Producto tensorial de módulos

En matemáticas , el producto tensorial de módulos es una construcción que permite que los argumentos sobre aplicaciones bilineales (por ejemplo, la multiplicación) se lleven a cabo en términos de aplicaciones lineales . La construcción del módulo es análoga a la construcción del producto tensorial de espacios vectoriales , pero se puede llevar a cabo para un par de módulos sobre un anillo conmutativo que resulte en un tercer módulo, y también para un par de un módulo derecho y un módulo izquierdo sobre cualquier anillo , con resultado un grupo abeliano . Los productos tensoriales son importantes en áreas de álgebra abstracta , álgebra homológica , topología algebraica , geometría algebraica , álgebras de operadores y geometría no conmutativa . La propiedad universal del producto tensorial de espacios vectoriales se extiende a situaciones más generales en álgebra abstracta. El producto tensorial de un álgebra y un módulo se puede utilizar para la extensión de escalares . Para un anillo conmutativo, el producto tensorial de los módulos se puede iterar para formar el álgebra tensorial de un módulo, lo que permite definir la multiplicación en el módulo de una manera universal.

Para un anillo R , un módulo R derecho M , un módulo R izquierdo N y un grupo abeliano G , se dice que una función φ : M × N → G está R -equilibrada , R -lineal media o un producto R -equilibrado si para todos los m , m ′ en M , n , n ′ en N y r en R se cumple lo siguiente: ^{[1] : 126}$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (m,n+n')&=\varphi (m,n)+\varphi (m,n')&&{\text{Dl}}_{\varphi} \\\varphi (m+m',n)&=\varphi (m,n)+\varphi (m',n)&&{\text{Dr}}_{\varphi }\\\varphi (m\ cdot r,n)&=\varphi (m,r\cdot n)&&{\text{A}}_{\varphi }\\\end{alineado}}}$$

El conjunto de todos estos productos equilibrados sobre R desde M × N hasta G se denota por L _R ( M , N ; G ) .

Si φ , ψ son productos balanceados, entonces cada una de las operaciones φ + ψ y − φ definidas puntualmente es un producto balanceado. Esto convierte al conjunto L _R ( M , N ; G ) en un grupo abeliano.

Para M y N fijos, la función G ↦ L _R ( M , N ; G ) es un funtor de la categoría de grupos abelianos a sí misma. La parte morfista se da mediante la función de un homomorfismo de grupo g  : G → G ′ a la función φ ↦ g ∘ φ , que va de L _R ( M , N ; G ) a L _R ( M , N ; G ′) .

Observaciones

1. Las propiedades (Dl) y (Dr) expresan biaditividad de φ , que puede considerarse como distributividad de φ sobre la adición.
2. La propiedad (A) se asemeja a alguna propiedad asociativa de φ .
3. Cada anillo R es un R - bimódulo . Por lo tanto, la multiplicación de anillos ( r , r ′) ↦ r ⋅ r ′ en R es un producto R -balanceado R × R → R .

Para un anillo R , un R -módulo derecho M , un R -módulo izquierdo N , el producto tensorial sobre R es un grupo abeliano junto con un producto equilibrado (como se definió anteriormente) que es universal en el siguiente sentido: ^[2]$${\displaystyle M\o veces _{R}N}$$$${\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N}$$

Para cada grupo abeliano G y cada producto balanceado existe un único homomorfismo de grupo tal que$${\displaystyle f:M\veces N\a G}$$$${\displaystyle {\tilde {f}}:M\o veces _{R}N\to G}$$$${\displaystyle {\tilde {f}}\circ \otimes =f.}$$

Como ocurre con todas las propiedades universales , la propiedad anterior define el producto tensorial de forma única hasta un isomorfismo único: cualquier otro grupo abeliano y producto equilibrado con las mismas propiedades será isomorfo a M ⊗ _R N y ⊗. De hecho, la aplicación ⊗ se denomina canónica , o más explícitamente: la aplicación canónica (o producto equilibrado) del producto tensorial. ^[3]

La definición no prueba la existencia de M ⊗ _R N ; véase más abajo una construcción.

El producto tensorial también puede definirse como un objeto representativo del funtor G → L _R ( M , N ; G ) ; explícitamente, esto significa que hay un isomorfismo natural :$${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(M\otimes _{R}N,G)\simeq \operatorname {L} _{R}(M,N;G)\\g\mapsto g\circ \otimes \end{cases}}}$$

Esta es una forma sucinta de enunciar la propiedad de aplicación universal dada anteriormente. (Si a priori se nos da este isomorfismo natural, entonces se puede recuperar tomando y luego aplicando la función identidad).${\displaystyle \otimes}$${\displaystyle G=M\o veces _{R}N}$

De manera similar, dada la identificación natural ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {L} _{R}(M,N;G)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(N,G))}$ , ^[4] también se puede definir M ⊗ _R N mediante la fórmula$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(M\otimes _{R}N,G)\simeq \operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(N,G)).}$$

Esto se conoce como la adjunción tensor-hom ; ver también § Propiedades.

