Fibración de Hopf

En topología diferencial , la fibración de Hopf (también conocida como fibrado de Hopf o mapa de Hopf ) describe una 3-esfera (una hiperesfera en el espacio de cuatro dimensiones ) en términos de círculos y una esfera ordinaria . Descubierta por Heinz Hopf en 1931, es un influyente ejemplo temprano de un fibrado de fibras . Técnicamente, Hopf encontró una función continua de muchos a uno (o "mapa") de la 3 -esfera sobre la 2 -esfera de modo que cada punto distinto de la 2 -esfera se mapea desde un gran círculo distinto de la 3 -esfera (Hopf 1931). ^[1] Por lo tanto, la 3 -esfera está compuesta de fibras, donde cada fibra es un círculo, uno para cada punto de la 2 -esfera.

Esta estructura de haz de fibras se denota

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}{\xrightarrow {\ p\,}}S^{2},}$

lo que significa que el espacio de fibras S ¹ (un círculo) está incrustado en el espacio total S ³ (la 3 -esfera), y p  :  S ³ → S ² (la función de Hopf) proyecta S ³ sobre el espacio base S ² (la 2 -esfera ordinaria ). La fibración de Hopf, como cualquier fibrado, tiene la importante propiedad de que localmente es un espacio producto . Sin embargo, no es un fibrado trivial , es decir, S ³ no es globalmente un producto de S ² y S ¹ aunque localmente es indistinguible de él.

Esto tiene muchas implicaciones: por ejemplo, la existencia de este fibrado muestra que los grupos de homotopía superior de esferas no son triviales en general. También proporciona un ejemplo básico de un fibrado principal , al identificar la fibra con el grupo de círculos .

La proyección estereográfica de la fibración de Hopf induce una estructura notable en R ³ , en la que todo el espacio tridimensional, excepto el eje z, está lleno de toros anidados hechos de círculos de Villarceau enlazados . Aquí cada fibra se proyecta a un círculo en el espacio (uno de los cuales es una línea, pensada como un "círculo a través del infinito"). Cada toro es la proyección estereográfica de la imagen inversa de un círculo de latitud de la 2 -esfera. (Topológicamente, un toro es el producto de dos círculos). Estos toros se ilustran en las imágenes de la derecha. Cuando R ³ se comprime hasta el límite de una pelota, se pierde algo de estructura geométrica aunque se conserva la estructura topológica (ver Topología y geometría ). Los bucles son homeomorfos a los círculos, aunque no son círculos geométricos .

Existen numerosas generalizaciones de la fibración de Hopf. La esfera unitaria en el espacio de coordenadas complejo C ^{n +1} fibrila naturalmente sobre el espacio proyectivo complejo CP ⁿ con círculos como fibras , y también existen versiones reales , cuaterniónicas ^[2] y octoniónicas de estas fibraciones. En particular, la fibración de Hopf pertenece a una familia de cuatro haces de fibras en los que el espacio total, el espacio base y el espacio de fibras son todos esferas:

${\displaystyle S^{0}\hookrightarrow S^{1}\to S^{1},}$

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}\to S^{2},}$

${\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\to S^{4},}$

${\displaystyle S^{7}\hookrightarrow S^{15}\to S^{8}.}$

Según el teorema de Adams, tales fibraciones sólo pueden ocurrir en estas dimensiones.

Para cualquier número natural n , una esfera n -dimensional, o n-esfera , puede definirse como el conjunto de puntos en un espacio -dimensional que están a una distancia fija de un punto central . Para ser más concretos, el punto central puede tomarse como el origen , y la distancia de los puntos de la esfera desde este origen puede asumirse como una unidad de longitud. Con esta convención, la n -esfera, , consiste en los puntos en con x ₁ ²  +  x ₂ ²  + ⋯+  x _{n + 1} ²  = 1. Por ejemplo, la 3 -esfera consiste en los puntos ( x ₁ ,  x ₂ ,  x ₃ ,  x ₄ ) en R ⁴ con x ₁ ²  +  x ₂ ²  +  x ₃ ²  +  x ₄ ²  = 1.${\estilo de visualización (n+1)}$$Estilo de visualización Sn$${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$

La fibración de Hopf p : S ³ → S ² de la 3 -esfera sobre la 2 -esfera se puede definir de varias maneras.

