y los minutos de inmersión en el primer y último contacto. Los dígitos variaban continuamente de 0 a 12 a 0 a medida que la Luna pasaba sobre el Sol (un pulso triangular), donde doce dígitos era el diámetro angular del Sol. Los minutos de inmersión se tabularon desde 0 ′ 0″ hasta 31 ′ 20″ hasta 0 ′ 0″, donde 0 ′ 0″ utilizó el símbolo como marcador de posición en dos posiciones de su sistema de numeración posicional sexagesimal , ^[b] mientras que la combinación significaba un ángulo cero. Los minutos de inmersión también eran una función continua .1/12⁠ 31 ′ 20″ √ d(24−d) (un pulso triangular con lados convexos ), donde d era la función del dígito y 31 ′ 20″ era la suma de los radios de los discos del Sol y la Luna. ^[29] El símbolo de Ptolomeo era un marcador de posición, así como un número utilizado por dos funciones matemáticas continuas, una dentro de otra, por lo que significaba cero, no ninguno. Con el tiempo, el cero de Ptolomeo tendió a aumentar de tamaño y perder la línea superior , a veces representado como un gran ómicrón alargado parecido a un 0 "Ο" o como un ómicrón con línea superior "ō" en lugar de un punto con línea superior. ^[30]

El uso más temprano del cero en el cálculo de la Pascua juliana ocurrió antes del  311 d. C., en la primera entrada en una tabla de epactos como la preservada en un documento etíope para los años 311 a 369, usando una palabra ge'ez para "ninguno" (la traducción al inglés es "0" en otros lugares) junto con numerales ge'ez (basados ​​en numerales griegos), que fue traducido de una tabla equivalente publicada por la Iglesia de Alejandría en griego medieval . ^[31] Este uso se repitió en 525 en una tabla equivalente, que fue traducida a través del latín nulla ("ninguno") por Dionisio el Exiguo , junto con números romanos . ^[32] Cuando la división producía cero como residuo, se usaba nihil , que significa "nada". Estos ceros medievales fueron utilizados por todos los calculadores medievales futuros de la Pascua . La "N" inicial fue utilizada como símbolo de cero en una tabla de números romanos por Beda —o sus colegas— alrededor del  725 d. C. ^[33]

En la mayoría de las culturas , el 0 se identificaba antes de que se aceptara la idea de las cosas negativas (es decir, cantidades menores que cero). ^{[ cita requerida ]}

El Sūnzĭ Suànjīng , de fecha desconocida pero que se estima que data del siglo I al V d. C. , describe cómo el sistema de varillas de conteo chino del siglo IV a. C. permitió realizar cálculos decimales. Como se señala en el Xiahou Yang Suanjing (425-468 d. C.), para multiplicar o dividir un número por 10, 100, 1000 o 10 000, todo lo que uno necesita hacer, con las varillas en el tablero de conteo, es moverlas hacia adelante o hacia atrás, 1, 2, 3 o 4 lugares. ^[35] Las varillas dieron la representación decimal de un número, con un espacio vacío que denota cero. ^{[34] [36]} El sistema de varillas de conteo es un sistema de notación posicional . ^{[37] [38]}

El cero no era tratado como un número en esa época, sino como una "posición vacante". ^[39] El Tratado matemático en nueve secciones de Qín Jiǔsháo de 1247 es el texto matemático chino más antiguo que se conserva que utiliza un símbolo redondo '〇' para el cero. ^[40] Se desconoce el origen de este símbolo; puede haber sido producido modificando un símbolo cuadrado. ^[41] Los autores chinos ya estaban familiarizados con la idea de los números negativos en la dinastía Han (siglo II d. C.) , como se ve en Los nueve capítulos sobre el arte matemático . ^[42]

Pingala ( c. siglo  III o II a. C.), ^[43] un estudioso de la prosodia sánscrita , ^[44] utilizó secuencias binarias , en forma de sílabas cortas y largas (estas últimas con una longitud igual a dos sílabas cortas), para identificar los posibles metros sánscritos válidos , una notación similar al código Morse . ^[45] Pingala utilizó la palabra sánscrita śūnya explícitamente para referirse al cero. ^[43]

