Tensor

En matemáticas , un tensor es un objeto algebraico que describe una relación multilineal entre conjuntos de objetos algebraicos relacionados con un espacio vectorial . Los tensores pueden mapearse entre diferentes objetos como vectores , escalares e incluso otros tensores. Hay muchos tipos de tensores, incluidos los escalares y los vectores (que son los tensores más simples), los vectores duales , los mapas multilineales entre espacios vectoriales e incluso algunas operaciones como el producto escalar . Los tensores se definen independientemente de cualquier base , aunque a menudo se hace referencia a ellos por sus componentes en una base relacionada con un sistema de coordenadas particular; esos componentes forman una matriz, que puede considerarse como una matriz de alta dimensión .

Los tensores han adquirido importancia en física porque proporcionan un marco matemático conciso para formular y resolver problemas de física en áreas como la mecánica ( tensión , elasticidad , mecánica cuántica , mecánica de fluidos , momento de inercia , ...), la electrodinámica ( tensor electromagnético , tensor de Maxwell , permitividad , susceptibilidad magnética , ...) y la relatividad general ( tensor de tensión-energía , tensor de curvatura , ...). En las aplicaciones, es común estudiar situaciones en las que puede aparecer un tensor diferente en cada punto de un objeto; por ejemplo, la tensión dentro de un objeto puede variar de una ubicación a otra. Esto conduce al concepto de campo tensorial . En algunas áreas, los campos tensoriales son tan omnipresentes que a menudo se los llama simplemente "tensores".

Tullio Levi-Civita y Gregorio Ricci-Curbastro popularizaron los tensores en 1900 (continuando el trabajo anterior de Bernhard Riemann , Elwin Bruno Christoffel y otros) como parte del cálculo diferencial absoluto . El concepto permitió una formulación alternativa de la geometría diferencial intrínseca de una variedad en forma de tensor de curvatura de Riemann . ^[1]

Aunque aparentemente diferentes, los diversos enfoques para definir tensores describen el mismo concepto geométrico utilizando un lenguaje diferente y en diferentes niveles de abstracción.

Un tensor puede representarse como una matriz (potencialmente multidimensional). Así como un vector en un espacio n - dimensional se representa mediante una matriz unidimensional con n componentes con respecto a una base dada , cualquier tensor con respecto a una base se representa mediante una matriz multidimensional. Por ejemplo, un operador lineal se representa en una base como una matriz cuadrada bidimensional n × n . Los números en la matriz multidimensional se conocen como los componentes del tensor. Se denotan por índices que dan su posición en la matriz, como subíndices y superíndices , después del nombre simbólico del tensor. Por ejemplo, los componentes de un tensor de orden 2 T podrían denotarse T _ij  , donde i y j son índices que van de 1 a n , o también por T ^Yo,
_yoEl hecho de que un índice se muestre como superíndice o subíndice depende de las propiedades de transformación del tensor, que se describen a continuación. Por lo tanto, mientras que T _ij y T ^Yo,
_yoAmbos pueden expresarse como matrices n por n y están relacionados numéricamente mediante malabarismos de índices ; la diferencia en sus leyes de transformación indica que sería incorrecto sumarlos.

El número total de índices ( m ) necesarios para identificar de forma única cada componente es igual a la dimensión o al número de formas de una matriz, por lo que a veces se hace referencia a un tensor como una matriz de dimensión m o una matriz de formas m . El número total de índices también se denomina orden , grado o rango de un tensor, ^{[2] [3] [4]} aunque el término "rango" generalmente tiene otro significado en el contexto de matrices y tensores.

Así como los componentes de un vector cambian cuando cambiamos la base del espacio vectorial, los componentes de un tensor también cambian bajo dicha transformación. Cada tipo de tensor viene equipado con una ley de transformación que detalla cómo responden los componentes del tensor a un cambio de base . Los componentes de un vector pueden responder de dos maneras distintas a un cambio de base (ver Covarianza y contravarianza de vectores ), donde los nuevos vectores de base se expresan en términos de los antiguos vectores de base como,${\displaystyle \mathbf {\sombrero {e}} _ {i}}$${\displaystyle \mathbf {e} _ {j}}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}R_{i}^{j}=\mathbf { mi} _{j}R_{i}^{j}.}$

Aquí R ^j _i son las entradas de la matriz de cambio de base, y en la expresión más a la derecha se suprimió el signo de suma : esta es la convención de suma de Einstein , que se utilizará a lo largo de este artículo. ^{[Nota 1]} Los componentes v ⁱ de un vector columna v se transforman con la inversa de la matriz R ,

${\displaystyle {\hat {v}}^{i}=\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}v^{j},}$

donde el sombrero denota los componentes en la nueva base. Esto se llama ley de transformación contravariante , porque los componentes del vector se transforman por la inversa del cambio de base. En contraste, los componentes, w _i , de un covector (o vector fila), w , se transforman con la propia matriz R ,

${\displaystyle {\hat {w}}_{i}=w_{j}R_{i}^{j}.}$

Esto se denomina ley de transformación covariante , porque los componentes del covector se transforman mediante la misma matriz que la matriz de cambio de base. Los componentes de un tensor más general se transforman mediante alguna combinación de transformaciones covariantes y contravariantes, con una ley de transformación para cada índice. Si la matriz de transformación de un índice es la matriz inversa de la transformación de la base, entonces el índice se denomina contravariante y se denota convencionalmente con un índice superior (superíndice). Si la matriz de transformación de un índice es la propia transformación de la base, entonces el índice se denomina covariante y se denota con un índice inferior (subíndice).

