Serie de potencias formales

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En matemáticas , una serie formal es una suma infinita que se considera independientemente de cualquier noción de convergencia , y puede manipularse con las operaciones algebraicas habituales sobre series (suma, resta, multiplicación, división, sumas parciales , etc.).

Una serie de potencias formales es un tipo especial de serie formal, de la forma

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots ,}$

donde los denominados coeficientes , son números o, más generalmente, elementos de algún anillo , y las son potencias formales del símbolo que se denomina indeterminado o, comúnmente, variable . Por lo tanto, las series de potencias pueden considerarse como una generalización de polinomios donde se permite que el número de términos sea infinito, y difieren de las series de potencias habituales por la ausencia de requisitos de convergencia, lo que implica que una serie de potencias puede no representar una función de su variable. Las series de potencias formales están en correspondencia uno a uno con sus secuencias de coeficientes, pero no deben confundirse los dos conceptos, ya que las operaciones que se pueden aplicar son diferentes.${\displaystyle a_{n},}$${\displaystyle x^{n}}$${\displaystyle x}$

Una serie de potencias formales con coeficientes en un anillo se denomina serie de potencias formales sobre Las series de potencias formales sobre un anillo forman un anillo, comúnmente denotado por (Puede verse como la compleción ( x ) -ádica del anillo polinomial de la misma manera que los números enteros p -ádicos son la compleción p -ádica del anillo de los números enteros).${\displaystyle R}$${\displaystyle R.}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R[[x]].}$ ${\displaystyle R[x],}$

Las series de potencias formales en varias indeterminadas se definen de manera similar reemplazando las potencias de una sola indeterminada por monomios en varias indeterminadas.

Las series de potencias formales se utilizan ampliamente en combinatoria para representar secuencias de números enteros como funciones generadoras . En este contexto, una relación de recurrencia entre los elementos de una secuencia puede interpretarse a menudo como una ecuación diferencial que satisface la función generadora. Esto permite utilizar métodos de análisis complejo para problemas combinatorios (véase combinatoria analítica ).

Una serie de potencias formales puede considerarse vagamente como un objeto similar a un polinomio , pero con una cantidad infinita de términos. Alternativamente, para aquellos familiarizados con las series de potencias (o series de Taylor ), se puede pensar en una serie de potencias formales como una serie de potencias en la que ignoramos las cuestiones de convergencia al no suponer que la variable X denota cualquier valor numérico (ni siquiera un valor desconocido). Por ejemplo, considere la serie

${\displaystyle A=1-3X+5X^{2}-7X^{3}+9X^{4}-11X^{5}+\cdots .}$

Si la estudiáramos como una serie de potencias, sus propiedades incluirían, por ejemplo, que su radio de convergencia es 1 por el teorema de Cauchy-Hadamard . Sin embargo, como una serie de potencias formal, podemos ignorar esto por completo; todo lo que es relevante es la secuencia de coeficientes [1, −3, 5, −7, 9, −11, ...]. En otras palabras, una serie de potencias formal es un objeto que simplemente registra una secuencia de coeficientes. Es perfectamente aceptable considerar una serie de potencias formales con los factoriales [1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, ... ] como coeficientes, aunque la serie de potencias correspondiente diverja para cualquier valor distinto de cero de X.

El álgebra sobre series de potencias formales se lleva a cabo simplemente suponiendo que las series son polinomios. Por ejemplo, si

${\displaystyle B=2X+4X^{3}+6X^{5}+\cdots ,}$

Luego sumamos A y B término por término:

${\displaystyle A+B=1-X+5X^{2}-3X^{3}+9X^{4}-5X^{5}+\cdots .}$

Podemos multiplicar series de potencias formales, nuevamente simplemente tratándolas como polinomios (ver en particular el producto de Cauchy ):

${\displaystyle AB=2X-6X^{2}+14X^{3}-26X^{4}+44X^{5}+\cdots .}$

Nótese que cada coeficiente del producto AB sólo depende de un número finito de coeficientes de A y B. Por ejemplo, el término X ⁵ está dado por

${\displaystyle 44X^{5}=(1\times 6X^{5})+(5X^{2}\times 4X^{3})+(9X^{4}\times 2X).}$

Por esta razón, uno puede multiplicar series de potencias formales sin preocuparse por las cuestiones usuales de convergencia absoluta , condicional y uniforme que surgen al tratar con series de potencias en el contexto del análisis .