El concepto de cero como dígito escrito en la notación de valor decimal se desarrolló en la India . ^[47] Un símbolo para el cero, un punto grande que probablemente sea el precursor del símbolo hueco aún actual, se utiliza en todo el manuscrito Bakhshali , un manual práctico de aritmética para comerciantes. ^[48] En 2017, los investigadores de la Biblioteca Bodleian informaron los resultados de la datación por radiocarbono de tres muestras del manuscrito, lo que indica que provenían de tres siglos diferentes: del 224 al 383 d. C., del 680 al 779 d. C. y del 885 al 993 d. C. No se sabe cómo los fragmentos de corteza de abedul de diferentes siglos que forman el manuscrito llegaron a empaquetarse juntos. Si la escritura en los fragmentos de corteza de abedul más antiguos es tan antigua como esos fragmentos, representa el uso registrado más antiguo del símbolo cero en el sur de Asia. Sin embargo, es posible que la escritura se remonte al período de tiempo de los fragmentos más jóvenes, del 885 al 993 d. C. Se ha sostenido que esta última datación es más coherente con el uso sofisticado del cero dentro del documento, ya que partes del mismo parecen mostrar que el cero se emplea como un número por derecho propio, en lugar de solo como un marcador de posición. ^{[46] [49] [50]}

El Lokavibhāga , un texto jainista sobre cosmología que sobrevive en una traducción sánscrita medieval del original prácrito , que está datado internamente en el año 458 d. C. ( era Saka 380), utiliza un sistema de valor posicional decimal , incluido un cero. En este texto, śūnya ("vacío") también se utiliza para referirse al cero. ^[51]

El Aryabhatiya ( c. 499) afirma que sthānāt sthānaṁ daśaguṇaṁ syāt "de un lugar a otro cada uno es diez veces el anterior". ^{[52] [53] [54]}

Las reglas que rigen el uso del cero aparecen en el Brahmasputha Siddhanta de Brahmagupta (siglo VII), que establece la suma del cero consigo mismo como cero, y describe incorrectamente la división por cero de la siguiente manera: ^{[55] [56]}

Un número positivo o negativo dividido por cero es una fracción con el cero como denominador. Cero dividido por un número negativo o positivo es cero o se expresa como una fracción con cero como numerador y la cantidad finita como denominador. Cero dividido por cero es cero.

En el manuscrito Bakhshali , partes del cual datan del 224 al 993 d. C., se utiliza un punto negro como marcador decimal . ^[46]

Hay numerosas inscripciones en placas de cobre con la misma O pequeña , algunas de ellas posiblemente datadas del siglo VI, pero su fecha o autenticidad pueden estar abiertas a dudas. ^[10]

Una placa de piedra encontrada en las ruinas de un templo cerca de Sambor en el Mekong , provincia de Kratié , Camboya , incluye la inscripción "605" en numerales jemeres (un conjunto de glifos numéricos para el sistema de numeración hindú-arábigo ). El número es el año de la inscripción en la era Saka , que corresponde a una fecha de 683 d. C. ^[57]

El primer uso conocido de glifos especiales para los dígitos decimales que incluye la aparición indudable de un símbolo para el dígito cero, un pequeño círculo, aparece en una inscripción en piedra encontrada en el Templo Chaturbhuj, Gwalior , en la India, fechada en el año 876 d. C. ^{[58] [59]}

La herencia científica del idioma árabe fue en gran parte griega , ^[60] seguida por influencias hindúes. ^[61] En 773, a instancias de Al-Mansur , se hicieron traducciones de muchos tratados antiguos, incluidos los griegos, romanos, indios y otros.