Como ejemplo simple, la matriz de un operador lineal con respecto a una base es una matriz rectangular que se transforma bajo una matriz de cambio de base por . Para las entradas individuales de la matriz, esta ley de transformación tiene la forma por lo que el tensor correspondiente a la matriz de un operador lineal tiene un índice covariante y uno contravariante: es de tipo (1,1).${\estilo de visualización T}$${\displaystyle R=\left(R_{i}^{j}\right)}$${\displaystyle {\hat {T}}=R^{-1}TR}$${\displaystyle {\hat {T}}_{j'}^{i'}=\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}T_{j}^{i}R_{j'}^{j}}$

Las combinaciones de componentes covariantes y contravariantes con el mismo índice nos permiten expresar invariantes geométricos. Por ejemplo, el hecho de que un vector sea el mismo objeto en diferentes sistemas de coordenadas se puede capturar mediante las siguientes ecuaciones, utilizando las fórmulas definidas anteriormente:

${\displaystyle \mathbf {v} ={\hat {v}}^{i}\,\mathbf {\hat {e}} _{i}=\left(\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}{v}^{j}\right)\left(\mathbf {e} _{k}R_{i}^{k}\right)=\left(\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}R_{i}^{k}\right){v}^{j}\mathbf {e} _{k}=\delta _{j}^{k}{v}^{j}\mathbf {e} _{k}={v}^{k}\,\mathbf {e} _{k}={v}^{i}\,\mathbf {e} _{i}}$,

donde es el delta de Kronecker , que funciona de manera similar a la matriz identidad , y tiene el efecto de renombrar índices ( j en k en este ejemplo). Esto muestra varias características de la notación de componentes: la capacidad de reorganizar términos a voluntad ( conmutatividad ), la necesidad de usar diferentes índices cuando se trabaja con múltiples objetos en la misma expresión, la capacidad de renombrar índices y la manera en que los tensores contravariantes y covariantes se combinan de modo que todas las instancias de la matriz de transformación y su inversa se cancelan, de modo que expresiones como pueden verse inmediatamente como geométricamente idénticas en todos los sistemas de coordenadas.${\displaystyle \delta _{j}^{k}}$${\displaystyle {v}^{i}\,\mathbf {e} _{i}}$

De manera similar, un operador lineal, visto como un objeto geométrico, en realidad no depende de una base: es solo una función lineal que acepta un vector como argumento y produce otro vector. La ley de transformación para la forma en que la matriz de componentes de un operador lineal cambia con la base es consistente con la ley de transformación para un vector contravariante, de modo que la acción de un operador lineal sobre un vector contravariante se representa en coordenadas como el producto matricial de sus respectivas representaciones de coordenadas. Es decir, los componentes están dados por . Estos componentes se transforman de manera contravariante, ya que${\displaystyle (Tv)^{i}}$${\displaystyle (Tv)^{i}=T_{j}^{i}v^{j}}$

${\displaystyle \left({\widehat {Tv}}\right)^{i'}={\hat {T}}_{j'}^{i'}{\hat {v}}^{j'}=\left[\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}T_{j}^{i}R_{j'}^{j}\right]\left[\left(R^{-1}\right)_{k}^{j'}v^{k}\right]=\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}(Tv)^{i}.}$

La ley de transformación para un tensor de orden p + q con p índices contravariantes y q índices covariantes se da entonces como,

${\displaystyle {\hat {T}}_{j'_{1},\ldots ,j'_{q}}^{i'_{1},\ldots ,i'_{p}}=\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}}$ ${\displaystyle T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}}$ ${\displaystyle R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.}$

Aquí los índices con prima denotan componentes en las nuevas coordenadas, y los índices sin prima denotan los componentes en las coordenadas antiguas. Se dice que un tensor de este tipo es de orden o tipo ( p , q ) . Los términos "orden", "tipo", "rango", "valencia" y "grado" se utilizan a veces para el mismo concepto. Aquí, el término "orden" u "orden total" se utilizará para la dimensión total de la matriz (o su generalización en otras definiciones), p + q en el ejemplo anterior, y el término "tipo" para el par que da el número de índices contravariantes y covariantes. Un tensor de tipo ( p , q ) también se denomina ( p , q ) -tensor para abreviar.

Esta discusión motiva la siguiente definición formal: ^{[5] [6]}

Definición. Un tensor de tipo ( p , q ) es una asignación de una matriz multidimensional.

${\displaystyle T_{j_{1}\puntos j_{q}}^{i_{1}\puntos i_{p}}[\mathbf {f} ]}$

a cada base f = ( e ₁ , ..., e _n ) de un espacio vectorial n -dimensional tal que, si aplicamos el cambio de base

${\displaystyle \mathbf {f} \mapsto \mathbf {f} \cdot R=\left(\mathbf {e} _{i}R_{1}^{i},\dots ,\mathbf {e} _{i}R_{n}^{i}\right)}$

Entonces la matriz multidimensional obedece la ley de transformación.