Para cada x en M , y en N , se escribe

para la imagen de ( x , y ) bajo la función canónica ⁠ ⁠${\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N}$ . A menudo se le llama tensor puro . Estrictamente hablando, la notación correcta sería x ⊗ _R y pero es convencional eliminar R aquí. Entonces, inmediatamente a partir de la definición, hay relaciones:

La propiedad universal de un producto tensorial tiene la siguiente consecuencia importante:

Demostración: Para el primer enunciado, sea L el subgrupo de generado por elementos de la forma en cuestión, y q la función cociente de Q . Tenemos: así como ⁠ ⁠ . Por lo tanto, por la parte de unicidad de la propiedad universal, q = 0. El segundo enunciado es porque para definir un homomorfismo de módulo , basta definirlo en el conjunto generador del módulo.${\displaystyle M\o veces _{R}N}$${\displaystyle Q=(M\o veces _{R}N)/L}$${\displaystyle 0=q\circ \otimes }$${\displaystyle 0=0\circ \otimes }$${\displaystyle \cuadrado}$

En la práctica, a veces es más difícil demostrar que un producto tensorial de R -módulos es distinto de cero que demostrar que es 0. La propiedad universal proporciona una forma conveniente de comprobar esto. ${\displaystyle M\o veces _{R}N}$

Para comprobar que un producto tensorial es distinto de cero, se puede construir una función R -bilineal en un grupo abeliano tal que ⁠ ⁠ . Esto funciona porque si ⁠ ⁠ , entonces ⁠ ⁠ .${\displaystyle M\o veces _{R}N}$${\displaystyle f:M\times N\rightarrow G}$${\estilo de visualización G}$${\displaystyle f(m,n)\neq 0}$${\displaystyle m\o veces n=0}$${\displaystyle f(m,n)={\bar {f}}(m\o veces n)={\bar {(f)}}(0)=0}$

Por ejemplo, para ver que ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \otimes _ {Z}\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ , es distinto de cero, tome como y ⁠ ⁠ . Esto dice que los tensores puros siempre que sea distinto de cero en ⁠ ⁠ .${\estilo de visualización G}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$${\displaystyle (m,n)\mapsto mn}$${\displaystyle m\o veces n\neq 0}$${\estilo de visualización mn}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

La proposición dice que se puede trabajar con elementos explícitos de los productos tensoriales en lugar de invocar la propiedad universal directamente cada vez. Esto es muy conveniente en la práctica. Por ejemplo, si R es conmutativo y las acciones izquierda y derecha de R sobre los módulos se consideran equivalentes, entonces se puede proporcionar naturalmente con la multiplicación R -escalar extendiendo al todo por la proposición anterior (estrictamente hablando, lo que se necesita es una estructura bimodular, no conmutatividad; vea un párrafo más abajo). Equipado con esta estructura R -modular, se satisface una propiedad universal similar a la anterior: para cualquier R -módulo G , hay un isomorfismo natural:${\displaystyle M\o veces _{R}N}$$${\displaystyle r\cdot (x\otimes y):=(r\cdot x)\otimes y=x\otimes (r\cdot y)}$$${\displaystyle M\o veces _{R}N}$${\displaystyle M\o veces _{R}N}$$${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Hom} _{R}(M\otimes _{R}N,G)\simeq \{R{\text{-aplicaciones bilineales}}M\times N\to G\},\\g\mapsto g\circ \otimes \end{cases}}}$$

Si R no es necesariamente conmutativo pero si M tiene una acción izquierda por un anillo S (por ejemplo, R ), entonces se le puede dar la estructura del módulo S izquierdo, como se muestra arriba, mediante la fórmula${\displaystyle M\o veces _{R}N}$$${\displaystyle s\cdot (x\o veces y):=(s\cdot x)\o veces y.}$$

De manera análoga, si N tiene una acción derecha por un anillo S , entonces se convierte en un S -módulo derecho.${\displaystyle M\o veces _{R}N}$

Dados los mapas lineales de módulos derechos sobre un anillo R y de módulos izquierdos, existe un homomorfismo de grupo único${\displaystyle f:M\to M'}$${\displaystyle g:N\to N'}$$${\displaystyle {\begin{cases}f\otimes g:M\otimes _{R}N\to M'\otimes _{R}N'\\x\otimes y\mapsto f(x)\otimes g(y)\end{cases}}}$$

La construcción tiene como consecuencia que el tensado es un funtor: cada R -módulo derecho M determina el funtor de la categoría de módulos izquierdos a la categoría de grupos abelianos que envía N a M ⊗ N y un homomorfismo de módulo f al homomorfismo de grupo 1 ⊗ f .$${\displaystyle M\otimes _{R}-:R{\text{-Mod}}\longrightarrow {\text{Ab}}}$$

Si es un homomorfismo de anillo y si M es un S -módulo derecho y N un S -módulo izquierdo, entonces existe el homomorfismo sobreyectivo canónico : inducido por ^[5]${\displaystyle f:R\to S}$$${\displaystyle M\o veces _{R}N\to M\o veces _{S}N}$$$${\displaystyle M\times N{\overset {\otimes _{S}}{\longrightarrow }}M\otimes _{S}N.}$$

La función resultante es sobreyectiva, ya que los tensores puros x ⊗ y generan el módulo completo. En particular, si tomamos R como , se muestra que cada producto tensorial de módulos es un cociente de un producto tensorial de grupos abelianos.${\displaystyle \mathbb {Z}}$

(Esta sección necesita ser actualizada. Por ahora, consulte § Propiedades para una discusión más general).

Es posible extender la definición a un producto tensorial de cualquier número de módulos sobre el mismo anillo conmutativo. Por ejemplo, la propiedad universal de

¿Es que cada mapa trilineal en

corresponde a un mapa lineal único

El producto tensorial binario es asociativo: ( M ₁ ⊗ M ₂ ) ⊗ M ₃ es naturalmente isomorfo a M ₁ ⊗ ( M ₂ ⊗ M ₃ ). El producto tensorial de tres módulos definidos por la propiedad universal de las funciones trilineales es isomorfo a ambos productos tensoriales iterados.