Una vez que hemos definido la multiplicación para series de potencias formales, podemos definir los inversos multiplicativos de la siguiente manera. El inverso multiplicativo de una serie de potencias formales A es una serie de potencias formales C tal que AC = 1, siempre que exista dicha serie de potencias formales. Resulta que si A tiene un inverso multiplicativo, es único y lo denotamos por A ⁻¹ . Ahora podemos definir la división de series de potencias formales definiendo B / A como el producto BA ⁻¹ , siempre que exista el inverso de A. Por ejemplo, se puede utilizar la definición de multiplicación anterior para verificar la fórmula conocida

${\displaystyle {\frac {1}{1+X}}=1-X+X^{2}-X^{3}+X^{4}-X^{5}+\cdots .}$

Una operación importante en las series de potencias formales es la extracción de coeficientes. En su forma más básica, el operador de extracción de coeficientes aplicado a una serie de potencias formales en una variable extrae el coeficiente de la potencia n de la variable, de modo que y . Otros ejemplos incluyen${\displaystyle [X^{n}]}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle [X^{2}]A=5}$${\displaystyle [X^{5}]A=-11}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[X^{3}\right](B)&=4,\\\left[X^{2}\right](X+3X^{2}Y^{3}+10Y^{6})&=3Y^{3},\\\left[X^{2}Y^{3}\right](X+3X^{2}Y^{3}+10Y^{6})&=3,\\\left[X^{n}\right]\left({\frac {1}{1+X}}\right)&=(-1)^{n},\\\left[X^{n}\right]\left({\frac {X}{(1-X)^{2}}}\right)&=n.\end{aligned}}}$

De manera similar, muchas otras operaciones que se llevan a cabo con polinomios pueden extenderse al contexto de la serie de potencias formal, como se explica a continuación.

Si se considera el conjunto de todas las series de potencias formales en X con coeficientes en un anillo conmutativo R , los elementos de este conjunto constituyen colectivamente otro anillo que se escribe y se llama anillo de series de potencias formales en la variable  X sobre R .${\displaystyle R[[X]],}$

Se puede caracterizar de manera abstracta como la compleción del anillo polinómico equipado con una métrica particular . Esto automáticamente da la estructura de un anillo topológico (e incluso de un espacio métrico completo). Pero la construcción general de una compleción de un espacio métrico es más compleja de lo que se necesita aquí, y haría que las series de potencias formales parezcan más complicadas de lo que son. Es posible describir de manera más explícita y definir la estructura del anillo y la estructura topológica por separado, de la siguiente manera.${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle R[X]}$${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle R[[X]]}$

Como conjunto, se puede construir como el conjunto de todas las sucesiones infinitas de elementos de , indexados por los números naturales (incluido el 0). Para designar una sucesión cuyo término en el índice es , se define la adición de dos de esas sucesiones como${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle R}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle (a_{n})}$

${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }+(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(a_{n}+b_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$

y multiplicación por

${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\times (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)_{\!n\in \mathbb {N} }.}$

Este tipo de producto se denomina producto de Cauchy de las dos sucesiones de coeficientes, y es una especie de convolución discreta . Con estas operaciones, se obtiene un anillo conmutativo con elemento cero e identidad multiplicativa .${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle (0,0,0,\ldots )}$${\displaystyle (1,0,0,\ldots )}$

El producto es, de hecho, el mismo que se utiliza para definir el producto de polinomios en un indeterminado, lo que sugiere utilizar una notación similar. Se incorpora en enviando cualquier (constante) a la secuencia y se designa la secuencia por ; luego, utilizando las definiciones anteriores, cada secuencia con solo un número finito de términos distintos de cero se puede expresar en términos de estos elementos especiales como${\displaystyle R}$${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle a\in R}$${\displaystyle (a,0,0,\ldots )}$${\displaystyle (0,1,0,0,\ldots )}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},0,0,\ldots )=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i};}$

Estos son precisamente los polinomios en . Dado esto, es bastante natural y conveniente designar una sucesión general mediante la expresión formal , aunque esta última no sea una expresión formada por las operaciones de adición y multiplicación definidas anteriormente (a partir de las cuales solo se pueden construir sumas finitas). Esta convención de notación permite reformular las definiciones anteriores como${\displaystyle X}$${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \textstyle \sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}}$

${\displaystyle \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)+\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{i\in \mathbb {N} }(a_{i}+b_{i})X^{i}}$

y

${\displaystyle \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)\times \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)X^{n}.}$

lo cual es bastante conveniente, pero hay que tener en cuenta la distinción entre la suma formal (una mera convención) y la adición real.

Habiendo estipulado convencionalmente que

${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i},}$

( 1 )

Se desea interpretar el lado derecho como una suma infinita bien definida. Para ello, se define una noción de convergencia en y se construye una topología en . Existen varias formas equivalentes de definir la topología deseada.${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$

• Podemos dar la topología del producto , donde a cada copia de se le da la topología discreta .${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle R}$
• Podemos dar la topología I-ádica , donde es el ideal generado por , que consiste en todas las secuencias cuyo primer término es cero.${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle I=(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle a_{0}}$
• La topología deseada también podría derivarse de la siguiente métrica . La distancia entre secuencias distintas se define como donde es el número natural más pequeño tal que ; la distancia entre dos secuencias iguales es, por supuesto, cero.${\displaystyle (a_{n}),(b_{n})\in R^{\mathbb {N} },}$$${\displaystyle d((a_{n}),(b_{n}))=2^{-k},}$$${\displaystyle k}$${\displaystyle a_{k}\neq b_{k}}$