Identifique R ⁴ con C ² y R ³ con C × R (donde C denota los números complejos ) escribiendo:

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\leftrightarrow (z_{0},z_{1})=(x_{1}+ix_{2},x_ {3}+ix_{4})}$

y

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})\leftrightarrow (z,x)=(x_{1}+ix_{2},x_{3})}$.

Así, S ³ se identifica con el subconjunto de todos ( z ₀ , z ₁ ) en C ² tales que | z ₀ | ² + | z ₁ | ²  = 1 , y S ² se identifica con el subconjunto de todos ( z , x ) en C × R tales que | z | ²  +  x ² = 1 . (Aquí, para un número complejo z  = x  + i y , | z | ²  = z  z ^∗  = x ²  +  y ² , donde el asterisco denota el conjugado complejo .) Entonces, la fibración de Hopf p se define por

${\displaystyle p(z_{0},z_{1})=(2z_{0}z_{1}^{\ast },\left|z_{0}\right|^{2}-\left|z_{1}\right|^{2}).}$

El primer componente es un número complejo, mientras que el segundo componente es real. Cualquier punto de la esfera 3 debe tener la propiedad de que | z ₀ | ²  + | z ₁ | ²  = 1 . Si es así, entonces p ( z ₀ , z ₁ ) se encuentra en la esfera 2 unitaria en C × R , como se puede demostrar sumando los cuadrados de los valores absolutos de los componentes complejos y reales de p

${\displaystyle 2z_{0}z_{1}^{\ast }\cdot 2z_{0}^{\ast }z_{1}+\left(\left|z_{0}\right|^{2}-\left|z_{1}\right|^{2}\right)^{2}=4\left|z_{0}\right|^{2}\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{0}\right|^{4}-2\left|z_{0}\right|^{2}\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{1}\right|^{4}=\left(\left|z_{0}\right|^{2}+\left|z_{1}\right|^{2}\right)^{2}=1}$

Además, si dos puntos en la 3-esfera se asignan al mismo punto en la 2-esfera, es decir, si p ( z ₀ , z ₁ ) = p ( w ₀ , w ₁ ) , entonces ( w ₀ , w ₁ ) debe ser igual a ( λ  z ₀ , λ  z ₁ ) para algún número complejo λ con | λ | ²  = 1 . Lo inverso también es cierto; dos puntos cualesquiera en la 3 -esfera que difieren por un factor complejo común λ se asignan al mismo punto en la 2 -esfera. Estas conclusiones se deducen, porque el factor complejo λ se cancela con su conjugado complejo λ ^∗ en ambas partes de p : en el componente complejo 2 z ₀ z ₁ ^∗ y en el componente real | z ₀ | ²  − | z ₁ | ² .

Puesto que el conjunto de números complejos λ con | λ | ²  = 1 forman el círculo unitario en el plano complejo, se deduce que para cada punto m en S ² , la imagen inversa p ⁻¹ ( m ) es un círculo, es decir, p ⁻¹ m  ≅  S ¹ . Por lo tanto, la 3 -esfera se realiza como una unión disjunta de estas fibras circulares.

Una parametrización directa de la 3 -esfera empleando el mapa de Hopf es la siguiente. ^[3]

${\displaystyle z_{0}=e^{i\,{\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}}\sin \eta }$

${\displaystyle z_{1}=e^{i\,{\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}}\cos \eta .}$

o en Euclidiana R ⁴

${\displaystyle x_{1}=\cos \left({\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}\right)\sin \eta }$

${\displaystyle x_{2}=\sin \left({\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}\right)\sin \eta }$

${\displaystyle x_{3}=\cos \left({\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}\right)\cos \eta }$

${\displaystyle x_{4}=\sin \left({\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}\right)\cos \eta }$

Donde η va desde 0 hasta π /2 , ξ ₁ va desde 0 hasta 2 π , y ξ ₂ puede tomar cualquier valor desde 0 hasta 4 π . Cada valor de η , excepto 0 y π /2 que especifican círculos, especifica un toro plano separado en la 3 -esfera, y un viaje de ida y vuelta ( 0 a 4 π ) de ξ ₁ o ξ ₂ hace que hagas un círculo completo de ambas extremidades del toro.