${\displaystyle T_{j'_{1}\puntos j'_{q}}^{i'_{1}\puntos i'_{p}}[\mathbf {f} \cdot R]=\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}}$ ${\displaystyle T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}[\mathbf {f} ]}$ ${\displaystyle R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.}$

La definición de un tensor como una matriz multidimensional que satisface una ley de transformación se remonta al trabajo de Ricci. ^[1]

Una definición equivalente de un tensor utiliza las representaciones del grupo lineal general . Existe una acción del grupo lineal general sobre el conjunto de todas las bases ordenadas de un espacio vectorial n -dimensional. Si es una base ordenada y es una matriz invertible , entonces la acción está dada por${\displaystyle \mathbf {f} =(\mathbf {f} _{1},\dots,\mathbf {f} _{n})}$${\displaystyle R=\left(R_{j}^{i}\right)}$${\displaystyle n\veces n}$

${\displaystyle \mathbf {f} R=\left(\mathbf {f} _{i}R_{1}^{i},\puntos ,\mathbf {f} _{i}R_{n}^{i}\right).}$

Sea F el conjunto de todas las bases ordenadas. Entonces F es un espacio homogéneo principal para GL( n ). Sea W un espacio vectorial y sea una representación de GL( n ) en W (es decir, un homomorfismo de grupo ). Entonces un tensor de tipo es una función equivariante . Equivariancia aquí significa que${\estilo de visualización \rho}$ ${\displaystyle \rho :{\text{GL}}(n)\to {\text{GL}}(W)}$${\estilo de visualización \rho}$ ${\displaystyle T:F\to W}$

${\displaystyle T(FR)=\rho \left(R^{-1}\right)T(F).}$

Cuando es una representación tensorial del grupo lineal general, se obtiene la definición habitual de tensores como matrices multidimensionales. Esta definición se utiliza a menudo para describir tensores en variedades, ^[7] y se generaliza fácilmente a otros grupos. ^[5]${\estilo de visualización \rho}$

Una desventaja de la definición de un tensor utilizando el enfoque de matriz multidimensional es que no es evidente a partir de la definición que el objeto definido sea de hecho independiente de la base, como se espera de un objeto intrínsecamente geométrico. Aunque es posible demostrar que las leyes de transformación de hecho garantizan la independencia de la base, a veces se prefiere una definición más intrínseca. Un enfoque que es común en geometría diferencial es definir tensores relativos a un espacio vectorial fijo (de dimensión finita) V , que generalmente se toma como un espacio vectorial particular de alguna importancia geométrica como el espacio tangente a una variedad. ^[8] En este enfoque, un tensor de tipo ( p , q ) T se define como una función multilineal ,

${\displaystyle T:\underbrace {V^{*}\times \dots \times V^{*}} _{p{\text{ copies}}}\times \underbrace {V\times \dots \times V} _{q{\text{ copies}}}\rightarrow \mathbf {R} ,}$

donde V ^{∗ es el} espacio dual correspondiente de covectores, que es lineal en cada uno de sus argumentos. Lo anterior supone que V es un espacio vectorial sobre los números reales , ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$ . De manera más general, V puede tomarse sobre cualquier cuerpo F (por ejemplo, los números complejos ), con F reemplazando a ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$ como codominio de las aplicaciones multilineales.

Aplicando una función multilineal T de tipo ( p , q ) a una base { e _j } para V y una cobase canónica { ε ⁱ } para V ^∗ ,

${\displaystyle T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\equiv T\left({\boldsymbol {\varepsilon }}^{i_{1}},\ldots ,{\boldsymbol {\varepsilon }}^{i_{p}},\mathbf {e} _{j_{1}},\ldots ,\mathbf {e} _{j_{q}}\right),}$

Se puede obtener una matriz de componentes de ( p + q ) dimensión. Una elección diferente de base producirá componentes diferentes. Pero, debido a que T es lineal en todos sus argumentos, los componentes satisfacen la ley de transformación de tensores utilizada en la definición de matriz multilineal. La matriz multidimensional de componentes de T forma así un tensor de acuerdo con esa definición. Además, una matriz de este tipo se puede realizar como los componentes de algún mapa multilineal T . Esto motiva la consideración de los mapas multilineales como los objetos intrínsecos subyacentes a los tensores.

Al considerar un tensor como una función multilineal, es convencional identificar el doble dual V ^∗∗ del espacio vectorial V , es decir, el espacio de funcionales lineales en el espacio vectorial dual V ^∗ , con el espacio vectorial V . Siempre hay una función lineal natural de V a su doble dual, dada al evaluar una forma lineal en V ^∗ contra un vector en V . Esta función lineal es un isomorfismo en dimensiones finitas, y a menudo es conveniente identificar V con su doble dual.

Para algunas aplicaciones matemáticas, a veces resulta útil un enfoque más abstracto. Esto se puede lograr definiendo tensores en términos de elementos de productos tensoriales de espacios vectoriales, que a su vez se definen mediante una propiedad universal como se explica aquí y aquí .

Un tensor de tipo ( p , q ) se define en este contexto como un elemento del producto tensorial de espacios vectoriales, ^{[9] [10]}

${\displaystyle T\in \underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{p{\text{ copies}}}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} _{q{\text{ copies}}}.}$

Una base v _i de V y una base w _j de W inducen naturalmente una base v _i ⊗ w _j del producto tensorial V ⊗ W . Los componentes de un tensor T son los coeficientes del tensor con respecto a la base obtenidos a partir de una base { e _i } para V y su base dual { ε ^j } , es decir

${\displaystyle T=T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\;\mathbf {e} _{i_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{i_{p}}\otimes {\boldsymbol {\varepsilon }}^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes {\boldsymbol {\varepsilon }}^{j_{q}}.}$

Utilizando las propiedades del producto tensorial, se puede demostrar que estos componentes satisfacen la ley de transformación para un tensor de tipo ( p , q ) . Además, la propiedad universal del producto tensorial proporciona una correspondencia biunívoca entre los tensores definidos de esta manera y los tensores definidos como aplicaciones multilineales.