De manera informal, dos secuencias y se acercan cada vez más si y solo si cada vez más de sus términos concuerdan exactamente. Formalmente, la secuencia de sumas parciales de alguna suma infinita converge si para cada potencia fija del coeficiente se estabiliza: hay un punto más allá del cual todas las sumas parciales posteriores tienen el mismo coeficiente. Este es claramente el caso para el lado derecho de ( 1 ), independientemente de los valores , ya que la inclusión del término para da el último (y de hecho único) cambio en el coeficiente de . También es obvio que el límite de la secuencia de sumas parciales es igual al lado izquierdo.${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle (b_{n})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle i=n}$${\displaystyle X^{n}}$

Esta estructura topológica, junto con las operaciones de anillo descritas anteriormente, forman un anillo topológico. Esto se llama el anillo de la serie de potencias formales sobre${\displaystyle R}$ y se denota por . La topología tiene la propiedad útil de que una suma infinita converge si y solo si la secuencia de sus términos converge a 0, lo que simplemente significa que cualquier potencia fija de ocurre solo en un número finito de términos.${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle X}$

La estructura topológica permite un uso mucho más flexible de sumas infinitas. Por ejemplo, la regla de multiplicación se puede reformular simplemente como

${\displaystyle \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)\times \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{i,j\in \mathbb {N} }a_{i}b_{j}X^{i+j},}$

ya que solo un número finito de términos a la derecha afectan a cualquier fijo . Los productos infinitos también están definidos por la estructura topológica; se puede ver que un producto infinito converge si y solo si la secuencia de sus factores converge a 1 (en cuyo caso el producto es distinto de cero) o infinitos factores no tienen un término constante (en cuyo caso el producto es cero).${\displaystyle X^{n}}$

La topología anterior es la mejor topología para la que

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i}}$

siempre converge como sumatoria a la serie de potencias formales designada por la misma expresión, y a menudo basta para dar un significado a sumas y productos infinitos, u otros tipos de límites que se deseen utilizar para designar series de potencias formales particulares. Sin embargo, puede ocurrir ocasionalmente que se desee utilizar una topología más burda, de modo que ciertas expresiones se vuelvan convergentes cuando de otro modo divergirían. Esto se aplica en particular cuando el anillo base ya viene con una topología distinta a la discreta, por ejemplo si también es un anillo de series de potencias formales.${\displaystyle R}$

En el anillo de series de potencias formales , la topología de la construcción anterior solo se relaciona con lo indeterminado , ya que la topología que se puso fue reemplazada por la topología discreta al definir la topología de todo el anillo. Por lo tanto${\displaystyle \mathbb {Z} [[X]][[Y]]}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbb {Z} [[X]]}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }XY^{i}}$

converge (y su suma puede escribirse como ); sin embargo${\displaystyle {\tfrac {X}{1-Y}}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }X^{i}Y}$

se consideraría divergente, ya que cada término afecta al coeficiente de . Esta asimetría desaparece si al anillo de series de potencias en se le da la topología de producto donde a cada copia de se le da su topología como un anillo de series de potencias formales en lugar de la topología discreta. Con esta topología, una secuencia de elementos de converge si el coeficiente de cada potencia de converge a una serie de potencias formales en , una condición más débil que la estabilización completa. Por ejemplo, con esta topología, en el segundo ejemplo dado anteriormente, el coeficiente de converge a , por lo que toda la suma converge a .${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbb {Z} [[X]]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [[X]][[Y]]}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\tfrac {1}{1-X}}}$${\displaystyle {\tfrac {Y}{1-X}}}$

Esta forma de definir la topología es, de hecho, la estándar para construcciones repetidas de anillos de series de potencias formales, y da la misma topología que se obtendría tomando series de potencias formales en todos los indeterminados a la vez. En el ejemplo anterior, eso significaría construir y aquí una secuencia converge si y solo si el coeficiente de cada monomio se estabiliza. Esta topología, que también es la topología -ádica, donde es el ideal generado por y , todavía disfruta de la propiedad de que una suma converge si y solo si sus términos tienden a 0.${\displaystyle \mathbb {Z} [[X,Y]]}$${\displaystyle X^{i}Y^{j}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I=(X,Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

El mismo principio podría utilizarse para hacer converger otros límites divergentes. Por ejemplo, en el límite${\displaystyle \mathbb {R} [[X]]}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {X}{n}}\right)^{\!n}}$

no existe, por lo que en particular no converge a

${\displaystyle \exp(X)=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {X^{n}}{n!}}.}$