A continuación se muestra un mapeo de la parametrización anterior a la 2 -esfera, con puntos en los círculos parametrizados por ξ ₂ .

${\displaystyle z=\cos(2\eta )}$

${\displaystyle x=\sin(2\eta )\cos \xi _{1}}$

${\displaystyle y=\sin(2\eta )\sin \xi _{1}}$

Se puede obtener una interpretación geométrica de la fibración utilizando la línea proyectiva compleja , CP ¹ , que se define como el conjunto de todos los subespacios unidimensionales complejos de C ² . De manera equivalente, CP ¹ es el cociente de C ² \{0} por la relación de equivalencia que identifica ( z ₀ , z ₁ ) con ( λ z ₀ , λ z ₁ ) para cualquier número complejo distinto de cero λ . En cualquier línea compleja en C ² hay un círculo de norma unitaria, y por lo tanto la restricción de la función cociente a los puntos de norma unitaria es una fibración de S ³ sobre CP ¹ .

CP ¹ es difeomorfo a una 2 -esfera: de hecho, puede identificarse con la esfera de Riemann C _∞ = C ∪ {∞} , que es la compactificación de un punto de C (obtenida añadiendo un punto en el infinito ). La fórmula dada para p anteriormente define un difeomorfismo explícito entre la línea proyectiva compleja y la 2- esfera ordinaria en el espacio tridimensional . Alternativamente, el punto ( z ₀ , z ₁ ) puede mapearse a la razón z ₁ / z ₀ en la esfera de Riemann C _∞ .

La fibración de Hopf define un fibrado con proyección p . Esto significa que tiene una "estructura de producto local", en el sentido de que cada punto de la 2 -esfera tiene algún vecindario U cuya imagen inversa en la 3 -esfera puede identificarse con el producto de U y un círculo: p ⁻¹ ( U ) ≅  U × S ¹ . Se dice que una fibración de este tipo es localmente trivial .

Para la fibración de Hopf, es suficiente quitar un solo punto m de S ² y el círculo correspondiente p ⁻¹ ( m ) de S ³ ; por lo tanto, se puede tomar U = S ² \{ m } , y cualquier punto en S ² tiene un vecindario de esta forma.

Otra interpretación geométrica de la fibración de Hopf se puede obtener considerando rotaciones de la 2 -esfera en el espacio ordinario tridimensional . El grupo de rotación SO(3) tiene una doble cubierta , el grupo de espín Spin(3) , difeomorfo a la 3 -esfera. El grupo de espín actúa transitivamente sobre S ² mediante rotaciones. El estabilizador de un punto es isomorfo al grupo del círculo ; sus elementos son ángulos de rotación que dejan el punto dado inmóvil, todos compartiendo el eje que conecta ese punto con el centro de la esfera. Se deduce fácilmente que la 3 -esfera es un fibrado circular principal sobre la 2 -esfera, y esto es la fibración de Hopf.

Para hacer esto más explícito, hay dos enfoques: el grupo Spin(3) puede identificarse con el grupo Sp(1) de cuaterniones unitarios o con el grupo unitario especial SU(2) .

En el primer enfoque, un vector ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) en R ⁴ se interpreta como un cuaternión q ∈ H escribiendo

${\displaystyle q=x_{1}+\mathbf {i} x_{2}+\mathbf {j} x_{3}+\mathbf {k} x_{4}.\,\!}$

La 3 -esfera se identifica entonces con los versores , los cuaterniones de norma unitaria, aquellos q ∈ H para los cuales | q | ² = 1 , donde | q | ² = qq ^∗ , que es igual a x ₁ ² + x ₂ ² + x ₃ ² + x ₄ ² para q como arriba.