En el año 813, un matemático persa , Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī , preparó tablas astronómicas utilizando numerales hindúes; ^[61] y alrededor del año 825, publicó un libro que sintetizaba el conocimiento griego e hindú y también contenía su propia contribución a las matemáticas, incluida una explicación del uso del cero. ^[62] Este libro fue traducido más tarde al latín en el siglo XII con el título Algoritmi de numero Indorum . Este título significa "al-Khwarizmi sobre los numerales de los indios". La palabra "Algoritmi" fue la latinización del nombre de Al-Khwarizmi por parte del traductor, y la palabra " Algoritmo " o " Algorismo " comenzó a adquirir el significado de cualquier aritmética basada en decimales. ^[61]

Muhammad ibn Ahmad al-Khwarizmi , en 976, afirmó que si no aparece ningún número en lugar de las decenas en un cálculo, se debe utilizar un pequeño círculo "para mantener las filas". Este círculo se llamaba ṣifr . ^[63]

El sistema de numeración hindú-arábigo (base 10) llegó a Europa occidental en el siglo XI, a través de Al-Ándalus , a través de los musulmanes españoles , los moros , junto con el conocimiento de la astronomía clásica e instrumentos como el astrolabio . A Gerberto de Aurillac se le atribuye la reintroducción de las enseñanzas perdidas en la Europa católica. Por esta razón, los numerales llegaron a ser conocidos en Europa como "números arábigos". El matemático italiano Fibonacci o Leonardo de Pisa fue fundamental en la introducción del sistema en las matemáticas europeas en 1202, al afirmar:

Después de que mi padre fuera nombrado funcionario de la aduana de Bugia por su patria para los comerciantes pisanos que acudían a ella, él se hizo cargo de ella y, en vista de su futura utilidad y conveniencia, me hizo ir a su casa en mi niñez y quiso que me dedicara al estudio del cálculo y me instruyera en él durante algunos días. Allí, después de mi introducción, como consecuencia de una maravillosa instrucción en el arte, a los nueve dígitos de los hindúes, el conocimiento de este arte me atrajo mucho más que a todos los demás, y por ello me di cuenta de que todos sus aspectos se estudiaban en Egipto, Siria, Grecia, Sicilia y Provenza, con sus diversos métodos; y en estos lugares a partir de entonces, mientras estaba de negocios. Proseguí mi estudio en profundidad y aprendí el toma y daca de la disputa. Pero todo esto, y el algorismo , así como el arte de Pitágoras , lo consideré casi un error con respecto al método de los hindúes [ Modus Indorum ]. Por eso, adoptando con más rigor el método de los hindúes y esforzándome más en su estudio, añadiendo algunas cosas de mi propio entendimiento e insertando también algunas cosas de las sutilezas del arte geométrico de Euclides , me he esforzado por componer este libro en su totalidad de la manera más comprensible que he podido, dividiéndolo en quince capítulos. Casi todo lo que he presentado lo he mostrado con pruebas exactas, para que quienes busquen más este conocimiento, con su método preeminente, puedan ser instruidos, y además, para que no se descubra que el pueblo latino carece de él, como ha sucedido hasta ahora. Si por casualidad he omitido algo más o menos adecuado o necesario, pido indulgencia, ya que no hay nadie que sea intachable y completamente previsor en todas las cosas. Las nueve cifras indias son: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Con estas nueve cifras, y con el signo 0 ... se puede escribir cualquier número. ^[64] 

A partir del siglo XIII, los manuales de cálculo (suma, multiplicación, extracción de raíces, etc.) se hicieron comunes en Europa, donde se los llamó algorismus en honor al matemático persa al-Khwārizmī . Un manual popular fue escrito por Johannes de Sacrobosco a principios del siglo XIII y fue uno de los primeros libros científicos en imprimirse , en 1488. ^{[65] [66]} La práctica de calcular en papel utilizando números indoarábigos solo desplazó gradualmente el cálculo con ábaco y el registro con números romanos . ^[67] En el siglo XVI, los números indoarábigos se convirtieron en los números predominantes utilizados en Europa. ^[65]

En la actualidad, el dígito numérico 0 se suele escribir como un círculo o una elipse. Tradicionalmente, muchas tipografías impresas hacían que la letra mayúscula O fuera más redondeada que el dígito 0, más estrecho y elíptico. ^[68] Las máquinas de escribir originalmente no hacían distinción entre la forma de O y 0; algunos modelos ni siquiera tenían una tecla separada para el dígito 0. La distinción se hizo prominente en las pantallas de caracteres modernas . ^[68]