Esto se debe a que el coeficiente de no se estabiliza como . Sin embargo, converge en la topología habitual de , y de hecho al coeficiente de . Por lo tanto, si se diera la topología del producto de donde la topología de es la topología habitual en lugar de la discreta, entonces el límite anterior convergería a . Sin embargo, este enfoque más permisivo no es el estándar cuando se consideran series de potencias formales, ya que conduciría a consideraciones de convergencia que son tan sutiles como lo son en el análisis , mientras que la filosofía de las series de potencias formales es, por el contrario, hacer que las cuestiones de convergencia sean lo más triviales posible. Con esta topología no se daría el caso de que una suma converge si y solo si sus términos tienden a 0.${\displaystyle i\geq 2}$${\displaystyle {\tbinom {n}{i}}/n^{i}}$${\displaystyle X^{i}}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\tfrac {1}{i!}}}$${\displaystyle \exp(X)}$${\displaystyle \mathbb {R} [[X]]}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \exp(X)}$

El anillo puede caracterizarse por la siguiente propiedad universal . Si es un álgebra asociativa conmutativa sobre , si es un ideal de tal que la topología -ádica sobre es completa, y si es un elemento de , entonces existe un único con las siguientes propiedades:${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle S}$${\displaystyle I}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \Phi :R[[X]]\to S}$

• ${\displaystyle \Phi }$es un homomorfismo de -álgebra${\displaystyle R}$
• ${\displaystyle \Phi }$es continuo
• ${\displaystyle \Phi (X)=x}$.

Se pueden realizar operaciones algebraicas en series de potencias para generar nuevas series de potencias. ^{[1] [2]} Además de las operaciones de estructura de anillo definidas anteriormente, tenemos las siguientes.

Para cualquier número natural n , la n- ésima potencia de una serie de potencias formal S se define recursivamente por$${\displaystyle {\begin{aligned}S^{1}&=S\\S^{n}&=S\cdot S^{n-1}\quad {\text{for }}n>1.\end{aligned}}}$$

Si m y a ₀ son invertibles en el anillo de coeficientes, se puede demostrar ^{[3] [4] [5] [a]} donde En el caso de series de potencias formales con coeficientes complejos, las potencias complejas están bien definidas para series f con término constante igual a 1 . En este caso, se puede definir ya sea por composición con la serie binomial (1+ x ) ^α , o por composición con la serie exponencial y la logarítmica, o como la solución de la ecuación diferencial (en términos de la serie) con término constante 1; las tres definiciones son equivalentes. Las reglas del cálculo y se siguen fácilmente.$${\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}X^{k}\right)^{\!n}=\,\sum _{m=0}^{\infty }c_{m}X^{m},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&=a_{0}^{n},\\c_{m}&={\frac {1}{ma_{0}}}\sum _{k=1}^{m}(kn-m+k)a_{k}c_{m-k},\ \ \ m\geq 1.\end{aligned}}}$$${\displaystyle f^{\alpha }}$ ${\displaystyle f^{\alpha }=\exp(\alpha \log(f)),}$${\displaystyle f(f^{\alpha })'=\alpha f^{\alpha }f'}$${\displaystyle (f^{\alpha })^{\beta }=f^{\alpha \beta }}$${\displaystyle f^{\alpha }g^{\alpha }=(fg)^{\alpha }}$

La serie

${\displaystyle A=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}\in R[[X]]}$

es invertible en si y sólo si su coeficiente constante es invertible en . Esta condición es necesaria por la siguiente razón: si suponemos que tiene una inversa entonces el término constante de es el término constante de la serie identidad, es decir es 1. Esta condición también es suficiente; podemos calcular los coeficientes de la serie inversa mediante la fórmula recursiva explícita${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B=b_{0}+b_{1}x+\cdots }$ ${\displaystyle a_{0}b_{0}}$${\displaystyle A\cdot B}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{0}&={\frac {1}{a_{0}}},\\b_{n}&=-{\frac {1}{a_{0}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i},\ \ \ n\geq 1.\end{aligned}}}$

Un caso especial importante es que la fórmula de la serie geométrica es válida en :${\displaystyle R[[X]]}$

${\displaystyle (1-X)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }X^{n}.}$

Si es un cuerpo, entonces una serie es invertible si y solo si el término constante es distinto de cero, es decir, si y solo si la serie no es divisible por . Esto significa que es un anillo de valoración discreto con parámetro uniformizador .${\displaystyle R=K}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K[[X]]}$${\displaystyle X}$

El cálculo de un cociente${\displaystyle f/g=h}$

${\displaystyle {\frac {\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n},}$

suponiendo que el denominador es invertible (es decir, es invertible en el anillo de escalares), se puede realizar como un producto y la inversa de , o igualando directamente los coeficientes en :${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f=gh}$

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{a_{0}}}\left(b_{n}-\sum _{k=1}^{n}a_{k}c_{n-k}\right).}$

El operador de extracción de coeficientes aplicado a una serie de potencias formales

${\displaystyle f(X)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}}$

En X se escribe

${\displaystyle \left[X^{m}\right]f(X)}$

y extrae el coeficiente de X ^m , de modo que

${\displaystyle \left[X^{m}\right]f(X)=\left[X^{m}\right]\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}=a_{m}.}$

Dadas dos series de potencias formales

${\displaystyle f(X)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}X^{n}=a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots }$