Por otra parte, un vector ( y ₁ , y ₂ , y ₃ ) en R ³ puede interpretarse como un cuaternión puro

${\displaystyle p=\mathbf {i} y_{1}+\mathbf {j} y_{2}+\mathbf {k} y_{3}.\,\!}$

Entonces, como es bien sabido desde Cayley (1845), el mapeo

${\displaystyle p\mapsto qpq^{*}\,\!}$

es una rotación en R ³ : de hecho es claramente una isometría , ya que | qpq ^∗ | ² = qpq ^∗ qp ^∗ q ^∗ = qpp ^∗ q ^∗ = | p | ² , y no es difícil comprobar que conserva la orientación.

De hecho, esto identifica al grupo de versores con el grupo de rotaciones de R ³ , módulo el hecho de que los versores q y − q determinan la misma rotación. Como se señaló anteriormente, las rotaciones actúan transitivamente sobre S ² , y el conjunto de versores q que fijan un versor derecho dado p tienen la forma q = u + v p , donde u y v son números reales con u ² + v ² = 1 . Este es un subgrupo del círculo. Para ser más concretos, se puede tomar p = k , y luego la fibración de Hopf se puede definir como la función que envía un versor ω a ω k ω ^∗ . Todos los cuaterniones ωq , donde q es uno del círculo de versores que fijan k , se asignan a la misma cosa (que resulta ser una de las dos rotaciones de 180° que rotan a k al mismo lugar que ω ).

Otra forma de ver esta fibración es que cada versor ω mueve el plano abarcado por {1, k } a un nuevo plano abarcado por { ω , ωk } . Cualquier cuaternión ωq , donde q es uno de los círculos de versores que fijan k , tendrá el mismo efecto. Ponemos todos estos en una fibra, y las fibras se pueden mapear uno a uno a la 2 -esfera de rotaciones de 180° que es el rango de ωkω ^* .

Este enfoque está relacionado con la construcción directa al identificar un cuaternión q = x ₁ + i x ₂ + j x ₃ + k x ₄ con la matriz 2×2 :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}+\mathbf {i} x_{2}&x_{3}+\mathbf {i} x_{4}\\-x_{3}+\mathbf {i} x_{4}&x_{1}-\mathbf {i} x_{2}\end{bmatrix}}.\,\!}$

Esto identifica al grupo de versores con SU(2) , y a los cuaterniones imaginarios con las matrices antihermíticas 2×2 (isomorfas a C × R ).

La rotación inducida por un cuaternión unitario q = w + i x + j y + k z está dada explícitamente por la matriz ortogonal

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1-2(y^{2}+z^{2})&2(xy-wz)&2(xz+wy)\\2(xy+wz)&1-2(x^{2}+z^{2})&2(yz-wx)\\2(xz-wy)&2(yz+wx)&1-2(x^{2}+y^{2})\end{bmatrix}}.}$

Aquí encontramos una fórmula real explícita para la proyección del paquete al observar que el vector unitario fijo a lo largo del eje z , (0,0,1) , rota a otro vector unitario,

${\displaystyle {\Big (}2(xz+wy),2(yz-wx),1-2(x^{2}+y^{2}){\Big )},\,\!}$

que es una función continua de ( w , x , y , z ) . Es decir, la imagen de q es el punto en la 2 -esfera donde envía el vector unitario a lo largo del eje z . La fibra para un punto dado en S ² consta de todos aquellos cuaterniones unitarios que envían el vector unitario allí.