Esta correspondencia 1 a 1 se puede lograr de la siguiente manera, porque en el caso de dimensión finita existe un isomorfismo canónico entre un espacio vectorial y su doble dual:

${\displaystyle U\otimes V\cong \left(U^{**}\right)\otimes \left(V^{**}\right)\cong \left(U^{*}\otimes V^{*}\right)^{*}\cong \operatorname {Hom} ^{2}\left(U^{*}\times V^{*};\mathbb {F} \right)}$

La última línea utiliza la propiedad universal del producto tensorial, de que existe una correspondencia 1 a 1 entre los mapas de y . ^[11]${\displaystyle \operatorname {Hom} ^{2}\left(U^{*}\times V^{*};\mathbb {F} \right)}$${\displaystyle \operatorname {Hom} \left(U^{*}\otimes V^{*};\mathbb {F} \right)}$

Los productos tensoriales se pueden definir de forma muy general (por ejemplo, involucrando módulos arbitrarios sobre un anillo). En principio, se podría definir un "tensor" simplemente como un elemento de cualquier producto tensorial. Sin embargo, la literatura matemática suele reservar el término tensor para un elemento de un producto tensorial de cualquier número de copias de un único espacio vectorial V y su dual, como se indicó anteriormente.

Esta discusión de los tensores hasta ahora asume una dimensionalidad finita de los espacios involucrados, donde los espacios de tensores obtenidos por cada una de estas construcciones son naturalmente isomorfos . ^{[Nota 2]} Las construcciones de espacios de tensores basadas en el producto tensorial y aplicaciones multilineales se pueden generalizar, esencialmente sin modificación, a fibrados vectoriales o haces coherentes . ^[12] Para espacios vectoriales de dimensión infinita, las topologías inequivalentes conducen a nociones inequivalentes de tensor, y estos diversos isomorfismos pueden o no cumplirse dependiendo de qué se entienda exactamente por tensor (ver producto tensorial topológico ). En algunas aplicaciones, se pretende el producto tensorial de los espacios de Hilbert , cuyas propiedades son las más similares al caso de dimensión finita. Una visión más moderna es que es la estructura de los tensores como una categoría monoidal simétrica la que codifica sus propiedades más importantes, en lugar de los modelos específicos de esas categorías. ^[13]

En muchas aplicaciones, especialmente en geometría diferencial y física, es natural considerar un tensor con componentes que son funciones del punto en un espacio. Este fue el contexto del trabajo original de Ricci. En la terminología matemática moderna, un objeto de este tipo se denomina campo tensorial , a menudo denominado simplemente tensor. ^[1]

En este contexto, a menudo se elige una base de coordenadas para el espacio vectorial tangente . La ley de transformación puede entonces expresarse en términos de derivadas parciales de las funciones de coordenadas,

${\displaystyle {\bar {x}}^{i}\left(x^{1},\ldots ,x^{n}\right),}$

definiendo una transformación de coordenadas, ^[1]

${\displaystyle {\hat {T}}_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}\left({\bar {x}}^{1},\ldots ,{\bar {x}}^{n}\right)={\frac {\partial {\bar {x}}^{i'_{1}}}{\partial x^{i_{1}}}}\cdots {\frac {\partial {\bar {x}}^{i'_{p}}}{\partial x^{i_{p}}}}{\frac {\partial x^{j_{1}}}{\partial {\bar {x}}^{j'_{1}}}}\cdots {\frac {\partial x^{j_{q}}}{\partial {\bar {x}}^{j'_{q}}}}T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\left(x^{1},\ldots ,x^{n}\right).}$

Los conceptos del análisis tensorial posterior surgieron del trabajo de Carl Friedrich Gauss en geometría diferencial , y la formulación estuvo muy influenciada por la teoría de formas algebraicas e invariantes desarrollada a mediados del siglo XIX. ^[14] La palabra "tensor" en sí fue introducida en 1846 por William Rowan Hamilton ^[15] para describir algo diferente de lo que ahora se entiende por tensor. ^{[Nota 3]} Gibbs introdujo el álgebra diádica y el álgebra poliádica , que también son tensores en el sentido moderno. ^[16] El uso contemporáneo fue introducido por Woldemar Voigt en 1898. ^[17]

El cálculo tensorial fue desarrollado alrededor de 1890 por Gregorio Ricci-Curbastro bajo el título de cálculo diferencial absoluto , y presentado originalmente en 1892. ^[18] Se hizo accesible a muchos matemáticos mediante la publicación del texto clásico de 1900 de Ricci-Curbastro y Tullio Levi-Civita Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications (Métodos de cálculo diferencial absoluto y sus aplicaciones). ^[19] En la notación de Ricci, se refiere a "sistemas" con componentes covariantes y contravariantes, que se conocen como campos tensoriales en el sentido moderno. ^[16]

En el siglo XX, el tema pasó a conocerse como análisis tensorial y alcanzó una aceptación más amplia con la introducción de la teoría de la relatividad general de Albert Einstein , alrededor de 1915. La relatividad general está formulada completamente en el lenguaje de los tensores. Einstein había aprendido sobre ellos, con gran dificultad, del geómetra Marcel Grossmann . ^[20] Levi-Civita inició entonces una correspondencia con Einstein para corregir los errores que Einstein había cometido en su uso del análisis tensorial. La correspondencia duró entre 1915 y 1917 y se caracterizó por el respeto mutuo:

Admiro la elegancia de su método de cálculo; debe ser agradable recorrer estos campos a lomos del caballo de las verdaderas matemáticas, mientras que otros como nosotros tenemos que abrirnos paso laboriosamente a pie.