${\displaystyle g(X)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n}=b_{0}+b_{1}X+b_{2}X^{2}+\cdots }$

de tal manera que se pueda formar la composición${\displaystyle a_{0}=0,}$

${\displaystyle g(f(X))=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(f(X))^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n},}$

donde los coeficientes c _n se determinan "expandiendo" las potencias de f ( X ):

${\displaystyle c_{n}:=\sum _{k\in \mathbb {N} ,|j|=n}b_{k}a_{j_{1}}a_{j_{2}}\cdots a_{j_{k}}.}$

Aquí la suma se extiende sobre todos ( k , j ) con y con${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$${\displaystyle j\in \mathbb {N} _{+}^{k}}$${\displaystyle |j|:=j_{1}+\cdots +j_{k}=n.}$

Dado que se debe tener y para cada Esto implica que la suma anterior es finita y que el coeficiente es el coeficiente de en el polinomio , donde y son los polinomios obtenidos al truncar la serie en es decir, al eliminar todos los términos que involucran una potencia mayor que${\displaystyle a_{0}=0,}$${\displaystyle k\leq n}$${\displaystyle j_{i}\leq n}$${\displaystyle i.}$${\displaystyle c_{n}}$${\displaystyle X^{n}}$${\displaystyle g_{n}(f_{n}(X))}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle g_{n}}$${\displaystyle x^{n},}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n.}$

La fórmula de Faà di Bruno proporciona una descripción más explícita de estos coeficientes , al menos en el caso en que el anillo de coeficientes es un campo de característica 0 .

La composición sólo es válida cuando no tiene un término constante , de modo que cada uno depende sólo de un número finito de coeficientes de y . En otras palabras, la serie para converge en la topología de .${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle c_{n}}$${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle g(X)}$${\displaystyle g(f(X))}$${\displaystyle R[[X]]}$

Supongamos que el anillo tiene característica 0 y los enteros distintos de cero son invertibles en . Si se denota por la serie de potencias formal${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \exp(X)}$

${\displaystyle \exp(X)=1+X+{\frac {X^{2}}{2!}}+{\frac {X^{3}}{3!}}+{\frac {X^{4}}{4!}}+\cdots ,}$

entonces la igualdad

${\displaystyle \exp(\exp(X)-1)=1+X+X^{2}+{\frac {5X^{3}}{6}}+{\frac {5X^{4}}{8}}+\cdots }$

tiene todo el sentido como una serie de potencia formal, ya que el coeficiente constante de es cero.${\displaystyle \exp(X)-1}$

Siempre que una serie formal

${\displaystyle f(X)=\sum _{k}f_{k}X^{k}\in R[[X]]}$

tiene f ₀ = 0 y f ₁ siendo un elemento invertible de R , existe una serie

${\displaystyle g(X)=\sum _{k}g_{k}X^{k}}$

que es la composición inversa de , lo que significa que al componer con se obtiene la serie que representa la función identidad . Los coeficientes de se pueden encontrar recursivamente utilizando la fórmula anterior para los coeficientes de una composición, equiparándolos con los de la identidad de composición X (es decir, 1 en el grado 1 y 0 en cada grado mayor que 1). En el caso en que el anillo de coeficientes sea un campo de característica 0, la fórmula de inversión de Lagrange (que se analiza a continuación) proporciona una herramienta poderosa para calcular los coeficientes de g , así como los coeficientes de las potencias (multiplicativas) de g .${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x=0+1x+0x^{2}+0x^{3}+\cdots }$${\displaystyle g}$

Dada una serie de potencias formales

${\displaystyle f=\sum _{n\geq 0}a_{n}X^{n}\in R[[X]],}$

definimos su derivada formal , denotada Df o f ′, por

${\displaystyle Df=f'=\sum _{n\geq 1}a_{n}nX^{n-1}.}$

El símbolo D se denomina operador de diferenciación formal . Esta definición simplemente imita la diferenciación término por término de un polinomio.

Esta operación es R - lineal :

${\displaystyle D(af+bg)=a\cdot Df+b\cdot Dg}$

Para cualquier a , b en R y cualquier f , g en Además, la derivada formal tiene muchas de las propiedades de la derivada habitual del cálculo. Por ejemplo, la regla del producto es válida:${\displaystyle R[[X]].}$

${\displaystyle D(fg)\ =\ f\cdot (Dg)+(Df)\cdot g,}$

Y la regla de la cadena también funciona:

${\displaystyle D(f\circ g)=(Df\circ g)\cdot Dg,}$

siempre que se definan las composiciones apropiadas de las series (ver más arriba en composición de las series).

Por lo tanto, en estos aspectos las series de potencias formales se comportan como series de Taylor . De hecho, para la f definida anteriormente, encontramos que

${\displaystyle (D^{k}f)(0)=k!a_{k},}$

donde D ^k denota la k- ésima derivada formal (es decir, el resultado de diferenciar formalmente k veces).