Sean R ₁ , R ₂ , R ₃ , R anillos, no necesariamente conmutativos.

• Para un bimódulo R ₁ - R ₂ - M ₁₂ y un módulo R _{2 izquierdo} M ₂₀ , es un módulo R ₁ izquierdo . ${\displaystyle M_{12}\otimes _{R_{2}}M_{20}}$
• Para un R ₂ -módulo recto M ₀₂ y un R ₂ - R ₃ -bimódulo M ₂₃ , es un R ₃ -módulo recto.${\displaystyle M_{02}\otimes _{R_{2}}M_{23}}$
• (asociatividad) Para un R ₁ -módulo derecho M ₀₁ , un R ₁ - R ₂ -bimódulo M ₁₂ , y un R ₂ -módulo izquierdo M ₂₀ tenemos: ^[6] $${\displaystyle \left(M_{01}\otimes _{R_{1}}M_{12}\right)\otimes _{R_{2}}M_{20}=M_{01}\otimes _{R_{1}}\left(M_{12}\otimes _{R_{2}}M_{20}\right).}$$
• Como R es un bimódulo R - R , tenemos la multiplicación del anillo como su producto balanceado canónico.${\displaystyle R\otimes _{R}R=R}$${\displaystyle mn=:m\otimes _{R}n}$

Sea R un anillo conmutativo y M , N y P R - módulos . Entonces

Identidad

$${\displaystyle R\otimes _{R}M=M.}$$

Asociatividad

$${\displaystyle (M\otimes _{R}N)\otimes _{R}P=M\otimes _{R}(N\otimes _{R}P).}$$ Las tres primeras propiedades (más las identidades sobre morfismos) dicen que la categoría de R -módulos, con R conmutativo, forma una categoría monoidal simétrica . Por lo tanto, está bien definida.${\displaystyle M\otimes _{R}N\otimes _{R}P}$

Simetría

$${\displaystyle M\otimes _{R}N=N\otimes _{R}M.}$$De hecho, para cualquier permutación σ del conjunto {1, ..., n }, existe un isomorfismo único:$${\displaystyle {\begin{cases}M_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}M_{n}\longrightarrow M_{\sigma (1)}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}M_{\sigma (n)}\\x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{n}\longmapsto x_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes x_{\sigma (n)}\end{cases}}}$$

Distribución sobre sumas directas

$${\displaystyle M\otimes _{R}(N\oplus P)=(M\otimes _{R}N)\oplus (M\otimes _{R}P).}$$De hecho, para un conjunto de índices I de cardinalidad arbitraria . Como los productos finitos coinciden con sumas directas finitas, esto implica:$${\displaystyle M\otimes _{R}\left(\bigoplus \nolimits _{i\in I}N_{i}\right)=\bigoplus \nolimits _{i\in I}\left(M\otimes _{R}N_{i}\right),}$$

• Distribución sobre productos finitos

  Para cualquier número finito de ,${\displaystyle N_{i}}$$${\displaystyle M\otimes _{R}\prod _{i=1}^{n}N_{i}=\prod _{i=1}^{n}M\otimes _{R}N_{i}.}$$

Extensión de base

Si S es una R -álgebra, se escribe , ^[7] cf. § Extensión de escalares. Un corolario es:${\displaystyle -_{S}=S\otimes _{R}-}$$${\displaystyle (M\otimes _{R}N)_{S}=M_{S}\otimes _{S}N_{S};}$$

• Distribución sobre localización

  Para cualquier subconjunto S de R cerrado multiplicativamente , como un módulo. Como es una R -álgebra y , este es un caso especial de:$${\displaystyle S^{-1}(M\otimes _{R}N)=S^{-1}M\otimes _{S^{-1}R}S^{-1}N}$$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle S^{-1}-=S^{-1}R\otimes _{R}-}$

Conmutación con límites directos

Para cualquier sistema directo de R -módulos M _i ,$${\displaystyle (\varinjlim M_{i})\otimes _{R}N=\varinjlim (M_{i}\otimes _{R}N).}$$

Adición

$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M\otimes _{R}N,P)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{R}(N,P)){\text{.}}}$$ Un corolario es:

• Exacción correcta

  Si es una secuencia exacta de R -módulos, entonces es una secuencia exacta de R -módulos, donde$${\displaystyle 0\to N'{\overset {f}{\to }}N{\overset {g}{\to }}N''\to 0}$$$${\displaystyle M\otimes _{R}N'{\overset {1\otimes f}{\to }}M\otimes _{R}N{\overset {1\otimes g}{\to }}M\otimes _{R}N''\to 0}$$${\displaystyle (1\otimes f)(x\otimes y)=x\otimes f(y).}$

Relación tensor-hom

Existe una función R -lineal canónica: que es un isomorfismo si M o P es un módulo proyectivo finitamente generado (véase § Como funciones que preservan la linealidad para el caso no conmutativo); ^[8] de manera más general, existe una función R -lineal canónica: que es un isomorfismo si o es un par de módulos proyectivos finitamente generados.$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)\otimes P\to \operatorname {Hom} _{R}(M,N\otimes P),}$$$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)\otimes \operatorname {Hom} _{R}(M',N')\to \operatorname {Hom} _{R}(M\otimes M',N\otimes N')}$$${\displaystyle (M,N)}$${\displaystyle (M,M')}$