—Albert  Einstein ^[21]

Los tensores y los campos tensoriales también resultaron útiles en otros campos, como la mecánica de medios continuos . Algunos ejemplos conocidos de tensores en geometría diferencial son las formas cuadráticas , como los tensores métricos y el tensor de curvatura de Riemann . El álgebra exterior de Hermann Grassmann , de mediados del siglo XIX, es en sí misma una teoría tensorial, y altamente geométrica, pero pasó algún tiempo antes de que se la viera, junto con la teoría de las formas diferenciales , como unificada naturalmente con el cálculo tensorial. El trabajo de Élie Cartan hizo de las formas diferenciales uno de los tipos básicos de tensores utilizados en matemáticas, y Hassler Whitney popularizó el producto tensorial . ^[16]

A partir de la década de 1920, se comprendió que los tensores desempeñan un papel básico en la topología algebraica (por ejemplo, en el teorema de Künneth ). ^[22] En consecuencia, existen tipos de tensores que funcionan en muchas ramas del álgebra abstracta , particularmente en el álgebra homológica y la teoría de la representación . El álgebra multilineal se puede desarrollar con mayor generalidad que para los escalares que provienen de un cuerpo . Por ejemplo, los escalares pueden provenir de un anillo . Pero la teoría es entonces menos geométrica y los cálculos más técnicos y menos algorítmicos. ^[23] Los tensores se generalizan dentro de la teoría de categorías mediante el concepto de categoría monoidal , a partir de la década de 1960. ^[24]

Un ejemplo elemental de una aplicación describible como un tensor es el producto escalar , que asigna dos vectores a un escalar. Un ejemplo más complejo es el tensor de tensión de Cauchy T , que toma un vector unitario direccional v como entrada y lo asigna al vector de tensión T ^{( v )} , que es la fuerza (por unidad de área) ejercida por el material en el lado negativo del plano ortogonal a v contra el material en el lado positivo del plano, expresando así una relación entre estos dos vectores, que se muestra en la figura (derecha). El producto vectorial , donde dos vectores se asignan a un tercero, estrictamente hablando no es un tensor porque cambia su signo bajo aquellas transformaciones que cambian la orientación del sistema de coordenadas. El símbolo totalmente antisimétrico , sin embargo, permite un manejo conveniente del producto vectorial en sistemas de coordenadas tridimensionales igualmente orientados.${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$

Esta tabla muestra ejemplos importantes de tensores en espacios vectoriales y campos tensoriales en variedades. Los tensores se clasifican según su tipo ( n , m ) , donde n es el número de índices contravariantes, m es el número de índices covariantes y n + m da el orden total del tensor. Por ejemplo, una forma bilineal es lo mismo que un tensor (0, 2) ; un producto interno es un ejemplo de un tensor (0, 2) , pero no todos los tensores (0, 2) son productos internos. En la entrada (0, M ) de la tabla, M denota la dimensionalidad del espacio vectorial o variedad subyacente porque para cada dimensión del espacio, se necesita un índice separado para seleccionar esa dimensión para obtener un tensor antisimétrico covariante máximo.

Al elevar un índice en un tensor ( n , m ) se produce un tensor ( n + 1, m − 1) ; esto corresponde a moverse en diagonal hacia abajo y hacia la izquierda en la mesa. Simétricamente, al bajar un índice se corresponde a moverse en diagonal hacia arriba y hacia la derecha en la mesa. Al contraer un índice superior con un índice inferior de un tensor ( n , m ) se produce un tensor ( n − 1, m − 1) ; esto corresponde a moverse en diagonal hacia arriba y hacia la izquierda en la mesa.

Suponiendo una base de un espacio vectorial real, por ejemplo, un marco de coordenadas en el espacio ambiente, un tensor puede representarse como una matriz multidimensional organizada de valores numéricos con respecto a esta base específica. Cambiar la base transforma los valores en la matriz de una manera característica que permite definir tensores como objetos que se adhieren a este comportamiento transformacional. Por ejemplo, hay invariantes de tensores que deben conservarse bajo cualquier cambio de la base, lo que hace que solo ciertas matrices multidimensionales de números sean un tensor. Compare esto con la matriz que representa no ser un tensor, para el cambio de signo bajo transformaciones que cambian la orientación.${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$

Debido a que los componentes de los vectores y sus duales se transforman de manera diferente bajo el cambio de sus bases duales, existe una ley de transformación covariante y/o contravariante que relaciona las matrices, que representan el tensor con respecto a una base y ésta con respecto a la otra. Los números de, respectivamente, vectores: n ( índices contravariantes ) y vectores duales: m ( índices covariantes ) en la entrada y salida de un tensor determinan el tipo (o valencia ) del tensor, un par de números naturales ( n , m ) , que determinan la forma precisa de la ley de transformación.El orden de un tensor es la suma de estos dos números.

El orden (también grado oEl rango ) de un tensor es, por tanto, la suma de los órdenes de sus argumentos más el orden del tensor resultante. Esta es también la dimensionalidad de la matriz de números necesarios para representar el tensor con respecto a una base específica o, equivalentemente, la cantidad de índices necesarios para etiquetar cada componente en esa matriz. Por ejemplo, en una base fija, una función lineal estándar que asigna un vector a un vector se representa mediante una matriz (una matriz bidimensional) y, por tanto, es un tensor de segundo orden. Un vector simple se puede representar como una matriz unidimensional y, por tanto, es un tensor de primer orden. Los escalares son números simples y, por tanto, son tensores de orden 0. De esta manera, el tensor que representa el producto escalar, que toma dos vectores y da como resultado un escalar, tiene orden2 + 0 = 2, lo mismo que el tensor de tensión, que toma un vector y devuelve otro1 + 1 = 2. Elsímbolo -,que asigna dos vectores a un vector, tendría orden2 + 1 = 3.${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$

La colección de tensores en un espacio vectorial y sus formas duales forman un álgebra tensorial , que permite productos de tensores arbitrarios. Las aplicaciones simples de tensores de orden 2 , que se pueden representar como una matriz cuadrada, se pueden resolver mediante una disposición inteligente de los vectores transpuestos y aplicando las reglas de multiplicación de matrices, pero el producto tensorial no debe confundirse con esto.

