3-esfera

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En matemáticas , una hiperesfera , 3-esfera o gloma es un análogo de 4 dimensiones de una esfera , y es la n - esfera tridimensional . En el espacio euclidiano de 4 dimensiones , es el conjunto de puntos equidistantes de un punto central fijo. El interior de una 3-esfera es una 4-bola o gongyl .

Se denomina 3-esfera porque topológicamente, la superficie en sí es tridimensional, aunque esté curvada hacia la cuarta dimensión. Por ejemplo, al viajar sobre una 3-esfera, se puede ir hacia el norte y el sur, el este y el oeste, o a lo largo de un tercer conjunto de puntos cardinales. Esto significa que una 3-esfera es un ejemplo de una 3-variedad .

En coordenadas , una 3-esfera con centro ( C ₀ , C ₁ , C ₂ , C ₃ ) y radio r es el conjunto de todos los puntos ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) en el espacio real de 4 dimensiones ( R ⁴ ) tales que

${\displaystyle \suma _{i=0}^{3}(x_{i}-C_{i})^{2}=(x_{0}-C_{0})^{2}+(x_{1}-C_{1})^{2}+(x_{2}-C_{2})^{2}+(x_{3}-C_{3})^{2}=r^{2}.}$

La 3-esfera centrada en el origen con radio 1 se llama 3-esfera unitaria y generalmente se denota S ³ :

${\displaystyle S^{3}=\left\{(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{4}:x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\right\}.}$

A menudo es conveniente considerar R ⁴ como el espacio con 2 dimensiones complejas ( C ² ) o los cuaterniones ( H ). La unidad 3-esfera viene dada entonces por

${\displaystyle S^{3}=\left\{(z_{1},z_{2})\in \mathbb {C} ^{2}:|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}=1\right\}}$

o

${\displaystyle S^{3}=\left\{q\in \mathbb {H} :\|q\|=1\right\}.}$

Esta descripción de los cuaterniones de norma uno identifica la 3-esfera con los versores en el anillo de división de cuaterniones . Así como el círculo unitario es importante para las coordenadas polares planas , la 3-esfera es importante en la visión polar del 4-espacio involucrado en la multiplicación de cuaterniones. Véase la descomposición polar de un cuaternión para obtener detalles de este desarrollo de la 3-esfera. Esta visión de la 3-esfera es la base para el estudio del espacio elíptico desarrollado por Georges Lemaître . ^[1]

El volumen de la superficie tridimensional de una esfera de radio r es

${\displaystyle SV=2\pi ^{2}r^{3}\,}$

mientras que el hipervolumen de 4 dimensiones (el contenido de la región de 4 dimensiones, o bola, delimitada por la esfera tridimensional) es

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}\pi ^{2}r^{4}.}$

Toda intersección no vacía de una esfera tridimensional con un hiperplano tridimensional es una esfera bidimensional (a menos que el hiperplano sea tangente a la esfera tridimensional, en cuyo caso la intersección es un único punto). A medida que una esfera tridimensional se mueve a través de un hiperplano tridimensional dado, la intersección comienza como un punto, luego se convierte en una esfera bidimensional en crecimiento que alcanza su tamaño máximo cuando el hiperplano corta directamente a través del "ecuador" de la esfera tridimensional. Luego, la esfera bidimensional se encoge nuevamente hasta convertirse en un único punto cuando la esfera tridimensional abandona el hiperplano.

En un hiperplano tridimensional dado, una 3-esfera puede girar alrededor de un "plano ecuatorial" (análogo a una 2-esfera que gira alrededor de un eje central), en cuyo caso parece ser una 2-esfera cuyo tamaño es constante.

Una 3-esfera es una variedad tridimensional compacta , conexa y sin borde. También es simplemente conexa . Esto significa, en sentido amplio, que cualquier bucle o camino circular en la 3-esfera puede encogerse continuamente hasta un punto sin salir de la 3-esfera. La conjetura de Poincaré , demostrada en 2003 por Grigori Perelman , establece que la 3-esfera es la única variedad tridimensional (hasta el homeomorfismo ) con estas propiedades.

La 3-esfera es homeomorfa a la compactificación de un punto de R ³ . En general, cualquier espacio topológico que sea homeomorfo a la 3-esfera se denomina 3-esfera topológica .