^También podemos escribir una fórmula explícita para la fibra sobre un punto ( a , b , c ) en S2 . La multiplicación de cuaterniones unitarios produce la composición de rotaciones y

${\displaystyle q_{\theta }=\cos \theta +\mathbf {k} \sin \theta }$

es una rotación de 2 θ alrededor del eje z . A medida que θ varía, esto barre un gran círculo de S ³ , nuestra fibra prototípica. Siempre que el punto base, ( a , b , c ) , no sea el antípoda, (0, 0, −1) , el cuaternión

${\displaystyle q_{(a,b,c)}={\frac {1}{\sqrt {2(1+c)}}}(1+c-\mathbf {i} b+\mathbf {j} a)}$

enviará (0, 0, 1) a ( a , b , c ) . Por lo tanto, la fibra de ( a , b , c ) está dada por cuaterniones de la forma q _{( a , b , c )} q _θ , que son los puntos S ³

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2(1+c)}}}{\Big (}(1+c)\cos(\theta ),a\sin(\theta )-b\cos(\theta ),a\cos(\theta )+b\sin(\theta ),(1+c)\sin(\theta ){\Big )}.\,\!}$

Dado que la multiplicación por q _{( a , b , c )} actúa como una rotación del espacio de cuaterniones, la fibra no es simplemente un círculo topológico, es un círculo geométrico.

La fibra final, para (0, 0, −1) , se puede obtener definiendo q _(0,0,−1) como igual a i , lo que produce

${\displaystyle {\Big (}0,\cos(\theta ),-\sin(\theta ),0{\Big )},}$

que completa el fibrado. Pero nótese que esta aplicación biunívoca entre S ³ y S ² × S ¹ no es continua en este círculo, lo que refleja el hecho de que S ³ no es topológicamente equivalente a S ² × S ¹ .

Por lo tanto, una forma sencilla de visualizar la fibración de Hopf es la siguiente. Cualquier punto en la 3 -esfera es equivalente a un cuaternión , que a su vez es equivalente a una rotación particular de un marco de coordenadas cartesiano en tres dimensiones. El conjunto de todos los cuaterniones posibles produce el conjunto de todas las rotaciones posibles, que mueve la punta de un vector unitario de dicho marco de coordenadas (por ejemplo, el vector z ) a todos los puntos posibles en una 2 -esfera unitaria. Sin embargo, fijar la punta del vector z no especifica la rotación por completo; es posible una rotación adicional sobre el eje z . Por lo tanto, la 3 -esfera se mapea sobre la 2 -esfera, más una sola rotación.

La rotación se puede representar utilizando los ángulos de Euler θ , φ y ψ . La función de Hopf asigna la rotación al punto de la 2-esfera dado por θ y φ, y el círculo asociado está parametrizado por ψ. Nótese que cuando θ = π los ángulos de Euler φ y ψ no están bien definidos individualmente, por lo que no tenemos una función uno a uno (o una función uno a dos) entre el 3-toro de ( θ , φ , ψ ) y S ³ .

Si la fibración de Hopf se trata como un campo vectorial en un espacio tridimensional, entonces existe una solución para las ecuaciones de Navier-Stokes (compresibles, no viscosas) de dinámica de fluidos en las que el fluido fluye a lo largo de los círculos de la proyección de la fibración de Hopf en un espacio tridimensional. El tamaño de las velocidades, la densidad y la presión se pueden elegir en cada punto para satisfacer las ecuaciones. Todas estas cantidades caen a cero a medida que se alejan del centro. Si a es la distancia al anillo interior, los campos de velocidades, presión y densidad vienen dados por:

${\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)=A\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-2}\left(2(-ay+xz),2(ax+yz),a^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}\right)}$

${\displaystyle p(x,y,z)=-A^{2}B\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-3},}$

${\displaystyle \rho (x,y,z)=3B\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-1}}$

para constantes arbitrarias A y B. Se encuentran patrones similares de campos como soluciones solitones de magnetohidrodinámica : ^[4]

La construcción de Hopf, vista como un fibrado p : S ³ → CP ¹ , admite varias generalizaciones, que también se conocen a menudo como fibraciones de Hopf. En primer lugar, se puede reemplazar la línea proyectiva por un espacio proyectivo n -dimensional . En segundo lugar, se pueden reemplazar los números complejos por cualquier álgebra de división (real) , incluidos (para n = 1) los octoniones .