Para dar un ejemplo práctico, supongamos que M , N son módulos libres con bases y . Entonces M es la suma directa y lo mismo para N . Por la propiedad distributiva, se tiene: es decir, son la base R de . Incluso si M no es libre, se puede utilizar una presentación libre de M para calcular productos tensoriales.${\displaystyle e_{i},i\in I}$${\displaystyle f_{j},j\in J}$ ${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}Re_{i}}$$${\displaystyle M\otimes _{R}N=\bigoplus _{i,j}R(e_{i}\otimes f_{j});}$$${\displaystyle e_{i}\otimes f_{j},\,i\in I,j\in J}$${\displaystyle M\otimes _{R}N}$

El producto tensorial, en general, no conmuta con el límite inverso : por un lado, (cf. "ejemplos"). Por otro lado, donde son el anillo de números enteros p-ádicos y el cuerpo de números p-ádicos . Véase también " entero profinito " para un ejemplo con un espíritu similar.$${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /p^{n}=0}$$$${\displaystyle \left(\varprojlim \mathbb {Z} /p^{n}\right)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Z} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Z} _{p}\left[p^{-1}\right]=\mathbb {Q} _{p}}$$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},\mathbb {Q} _{p}}$

Si R no es conmutativo, el orden de los productos tensoriales podría importar de la siguiente manera: "usamos" la acción derecha de M y la acción izquierda de N para formar el producto tensorial ⁠ ⁠${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ ; en particular, ni siquiera estaría definido. Si M , N son bimódulos, entonces la acción izquierda viene de la acción izquierda de M y la acción derecha viene de la acción derecha de N ; esas acciones no necesitan ser las mismas que las acciones izquierda y derecha de ⁠ ⁠ .${\displaystyle N\otimes _{R}M}$${\displaystyle M\otimes _{R}N}$${\displaystyle N\otimes _{R}M}$

La asociatividad se cumple de forma más general para anillos no conmutativos: si M es un módulo R derecho, N un módulo ( R , S ) y P un módulo S izquierdo , entonces es un grupo abeliano.$${\displaystyle (M\otimes _{R}N)\otimes _{S}P=M\otimes _{R}(N\otimes _{S}P)}$$

La forma general de la relación adjunta de productos tensoriales dice: si R no es necesariamente conmutativo, M es un R -módulo recto, N es un ( R , S )-módulo, P es un S -módulo recto, entonces como grupo abeliano ^[9] donde está dado por ⁠ ⁠ .$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(M\otimes _{R}N,P)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{S}(N,P)),\,f\mapsto f'}$$${\displaystyle f'}$${\displaystyle f'(x)(y)=f(x\otimes y)}$

Sea R un dominio integral con cuerpo fraccionario K.

• Para cualquier R -módulo M , como R -módulos, donde es el submódulo de torsión de M .${\displaystyle K\otimes _{R}M\cong K\otimes _{R}(M/M_{\operatorname {tor} })}$${\displaystyle M_{\operatorname {tor} }}$
• Si M es un módulo R de torsión entonces y si M no es un módulo de torsión entonces ⁠ ⁠ .${\displaystyle K\otimes _{R}M=0}$${\displaystyle K\otimes _{R}M\neq 0}$
• Si N es un submódulo de M tal que es un módulo de torsión entonces como R son módulos por ⁠ ⁠ .${\displaystyle M/N}$${\displaystyle K\otimes _{R}N\cong K\otimes _{R}M}$${\displaystyle x\otimes n\mapsto x\otimes n}$
• En ⁠ ⁠${\displaystyle K\otimes _{R}M}$ , si y solo si o ⁠ ⁠ . En particular, donde ⁠ ⁠ .${\displaystyle x\otimes m=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle m\in M_{\operatorname {tor} }}$${\displaystyle M_{\operatorname {tor} }=\operatorname {ker} (M\to K\otimes _{R}M)}$${\displaystyle m\mapsto 1\otimes m}$
• ${\displaystyle K\otimes _{R}M\cong M_{(0)}}$donde es la localización del módulo en el ideal primo (es decir, la localización con respecto a los elementos distintos de cero).${\displaystyle M_{(0)}}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle (0)}$

La relación adjunta en la forma general tiene un caso especial importante: para cualquier R -álgebra S , M un R -módulo recto , P un S -módulo recto , usando ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(S,-)=-}$ , tenemos el isomorfismo natural:$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(M\otimes _{R}S,P)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Res} _{R}(P)).}$$

Esto dice que el funtor es un adjunto izquierdo del funtor olvidadizo ⁠ ⁠ , que restringe una S -acción a una R -acción. Debido a esto, a menudo se le llama la extensión de escalares de R a S . En la teoría de la representación , cuando R , S son álgebras de grupo, la relación anterior se convierte en la reciprocidad de Frobenius .${\displaystyle -\otimes _{R}S}$${\displaystyle \operatorname {Res} _{R}}$${\displaystyle -\otimes _{R}S}$

• ⁠ ⁠${\displaystyle R^{n}\otimes _{R}S=S^{n}}$ , para cualquier R -álgebra S (es decir, un módulo libre permanece libre después de extender escalares).
• Para un anillo conmutativo y un R -álgebra conmutativa S , tenemos: de hecho, de manera más general, donde es un ideal.${\displaystyle R}$$${\displaystyle S\otimes _{R}R[x_{1},\dots ,x_{n}]=S[x_{1},\dots ,x_{n}];}$$$${\displaystyle S\otimes _{R}(R[x_{1},\dots ,x_{n}]/I)=S[x_{1},\dots ,x_{n}]/IS[x_{1},\dots ,x_{n}],}$$${\displaystyle I}$
• Usando ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}$ , el ejemplo anterior y el teorema del resto chino , tenemos como anillos Esto da un ejemplo cuando un producto tensorial es un producto directo .$${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =\mathbb {C} [x]/(x^{2}+1)=\mathbb {C} [x]/(x+i)\times \mathbb {C} [x]/(x-i)=\mathbb {C} ^{2}.}$$
• ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} [i]=\mathbb {R} [i]=\mathbb {C} }$ .