Un cero con barra ( ) se utiliza a menudo para distinguir el número de la letra (sobre todo en informática, navegación y en el ejército, por ejemplo). El dígito 0 con un punto en el centro parece haberse originado como una opción en las pantallas IBM 3270 y ha continuado en algunas tipografías informáticas modernas como Andalé Mono y en algunos sistemas de reservas de aerolíneas. Una variación utiliza una barra vertical corta en lugar del punto. Algunas fuentes diseñadas para su uso con ordenadores hicieron que uno de los pares de mayúsculas O y dígito 0 fuera más redondeado y el otro más angular (más cercano a un rectángulo). Se hace otra distinción en la tipografía que dificulta la falsificación, como la que se utiliza en las matrículas de los coches alemanes, al cortar el dígito 0 en el lado superior derecho. En algunos sistemas, se excluye del uso la letra O o el número 0, o ambos, para evitar confusiones.${\estilo de visualización 0\!\!\!{/}}$

El concepto de cero juega múltiples roles en matemáticas: como dígito, es una parte importante de la notación posicional para representar números, mientras que también juega un rol importante como número por derecho propio en muchos entornos algebraicos.

En los sistemas de numeración posicional (como la notación decimal habitual para representar números), el dígito 0 cumple la función de marcador de posición, indicando que ciertas potencias de la base no contribuyen. Por ejemplo, el número decimal 205 es la suma de dos centenas y cinco unidades, y el dígito 0 indica que no se suman decenas. El dígito cumple la misma función en las fracciones decimales y en la representación decimal de otros números reales (indicando si hay décimas, centésimas, milésimas, etc.) y en bases distintas de 10 (por ejemplo, en binario, donde indica qué potencias de 2 se omiten). ^[69]

El número 0 es el número entero no negativo más pequeño y el número entero no positivo más grande. El número natural que sigue al 0 es el 1 y ningún número natural precede al 0. El número 0 puede o no considerarse un número natural , ^{[70] [71]} pero es un número entero y, por lo tanto, un número racional y un número real . ^[72] Todos los números racionales son números algebraicos , incluido el 0. Cuando los números reales se extienden para formar los números complejos , el 0 se convierte en el origen del plano complejo.

El número 0 no puede considerarse ni positivo ni negativo ^[73] o, alternativamente, tanto positivo como negativo ^[74] y generalmente se muestra como el número central en una línea numérica . El cero es par ^[75] (es decir, un múltiplo de 2), y también es un múltiplo entero de cualquier otro número entero, racional o real. No es un número primo ni un número compuesto : no es primo porque los números primos son mayores que 1 por definición, y no es compuesto porque no puede expresarse como el producto de dos números naturales más pequeños. ^[76] (Sin embargo, el conjunto singleton {0} es un ideal primo en el anillo de los números enteros).

Las siguientes son algunas reglas básicas para tratar el número 0. Estas reglas se aplican a cualquier número real o complejo x , a menos que se indique lo contrario.

• Adición : x + 0 = 0 + x = x . Es decir, 0 es un elemento identidad (o elemento neutro) con respecto a la adición.
• Resta : x − 0 = x y 0 − x = − x .
• Multiplicación : x · 0 = 0 · x = 0.
• División : ⁠0/incógnita⁠ = 0, para x distinto de cero . Pero ⁠incógnita/0⁠ no está definido , porque 0 no tiene inverso multiplicativo (ningún número real multiplicado por 0 produce 1), una consecuencia de la regla anterior. ^[77]
• Exponenciación : x ⁰ = ⁠incógnita/incógnita⁠ = 1, excepto que el caso x = 0 se considera indefinido en algunos contextos. Para todos los reales positivos x , 0 ^x = 0 .