Una versión real de la fibración de Hopf se obtiene considerando el círculo S ¹ como un subconjunto de R ² de la manera habitual e identificando puntos antípodas. Esto da un fibrado S ¹ → RP ¹ sobre la línea proyectiva real con fibra S ⁰ = {1, −1}. Así como CP ¹ es difeomorfo a una esfera, RP ¹ es difeomorfo a un círculo.

De manera más general, la n -esfera S ⁿ fibras sobre el espacio proyectivo real RP ⁿ con fibra S ⁰ .

La construcción de Hopf da fibras circulares p  : S ^{2 n +1} → CP ⁿ sobre el espacio proyectivo complejo . En realidad, se trata de la restricción del fibrado lineal tautológico sobre CP ⁿ a la esfera unitaria en C ^{n +1} .

De manera similar, se puede considerar que S ^{4 n+3} se encuentra en H ⁿ⁺¹ ( espacio cuaterniónico n ) y factorizarlo mediante la multiplicación de cuaterniones unitarios (= S ³ ) para obtener el espacio proyectivo cuaterniónico HP ⁿ . En particular, dado que S ⁴ = HP ¹ , existe un fibrado S ⁷ → S ⁴ con fibra S ³ .

Una construcción similar con los octoniones produce un fibrado S ¹⁵ → S ⁸ con fibra S ⁷ . Pero la esfera S ³¹ no se fibra sobre S ¹⁶ con fibra S ¹⁵ . Se puede considerar a S ⁸ como la línea proyectiva octoniónica OP ¹ . Aunque también se puede definir un plano proyectivo octoniónico OP ² , la esfera S ²³ no se fibra sobre OP ² con fibra S ⁷ . ^{[5] [6]}

A veces, el término "fibración de Hopf" se restringe a las fibraciones entre esferas obtenidas anteriormente, que son

• S ¹ → S ¹ con fibra S ⁰
• S ³ → S ² con fibra S ¹
• S ⁷ → S ⁴ con fibra S ³
• S ¹⁵ → S ⁸ con fibra S ⁷

Como consecuencia del teorema de Adams , los haces de fibras con esferas como espacio total, espacio base y fibra solo pueden darse en estas dimensiones. John Milnor utilizó haces de fibras con propiedades similares, pero diferentes de las fibraciones de Hopf, para construir esferas exóticas .

La fibración de Hopf tiene muchas implicaciones, algunas puramente atractivas, otras más profundas. Por ejemplo, la proyección estereográfica S ³ → R ³ induce una estructura notable en R ³ , que a su vez ilumina la topología del fibrado (Lyons 2003). La proyección estereográfica conserva los círculos y mapea las fibras de Hopf a círculos geométricamente perfectos en R ³ que llenan el espacio. Aquí hay una excepción: el círculo de Hopf que contiene el punto de proyección se mapea a una línea recta en R ³ —un "círculo a través del infinito".

Las fibras sobre un círculo de latitud en S ² forman un toro en S ³ (topológicamente, un toro es el producto de dos círculos) y estos se proyectan a toros anidados en R ³ que también llenan el espacio. Las fibras individuales se asignan a círculos de Villarceau de enlace en estos toros, con la excepción del círculo a través del punto de proyección y el que pasa por su punto opuesto : el primero se asigna a una línea recta, el segundo a un círculo unitario perpendicular a, y centrado en, esta línea, que puede verse como un toro degenerado cuyo radio menor se ha reducido a cero. Cada otra imagen de fibra también rodea la línea y, por lo tanto, por simetría, cada círculo está vinculado a través de cada círculo, tanto en R ³ como en S ³ . Dos de estos círculos de enlace forman un enlace de Hopf en R ³

Hopf demostró que la función de Hopf tiene un invariante de Hopf 1 y, por lo tanto, no es homotópica nula . De hecho, genera el grupo de homotopía π ₃ ( S ² ) y tiene orden infinito.