La estructura de un producto tensorial de módulos bastante ordinarios puede ser impredecible.

Sea G un grupo abeliano en el que cada elemento tiene orden finito (es decir, G es un grupo abeliano de torsión ; por ejemplo, G puede ser un grupo abeliano finito o ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ). Entonces: ^[10]$${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }G=0.}$$

De hecho, cualquiera es de la forma${\displaystyle x\in \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }G}$$${\displaystyle x=\sum _{i}r_{i}\otimes g_{i},\qquad r_{i}\in \mathbb {Q} ,g_{i}\in G.}$$

Si es del orden de ⁠ ⁠ , entonces calculamos:${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle g_{i}}$$${\displaystyle x=\sum (r_{i}/n_{i})n_{i}\otimes g_{i}=\sum r_{i}/n_{i}\otimes n_{i}g_{i}=0.}$$

De manera similar, se ve$${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} /\mathbb {Z} =0.}$$

A continuación se presentan algunas identidades útiles para el cálculo: Sea R un anillo conmutativo, I , J ideales, M , N R -módulos. Entonces

1. ⁠ ⁠${\displaystyle R/I\otimes _{R}M=M/IM}$ . Si M es plana , ⁠ ⁠${\displaystyle IM=I\otimes _{R}M}$ . ^{[prueba 1]}
2. ${\displaystyle M/IM\otimes _{R/I}N/IN=M\otimes _{R}N\otimes _{R}R/I}$(porque la tensación conmuta con las extensiones de base)
3. ⁠ ⁠${\displaystyle R/I\otimes _{R}R/J=R/(I+J)}$ . ^{[prueba 2]}

Ejemplo: Si G es un grupo abeliano, ⁠ ⁠${\displaystyle G\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /n=G/nG}$ ; esto se deduce de 1.

Ejemplo: ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} /n\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /m=\mathbb {Z} /{\gcd(n,m)}}$ ; esto se deduce de 3. En particular, para números primos distintos p , q ,$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \otimes \mathbb {Z} /q\mathbb {Z} =0.}$$

Los productos tensoriales se pueden aplicar para controlar el orden de los elementos de los grupos. Sea G un grupo abeliano. Entonces los múltiplos de 2 en son cero.$${\displaystyle G\otimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$$

Ejemplo: Sea el grupo de raíces n -ésimas de la unidad. Es un grupo cíclico y los grupos cíclicos se clasifican por órdenes. Por lo tanto, de manera no canónica, y por lo tanto, cuando g es el mcd de n y m ,${\displaystyle \mu _{n}}$${\displaystyle \mu _{n}\approx \mathbb {Z} /n}$$${\displaystyle \mu _{n}\otimes _{\mathbb {Z} }\mu _{m}\approx \mu _{g}.}$$

Ejemplo: Consideremos ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$ . Como se obtiene de imponiendo -linealidad en el medio, tenemos la sobreyección cuyo núcleo se genera por elementos de la forma donde r , s , x , u son números enteros y s no es cero. Dado que el núcleo en realidad se anula; por lo tanto, ⁠ ⁠ .${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$$${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} }$$${\displaystyle {r \over s}x\otimes y-x\otimes {r \over s}y}$$${\displaystyle {r \over s}x\otimes y={r \over s}x\otimes {s \over s}y=x\otimes {r \over s}y,}$$${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} }$

Sin embargo, considere y ⁠ ⁠ . Como espacio vectorial, tiene dimensión 4, pero tiene dimensión 2. ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} }$

Por lo tanto, y no son isomorfos. ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} }$

Ejemplo: Proponemos comparar y ⁠ ⁠ . Como en el ejemplo anterior, tenemos: como grupo abeliano y por lo tanto como ⁠ ⁠ -espacio vectorial (cualquier función -lineal entre -espacios vectoriales es -lineal). Como -espacio vectorial, tiene dimensión (cardinalidad de una base) de continuo . Por lo tanto, tiene una -base indexada por un producto de continuos; por lo tanto, su -dimensión es continuo. Por lo tanto, por razones de dimensión, hay un isomorfismo no canónico de -espacios vectoriales:${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} =\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$$${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} \approx \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} .}$$

Consideremos los módulos de polinomios irreducibles tales que ⁠ ⁠ . Entonces,${\displaystyle M=\mathbb {C} [x,y,z]/(f),N=\mathbb {C} [x,y,z]/(g)}$${\displaystyle f,g\in \mathbb {C} [x,y,z]}$${\displaystyle \gcd(f,g)=1}$$${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(f)}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y,z]}{\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(g)}}\cong {\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(f,g)}}}$$

Otra familia útil de ejemplos proviene del cambio de los escalares. Observe que$${\displaystyle {\frac {\mathbb {Z} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}\otimes _{\mathbb {Z} }R\cong {\frac {R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}}$$

Buenos ejemplos de este fenómeno que vale la pena observar son cuando ⁠ ⁠${\displaystyle R=\mathbb {Q} ,\mathbb {C} ,\mathbb {Z} /(p^{k}),\mathbb {Z} _{p},\mathbb {Q} _{p}}$ .