Si es un anillo con característica cero y los enteros distintos de cero son invertibles en , entonces dada una serie de potencias formal${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle f=\sum _{n\geq 0}a_{n}X^{n}\in R[[X]],}$

definimos su antiderivada formal o integral indefinida formal por

${\displaystyle D^{-1}f=\int f\ dX=C+\sum _{n\geq 0}a_{n}{\frac {X^{n+1}}{n+1}}.}$

para cualquier constante .${\displaystyle C\in R}$

Esta operación es R - lineal :

${\displaystyle D^{-1}(af+bg)=a\cdot D^{-1}f+b\cdot D^{-1}g}$

Para cualquier a , b en R y cualquier f , g en Además, la antiderivada formal tiene muchas de las propiedades de la antiderivada habitual del cálculo. Por ejemplo, la antiderivada formal es la inversa derecha de la derivada formal:${\displaystyle R[[X]].}$

${\displaystyle D(D^{-1}(f))=f}$

Para cualquier .${\displaystyle f\in R[[X]]}$

${\displaystyle R[[X]]}$es un álgebra asociativa sobre la cual contiene el anillo de polinomios sobre ; los polinomios corresponden a las secuencias que terminan en ceros.${\displaystyle R}$${\displaystyle R[X]}$${\displaystyle R}$

El radical de Jacobson de es el ideal generado por y el radical de Jacobson de ; esto está implícito en el criterio de invertibilidad de elementos analizado anteriormente.${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$

Los ideales máximos de todos surgen de los de la siguiente manera: un ideal de es máximo si y sólo si es un ideal máximo de y es generado como un ideal por y .${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle M\cap R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M\cap R}$

Varias propiedades algebraicas de son heredadas por :${\displaystyle R}$${\displaystyle R[[X]]}$

• si es un anillo local , entonces también lo es (con el conjunto de no unidades el único ideal maximalista),${\displaystyle R}$${\displaystyle R[[X]]}$
• Si es noetheriano , entonces también lo es (una versión del teorema de la base de Hilbert ),${\displaystyle R}$${\displaystyle R[[X]]}$
• Si es un dominio integral , entonces también lo es , y${\displaystyle R}$${\displaystyle R[[X]]}$
• Si es un campo , entonces es un anillo de valoración discreto .${\displaystyle K}$${\displaystyle K[[X]]}$

El espacio métrico está completo .${\displaystyle (R[[X]],d)}$

El anillo es compacto si y sólo si R es finito . Esto se desprende del teorema de Tichonoff y de la caracterización de la topología como topología producto.${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle R[[X]]}$

El anillo de series de potencias formales con coeficientes en un anillo local completo satisface el teorema de preparación de Weierstrass .

Las series de potencias formales se pueden utilizar para resolver recurrencias que se dan en la teoría de números y la combinatoria. Para ver un ejemplo que implica encontrar una expresión en forma cerrada para los números de Fibonacci , consulte el artículo Ejemplos de funciones generadoras .

Se pueden utilizar series de potencias formales para demostrar varias relaciones conocidas a partir del análisis en un contexto puramente algebraico. Consideremos, por ejemplo, los siguientes elementos de :${\displaystyle \mathbb {Q} [[X]]}$

${\displaystyle \sin(X):=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}X^{2n+1}}$

${\displaystyle \cos(X):=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}X^{2n}}$

Entonces se puede demostrar que

${\displaystyle \sin ^{2}(X)+\cos ^{2}(X)=1,}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial X}}\sin(X)=\cos(X),}$

${\displaystyle \sin(X+Y)=\sin(X)\cos(Y)+\cos(X)\sin(Y).}$

El último siendo válido en el ring.${\displaystyle \mathbb {Q} [[X,Y]].}$

Para un campo K , el anillo se utiliza a menudo como el anillo local completo "estándar, más general" sobre K en álgebra.${\displaystyle K[[X_{1},\ldots ,X_{r}]]}$

Mathematical analysis → Complex analysis
Complex analysis
Complex numbers
Real number Imaginary number Complex plane Complex conjugate Unit complex number
Complex functions
Complex-valued function Analytic function Holomorphic function Cauchy–Riemann equations Formal power series
Basic theory
Zeros and poles Cauchy's integral theorem Local primitive Cauchy's integral formula Winding number Laurent series Isolated singularity Residue theorem Argument principle Conformal map Schwarz lemma Harmonic function Laplace's equation
Geometric function theory
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Augustin-Louis Cauchy Leonhard Euler Carl Friedrich Gauss Jacques Hadamard Kiyoshi Oka Bernhard Riemann Karl Weierstrass
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v t e

En análisis matemático , cada serie de potencias convergentes define una función con valores en números reales o complejos . Las series de potencias formales sobre ciertos anillos especiales también pueden interpretarse como funciones, pero hay que tener cuidado con el dominio y el codominio . Sea

${\displaystyle f=\sum a_{n}X^{n}\in R[[X]],}$

y supongamos que es un álgebra asociativa conmutativa sobre , es un ideal en tal que la topología I-ádica en es completa, y es un elemento de . Definir:${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{n\geq 0}a_{n}x^{n}.}$

Se garantiza que esta serie convergerá en dados los supuestos anteriores sobre . Además, tenemos${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$

y

${\displaystyle (fg)(x)=f(x)g(x).}$

A diferencia de lo que ocurre con las funciones auténticas, estas fórmulas no son definiciones, sino que deben demostrarse.