Existen varios sistemas de notación que se utilizan para describir tensores y realizar cálculos que los involucran.

El cálculo de Ricci es el formalismo y la notación modernos para los índices tensoriales: indica productos internos y externos , covarianza y contravarianza , sumas de componentes tensoriales, simetría y antisimetría , y derivadas parciales y covariantes .

La convención de suma de Einstein prescinde de la escritura de los signos de suma , dejando la suma implícita. Cualquier símbolo de índice repetido se suma: si el índice i se utiliza dos veces en un término dado de una expresión tensorial, significa que el término se debe sumar para todos los i . De esta manera se pueden sumar varios pares distintos de índices.

La notación gráfica de Penrose es una notación diagramática que reemplaza los símbolos de los tensores por formas y sus índices por líneas y curvas. Es independiente de los elementos básicos y no requiere símbolos para los índices.

La notación de índice abstracto es una forma de escribir tensores de modo que los índices ya no se consideren numéricos, sino que sean indeterminados . Esta notación captura la expresividad de los índices y la independencia de la base de la notación sin índices.

Un tratamiento de tensores sin componentes utiliza una notación que enfatiza que los tensores no dependen de ninguna base y se define en términos del producto tensorial de espacios vectoriales .

Existen varias operaciones sobre tensores que, a su vez, producen un tensor. La naturaleza lineal del tensor implica que se pueden sumar dos tensores del mismo tipo y que se pueden multiplicar por un escalar con resultados análogos al escalado de un vector . En componentes, estas operaciones se realizan simplemente componente por componente. Estas operaciones no cambian el tipo de tensor, pero también hay operaciones que producen un tensor de un tipo diferente.

El producto tensorial toma dos tensores, S y T , y produce un nuevo tensor, S ⊗ T , cuyo orden es la suma de los órdenes de los tensores originales. Cuando se describe como mapas multilineales, el producto tensorial simplemente multiplica los dos tensores, es decir, que nuevamente produce un mapa que es lineal en todos sus argumentos. En los componentes, el efecto es multiplicar los componentes de los dos tensores de entrada por pares, es decir, Si S es de tipo ( l , k ) y T es de tipo ( n , m ) , entonces el producto tensorial S ⊗ T tiene tipo ( l + n , k + m ) .$${\displaystyle (S\otimes T)(v_{1},\ldots ,v_{n},v_{n+1},\ldots ,v_{n+m})=S(v_{1},\ldots ,v_{n})T(v_{n+1},\ldots ,v_{n+m}),}$$$${\displaystyle (S\otimes T)_{j_{1}\ldots j_{k}j_{k+1}\ldots j_{k+m}}^{i_{1}\ldots i_{l}i_{l+1}\ldots i_{l+n}}=S_{j_{1}\ldots j_{k}}^{i_{1}\ldots i_{l}}T_{j_{k+1}\ldots j_{k+m}}^{i_{l+1}\ldots i_{l+n}}.}$$

La contracción de un tensor es una operación que reduce un tensor de tipo ( n , m ) a un tensor de tipo ( n −1, m −1) , del que la traza es un caso especial. De este modo, reduce el orden total de un tensor en dos. La operación se logra sumando componentes para los que un índice contravariante especificado es el mismo que un índice covariante especificado para producir un nuevo componente. Los componentes para los que esos dos índices son diferentes se descartan. Por ejemplo, un (1, 1) -tensor se puede contraer a un escalar a través de , donde la suma está implícita nuevamente. Cuando el (1, 1) -tensor se interpreta como una función lineal, esta operación se conoce como traza .${\displaystyle T_{i}^{j}}$${\displaystyle T_{i}^{i}}$

La contracción se utiliza a menudo junto con el producto tensorial para contraer un índice de cada tensor.

La contracción también se puede entender utilizando la definición de un tensor como un elemento de un producto tensorial de copias del espacio V con el espacio V ^∗ descomponiendo primero el tensor en una combinación lineal de tensores simples y luego aplicando un factor de V ^∗ a un factor de V . Por ejemplo, un tensor se puede escribir como una combinación lineal${\displaystyle T\in V\otimes V\otimes V^{*}}$

${\displaystyle T=v_{1}\otimes w_{1}\otimes \alpha _{1}+v_{2}\otimes w_{2}\otimes \alpha _{2}+\cdots +v_{N}\otimes w_{N}\otimes \alpha _{N}.}$

La contracción de T en la primera y última ranura es entonces el vector

${\displaystyle \alpha _{1}(v_{1})w_{1}+\alpha _{2}(v_{2})w_{2}+\cdots +\alpha _{N}(v_{N})w_{N}.}$

En un espacio vectorial con un producto interno (también conocido como métrica ) g , el término contracción se utiliza para eliminar dos índices contravariantes o covariantes mediante la formación de una traza con el tensor métrico o su inverso. Por ejemplo, un tensor (2, 0) se puede contraer a un escalar mediante (asumiendo nuevamente la convención de suma).${\displaystyle T^{ij}}$${\displaystyle T^{ij}g_{ij}}$

Cuando un espacio vectorial está equipado con una forma bilineal no degenerada (o tensor métrico como se le suele llamar en este contexto), se pueden definir operaciones que convierten un índice contravariante (superior) en un índice covariante (inferior) y viceversa. Un tensor métrico es un tensor (simétrico) ( 0, 2) ; por lo tanto, es posible contraer un índice superior de un tensor con uno de los índices inferiores del tensor métrico en el producto. Esto produce un nuevo tensor con la misma estructura de índice que el tensor anterior, pero con el índice inferior generalmente mostrado en la misma posición del índice superior contraído. Esta operación se conoce de forma bastante gráfica como reducción de un índice .