La construcción de M ⊗ N toma un cociente de un grupo abeliano libre con base en los símbolos m ∗ n , usados ​​aquí para denotar el par ordenado ( m , n ) , para m en M y n en N por el subgrupo generado por todos los elementos de la forma

1. − m ∗ ( n + n ′) + m ∗ n + m ∗ n ′
2. −( m + m ′) ∗ n + m ∗ n + m ′ ∗ n
3. ( m · r ) ∗ n − m ∗ ( r · n )

donde m , m ′ en M , n , n ′ en N , y r en R . La función cociente que lleva m ∗ n = ( m , n ) a la clase lateral que contiene m ∗ n ; es decir, está balanceada, y el subgrupo ha sido elegido mínimamente para que esta función esté balanceada. La propiedad universal de ⊗ se sigue de las propiedades universales de un grupo abeliano libre y un cociente.$${\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N,\,(m,n)\mapsto [m*n]}$$

Si S es un subanillo de un anillo R , entonces es el grupo cociente de por el subgrupo generado por , donde es la imagen de bajo ⁠ ⁠ . En particular, cualquier producto tensorial de R -módulos puede construirse, si así se desea, como un cociente de un producto tensorial de grupos abelianos imponiendo la propiedad de producto R -balanceado.${\displaystyle M\otimes _{R}N}$${\displaystyle M\otimes _{S}N}$${\displaystyle xr\otimes _{S}y-x\otimes _{S}ry,\,r\in R,x\in M,y\in N}$${\displaystyle x\otimes _{S}y}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{S}N}$

En términos más categoriales, sea σ la acción derecha dada de R sobre M ; es decir, σ( m , r ) = m · r y τ la acción izquierda de R sobre N . Entonces, siempre que el producto tensorial de los grupos abelianos ya esté definido, el producto tensorial de M y N sobre R se puede definir como el coecualizador : donde sin subíndice se refiere al producto tensorial de los grupos abelianos.$${\displaystyle M\otimes R\otimes N{{{} \atop {\overset {\sigma \times 1}{\to }}} \atop {{\underset {1\times \tau }{\to }} \atop {}}}M\otimes N\to M\otimes _{R}N}$$${\displaystyle \otimes }$

En la construcción del producto tensorial sobre un anillo conmutativo R , la estructura R -módulo puede construirse desde el principio formando el cociente de un R -módulo libre por el submódulo generado por los elementos dados anteriormente para la construcción general, aumentado por los elementos r ⋅ ( m ∗ n ) − m ∗ ( r ⋅ n ) . Alternativamente, a la construcción general se le puede dar una estructura Z( R )-módulo definiendo la acción escalar por r ⋅ ( m ⊗ n ) = m ⊗ ( r ⋅ n ) cuando esta está bien definida, que es precisamente cuando r ∈ Z( R ), el centro de R .

El producto directo de M y N rara vez es isomorfo al producto tensorial de M y N. Cuando R no es conmutativo, entonces el producto tensorial requiere que M y N sean módulos en lados opuestos, mientras que el producto directo requiere que sean módulos en el mismo lado. En todos los casos, la única función de M × N a G que es tanto lineal como bilineal es la función cero.

En el caso general, no todas las propiedades de un producto tensorial de espacios vectoriales se extienden a los módulos. Sin embargo, algunas propiedades útiles del producto tensorial, consideradas como homomorfismos de módulos , permanecen.

El módulo dual de un R -módulo derecho E , se define como Hom _R ( E , R ) con la estructura canónica de R -módulo izquierdo, y se denota E ^∗ . ^[11] La estructura canónica son las operaciones puntuales de adición y multiplicación escalar. Por lo tanto, E ^∗ es el conjunto de todos los mapas R -lineales E → R (también llamados formas lineales ), con operaciones El dual de un R -módulo izquierdo se define de forma análoga, con la misma notación.$${\displaystyle (\phi +\psi )(u)=\phi (u)+\psi (u),\quad \phi ,\psi \in E^{*},u\in E}$$$${\displaystyle (r\cdot \phi )(u)=r\cdot \phi (u),\quad \phi \in E^{*},u\in E,r\in R,}$$

Siempre existe un homomorfismo canónico E → E ^∗∗ desde E hasta su segundo dual. Es un isomorfismo si E es un módulo libre de rango finito. En general, se dice que E es un módulo reflexivo si el homomorfismo canónico es un isomorfismo.

Denotamos el emparejamiento natural de su dual E ^∗ y un R -módulo derecho E , o de un R -módulo izquierdo F y su dual F ^∗ como El emparejamiento es R -lineal izquierdo en su argumento izquierdo, y R -lineal derecho en su argumento derecho:$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :E^{*}\times E\to R:(e',e)\mapsto \langle e',e\rangle =e'(e)}$$$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :F\times F^{*}\to R:(f,f')\mapsto \langle f,f'\rangle =f'(f).}$$$${\displaystyle \langle r\cdot g,h\cdot s\rangle =r\cdot \langle g,h\rangle \cdot s,\quad r,s\in R.}$$

En el caso general, cada elemento del producto tensorial de módulos da lugar a una función R -lineal izquierda, a una función R -lineal derecha y a una forma R -bilineal. A diferencia del caso conmutativo, en el caso general el producto tensorial no es un R -módulo y, por lo tanto, no admite la multiplicación escalar.

