Sistema de numeración ternario

Un sistema de numeración ternario ( también llamado base 3 o trinario ^[1] ) tiene tres como base . Análogo a un bit , un dígito ternario es un trit ( tri nary dig it ). Un trit es equivalente a log _{2 3} ( aproximadamente 1,58496  ) bits de información .

Aunque ternario se refiere con mayor frecuencia a un sistema en el que los tres dígitos son todos números no negativos; específicamente 0 , 1 y 2 , el adjetivo también presta su nombre al sistema ternario equilibrado ; que comprende los dígitos −1 , 0 y +1, utilizado en lógica de comparación y computadoras ternarias .

Las representaciones de números enteros en ternario no se vuelven tan largas como en binario . Por ejemplo, el decimal 365 ₍₁₀₎ o el senario 1 405 ₍₆₎ corresponden al binario 1 0110 1101 ₍₂₎ (nueve bits ) y al ternario 111 112 ₍₃₎ (seis dígitos). Sin embargo, siguen siendo mucho menos compactas que las representaciones correspondientes en bases como el decimal ; véase a continuación una forma compacta de codificar el ternario utilizando nonario (base 9) y septemvigesimal (base 27).

Números del 0 al 3 ³ − 1 en ternario estándar

Ternario	0	1	2	10	11	12	20	21	22
Binario	0	1	10	11	100	101	110	111	1 000
Senador	0	1	2	3	4	5	10	11	12
Decimal	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Ternario	100	101	102	110	111	112	120	121	122
Binario	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	1 0000	1 0001
Senador	13	14	15	20	21	22	23	24	25
Decimal	9	10	11	12	13	14	15	16	17
Ternario	200	201	202	210	211	212	220	221	222
Binario	1 0010	1 0011	1 0100	1 0101	1 0110	1 0111	1 1000	1 1001	1 1010
Senador	30	31	32	33	34	35	40	41	42
Decimal	18	19	20	21	22	23	24	25	26

Potencias de 3 en ternario

Ternario	1	10	100	1 000	10 000
Binario	1	11	1001	1 1011	101 0001
Senador	1	3	13	43	213
Decimal	1	3	9	27	81
Fuerza	3 0	3 1	3 2	3 3	3 4
Ternario	100 000	1 000 000	10 000 000	100 000 000	1 000 000 000
Binario	1111 0011	10 1101 1001	1000 1000 1011	1 1001 1010 0001	100 1100 1110 0011
Senador	1 043	3 213	14 043	50 213	231 043
Decimal	243	729	2 187	6 561	19 683
Fuerza	3 5	3 6	3 7	3 8	3 9

En cuanto a los números racionales , el ternario ofrece una forma conveniente de representarlos .1/3⁠ lo mismo que senario (a diferencia de su engorrosa representación como una cadena infinita de dígitos recurrentes en decimal); pero un inconveniente importante es que, a su vez, ternario no ofrece una representación finita para ⁠1/2⁠ (ni para ⁠1/4⁠ , ⁠1/8⁠ , etc.), porque 2 no es un factor primo de la base; como con la base dos, un décimo (decimal ⁠1/10⁠ , senario ⁠1/14) no es representable con exactitud (para eso se necesitaría, por ejemplo, un decimal); ni tampoco lo es un sexto (senario ).1/10⁠ , decimal ⁠1/6⁠ ).

Fracciones en ternario

Fracción	⁠1/2⁠	⁠1/3⁠	⁠1/4⁠	⁠1/5⁠	⁠1/6⁠	⁠1/7⁠	⁠1/8⁠	⁠1/9⁠	⁠1/10⁠	⁠1/11⁠	⁠1/12⁠	⁠1/13⁠
Ternario	0.1​	0,1	0. 02	0.0121​	0.0 1	0.010212​	0.01​	0,01	0. 0022	0.00211​	0.0 02	0. 002
Binario	0,1	0.01​	0,01	0. 0011	0.0 01	0. 001	0,001	0. 000111	0.0 0011	0. 0001011101	0,00 01	0.000100111011​
Senador	0.3	0,2	0,13	0.1​	0,1	0,05​	0,043	0,04	0.03​	0.0313452421​	0,03	0.024340531215​
Decimal	0,5	0.3​	0,25	0,2	0,1 6	0.142857​	0,125	0.1​	0,1	0.09​	0,08 3	0.076923​

El valor de un número binario con n bits que son todos 1 es 2 ⁿ  − 1 .

De manera similar, para un número N ( b , d ) con dígitos base b y d , todos los cuales son el valor de dígito máximo b  − 1 , podemos escribir:

N ( b , d ) = ( b  − 1) b ^{d −1} + ( b  − 1) b ^{d −2} + … + ( b  − 1) b ¹ + ( b  − 1) b ⁰ ,

N ( b , d ) = ( b  − 1) ( b ^{d −1} + b ^{d −2} + … + b ¹ + 1),

N ( b , d ) = ( b  − 1) M .

bM = b ^d + b ^{d −1} + … + b ² + b ¹ y

− M = − b ^{d −1}  −  b ^{d −2}  − ... − b ¹  − 1 , entonces

bM  −  M = b ^d  − 1 , o

M = ⁠b ^d  − 1/b  -1⁠ .