Dado que la topología en es la topología -ádica y es completa, podemos en particular aplicar series de potencias a otras series de potencias, siempre que los argumentos no tengan coeficientes constantes (de modo que pertenezcan al ideal ): , y estén todos bien definidos para cualquier serie de potencias formal${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle (X)}$${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle (X)}$${\displaystyle f(0)}$${\displaystyle f(X^{2}-X)}$${\displaystyle f((1-X)^{-1}-1)}$${\displaystyle f\in R[[X]].}$

Con este formalismo, podemos dar una fórmula explícita para el inverso multiplicativo de una serie de potencias cuyo coeficiente constante es invertible en :${\displaystyle f}$${\displaystyle a=f(0)}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle f^{-1}=\sum _{n\geq 0}a^{-n-1}(a-f)^{n}.}$

Si la serie de potencias formal con está dada implícitamente por la ecuación${\displaystyle g}$${\displaystyle g(0)=0}$

${\displaystyle f(g)=X}$

donde es una serie de potencias conocida con , entonces los coeficientes de se pueden calcular explícitamente utilizando la fórmula de inversión de Lagrange.${\displaystyle f}$${\displaystyle f(0)=0}$${\displaystyle g}$

Las series formales de Laurent sobre un anillo se definen de manera similar a una serie de potencias formales, excepto que también permitimos un número finito de términos de grado negativo. Es decir, son las series que se pueden escribir como${\displaystyle R}$

${\displaystyle f=\sum _{n=N}^{\infty }a_{n}X^{n}}$

para algún entero , de modo que solo hay un número finito de negativos con . (Esto es diferente de la serie de Laurent clásica del análisis complejo ). Para una serie de Laurent formal distinta de cero, el entero mínimo tal que se denomina orden de y se denota (El orden de la serie cero es ).${\displaystyle N}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{n}\neq 0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{n}\neq 0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \operatorname {ord} (f).}$${\displaystyle +\infty }$

Se puede definir la multiplicación de tales series. De hecho, de manera similar a la definición de series de potencias formales, el coeficiente de de dos series con respectivas secuencias de coeficientes y es Esta suma tiene solo un número finito de términos distintos de cero debido a la supuesta desaparición de los coeficientes en índices suficientemente negativos.${\displaystyle X^{k}}$${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle \{b_{n}\}}$$${\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {Z} }a_{i}b_{k-i}.}$$

La serie formal de Laurent forma el anillo de series formales de Laurent sobre , denotada por . ^[b] Es igual a la localización del anillo de series formales de potencias con respecto al conjunto de potencias positivas de . Si es un cuerpo , entonces es de hecho un cuerpo, que alternativamente puede obtenerse como el cuerpo de fracciones del dominio integral .${\displaystyle R}$${\displaystyle R((X))}$${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R=K}$${\displaystyle K((X))}$ ${\displaystyle K[[X]]}$

Al igual que con , el anillo de la serie formal de Laurent puede dotarse de la estructura de un anillo topológico introduciendo la métrica${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle R((X))}$$${\displaystyle d(f,g)=2^{-\operatorname {ord} (f-g)}.}$$

Se puede definir la diferenciación formal para series formales de Laurent de la forma natural (término por término). Precisamente, la derivada formal de la serie formal de Laurent anterior es que es nuevamente una serie formal de Laurent. Si es una serie formal de Laurent no constante y con coeficientes en un cuerpo de característica 0, entonces se tiene Sin embargo, en general este no es el caso ya que el factor para el término de orden más bajo podría ser igual a 0 en .${\displaystyle f}$$${\displaystyle f'=Df=\sum _{n\in \mathbb {Z} }na_{n}X^{n-1},}$$${\displaystyle f}$$${\displaystyle \operatorname {ord} (f')=\operatorname {ord} (f)-1.}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle R}$

Supongamos que es un campo de característica 0. Entonces el mapa${\displaystyle K}$

${\displaystyle D\colon K((X))\to K((X))}$

Lo definido anteriormente es una derivación que satisface${\displaystyle K}$

${\displaystyle \ker D=K}$

${\displaystyle \operatorname {im} D=\left\{f\in K((X)):[X^{-1}]f=0\right\}.}$

Esto último demuestra que el coeficiente de en es de particular interés; se llama residuo formal de y se denota . El mapa${\displaystyle X^{-1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \operatorname {Res} (f)}$

${\displaystyle \operatorname {Res} :K((X))\to K}$

es -lineal, y por la observación anterior se tiene una secuencia exacta${\displaystyle K}$

${\displaystyle 0\to K\to K((X)){\overset {D}{\longrightarrow }}K((X))\;{\overset {\operatorname {Res} }{\longrightarrow }}\;K\to 0.}$