• Dados R -módulo recto E y R -módulo recto F , existe un homomorfismo canónico θ  : F ⊗ _R E ^∗ → Hom _R ( E , F ) tal que θ ( f ⊗ e ′) es la función e ↦ f ⋅ ⟨ e ′, e ⟩ . ^[12]
• Dado el módulo R izquierdo E y el módulo R derecho F , existe un homomorfismo canónico θ  : F ⊗ _R E → Hom _R ( E ^∗ , F ) tal que θ ( f ⊗ e ) es la función e ′ ↦ f ⋅ ⟨ e , e ′⟩ . ^[13]

Ambos casos son válidos para módulos generales y se convierten en isomorfismos si los módulos E y F se limitan a ser módulos proyectivos finitamente generados (en particular, módulos libres de rangos finitos). Por lo tanto, un elemento de un producto tensorial de módulos sobre un anillo R se aplica canónicamente a una función R -lineal, aunque, como ocurre con los espacios vectoriales, se aplican restricciones a los módulos para que esto sea equivalente al espacio completo de dichas funciones lineales.

• Dado un R -módulo derecho E y un R -módulo izquierdo F , existe un homomorfismo canónico θ  : F ^∗ ⊗ _R E ^∗ → L _R ( F × E , R ) tal que θ ( f ′ ⊗ e ′) es la función ( f , e ) ↦ ⟨ f , f ′⟩ ⋅ ⟨ e ′, e ⟩ . ^{[ cita requerida ]} Por lo tanto, se puede pensar que un elemento de un producto tensorial ξ ∈ F ^∗ ⊗ _R E ^∗ da lugar a o actúa como una función R -bilineal F × E → R .

Sea R un anillo conmutativo y E un R -módulo. Entonces existe una función R -lineal canónica: inducida a través de la linealidad por ⁠ ⁠ ; es la única función R -lineal correspondiente al apareamiento natural.$${\displaystyle E^{*}\otimes _{R}E\to R}$$${\displaystyle \phi \otimes x\mapsto \phi (x)}$

Si E es un módulo R proyectivo finitamente generado , entonces se puede identificar a través del homomorfismo canónico mencionado anteriormente y luego lo anterior es el mapa de trazas :${\displaystyle E^{*}\otimes _{R}E=\operatorname {End} _{R}(E)}$$${\displaystyle \operatorname {tr} :\operatorname {End} _{R}(E)\to R.}$$

Cuando R es un campo, este es el rastro habitual de una transformación lineal.

El ejemplo más destacado de un producto tensorial de módulos en geometría diferencial es el producto tensorial de los espacios de campos vectoriales y formas diferenciales. Más precisamente, si R es el anillo (conmutativo) de funciones suaves en una variedad suave M , entonces se pone donde Γ significa el espacio de secciones y el superíndice significa tensorizar p veces sobre R . Por definición, un elemento de es un campo tensorial de tipo ( p , q ).$${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{q}^{p}=\Gamma (M,TM)^{\otimes p}\otimes _{R}\Gamma (M,T^{*}M)^{\otimes q}}$$${\displaystyle \otimes p}$${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{q}^{p}}$

Como R -módulos, es el módulo dual de ⁠ ⁠ . ^[14]${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{p}^{q}}$${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{q}^{p}}$

Para aligerar la notación, ponga y así ⁠ ⁠ . ^[15] Cuando p , q ≥ 1, para cada ( k , l ) con 1 ≤ k ≤ p , 1 ≤ l ≤ q , hay una función R -multilineal: donde significa y el sombrero significa que se omite un término. Por la propiedad universal, corresponde a una función R -lineal única:${\displaystyle E=\Gamma (M,TM)}$${\displaystyle E^{*}=\Gamma (M,T^{*}M)}$$${\displaystyle E^{p}\times {E^{*}}^{q}\to {\mathfrak {T}}_{q-1}^{p-1},\,(X_{1},\dots ,X_{p},\omega _{1},\dots ,\omega _{q})\mapsto \langle X_{k},\omega _{l}\rangle X_{1}\otimes \cdots \otimes {\widehat {X_{l}}}\otimes \cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots {\widehat {\omega _{l}}}\otimes \cdots \otimes \omega _{q}}$$${\displaystyle E^{p}}$${\displaystyle \prod _{1}^{p}E}$$${\displaystyle C_{l}^{k}:{\mathfrak {T}}_{q}^{p}\to {\mathfrak {T}}_{q-1}^{p-1}.}$$

Se llama contracción de tensores en el índice ( k , l ). Desenrollando lo que dice la propiedad universal se ve:$${\displaystyle C_{l}^{k}(X_{1}\otimes \cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots \otimes \omega _{q})=\langle X_{k},\omega _{l}\rangle X_{1}\otimes \cdots {\widehat {X_{l}}}\cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots {\widehat {\omega _{l}}}\cdots \otimes \omega _{q}.}$$

Observación : La discusión precedente es habitual en los libros de texto sobre geometría diferencial (por ejemplo, Helgason). En cierto modo, la construcción basada en la teoría de haces (es decir, el lenguaje de haces de módulos ) es más natural y cada vez más común; para ello, véase la sección § Producto tensorial de haces de módulos.