Los grupos de homología de la 3-esfera son los siguientes: H ₀ ( S ³ , Z ) y H ₃ ( S ³ , Z ) son ambos cíclicos infinitos , mientras que H _i ( S ³ , Z ) = {} para todos los demás índices i . Cualquier espacio topológico con estos grupos de homología se conoce como 3-esfera de homología . Inicialmente Poincaré conjeturó que todas las 3-esferas de homología son homeomorfas a S ³ , pero luego él mismo construyó una no homeomorfa, ahora conocida como la esfera de homología de Poincaré . Ahora se sabe que existen infinitas esferas de homología. Por ejemplo, un relleno de Dehn con pendiente ⁠1/norte⁠ en cualquier nudo de la 3-esfera se obtiene una esfera de homología; normalmente, estas no son homeomorfas a la 3-esfera.

En cuanto a los grupos de homotopía , tenemos π ₁ ( S ³ ) = π ₂ ( S ³ ) = {} y π ₃ ( S ³ ) es cíclico infinito. Los grupos de homotopía superior ( k ≥ 4 ) son todos abelianos finitos pero por lo demás no siguen un patrón discernible. Para más información, véase grupos de homotopía de esferas .

La 3-esfera es naturalmente una variedad suave , de hecho, una subvariedad cerrada embebida de R ⁴ . La métrica euclidiana en R ⁴ induce una métrica en la 3-esfera dándole la estructura de una variedad de Riemann . Como con todas las esferas, la 3-esfera tiene una curvatura seccional positiva constante igual a ⁠1/r2^​⁠ donde r es el radio.

Gran parte de la interesante geometría de la esfera 3 se debe al hecho de que tiene una estructura de grupo de Lie natural dada por la multiplicación de cuaterniones (ver la sección sobre la estructura de grupo más abajo). Las únicas otras esferas con una estructura de este tipo son la esfera 0 y la esfera 1 (ver el grupo de círculos ).

A diferencia de la 2-esfera, la 3-esfera admite campos vectoriales no nulos ( secciones de su fibrado tangente ). Incluso se pueden encontrar tres campos vectoriales linealmente independientes y no nulos. Estos pueden tomarse como campos vectoriales cualesquiera invariantes por la izquierda que formen una base para el álgebra de Lie de la 3-esfera. Esto implica que la 3-esfera es paralelizable . De ello se deduce que el fibrado tangente de la 3-esfera es trivial . Para una discusión general del número de campos vectoriales lineales independientes en una n -esfera, véase el artículo campos vectoriales en esferas .

Existe una acción interesante del grupo circular T sobre S ³ que le da a la 3-esfera la estructura de un fibrado circular principal conocido como fibrado de Hopf . Si uno piensa en S ³ como un subconjunto de C ² , la acción está dada por

${\displaystyle (z_{1},z_{2})\cdot \lambda =(z_{1}\lambda ,z_{2}\lambda )\quad \forall \lambda \in \mathbb {T} }$.

El espacio de órbitas de esta acción es homeomorfo a la biesfera S ² . Dado que S ³ no es homeomorfo a S ² × S ¹ , el fibrado de Hopf no es trivial.

Existen varias construcciones conocidas de tres esferas. Aquí describimos el pegado de un par de tres esferas y luego la compactación en un punto.

Se puede construir topológicamente una esfera de 3 dimensiones "pegando" los límites de un par de esferas de 3 dimensiones . El límite de una esfera de 3 dimensiones es una esfera de 2 dimensiones, y estas dos esferas de 2 dimensiones deben identificarse. Es decir, imaginemos un par de esferas de 3 dimensiones del mismo tamaño, superpongámoslas de modo que sus límites de esfera de 2 dimensiones coincidan, y dejemos que los pares de puntos coincidentes en el par de esferas de 2 dimensiones sean idénticamente equivalentes entre sí. En analogía con el caso de la esfera de 2 dimensiones (ver más abajo), la superficie de pegado se denomina esfera ecuatorial.

Nótese que los interiores de las 3 bolas no están pegadas entre sí. Una forma de pensar en la cuarta dimensión es como una función continua de valor real de las coordenadas tridimensionales de las 3 bolas, que tal vez se considere como "temperatura". Tomamos la "temperatura" como cero a lo largo de la 2-esfera que se está pegando y dejamos que una de las 3 bolas esté "caliente" y que la otra esté "fría". La 3-bola "caliente" podría considerarse como el "hemisferio superior" y la 3-bola "fría" podría considerarse como el "hemisferio inferior". La temperatura es más alta/más baja en los centros de las dos 3-bolas.

Esta construcción es análoga a la construcción de una esfera de dos caras, realizada pegando los límites de un par de discos. Un disco es una esfera de dos caras y el límite de un disco es un círculo (una esfera de uno caras). Supongamos que un par de discos tienen el mismo diámetro. Superponedlos y pegad los puntos correspondientes en sus límites. De nuevo, podemos pensar en la tercera dimensión como la temperatura. Del mismo modo, podemos inflar la esfera de dos caras, moviendo el par de discos para que se conviertan en los hemisferios norte y sur.