Algunas reglas de cálculo . Como consecuencia bastante directa de la definición anterior y de las reglas de derivación formal, se tiene, para cualquier${\displaystyle f,g\in K((X))}$

1. ${\displaystyle \operatorname {Res} (f')=0;}$
2. ${\displaystyle \operatorname {Res} (fg')=-\operatorname {Res} (f'g);}$
3. ${\displaystyle \operatorname {Res} (f'/f)=\operatorname {ord} (f),\qquad \forall f\neq 0;}$
4. ${\displaystyle \operatorname {Res} \left((g\circ f)f'\right)=\operatorname {ord} (f)\operatorname {Res} (g),}$si${\displaystyle \operatorname {ord} (f)>0;}$
5. ${\displaystyle [X^{n}]f(X)=\operatorname {Res} \left(X^{-n-1}f(X)\right).}$

La propiedad (i) es parte de la secuencia exacta anterior. La propiedad (ii) se sigue de (i) cuando se aplica a . Propiedad (iii): cualquier puede escribirse en la forma , con y : entonces implica que es invertible en donde Propiedad (iv): Dado que podemos escribir con . En consecuencia, y (iv) se sigue de (i) y (iii). La propiedad (v) es clara a partir de la definición.${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f=X^{m}g}$${\displaystyle m=\operatorname {ord} (f)}$${\displaystyle \operatorname {ord} (g)=0}$${\displaystyle f'/f=mX^{-1}+g'/g.}$ ${\displaystyle \operatorname {ord} (g)=0}$${\displaystyle g}$${\displaystyle K[[X]]\subset \operatorname {im} (D)=\ker(\operatorname {Res} ),}$${\displaystyle \operatorname {Res} (f'/f)=m.}$${\displaystyle \operatorname {im} (D)=\ker(\operatorname {Res} ),}$${\displaystyle g=g_{-1}X^{-1}+G',}$${\displaystyle G\in K((X))}$${\displaystyle (g\circ f)f'=g_{-1}f^{-1}f'+(G'\circ f)f'=g_{-1}f'/f+(G\circ f)'}$

Como se mencionó anteriormente, cualquier serie formal con f ₀ = 0 y f ₁ ≠ 0 tiene una composición inversa. La siguiente relación entre los coeficientes de g ⁿ y f ^{− k} se cumple ("${\displaystyle f\in K[[X]]}$${\displaystyle g\in K[[X]].}$Fórmula de inversión de Lagrange "):

${\displaystyle k[X^{k}]g^{n}=n[X^{-n}]f^{-k}.}$

En particular, para n  = 1 y todos los k  ≥ 1,

${\displaystyle [X^{k}]g={\frac {1}{k}}\operatorname {Res} \left(f^{-k}\right).}$

Dado que la prueba de la fórmula de inversión de Lagrange es un cálculo muy breve, vale la pena informarla aquí. Teniendo en cuenta , podemos aplicar las reglas de cálculo anteriores, fundamentalmente la regla (iv) sustituyendo , para obtener:${\displaystyle \operatorname {ord} (f)=1}$${\displaystyle X\rightsquigarrow f(X)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}k[X^{k}]g^{n}&\ {\stackrel {\mathrm {(v)} }{=}}\ k\operatorname {Res} \left(g^{n}X^{-k-1}\right)\ {\stackrel {\mathrm {(iv)} }{=}}\ k\operatorname {Res} \left(X^{n}f^{-k-1}f'\right)\ {\stackrel {\mathrm {chain} }{=}}\ -\operatorname {Res} \left(X^{n}(f^{-k})'\right)\\&\ {\stackrel {\mathrm {(ii)} }{=}}\ \operatorname {Res} \left(\left(X^{n}\right)'f^{-k}\right)\ {\stackrel {\mathrm {chain} }{=}}\ n\operatorname {Res} \left(X^{n-1}f^{-k}\right)\ {\stackrel {\mathrm {(v)} }{=}}\ n[X^{-n}]f^{-k}.\end{aligned}}}$

Generalizaciones. Se puede observar que el cálculo anterior se puede repetir claramente en situaciones más generales que K (( X )): ya está disponible una generalización de la fórmula de inversión de Lagrange que funciona en los módulos donde α es un exponente complejo. En consecuencia, si f y g son como se indica arriba, con , podemos relacionar las potencias complejas de f / X y g / X : precisamente, si α y β son números complejos distintos de cero con suma entera negativa, entonces${\displaystyle \mathbb {C} ((X))}$${\displaystyle X^{\alpha }\mathbb {C} ((X)),}$${\displaystyle f_{1}=g_{1}=1}$${\displaystyle m=-\alpha -\beta \in \mathbb {N} ,}$

${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}[X^{m}]\left({\frac {f}{X}}\right)^{\alpha }=-{\frac {1}{\beta }}[X^{m}]\left({\frac {g}{X}}\right)^{\beta }.}$