La expresión ⁠0/0⁠ , que puede obtenerse en un intento de determinar el límite de una expresión de la forma ⁠f ( x )/g ( x )⁠ como resultado de aplicar el operador lim independientemente a ambos operandos de la fracción, es una denominada " forma indeterminada ". Esto no significa que el límite buscado sea necesariamente indefinido; más bien, significa que el límite de ⁠f ( x )/g ( x )⁠ , si existe, debe encontrarse mediante otro método, como la regla de L'Hôpital . ^[78]

La suma de 0 números (la suma vacía ) es 0, y el producto de 0 números (el producto vacío ) es 1. El factorial 0! se evalúa como 1, como un caso especial del producto vacío. ^[79]

El papel del 0 como el número más pequeño de conteo se puede generalizar o extender de varias maneras. En la teoría de conjuntos , 0 es la cardinalidad del conjunto vacío (anotado como "{ }", " " o "∅"): si uno no tiene ninguna manzana, entonces tiene 0 manzanas. De hecho, en ciertos desarrollos axiomáticos de las matemáticas a partir de la teoría de conjuntos, 0 se define como el conjunto vacío. ^[80] Cuando se hace esto, el conjunto vacío es la asignación cardinal de von Neumann para un conjunto sin elementos, que es el conjunto vacío. La función de cardinalidad, aplicada al conjunto vacío, devuelve el conjunto vacío como un valor, asignándole así 0 elementos.${\displaystyle \conjunto vacío}$

También en la teoría de conjuntos, 0 es el número ordinal más bajo , correspondiente al conjunto vacío visto como un conjunto bien ordenado . En la teoría del orden (y especialmente en su subteoría de retículos ), 0 puede denotar el elemento más pequeño de un retículo u otro conjunto parcialmente ordenado .

El papel de 0 como identidad aditiva se generaliza más allá del álgebra elemental. En álgebra abstracta , 0 se usa comúnmente para denotar un elemento cero , que es el elemento identidad para la adición (si está definido en la estructura en consideración) y un elemento absorbente para la multiplicación (si está definido). (Estos elementos también pueden llamarse elementos cero ). Los ejemplos incluyen elementos identidad de grupos aditivos y espacios vectoriales . Otro ejemplo es la función cero (o mapa cero ) en un dominio D. Esta es la función constante con 0 como su único valor de salida posible, es decir, es la función f definida por f ( x ) = 0 para todo x en D. Como una función de los números reales a los números reales, la función cero es la única función que es par e impar .

El número 0 también se utiliza de otras maneras dentro de varias ramas de las matemáticas:

• Un cero de una función f es un punto x en el dominio de la función tal que f ( x ) = 0 .
• En lógica proposicional , 0 puede usarse para denotar el valor de verdad falso.
• En la teoría de la probabilidad , 0 es el valor más pequeño permitido para la probabilidad de cualquier evento. ^[81]
• La teoría de categorías introduce la idea de un objeto cero , a menudo denotado como 0, y el concepto relacionado de morfismos cero , que generalizan la función cero. ^[82]

El valor cero juega un papel especial para muchas magnitudes físicas. Para algunas magnitudes, el nivel cero se distingue naturalmente de todos los demás niveles, mientras que para otras se elige más o menos arbitrariamente. Por ejemplo, para una temperatura absoluta (normalmente medida en kelvin ), cero es el valor más bajo posible. ( Se pueden definir temperaturas negativas para algunos sistemas físicos, pero los sistemas de temperatura negativa no son realmente más fríos). Esto contrasta con las temperaturas en la escala Celsius, por ejemplo, donde cero se define arbitrariamente como el punto de congelación del agua. ^{[83] [84]} Al medir la intensidad del sonido en decibelios o fonios , el nivel cero se establece arbitrariamente en un valor de referencia, por ejemplo, en un valor para el umbral de audición. En física , la energía del punto cero es la energía más baja posible que puede poseer un sistema físico mecánico cuántico y es la energía del estado fundamental del sistema.

Las computadoras modernas almacenan información en binario , es decir, utilizando un "alfabeto" que contiene solo dos símbolos, generalmente elegidos para ser "0" y "1". La codificación binaria es conveniente para la electrónica digital , donde "0" y "1" pueden representar la ausencia o presencia de corriente eléctrica en un cable. ^[85] Los programadores de computadoras suelen utilizar lenguajes de programación de alto nivel que son más fácilmente inteligibles para los humanos que las instrucciones binarias que se ejecutan directamente por la unidad central de procesamiento . 0 juega varios papeles importantes en los lenguajes de alto nivel. Por ejemplo, una variable booleana almacena un valor que es verdadero o falso, y 0 es a menudo la representación numérica de falso. ^[86]