Después de eliminar un único punto de la esfera bidimensional, lo que queda es homeomorfo al plano euclidiano. De la misma manera, al eliminar un único punto de la esfera tridimensional se obtiene un espacio tridimensional. Una forma extremadamente útil de ver esto es mediante la proyección estereográfica . Primero describimos la versión de menor dimensión.

Apoyamos el polo sur de una esfera unitaria de 2 unidades sobre el plano xy en el espacio tridimensional. Asignamos un punto P de la esfera (menos el polo norte N ) al plano enviando P a la intersección de la línea NP con el plano. La proyección estereográfica de una esfera tridimensional (nuevamente eliminando el polo norte) se asigna al espacio tridimensional de la misma manera. (Observe que, dado que la proyección estereográfica es conforme , las esferas redondas se envían a esferas redondas o a planos).

Una forma algo diferente de pensar en la compactificación de un punto es a través del mapa exponencial . Volviendo a nuestra imagen de la unidad de dos esferas situada en el plano euclidiano: considere una geodésica en el plano, basada en el origen, y mapee esta a una geodésica en la dos esferas de la misma longitud, basada en el polo sur. Bajo este mapa, todos los puntos del círculo de radio π se envían al polo norte. Dado que el disco unitario abierto es homeomorfo al plano euclidiano, esto es nuevamente una compactificación de un punto.

El mapa exponencial para la 3-esfera se construye de manera similar; también se puede analizar utilizando el hecho de que la 3-esfera es el grupo de Lie de cuaterniones unitarios.

Las cuatro coordenadas euclidianas para S ³ son redundantes ya que están sujetas a la condición de que x ₀ ² + x ₁ ² + x ₂ ² + x ₃ ² = 1 . Como variedad tridimensional, se debería poder parametrizar S ³ mediante tres coordenadas, de la misma forma que se puede parametrizar la 2-esfera utilizando dos coordenadas (como latitud y longitud ). Debido a la topología no trivial de S ^3, es imposible encontrar un único conjunto de coordenadas que cubra todo el espacio. Al igual que en la 2-esfera, se deben utilizar al menos dos gráficos de coordenadas . A continuación se ofrecen algunas opciones diferentes de coordenadas.

Es conveniente tener algún tipo de coordenadas hiperesféricas en S ³ en analogía con las coordenadas esféricas habituales en S ² . Una de esas opciones —de ninguna manera única— es usar ( ψ , θ , φ ) , donde

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=r\cos \psi \\x_{1}&=r\sin \psi \cos \theta \\x_{2}&=r\sin \psi \sin \theta \cos \varphi \\x_{3}&=r\sin \psi \sin \theta \sin \varphi \end{aligned}}}$

donde ψ y θ van desde 0 hasta π , y φ va desde 0 hasta 2 π . Nótese que, para cualquier valor fijo de ψ , θ y φ parametrizan una 2-esfera de radio , excepto en los casos degenerados, cuando ψ es igual a 0 o π , en cuyo caso describen un punto.${\displaystyle r\sin \psi}$

La métrica redonda de la 3-esfera en estas coordenadas está dada por ^[2]

${\displaystyle ds^{2}=r^{2}\left[d\psi ^{2}+\sin ^{2}\psi \left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right)\right]}$

y el volumen se forma por

${\displaystyle dV=r^{3}\left(\sin ^{2}\psi \,\sin \theta \right)\,d\psi \wedge d\theta \wedge d\varphi .}$

Estas coordenadas tienen una descripción elegante en términos de cuaterniones . Cualquier cuaternión unitario q puede escribirse como un versor :

${\displaystyle q=e^{\tau \psi }=\cos \psi +\tau \sin \psi }$

donde τ es un cuaternión imaginario unitario ; es decir, un cuaternión que satisface τ ² = −1 . Este es el análogo cuaterniónico de la fórmula de Euler . Ahora bien, todos los cuaterniones imaginarios unitarios se encuentran en la 2-esfera unitaria en Im H, por lo que cualquier τ de este tipo puede escribirse:

${\displaystyle \tau =(\cos \theta )i+(\sin \theta \cos \varphi )j+(\sin \theta \sin \varphi )k}$

Con τ en esta forma, el cuaternión unitario q viene dado por

${\displaystyle q=e^{\tau \psi}=x_{0}+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k}$

donde x _0,1,2,3 son como arriba.

Cuando q se utiliza para describir rotaciones espaciales (cf. cuaterniones y rotaciones espaciales ), describe una rotación alrededor de τ a través de un ángulo de 2 ψ .