Entonces

N ( b , d ) = ( b  − 1) M ,

N ( b , d ) = ⁠( b ^-  1)( bd  -1)/b  -1⁠ ,

N ( b , d ) = b ^d  − 1.

Para un número ternario de tres dígitos, N (3, 3) = 3 ³  − 1 = 26 = 2 × 3 ² + 2 × 3 ¹ + 2 × 3 ⁰ = 18 + 6 + 2 .

Se puede utilizar nonario (base 9, cada dígito son dos dígitos ternarios) o septemvigesimal (base 27, cada dígito son tres dígitos ternarios) para la representación compacta del ternario, de forma similar a cómo se utilizan los sistemas octal y hexadecimal en lugar del binario .

En cierta lógica analógica, el estado del circuito se expresa a menudo de forma ternaria. Esto se ve más comúnmente en circuitos CMOS y también en lógica transistor-transistor con salida tótem . Se dice que la salida es baja ( puesta a tierra ), alta o abierta ( alta- Z ). En esta configuración, la salida del circuito en realidad no está conectada a ninguna referencia de voltaje . Cuando la señal suele estar conectada a tierra con una determinada referencia o a un determinado nivel de voltaje, se dice que el estado es de alta impedancia porque está abierto y sirve a su propia referencia. Por lo tanto, el nivel de voltaje real a veces es impredecible.

Un "punto ternario" poco común de uso común es el de las estadísticas defensivas en el béisbol estadounidense (generalmente solo para lanzadores ), para denotar partes fraccionarias de una entrada. Dado que al equipo a la ofensiva se le permiten tres outs , cada out se considera un tercio de una entrada defensiva y se denota como .1 . Por ejemplo, si un jugador lanzó todas las entradas 4.ª, 5.ª y 6.ª, además de lograr 2 outs en la 7.ª entrada, su columna de entradas lanzadas para ese juego se enumeraría como 3.2 , el equivalente a 3.+2 ⁄ 3 (que a veces se utiliza como alternativa por algunos registradores). En este uso, solo la parte fraccionaria del número se escribe en forma ternaria. ^{[2] [3]}

Los números ternarios se pueden utilizar para expresar estructuras autosimilares como el triángulo de Sierpinski o el conjunto de Cantor de manera conveniente. Además, resulta que la representación ternaria es útil para definir el conjunto de Cantor y los conjuntos de puntos relacionados, debido a la forma en que se construye el conjunto de Cantor. El conjunto de Cantor consta de los puntos de 0 a 1 que tienen una expresión ternaria que no contiene ninguna instancia del dígito 1. ^{[4] [5]} Cualquier expansión terminal en el sistema ternario es equivalente a la expresión que es idéntica hasta el término que precede al último término distinto de cero seguido por el término uno menos que el último término distinto de cero de la primera expresión, seguido por una cola infinita de dos. Por ejemplo: 0,1020 es equivalente a 0,1012222... porque las expansiones son las mismas hasta el "dos" de la primera expresión, el dos se decrementó en la segunda expansión y los ceros finales se reemplazaron por dos finales en la segunda expresión.

El ternario es el sistema entero de base con menor economía de base , seguido de cerca por el binario y el cuaternario . Esto se debe a su proximidad a la constante matemática e . Se ha utilizado en algunos sistemas informáticos debido a esta eficiencia. También se utiliza para representar árboles de tres opciones , como los sistemas de menú de teléfonos, que permiten una ruta sencilla a cualquier rama.

Una forma de representación binaria redundante llamada sistema numérico binario de dígitos con signo, una forma de representación de dígitos con signo , se utiliza a veces en software y hardware de bajo nivel para lograr una rápida suma de números enteros porque puede eliminar acarreos . ^[6]

La simulación de computadoras ternarias mediante computadoras binarias, o la interconexión entre computadoras ternarias y binarias, puede implicar el uso de números ternarios codificados en binario (BCT), con dos o tres bits utilizados para codificar cada trit. ^{[7] [8]} La codificación BCT es análoga a la codificación decimal codificada en binario (BCD). Si los valores trit 0, 1 y 2 se codifican como 00, 01 y 10, la conversión en cualquier dirección entre ternario codificado en binario y binario se puede realizar en tiempo logarítmico . ^[9] Hay disponible una biblioteca de código C que admite la aritmética BCT. ^[10]

Algunas computadoras ternarias como la Setun definieron un tryte como seis trits ^[11] o aproximadamente 9,5 bits (que contienen más información que el byte binario de facto ). ^[12]

• Qutrit
• Setun , un ordenador ternario
• Lógica ternaria
• Templo de Tai Xuan Jing

• Hayes, Brian (noviembre-diciembre de 2001). «Third base» (PDF) . American Scientist . 89 (6). Sigma Xi , Scientific Research Society: 490–494. doi :10.1511/2001.40.3268. Archivado (PDF) desde el original el 30 de octubre de 2019. Consultado el 12 de abril de 2020 .

• Aritmética ternaria Archivado el 14 de mayo de 2011 en Wayback Machine.
• La máquina calculadora ternaria de Thomas Fowler
• Conversión de base ternaria: incluye la parte fraccionaria, de Maths Is Fun
• Sistema de numeración ternario de reemplazo de Gideon Frieder