Por el contrario, se puede definir la operación inversa, que se denomina elevación de un índice . Esto equivale a una contracción similar en el producto con un tensor (2, 0) . Este tensor métrico inverso tiene componentes que son la matriz inversa de las del tensor métrico.

Ejemplos importantes son proporcionados por la mecánica de medios continuos . Las tensiones dentro de un cuerpo sólido o fluido ^[28] se describen por un campo tensorial. El tensor de tensión y el tensor de deformación son campos tensoriales de segundo orden, y están relacionados en un material elástico lineal general por un campo tensorial de elasticidad de cuarto orden . En detalle, el tensor que cuantifica la tensión en un objeto sólido tridimensional tiene componentes que pueden representarse convenientemente como una matriz de 3 × 3. Las tres caras de un segmento de volumen infinitesimal en forma de cubo del sólido están sujetas cada una a una fuerza dada. Los componentes vectoriales de la fuerza también son tres en número. Por lo tanto, se requieren 3 × 3, o 9 componentes para describir la tensión en este segmento infinitesimal en forma de cubo. Dentro de los límites de este sólido hay una masa completa de cantidades de tensión variables, cada una de las cuales requiere 9 cantidades para describirse. Por lo tanto, se necesita un tensor de segundo orden.

Si se selecciona un elemento de superficie particular dentro del material, el material de un lado de la superficie aplicará una fuerza en el otro lado. En general, esta fuerza no será ortogonal a la superficie, sino que dependerá de la orientación de la superficie de manera lineal. Esto se describe mediante un tensor de tipo (2, 0) , en elasticidad lineal , o más precisamente mediante un campo tensorial de tipo (2, 0) , ya que las tensiones pueden variar de un punto a otro.

Las aplicaciones comunes incluyen:

• Tensor electromagnético (o tensor de Faraday) en electromagnetismo
• Tensores de deformación finitos para describir deformaciones y tensor de deformación para deformaciones en mecánica de medios continuos
• La permitividad y la susceptibilidad eléctrica son tensores en medios anisotrópicos
• Cuatro tensores en relatividad general (por ejemplo, el tensor de tensión-energía ), utilizados para representar flujos de momento
• Los operadores tensoriales esféricos son las funciones propias del operador de momento angular cuántico en coordenadas esféricas.
• Los tensores de difusión, la base de las imágenes por tensor de difusión , representan tasas de difusión en entornos biológicos.
• La mecánica cuántica y la computación cuántica utilizan productos tensoriales para la combinación de estados cuánticos.

El concepto de tensor de orden dos se confunde a menudo con el de matriz. Sin embargo, los tensores de orden superior captan ideas importantes en ciencia e ingeniería, como se ha demostrado sucesivamente en numerosas áreas a medida que se desarrollan. Esto sucede, por ejemplo, en el campo de la visión artificial , con el tensor trifocal que generaliza la matriz fundamental .

El campo de la óptica no lineal estudia los cambios en la densidad de polarización del material bajo campos eléctricos extremos. Las ondas de polarización generadas están relacionadas con los campos eléctricos generadores a través del tensor de susceptibilidad no lineal. Si la polarización P no es linealmente proporcional al campo eléctrico E , el medio se denomina no lineal . Como buena aproximación (para campos suficientemente débiles, suponiendo que no hay momentos dipolares permanentes), P viene dada por una serie de Taylor en E cuyos coeficientes son las susceptibilidades no lineales:

${\displaystyle {\frac {P_{i}}{\varepsilon _{0}}}=\sum _{j}\chi _{ij}^{(1)}E_{j}+\sum _{jk}\chi _{ijk}^{(2)}E_{j}E_{k}+\sum _{jk\ell }\chi _{ijk\ell }^{(3)}E_{j}E_{k}E_{\ell }+\cdots .\!}$

Aquí se muestra la susceptibilidad lineal, se obtiene el efecto Pockels y la generación del segundo armónico y se obtiene el efecto Kerr . Esta expansión muestra la forma en que los tensores de orden superior surgen de forma natural en el tema.${\displaystyle \chi ^{(1)}}$${\displaystyle \chi ^{(2)}}$${\displaystyle \chi ^{(3)}}$

Las propiedades de los tensores , especialmente la descomposición tensorial , han permitido su uso en el aprendizaje automático para incorporar datos de mayor dimensión en redes neuronales artificiales . Esta noción de tensor difiere significativamente de la que se utiliza en otras áreas de las matemáticas y la física, en el sentido de que un tensor suele considerarse una cantidad numérica en una base fija, y la dimensión de los espacios a lo largo de los diferentes ejes del tensor no necesita ser la misma.

Los espacios vectoriales de un producto tensorial no necesitan ser los mismos, y a veces los elementos de un producto tensorial más general se denominan "tensores". Por ejemplo, un elemento del espacio de producto tensorial V ⊗ W es un "tensor" de segundo orden en este sentido más general, ^[29] y un tensor de orden d puede definirse asimismo como un elemento de un producto tensorial de d espacios vectoriales diferentes. ^[30] Un tensor de tipo ( n , m ) , en el sentido definido anteriormente, es también un tensor de orden n + m en este sentido más general. El concepto de producto tensorial se puede extender a módulos arbitrarios sobre un anillo .