Para el radio unitario, otra opción de coordenadas hiperesféricas, ( η , ξ ₁ , ξ ₂ ) , hace uso de la incrustación de S ³ en C ² . En coordenadas complejas ( z ₁ , z ₂ ) ∈ C ² escribimos

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}&=e^{i\,\xi _{1}}\sin \eta \\z_{2}&=e^{i\,\xi _{2}}\cos \eta .\end{aligned}}}$

Esto también podría expresarse en R ⁴ como

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=\cos \xi _{1}\sin \eta \\x_{1}&=\sin \xi _{1}\sin \eta \\x_{2}&=\cos \xi _{2}\cos \eta \\x_{3}&=\sin \xi _{2}\cos \eta .\end{aligned}}}$

Aquí η se extiende sobre el rango de 0 a ⁠π/2⁠ , y ξ ₁ y ξ ₂ pueden tomar cualquier valor entre 0 y 2 π . Estas coordenadas son útiles en la descripción de la 3-esfera como el fibrado de Hopf

${\displaystyle S^{1}\to S^{3}\to S^{2}.\,}$

Para cualquier valor fijo de η entre 0 y ⁠π/2⁠ , las coordenadas ( ξ ₁ , ξ ₂ ) parametrizan un toro bidimensional . Los anillos de constantes ξ ₁ y ξ ₂ anteriores forman cuadrículas ortogonales simples en los toros. Ver imagen a la derecha. En los casos degenerados, cuando η es igual a 0 o ⁠π/2⁠ , estas coordenadas describen un círculo .

La métrica redonda de la esfera tridimensional en estas coordenadas viene dada por

${\displaystyle ds^{2}=d\eta ^{2}+\sin ^{2}\eta \,d\xi _{1}^{2}+\cos ^{2}\eta \,d\xi _{2}^{2}}$

y la forma de volumen por

${\displaystyle dV=\sin \eta \cos \eta \,d\eta \wedge d\xi _{1}\wedge d\xi _{2}.}$

Para obtener los círculos entrelazados de la fibración de Hopf , haga una simple sustitución en las ecuaciones anteriores ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}&=e^{i\,(\xi _{1}+\xi _{2})}\sin \eta \\z_{2}&=e^{i\,(\xi _{2}-\xi _{1})}\cos \eta .\end{aligned}}}$

En este caso , η y ξ ₁ especifican cuál es el círculo, y ξ ₂ especifica la posición a lo largo de cada círculo. Un viaje de ida y vuelta (0 a 2 π ) de ξ ₁ o ξ ₂ equivale a un viaje de ida y vuelta del toro en las 2 direcciones respectivas.

Otro conjunto conveniente de coordenadas se puede obtener mediante la proyección estereográfica de S ³ desde un polo sobre el hiperplano ecuatorial correspondiente R ³ . Por ejemplo, si proyectamos desde el punto (−1, 0, 0, 0) podemos escribir un punto p en S ³ como

${\displaystyle p=\left({\frac {1-\|u\|^{2}}{1+\|u\|^{2}}},{\frac {2\mathbf {u} }{1+\|u\|^{2}}}\right)={\frac {1+\mathbf {u} }{1-\mathbf {u} }}}$

donde u = ( u ₁ , u ₂ , u ₃ ) es un vector en R ³ y ‖ u ‖ ² = u ₁ ² + u ₂ ² + u ₃ ² . En la segunda igualdad anterior, hemos identificado p con un cuaternión unitario y u = u ₁ i + u ₂ j + u ₃ k con un cuaternión puro. (Obsérvese que el numerador y el denominador conmutan aquí aunque la multiplicación cuaterniónica generalmente no es conmutativa). La inversa de esta función toma p = ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) en S ³ para

${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {1}{1+x_{0}}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right).}$

También podríamos haber proyectado desde el punto (1, 0, 0, 0) , en cuyo caso el punto p está dado por

${\displaystyle p=\left({\frac {-1+\|v\|^{2}}{1+\|v\|^{2}}},{\frac {2\mathbf {v} }{1+\|v\|^{2}}}\right)={\frac {-1+\mathbf {v} }{1+\mathbf {v} }}}$

donde v = ( v ₁ , v ₂ , v ₃ ) es otro vector en R ³ . La inversa de este mapa lleva p a

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{1-x_{0}}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right).}$

Nótese que las coordenadas u están definidas en todas partes excepto (−1, 0, 0, 0) y las coordenadas v en todas partes excepto (1, 0, 0, 0) . Esto define un atlas en S ³ que consta de dos gráficos de coordenadas o "parches", que juntos cubren todo S ^3. Nótese que la función de transición entre estos dos gráficos en su superposición está dada por

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{\|u\|^{2}}}\mathbf {u} }$

y viceversa.