En general, es un bifunctor que acepta un par de módulos R derecho e izquierdo como entrada, y los asigna al producto tensorial en la categoría de grupos abelianos .$${\displaystyle -\otimes _{R}-:{\text{Mod-}}R\times R{\text{-Mod}}\longrightarrow \mathrm {Ab} }$$

Al fijar un módulo R derecho M , surge un funtor , y simétricamente se podría fijar un módulo R izquierdo N para crear un funtor.$${\displaystyle M\otimes _{R}-:R{\text{-Mod}}\longrightarrow \mathrm {Ab} }$$$${\displaystyle -\otimes _{R}N:{\text{Mod-}}R\longrightarrow \mathrm {Ab} .}$$

A diferencia del bifunctor Hom, el functor tensorial es covariante en ambas entradas.${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(-,-),}$

Se puede demostrar que y son siempre funtores exactos por la derecha , pero no necesariamente exactos por la izquierda ( ⁠ ⁠ , donde la primera función es la multiplicación por ⁠ ⁠ , es exacta pero no después de tomar el tensor con ). Por definición, un módulo T es un módulo plano si es un funtor exacto.${\displaystyle M\otimes _{R}-}$${\displaystyle -\otimes _{R}N}$${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} _{n}\to 0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$${\displaystyle T\otimes _{R}-}$

Si y son conjuntos generadores para M y N , respectivamente, entonces será un conjunto generador para Debido a que el funtor tensorial a veces no logra ser exacto a la izquierda, este puede no ser un conjunto generador mínimo, incluso si los conjuntos generadores originales son mínimos. Si M es un módulo plano , el funtor es exacto por la propia definición de un módulo plano. Si los productos tensoriales se toman sobre un cuerpo F , estamos en el caso de espacios vectoriales como el anterior. Dado que todos los módulos F son planos, el bifuntor es exacto en ambas posiciones y los dos conjuntos generadores dados son bases, entonces de hecho forma una base para ⁠ ⁠ .${\displaystyle \{m_{i}\mid i\in I\}}$${\displaystyle \{n_{j}\mid j\in J\}}$${\displaystyle \{m_{i}\otimes n_{j}\mid i\in I,j\in J\}}$${\displaystyle M\otimes _{R}N.}$${\displaystyle M\otimes _{R}-}$${\displaystyle M\otimes _{R}-}$ ${\displaystyle -\otimes _{R}-}$${\displaystyle \{m_{i}\otimes n_{j}\mid i\in I,j\in J\}}$${\displaystyle M\otimes _{F}N}$

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Si S y T son R -álgebras conmutativas, entonces, de manera similar a #Para módulos equivalentes, S ⊗ _R T también será una R -álgebra conmutativa, con la función de multiplicación definida por ( m ₁ ⊗ m ₂ ) ( n ₁ ⊗ n ₂ ) = ( m ₁ n ₁ ⊗ m ₂ n ₂ ) y extendida por linealidad. En este contexto, el producto tensorial se convierte en un coproducto fibroso en la categoría de R -álgebras conmutativas . (Pero no es un coproducto en la categoría de R -álgebras).

Si M y N son ambos módulos R sobre un anillo conmutativo, entonces su producto tensorial es nuevamente un módulo R. Si R es un anillo, _RM es un módulo R izquierdo y el conmutador

de cualesquiera dos elementos r y s de R está en el aniquilador de M , entonces podemos convertir a M en un módulo R derecho estableciendo

La acción de R sobre los factores M se produce a través de la acción de un anillo conmutativo cociente. En este caso, el producto tensorial de M consigo mismo sobre R es nuevamente un módulo R. Esta es una técnica muy común en álgebra conmutativa.

Si X , Y son complejos de R -módulos ( R es un anillo conmutativo), entonces su producto tensorial es el complejo dado por con la diferencial dada por: para x en X _{i e} y en Y j _, [ ^16]$${\displaystyle (X\otimes _{R}Y)_{n}=\sum _{i+j=n}X_{i}\otimes _{R}Y_{j},}$$$${\displaystyle d_{X\otimes Y}(x\otimes y)=d_{X}(x)\otimes y+(-1)^{i}x\otimes d_{Y}(y).}$$

Por ejemplo, si C es un complejo de cadena de grupos abelianos planos y si G es un grupo abeliano, entonces el grupo de homología de es el grupo de homología de C con coeficientes en G (ver también: teorema del coeficiente universal ).${\displaystyle C\otimes _{\mathbb {Z} }G}$

El producto tensorial de haces de módulos es el haz asociado al pre-haz de los productos tensoriales de los módulos de secciones sobre subconjuntos abiertos.

En esta configuración, por ejemplo, se puede definir un campo tensorial en una variedad suave M como una sección (global o local) del producto tensorial (llamado fibrado tensorial ) donde O es el haz de anillos de funciones suaves en M y los fibrados se ven como haces localmente libres en M. ^[17]$${\displaystyle (TM)^{\otimes p}\otimes _{O}(T^{*}M)^{\otimes q}}$$${\displaystyle TM,T^{*}M}$

El fibrado exterior en M es el subfibrado del fibrado tensorial que consta de todos los tensores covariantes antisimétricos. Las secciones del fibrado exterior son formas diferenciales en M.

Un caso importante en el que se forma un producto tensorial sobre un haz de anillos no conmutativos aparece en la teoría de D -módulos ; es decir, productos tensoriales sobre el haz de operadores diferenciales .

• Función Tor
• Producto tensorial de álgebras
• Producto tensorial de campos
• Producto tensorial derivado

• Bourbaki, Álgebra
• Helgason, Sigurdur (1978), Geometría diferencial, grupos de Lie y espacios simétricos , Academic Press, ISBN 0-12-338460-5
• Northcott, DG (1984), Álgebra multilineal , Cambridge University Press, ISBN 613-0-04808-4.
• Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Álgebras, anillos y módulos , Springer, ISBN 978-1-4020-2690-4.
• May, Peter (1999). Un curso conciso de topología algebraica (PDF) . University of Chicago Press.