En mecánica cuántica , la esfera de Riemann se conoce como esfera de Bloch , y la fibración de Hopf describe la estructura topológica de un sistema de dos niveles o cúbit cuántico . De manera similar, la topología de un par de sistemas de dos niveles entrelazados viene dada por la fibración de Hopf.

${\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\to S^{4}.}$

(Mosseri y Dandoloff 2001). Además, la fibración de Hopf es equivalente a la estructura del haz de fibras del monopolo de Dirac . ^[7]

La fibración de Hopf también encontró aplicaciones en robótica , donde se utilizó para generar muestras uniformes en SO(3) para el algoritmo de hoja de ruta probabilística en la planificación del movimiento. ^[8] También encontró aplicación en el control automático de cuadricópteros . ^{[9] [10]}

• Cayley, Arthur (1845), "Sobre ciertos resultados relacionados con los cuaterniones" (PDF) , Philosophical Magazine , 26 (171): 141–145, doi :10.1080/14786444508562684; reimpreso como artículo 20 en Cayley, Arthur (1889), The collected mathematics papers of Arthur Cayley, vol. (1841–1853), Cambridge University Press , pp. 123–126
• Hopf, Heinz (1931), "Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche" , Mathematische Annalen , 104 (1), Berlín: Springer : 637–665, doi :10.1007/BF01457962, ISSN  0025-5831, S2CID  123533891
• Hopf, Heinz (1935), "Über die Abbildungen von Sphären auf Sphären niedrigerer Dimension", Fundamenta Mathematicae , 25 , Varsovia: Acad polaco. Ciencia: 427–440, doi : 10.4064/fm-25-1-427-440 , ISSN  0016-2736
• Lyons, David W. (abril de 2003), "Una introducción elemental a la fibración de Hopf" (PDF) , Mathematics Magazine , 76 (2): 87–98, arXiv : 2212.01642 , doi :10.2307/3219300, ISSN  0025-570X, JSTOR  3219300
• Mosseri, R.; Dandoloff, R. (2001), "Geometría de estados entrelazados, esferas de Bloch y fibraciones de Hopf", Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical , 34 (47): 10243–10252, arXiv : quant-ph/0108137 , Bibcode :2001JPhA...3410243M, doi :10.1088/0305-4470/34/47/324, S2CID  119462869.
• Steenrod, Norman (1951), La topología de los haces de fibras, PMS 14, Princeton University Press (publicado en 1999), ISBN 978-0-691-00548-5
• Urbantke, HK (2003), "La fibración de Hopf: siete tiempos en física", Journal of Geometry and Physics , 46 (2): 125–150, Bibcode :2003JGP....46..125U, doi :10.1016/S0393-0440(02)00121-3
• Zamboj, Michal (8 de enero de 2021). "Construcción sintética de la fibración de Hopf en una proyección ortogonal doble de 4-espacios". Revista de diseño e ingeniería computacional . 8 (3): 836–854. arXiv : 2003.09236v2 . doi :10.1093/jcde/qwab018.
• Banchoff, Thomas (1988). "Geometría de la función de Hopf y de los toros de Pinkall de un tipo conforme dado". En Tangora, Martin (ed.). Computers in Algebra . Nueva York y Basilea: Marcel Dekker. págs. 57–62.

• "Fibración de Hopf", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Rowland, Todd. "Fibración de Hopf". MathWorld .
• Los capítulos 7 y 8 de Dimensions Math ilustran la fibración de Hopf con gráficos de computadora animados.
• Introducción elemental a la fibración de Hopf por David W. Lyons ( PDF )
• Animación de YouTube que muestra el mapeo dinámico de puntos en la 2-esfera a círculos en la 3-esfera, por el profesor Niles Johnson.
• Animación de YouTube de la construcción de las 120 celdas por Gian Marco Todesco que muestra la fibración de Hopf de las 120 celdas.
• Vídeo de un anillo de 30 celdas del de 600 celdas de http://page.math.tu-berlin.de/~gunn/.
• Visualización interactiva de la asignación de puntos en la esfera bidimensional a círculos en la esfera tridimensional