La noción de tensor se puede generalizar de diversas maneras a dimensiones infinitas . Una de ellas, por ejemplo, es a través del producto tensorial de espacios de Hilbert . ^[31] Otra forma de generalizar la idea de tensor, común en el análisis no lineal , es a través de la definición de mapas multilineales donde en lugar de utilizar espacios vectoriales de dimensión finita y sus duales algebraicos , se utilizan espacios de Banach de dimensión infinita y su dual continuo . ^[32] Por lo tanto, los tensores viven naturalmente en las variedades de Banach ^[33] y las variedades de Fréchet .

Supongamos que un medio homogéneo llena R ³ , de modo que la densidad del medio se describe mediante un único valor escalar ρ en kg⋅m ⁻³ . La masa, en kg, de una región Ω se obtiene multiplicando ρ por el volumen de la región Ω , o de manera equivalente integrando la constante ρ sobre la región:

${\displaystyle m=\int _{\Omega }\rho \,dx\,dy\,dz,}$

donde las coordenadas cartesianas x , y , z se miden en m . Si las unidades de longitud se cambian a cm , entonces los valores numéricos de las funciones de coordenadas deben reescalarse por un factor de 100:

${\displaystyle x'=100x,\quad y'=100y,\quad z'=100z.}$

El valor numérico de la densidad ρ debe entonces también transformarse en 100 ⁻³ m ³ /cm ³ para compensar, de modo que el valor numérico de la masa en kg todavía esté dado por la integral de . Por lo tanto (en unidades de kg⋅cm ⁻³ ).${\displaystyle \rho \,dx\,dy\,dz}$${\displaystyle \rho '=100^{-3}\rho }$

En términos más generales, si las coordenadas cartesianas x , y , z sufren una transformación lineal, entonces el valor numérico de la densidad ρ debe cambiar por un factor del recíproco del valor absoluto del determinante de la transformación de coordenadas, de modo que la integral permanezca invariante, por la fórmula de cambio de variables para la integración. Una cantidad de este tipo que escala por el recíproco del valor absoluto del determinante del mapa de transición de coordenadas se llama densidad escalar . Para modelar una densidad no constante, ρ es una función de las variables x , y , z (un campo escalar ), y bajo un cambio curvilíneo de coordenadas, se transforma por el recíproco del jacobiano del cambio de coordenadas. Para obtener más información sobre el significado intrínseco, consulte Densidad en una variedad .

Una densidad tensorial se transforma como un tensor bajo un cambio de coordenadas, excepto que además toma un factor del valor absoluto del determinante de la transición de coordenadas: ^[34]

${\displaystyle T_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}[\mathbf {f} \cdot R]=\left|\det R\right|^{-w}\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}[\mathbf {f} ]R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.}$

Aquí w se denomina peso. En general, cualquier tensor multiplicado por una potencia de esta función o su valor absoluto se denomina densidad tensorial o tensor ponderado. ^{[35] [36]} Un ejemplo de densidad tensorial es la densidad de corriente del electromagnetismo .

Bajo una transformación afín de las coordenadas, un tensor se transforma por la parte lineal de la propia transformación (o su inversa) en cada índice. Estas provienen de las representaciones racionales del grupo lineal general. Pero esta no es exactamente la ley de transformación lineal más general que puede tener un objeto de este tipo: las densidades de tensores no son racionales, pero siguen siendo representaciones semisimples . Otra clase de transformaciones proviene de la representación logarítmica del grupo lineal general, una representación reducible pero no semisimple, ^[37] que consiste en un ( x , y ) ∈ R ² con la ley de transformación

${\displaystyle (x,y)\mapsto (x+y\log \left|\det R\right|,y).}$

La ley de transformación de un tensor se comporta como un funtor en la categoría de sistemas de coordenadas admisibles, bajo transformaciones lineales generales (u otras transformaciones dentro de alguna clase, como los difeomorfismos locales ). Esto hace que un tensor sea un caso especial de un objeto geométrico, en el sentido técnico de que es una función del sistema de coordenadas que se transforma funcionalmente bajo cambios de coordenadas. ^[38] Ejemplos de objetos que obedecen a tipos más generales de leyes de transformación son los jets y, de manera más general aún, los fibrados naturales . ^{[39] [40]}

Al cambiar de una base ortonormal (llamada marco ) a otra mediante una rotación, los componentes de un tensor se transforman mediante esa misma rotación. Esta transformación no depende del camino tomado a través del espacio de marcos. Sin embargo, el espacio de marcos no está simplemente conectado (ver el entrelazamiento de orientación y el truco de la placa ): hay caminos continuos en el espacio de marcos con las mismas configuraciones de inicio y fin que no son deformables entre sí. Es posible adjuntar un invariante discreto adicional a cada marco que incorpore esta dependencia del camino, y que resulte (localmente) tener valores de ±1. ^[41] Un espinor es un objeto que se transforma como un tensor bajo rotaciones en el marco, aparte de un posible signo que está determinado por el valor de este invariante discreto. ^{[42] [43]}

Los espinores son elementos de la representación de espín del grupo de rotación, mientras que los tensores son elementos de sus representaciones tensoriales . Otros grupos clásicos tienen representaciones tensoriales y, por lo tanto, también tensores que son compatibles con el grupo, pero todos los grupos clásicos no compactos también tienen representaciones unitarias de dimensión infinita.

• La definición del diccionario de tensor en Wikcionario
• Tipo de datos de matriz , para el almacenamiento y manipulación de tensores

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