El 0 también juega un papel en la indexación de matrices . La práctica más común a lo largo de la historia humana ha sido comenzar a contar en uno, y esta es la práctica en los primeros lenguajes de programación clásicos como Fortran y COBOL . ^[87] Sin embargo, a fines de la década de 1950, LISP introdujo la numeración basada en cero para matrices, mientras que Algol 58 introdujo una base completamente flexible para los subíndices de matrices (permitiendo cualquier entero positivo, negativo o cero como base para los subíndices de matrices), y la mayoría de los lenguajes de programación posteriores adoptaron una u otra de estas posiciones. ^{[ cita requerida ]} Por ejemplo, los elementos de una matriz se numeran comenzando desde 0 en C , de modo que para una matriz de n elementos, la secuencia de índices de matriz va de 0 a n −1 . ^[88]

Puede haber confusión entre la indexación basada en 0 y 1; por ejemplo, JDBC de Java indexa parámetros desde 1 aunque Java mismo utiliza indexación basada en 0. ^[89]

En C, un byte que contiene el valor 0 sirve para indicar dónde termina una cadena de caracteres. Además, 0 es una forma estándar de referirse a un puntero nulo en el código. ^[90]

En las bases de datos, es posible que un campo no tenga un valor. Entonces se dice que tiene un valor nulo . ^[91] Para los campos numéricos, no es el valor cero. Para los campos de texto, no es un espacio en blanco ni una cadena vacía. La presencia de valores nulos conduce a una lógica de tres valores . Una condición ya no es verdadera o falsa , sino que puede ser indeterminada . Cualquier cálculo que incluya un valor nulo entrega un resultado nulo. ^[92]

En matemáticas, no existe un "cero positivo" o "cero negativo" distinto de cero; tanto −0 como +0 representan exactamente el mismo número. Sin embargo, en algunas representaciones numéricas con signo de hardware informático , el cero tiene dos representaciones distintas, una positiva agrupada con los números positivos y una negativa agrupada con los negativos. Este tipo de representación dual se conoce como cero con signo , y la última forma a veces se denomina cero negativo. Estas representaciones incluyen las representaciones binarias enteras con signo de magnitud y complemento a uno (pero no la forma binaria de complemento a dos que se utiliza en la mayoría de las computadoras modernas) y la mayoría de las representaciones numéricas de punto flotante (como los formatos de punto flotante IEEE 754 e IBM S/390 ). ^{[ cita requerida ]}

Una época , en terminología informática, es la fecha y hora asociadas con una marca de tiempo cero. La época de Unix comienza la medianoche anterior al primero de enero de 1970. ^{[93] [94] [95]} La época de Mac OS clásico y la época de Palm OS comienzan la medianoche anterior al primero de enero de 1904. ^[96]

Muchas API y sistemas operativos que requieren que las aplicaciones devuelvan un valor entero como estado de salida suelen utilizar cero para indicar éxito y valores distintos de cero para indicar condiciones específicas de error o advertencia. ^{[97] [ cita requerida ]}

Los programadores suelen utilizar un cero con barra para evitar confusiones con la letra " O ". ^[98]

En zoología comparada y ciencia cognitiva , el reconocimiento de que algunos animales muestran conciencia del concepto de cero lleva a la conclusión de que la capacidad de abstracción numérica surgió temprano en la evolución de las especies. ^[99]

En la era del calendario a. C. , el año 1 a. C. es el primer año antes del 1 d. C.; no existe un año cero . Por el contrario, en la numeración de años astronómicos , el año 1 a . C. se numera como 0, el año 2 a. C. se numera como −1, y así sucesivamente. ^[100]    

• Número gramatical
• Constante matemática
• Teoría de números
• Axiomas de Peano

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• En busca del primer cero del mundo
• Una historia de cero
• Saga Cero
• La historia del álgebra
• Edsger W. Dijkstra : Por qué la numeración debería empezar en cero, EWD831 ( PDF de un manuscrito)
• Zero on In Our Time en la BBC
• Weisstein, Eric W. "0". MathWorld .
• Textos en Wikisource:
  • "Cero". Encyclopædia Britannica (11ª ed.). 1911.
  • "Cero". Enciclopedia Americana . 1920.