Cuando se considera como el conjunto de cuaterniones unidad , S ³ hereda una estructura importante, a saber, la de la multiplicación cuaterniónica. Debido a que el conjunto de cuaterniones unidad está cerrado bajo la multiplicación, S ³ asume la estructura de un grupo . Además, dado que la multiplicación cuaterniónica es suave , S ³ puede considerarse como un grupo de Lie real . Es un grupo de Lie compacto , no abeliano , de dimensión 3. Cuando se piensa en S ³ como un grupo de Lie, a menudo se denota Sp(1) o U(1, H ) .

Resulta que las únicas esferas que admiten una estructura de grupo de Lie son S ¹ , considerado como el conjunto de números complejos unitarios , y S ³ , el conjunto de cuaterniones unitarios (el caso degenerado S ⁰ que consiste en los números reales 1 y −1 es también un grupo de Lie, aunque de dimensión 0). Uno podría pensar que S ⁷ , el conjunto de octoniones unitarios , formaría un grupo de Lie, pero esto falla ya que la multiplicación de octoniones no es asociativa . La estructura octoniónica le da a S ⁷ una propiedad importante: paralelizabilidad . Resulta que las únicas esferas que son paralelizables son S ¹ , S ³ y S ⁷ .

Al utilizar una representación matricial de los cuaterniones, H , se obtiene una representación matricial de S ³ . Una opción conveniente la proporcionan las matrices de Pauli :

${\displaystyle x_{1}+x_{2}i+x_{3}j+x_{4}k\mapsto {\begin{pmatrix}\;\;\,x_{1}+ix_{2}&x_{3}+ix_{4}\\-x_{3}+ix_{4}&x_{1}-ix_{2}\end{pmatrix}}.}$

Esta función da un homomorfismo de álgebra inyectiva de H al conjunto de matrices complejas de 2 × 2. Tiene la propiedad de que el valor absoluto de un cuaternión q es igual a la raíz cuadrada del determinante de la imagen matricial de q .

El conjunto de cuaterniones unitarios viene dado entonces por matrices de la forma anterior con determinante unitario. Este subgrupo matricial es precisamente el grupo unitario especial SU(2) . Por tanto, S ³ como grupo de Lie es isomorfo a SU(2) .

Usando nuestras coordenadas de Hopf ( η , ξ ₁ , ξ ₂ ) podemos escribir cualquier elemento de SU(2) en la forma

${\displaystyle {\begin{pmatrix}e^{i\,\xi _{1}}\sin \eta &e^{i\,\xi _{2}}\cos \eta \\-e^{-i\,\xi _{2}}\cos \eta &e^{-i\,\xi _{1}}\sin \eta \end{pmatrix}}.}$

Otra forma de expresar este resultado es si expresamos la representación matricial de un elemento de SU(2) como exponencial de una combinación lineal de las matrices de Pauli. Se ve que un elemento arbitrario U ∈ SU(2) se puede escribir como

${\displaystyle U=\exp \left(\sum _{i=1}^{3}\alpha _{i}J_{i}\right).}$^[4]

La condición de que el determinante de U sea +1 implica que los coeficientes α ₁ están restringidos a estar en una 3-esfera.

En Flatland de Edwin Abbott Abbott , publicada en 1884, y en Sphereland , una secuela de Flatland de Dionys Burger de 1965 , la 3-esfera se denomina superesfera , y la 4-esfera se denomina hiperesfera .

En un artículo publicado en el American Journal of Physics , ^[5] Mark A. Peterson describe tres formas diferentes de visualizar las 3-esferas y señala un lenguaje en La Divina Comedia que sugiere que Dante veía el Universo de la misma manera; Carlo Rovelli apoya la misma idea. ^[6]

En El arte se encuentra con las matemáticas en la cuarta dimensión , ^[7] Stephen L. Lipscomb desarrolla el concepto de las dimensiones de la hiperesfera en relación con el arte, la arquitectura y las matemáticas.

• 1-esfera , 2-esfera , n -esfera
• teseracto , policoron , símplex
• Matrices de Pauli
• Haz de Hopf , esfera de Riemann
• Esfera de Poincaré
• Foliación de reeb
• Toro de Clifford

• Weisstein, Eric W. "Hiperesfera". MathWorld . Nota : Este artículo utiliza un esquema de nombres alternativo para esferas en el que una esfera en un espacio n -dimensional se denomina n -esfera.